当前位置：文档之家 › 清华大学随机过程答案1

清华大学随机过程答案1

  • 格式：pdf
  • 大小：135.20 KB
  • 文档页数：7

下载文档原格式

  / 7

合集下载

随机过程习题和答案

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业和答案第一二章

随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解 先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。

随机过程习题和答案

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解1、（15分)设随机过程C t R t X +⋅=)(,),0(∞∈t ,C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

(1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (２）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数；(2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=; （３)参数为λ的指数分布,概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ,分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4)2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ,分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ,若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题２.1及2.2题。

(1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ,一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tC x C x x F ,1,,0)(;(2)根据相关定义,均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s C st t X s X E t s R X +++==；协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数) 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==２、(1５分)设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

清华大学随机过程作业 答案

清华大学随机过程作业 答案

清华大学电子工程系版权所有
3
参考答案:
(1) |X1|, |X2|, |X3|, ... 满足 Markov 性，可以严格证明：P (|Xn+1| = xn+1||X1| = x1, ..., |Xn| = xn) = P (|Xn+1| = xn+1||Xn| = xn)。 当 |Xn| = 0 时，必有：|Xn+1| = 1,P (|Xn+1| = 1||X1| = x1, ..., |Xn| = 0) = 1 = P (|Xn+1| = 1||Xn| = 0) 当 |Xn| = xn ̸= 0 ∨ m 时，则 |Xn+1| = xn+1 必须取值为 |Xn| ± 1
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
0 < i1 = i2 < m 其他

1
P {Zt+1
=
(i1,
i2)|Zt
=
(i1,
i2),
Zt−1
=
(xt−1,
yt−1),
·
·
·
,
Z1
=
(x1,
y1)}
=
2
0
i1 = i2 = m 其他

2. 设一个离散时间、离散状态的随机过程 {Xn, n ⩾ 1} 满足
X1, · · · , Xn−1⊥Xn+1|Xn, ∀n > 1
则成立

随机过程习题及答案

随机过程习题及答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t et t t X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Utt Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

4030(30)((1)40)!kk P N ek -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

《随机过程》课后习题解答

6、证函数 f (t ) 解 （1）
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2

i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)

x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )

f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt

3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n

随机过程第一章习题答案

似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t

时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k

时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t

随机过程作业题与参考答案(第一章)

随机过程作业题及参考答案（第一章）第一章随机过程基本概念P391. 设随机过程 X tX cos 0t ， t，其中0 是正常数，而X 是标准正态变量。

试求 X t的一维概率分布。

解：1当 cos0t0 ，0tk，即 t1 k 1（ kz ）时，22 X t 0，则 P X t1.2当 cos0t0，0tk，即 t1 k 1（ kz ）时，22X~N 0，1， E X0，D X 1.E X tE X cos 0t E X cos 0t 0 .D X tD X cos0tD X cos 20tcos 2 0t .X t ~ N 0，cos 20t .1x 2则 fx ；te 2cos 2 0t .2 cos 0t2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为cos ，出现正面X t，出现反面2t假定 “出现正面” 和“出现反面” 的概率各为11 。

试确定 X t 的一维分布函数F x ；22和 F x ；1 ，以及二维分布函数1 。

F x 1，x 2；，12随机过程作业题及参考答案（第一章）解：， x 0X10 11 1 12，； P Xxx 122p k1 1 2x1， 221X 112，x 11 1 ；1，1 x 2p kF x 1 P X 1 x222x2，1随机矢量X1，X 1的可能取值为0， 1 ，1，2.2而PX10，X 111，PX11，X1 2 1 .2222F x 1，x 2 1P X1 x 1，X 1 x 2；，1 22，x 1或10 x 21， 且或且 1 x 2 22 0 x 1 1 x 21 x 1x 12， 且1 1 x 23. 设随机过程X t ， t总共有三条样本曲线X t ，11 X t ，2sint， X t ，3 cost，且P 1PP 31t和相关函数 R X t 1，t 2。

2。

试求数学期望 EX3随机过程作业题及参考答案（第一章）解：EX t1 1sint1cost1 1 1 sint cost .333 3，E X t 1 X t 2R X t 1 t 21 1 1 1sint 1 sint 2 1 cost 1 cost 23 331 1 sint 1 sint2 cost 1 cost 2 31 1 cos t 1 t2 .34. 设随机过程X te Xt ，（ t 0），其中 X 是具有分布密度f x 的随机变量。

随机过程第一章习题解答

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjt k pp qe qe∞==-∑ 又20()kk k k q q E X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n x S t dt n tdt xx∞∞+===+==-∑∑⎰⎰ 202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b+==222()()()PD XE X E X b ∴=== （4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中 n = 1, 2 . . . , k = 1, 2 . . .
3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = ξi。
参考答案：
(1) V = a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2
(2) ξ (0) = 0，fξ(0)(x) = δ(x)；ξ (π/2ω) = V ，其概率密度同 V 一样。
(π) ξ
4ω
=
V
√ 2
,
fξ(
π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
0
<
0, 其他
xHale Waihona Puke <√a 2() 5π
ξ 4ω
=
V
−
√ 2
n
pmqn−m = pn − qn。
m=0
m
∑n
解法二：因各次游走是相互统计独立的，则 E [η (n)] = E[ξi] = (p − q)n。
i=1
清华大学电子工程系版权所有
3
(2) 假设 n1 < n2,
Rηη (n1, n2) = E [η (n1) η (n2)] = E {η (n1) [η (n1) + η (n2) − η (n1)]} = E[η (n1)]2 + E [η (n1)] E [η (n2) − η (n1)] = {E [η (n1)]}2 + V ar [η (n1)] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n21 + n1V ar [ξi] + (p − q)2n1 (n2 − n1) = (p − q)2n1n2 + n1[1 − (p − q)2]
Commets：此题考察的是条件概率的定义以及乘法公式。
2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n) , n = 1, 2, · · · 。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1, 2, · · · ，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (−1)n；如果第 n 次抛掷结果为 反面，则 X (n) = (−1)n+1。
=
−1)
=
1，
硬币反面
2
综上，P
(X (n)
=
1)
=
p (X(n)
=
−1)
=
1。 2
(3) 由于多次抛硬币的实验相互之间独立，则随机变量 x(n), x(n + k) 也相互独立，则
P (X(n) = 1, X(n + k) = 1) = P (X(n) = 1) P (X(n + k) = 1) = 1/4; P (X(n) = 1, X(n + k) = −1) = P (X(n) = 1) P (X(n + k) = −1) = 1/4; P (X(n) = −1, X(n + k) = 1) = P (X(n) = −1) P (X(n + k) = 1) = 1/4; P (X(n) = −1, X(n + k) = −1) = P (X(n) = −1) P (X(n + k) = −1) = 1/4;
7
i=1
(1) 求 {η (n)} 的均值函数。 (2) 求 {η (n)} 的自相关函数 Rηη(n1, n2)。 (3) 给定时刻 n1, n2，求随机过程 {ξ(n)} 的二维概率密度函数及相关函数。
概念复习：
离散状态离散时间随机过程数字特征
参考答案：
(1) 解法一：设在 n 次游走中有 m 次质点正向移动，即有 m 次 ξi = +1，有 n − m 次
清华大学电子工程系版权所有
1
概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro_solution © 清华大学电子工程系
1. 袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽）。在袋中任取一只，将 它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。
参考答案：
设 Br =“出现 r 次国徽面”，A =“任取一只是正品”。
参考答案：
考虑 t 时刻的随机变量 ξ(t)，设其所处的锯齿波的起始点时刻为 t0，则随机变量 t0 ∼
U (t
−
T, t)，注意到
ξ(t)
=
t−t0 T
A，ξ
(t)
是
t0
的单调函数，取值范围为
[0, A]：
1
11 1
pξ(t)(x) = p(t0) dξ(t)
=
T
A
=
, x ∈ [0, A] A
dt
,
fξ(
5π 4ω
)
(x)
=
√ 2 a
,
−
√a 2
0, 其他
<
x
<
0
清华大学电子工程系版权所有
6
常见问题：没有弄清楚随机过程中样本空间和参数 t 的关系，一旦 t 固定，得到了是一 个随机变量 X，其概率密度的写法为 p(X = x) = fX (x)。
清华大学电子工程系版权所有
参考文献
[1] 陆大纟金. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 1986. [2] 陆大纟金，张灏. 随机过程及其应用（第二版）. 清华大学出版社, 2012.
{(
0
)( 2
)}
Cξ (t1, t2) = E
η
cos
t1
−
1 2
cos
t1
η
cos
t2
−
1 2
cos
t2
= E {η2}
cos t1 cos t2 −
E
{η} cos t1
cos t2
+
1 4
cos t1
cos t2
=
1 3
cos t1 cos t2
−
1 2
cos t1 cos t2
+
1 4
cos t1
T
常见问题： 忘了写范围。
6. 设有随机过程 ξ (t) = A cos(ωt + Θ)，其中相位 Θ 是一个均匀分布于 (−π, π) 间的随机 变量，判断 ξ (t) 是否为严平稳过程。 概念复习：宽平稳与严平稳概念 参考答案：
P (ξ(t1) ⩽ x1, ξ(t2) ⩽ x2, · · · , ξ(tn) ⩽ xn)
4
x W
$
W
D
t
7
x W
$
W
E
t
7
图 1.2
不同。设在 t = 0 后的第一个零值点位于 τ0，τ0 是一个随机变量，它在 (0, T ) 内均匀分
布，即
1/T fτ0 (t) = 0
(0 ⩽ t ⩽ T ) (其他值)
若锯齿波的幅度为 A，求随机过程 ξ(t) 的一维概率密度。
由全概率公式，有
() ( P (Br) = P (A) P (Br | A) + P A P Br
) A=
m ( 1 )r +
n ×1r
m+n 2 m+n
P (A | Br) =
P (A) P (Br P (Br)
| A)
=
m ( 1 )r
m m+n
(
12m)+rn+
2
n m+n
×1r
=
m m + n · 2r
=
1
∫π f (ωh + θ)dθ
2π −π
注意，周期函数 f (θ) 在任一个周期的积分都相等。所以
1
∫π f (θ)dθ =
1
∫π f (ωh + θ)dθ
2π −π
2π −π
所以，对 ∀n, ∀t1, t2, · · · , tn, ∀h 都有
P (ξ (t1) ⩽ x1, ξ (t2) ⩽ x2, · · · , ξ (tn) ⩽ xn) = P (ξ (t1 + h) ⩽ x1, ξ (t2 + h) ⩽ x2, · · · , ξ (tn + h) ⩽ xn)
Rξ (t1, t2) = E {η cos t1η cos t2} = E {η2} cos t1 cos t2
∫1
= η2dη cos t1 cos t2
0
E
{η}
= =
1 ∫3
cos t1
1
ηdη
cos t2 1
=
0
2
E {ξ} = E {η cos t} =
∫
1
η cos tdη
=
1
cos t
当 n1 > n2 时可得到类似的结论。
(3) 二维概率分布列
ξ(n1)
1
-1
ξ(n2)
1
p2
pq
-1
pq
q2
Rξξ (n1, n2) = p2 + q2 − 2pq
常见错误： 把随机过程 {η (n)} 的自相关函数和 {ξ(n)} 的搞混淆。认为 η (n1) 和 η (n2) 独立。
4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}，ξ (t) = η cos (t)，其中 η 为均匀分 布于 (0, 1) 间的随机变量，求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1, t2)，自协方差函数 Cξ (t1, t2)。 参考答案：