(完整版)答案应用随机过程a

随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。

求X(t)的一维和二维分布。

解 先求一维分布。

当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。

这亦是随机过程X(t)的一维分布。

再求二维分布。

当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。

则其线性变换也服从正态分布。

且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。

P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。

X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。

随机过程第三版课后答案【篇一：随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my，它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。

（1）求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数；（2）求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。

答案：（1）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t)和y(t)独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)（2）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)2、一个rc低通滤波电路如下图所示。

假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。

（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)电压：y(t)答案：（1）该系统的系统函数为h(s)?y(s)1? x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：1ry(?)?2?????py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??（2）线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。

因此，为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxh(0)=02方差：ry(0)?var(y)?my因为均值为0，所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf：略12?n0/2???1?rc2?2d??3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b，其在通带的频率增益为1。

应用随机过程张波课后答案【篇一：随机过程期末论文】ass=txt>【摘要】：通过市场调查研究发现，很多现象是可以用随机过程来描述的。

比如说，企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。

本文试图将马尔科夫链引入，并运用其原理以及特性，对企业人力资源需求方面进行分析和预测，从而帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作。

【关键字】：马尔科夫链；人力资源；预测；需求一、马尔科夫链原理简介一个经济系统x(t)是随时间t变化的随机变量。

人们可根据该经济系统在时刻t0所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(t0)的状态。

由此原则，可得到这样一个基本方法：系统内x(t)在给定的时刻tn的状态x(tn)=xn，可根据它在任何较早时刻tn?1(tn)所处的状态x(tn?1)=xn-1推出，而不依赖于系统在时刻以tn?1前的历史状态。

满足这一条件的系统所观测结果的随机过程，就称之为马尔科夫过程。

而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值（称为过程的“状态”）之间一系列转移, 而且具有下面性质：一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。

假设过程的时间参数集任意n个时刻为t1t2......tn,系统x(t)在时刻ti 处于状态xi,即x(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则x（tn）的条件概率分布只依赖于x（tn-1）=xn-1最近的已知值，即：p{x(tn)?xn|x(t1)=x1,...,x(tn-1)=xn-1}=p{x(tn)xn|x(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下，它的“将来”与“过去”无关。

二、状态转移矩阵运用马尔科夫链进行预测的关键在于：建立状态转移概率矩阵（指系统在时刻t所处状态，转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率）。

因此，企业人力资源需求的预测，其关键也就在于通过调查，确定预测期内企业对人才需求的状况。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

随机过程第三版课后答案【篇一：随机过程习题答案】们的均值分别为mx和my，它们的自相关函数分别为rx(?)和ry(?)。

（1）求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数；（2）求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。

答案：（1）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?利用x(t)和y(t)独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)???rx(?)ry(?)（2）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)2、一个rc低通滤波电路如下图所示。

假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。

（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)电压：y(t)答案：（1）该系统的系统函数为h(s)?y(s)1? x(s)1?rcs则频率响应为h(j?)?11?jrc?n02而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?2n0/21?rc?2对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：1ry(?)?2?????py(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1?rc?2ed??（2）线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。

因此，为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。

均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxh(0)=02方差：ry(0)?var(y)?my因为均值为0，所以方差var(y)?ry(0)?一维pdf：略12?n0/2???1?rc2?2d??3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b，其在通带的频率增益为1。

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。

解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。

试求：()σ的所有元素。

解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。

试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。

解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。

等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。

2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1学习指导1.1.1要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2.随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ξ(t 1)≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1](2-1)如果F 1(x 1,t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1)≤x 1和ξ(t 2)≤x 2同时成立的概率称为随机过程?(t )的二维分布函数。

如果存在，则称f 2(x 1,x 2;t 1,t 2)为随机过程?(t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程?(t )的n 维分布函数。

如果存在，则称f n (x 1,x 2,…,x n ;t 1,t 2,…,t n )为随机过程?(t )的n 维概率密度函数。

3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。

随机过程?(t )在任意给定时刻t 的取值?(t )是一个随机变量，其均值为其中，f 1(x ,t )为?(t )的概率密度函数。

随机过程?(t )的均值是时间的确定函数，记作a (t )，它表示随机过程?(t )的n 个样本函数曲线的摆动中心。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=〔其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑〕令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑那么 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 那么211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰〕2、〔1〕 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有一样的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 〔1〕设X 服从(,)p b Γ分布，那么10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ 〔2〕'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 假设(,)i i X p b Γ 1,2i = 那么121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

山东财政学院2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )（考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。

（ⅹ ）2. 非周期的正常返态是遍历态。

（√ ）3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。

（ⅹ ）4. 有限马尔科夫链没有零常返态。

（√ ）5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(〉nd iip 。

（ⅹ ）二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。

2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。

三． 简答题（每小题5分，共10分）1． 简述马氏链的遍历性。

答：设)(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。

2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。

它反映了其变化与时间相关的过程。

如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。

四． 计算、证明题（共70分）1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解：2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为小时人4=λ，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。

应用随机过程张波课后答案应用随机过程张波课后答案【篇一：随机过程期末论文】ass=txt>【摘要】：通过市场调查研究发现，很多现象是可以用随机过程来描述的。

比如说，企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。

本文试图将马尔科夫链引入，并运用其原理以及特性，对企业人力资源需求方面进行分析和预测，从而帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作。

【关键字】：马尔科夫链；人力资源；预测；需求一、马尔科夫链原理简介一个经济系统x(t)是随时间t变化的随机变量。

人们可根据该经济系统在时刻t0所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(t0)的状态。

由此原则，可得到这样一个基本方法：系统内x(t)在给定的时刻tn的状态x(tn)=xn，可根据它在任何较早时刻tn?1(tn)所处的状态x(tn?1)=xn-1推出，而不依赖于系统在时刻以tn?1前的历史状态。

满足这一条件的系统所观测结果的随机过程，就称之为马尔科夫过程。

而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值（称为过程的“状态”）之间一系列转移, 而且具有下面性质：一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。

假设过程的时间参数集任意n个时刻为t1t2......tn,系统x(t)在时刻ti 处于状态xi,即x(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则x（tn）的条件概率分布只依赖于x（tn-1）=xn-1最近的已知值，即：p{x(tn)?xn|x(t1)=x1,...,x(tn-1)=xn-1}=p{x(tn)xn|x(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下，它的“将来”与“过去”无关。

二、状态转移矩阵运用马尔科夫链进行预测的关键在于：建立状态转移概率矩阵（指系统在时刻t所处状态，转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率）。

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。