![§5、函数[x]和{x}](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/b06c6904ba1aa8114431d9c7.webp)
§5 正弦函数的性质与图像5．1 正弦函数的图像1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y ＝sin x 的图像时，x 依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应留意哪些问题？ 2．例题导读P 27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y ＝a sin x ＋b 在[0，2π]上的简图． 试一试：教材P 28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像叫作正弦曲线，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中经常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y ＝sin x 在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(3)利用五点法作函数y ＝A sin x (A >0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，A ，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－A ，(2π，0)． 2．正弦曲线的简洁变换函数y ＝sin x 与y ＝sin x ＋k 图像间的关系．当k >0时，把y ＝sin x 的图像向上平移k 个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像； 当k <0时，把y ＝sin x 的图像向下平移|k |个单位长度得到函数y ＝sin x ＋k 的图像．1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(3)用五点法作函数y ＝－2sin x 在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．( )(4)将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x 轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．( )解析：(1)正确．观看正弦函数的图像知y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点． (2)正确．观看正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y ＝1与y ＝－1之间．(3)正确．在函数y ＝－2sin x ，x ∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－2，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x ∈[－π，π]时，y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，于是，将函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得函数y ＝|sin x |，x ∈[－π，π]的图像．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0) D ．(2π，0)解析：选A.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0)．3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.答案：5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像外形________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈(0，2π]与y ＝sin x ，x ∈(2π，4π]的图像，外形相同，位置不同．答案：(1)⎝⎛⎭⎫π2，1 ⎝⎛⎭⎫3π2，－1(2)相同 不同1．y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分．(2)由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像外形完全全都，因此将y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的外形．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的状况下常用此法，要切实把握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常消灭在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必需是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要留意线的走向，一般在最高(低)点的四周要平滑，不要消灭“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图． (链接教材P 27例1) [解] 步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y ＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f (x )＝a sin x ＋b ，(x ∈[0，2π])的图像如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]B ．f (x )＝sin x ＋12，x ∈[0，2π]C ．f (x )＝32sin x ＋1，x ∈[0，2π]D ．f (x )＝32sin x ＋12，x ∈[0，2π](2)用五点法作出下列函数的简图．①y ＝2sin x ，x ∈[0，2π]； ②y ＝2－sin x ，x ∈[0，2π]．解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f (x )＝a sin x ＋b ，x ∈[0，2π]，不妨将(0，1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.5代入得⎩⎨⎧a sin 0＋b ＝1，a sin π2＋b ＝1.5，解得b ＝1，a ＝0.5，故f (x )＝12sin x ＋1，x ∈[0，2π]． (2)①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2sin x2－2描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f (x )＝lg (sin x )＋16－x 2的定义域． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 4)[解] 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观看得到，同时要留意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般状况．2．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域.解：为使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0⇔0<sin x ≤12.依据正弦曲线得，函数定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，2k π＋π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π6，2k π＋π，k ∈Z .利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图像，依据图像推断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． (链接教材P 30习题1－5 A 组T 1(1))[解] 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图像．作出y ＝lg x 的图像，如图所示．由图像可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．若本例中的函数y ＝lg x 换为y ＝x 2，则结果如何？解：在同始终角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知函数y ＝x 2和y ＝sin x 和图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根． 方法归纳方程根(或个数)的两种推断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观看与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观看交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 的图像的交点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 (2)争辩方程10sin x ＝x (x ∈R )根的个数．解：(1)选B.在同始终角坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x ≥4π时，x 10≥4π10>1≥sin x ；当x ＝52π时，sin x ＝sin 52π＝1，x 10＝5π20，1>5π20，从而x >0时，有3个交点，由对称性知x <0时，有3个交点，加上x ＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sin x ≥12；(2)sin x ≤－22.⎝⎛⎭⎫0，12作x 轴[解] (1)利用“五点法”作出y ＝sin x 的简图，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12两的平行线，在[0，2π]上，直线y ＝12与正弦曲线交于⎝⎛⎭⎫π6，12，点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y ≥12时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤5π6.因此，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)同理，满足sin x ≤－22的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π4＋2k π≤x ≤74π＋2k π，k ∈Z . [感悟提高] 形如sin x >a (<a )的不等式，求角x 的范围，一般接受数形结合的思想来解题，具体步骤： (1)画出y ＝sin x 的图像，画直线y ＝a .(2)若解sin x >a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 上方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围． 若解sin x <a ，则观看y ＝sin x 在直线y ＝a 下方的图像．这部分图像对应的x 的范围，就是所求的范围．1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )解析：选B.利用五点法画图，函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的图像肯定过点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，1)，⎝⎛⎭⎫32π，2，(2π，1)，故B 项正确．2．已知点M ⎝⎛⎭⎫π4，b 在函数f (x )＝2sin x ＋1的图像上，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＋1＝2.答案：23．若函数f (x )＝2sin x －1－a 在⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝0得2sin x ＝1＋a .作出y ＝2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的图像，如图所示．要使函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a <2，所以3－1≤a <1.答案：[3－1，1), [同学用书单独成册])[A.基础达标]1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1C ．与y 轴有一个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．依据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选A.在同始终角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排解A ；对B ，由于y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故排解B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排解C ；对D ，由于y ＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )解析：选D .当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，故排解A 、B 、C ，选D .5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )解析：选A .函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排解B 、D ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排解C ，故选A.6．在[0，2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．解析：在同始终角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝22的图像如图，观看图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，34π7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝x2π的图像交点个数是________． 解析：在同始终角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：38.已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤29.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：x 0 π2 π 32π 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示．10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点． [B.力量提升]1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，2π3，则函数的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎣⎡⎦⎤22，1 C ．(1，2] D ．[1，2]解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎡⎦⎤22，1.2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋asin x.由于0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1sin x≥1.所以1＋asin x ≥a ＋1.所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析：由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6.答案：π64．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π， 所以0<3A ≤π，即0<A ≤π3.若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3，由y ＝sin x 图像知y ∈⎝⎛⎦⎤0，32.答案：⎝⎛⎦⎤0，325．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观看函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． 解：列表如下：x －π －π2 0 π2 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x131－11描点连线得：(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1， 所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2α)<0，求α的取值范围．解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2α)． 由于f (x )是奇函数，所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2α－1)，所以f (1－sin α)<f (sin 2α－1)．又由f (x )是⎝⎛⎭⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎨⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2α－1<12，1－sin α>sin 2α－1，所以⎩⎨⎧12<sin α<32，12<sin 2α<32，sin 2α＋sin α－2<0，解得22<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z )，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。
第5讲三角函数的图象与性质1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，0)，□1(π2，1)，□2(π，0)，□3(3π2，－1)，□4(2π，0).(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，1)，□5(π2，0)，□6(π，－1)，□7(3π2，0)，□8(2π，1).2.三角函数的图象与性质(表中k ∈Z )π区间对称中心□22(k π，0)□23(k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程□24x ＝k π＋π2□25x ＝k π无常用结论1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期.2.奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z ).(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.()(2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.()(3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.()(4)y ＝sin|x |是偶函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)函数y ＝2sin(x －π3)(x ∈[－π，0])的单调递增区间是()A.[－π，－5π6] B.[－5π6，－π6]C.[－π3，0]D.[－π6，0]解析：D 令－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .由于x ∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为[－π6，0].(2)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π6)的定义域是.解析：由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠12k π＋π6，k ∈Z .答案：{x |x ≠12k π＋π6，k ∈Z }(3)函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈[0，π2]的值域是.解析：由x ∈[0，π2]得x ＋π3∈[π3，5π6]，所以y ＝cos(x ＋π3)∈[－32，12].答案：[－32，12]三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.[－π6，π6]B.[k π－π6，k π＋π6](k ∈Z )C.[2k π－π6，2k π＋π6](k ∈Z )D.R解析：C由cos x－32≥0，得cos x≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为.解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，∴sin x cos x＝1－t2 2，且－2≤t≤ 2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2].当t＝1时，y max＝1；当t＝－2时，y min＝－1＋22 2.∴函数y的值域为[－1＋22 2，1].答案：[－1＋22 2，1]反思感悟1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.训练1(1)函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为.解析：要使函数有意义，x＞0，x－12≥0，x＞0，x≥12，kπ＜x＜π＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}.答案：{x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)函数f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x的最小值为.解析：∵f(x)＝sin(2x＋3π2)－3cos x＝－cos2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－2(cos x＋34)2＋178，－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－4三角函数的周期性、奇偶性与对称性例2(1)(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)＝sin(π2x) B.f(x)＝cos(π2x)C.f(x)＝sin(π4x) D.f(x)＝cos(π4x)解析：B由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T＝2ππ2＝4，B选项中T＝2ππ2＝4，C选项中T＝2ππ4＝8，D选项中T ＝2ππ4＝8，排除选项CD，对于A选项，当x＝2时，函数值sin(π2×2)＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当x＝2时，函数值cos(π2×2)＝－1，故x＝2是函数的一条对称轴.故选B.(2)(2024·贵阳联考)使函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为偶函数，则θ的一个值可以是()A.π3B.π6C.－π3D.7π6解析：A由f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π6 )，因为f(x)为偶函数，可得θ＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，所以θ＝kπ＋π3，k∈Z，令k＝0，可得θ＝π3 .反思感悟有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sinωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解.(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.训练2(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于直线x＝π对称，则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)的一个对称中心是(－2π，0)D.f(x)的一个递增区间是(2，3)解析：BD B项，f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π，B正确；A 项，由于f (x )的图象关于直线x ＝π对称，且最小正周期是π，因此f (x )的图象也关于直线x ＝0对称，故f (x )是偶函数，A 错误；C 项，因为是偶函数，且最小正周期是π，则f (x )＝2cos 2x 或f (x )＝－2cos 2x ，根据0＜φ＜π可得解析式为前者，f (x )的对称中心为(k π2－π4，0)(k ∈Z )，C 错误；D 项，由于(2，3)⊆(π2，π)，f (x )在(π2，π)单调递增，D 正确.(2)(2024·遂宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋cos ωx (ω＞0)，f (x 1)＝0，f (x 2)＝3，且|x 1－x 2|的最小值为π，则ω的值为()A.23B.12C.1D.2解析：Bf (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin(ωx ＋π3)，3是函数的最大值，由题意可知，|x 1－x 2|的最小值是14个周期，所以14×2πω＝π，得ω＝12.三角函数的单调性求三角函数的单调区间例3已知函数f (x )＝2cos(π4－3x )，x ∈[－π2，π2]，则f (x )的单调递增区间是()A.[－π2，0]B.[－π4，π12]C.[－π2，－π4]，[π12，5π12]D.[－π4，π12]，[5π12，π2]解析：Df (x )＝2cos(π4－3x )可化为f (x )＝2cos(3x －π4)，故单调增区间：2k π－π≤3x －π4≤2k π，k ∈Z ，解得23k π－π4≤x ≤23k π＋π12，k ∈Z .令k ＝0，－π4≤x ≤π12，令k ＝1，512π≤x ≤34π.∵x ∈[－π2，π2]，所以f (x )的单调递增区间是[－π4，π12]，[5π12，π2].根据函数的单调性求参数例4(1)(2024·绵阳模拟)若函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，则实数a 的取值范围是()A.(0，π6]B.(0，π3]C.[π6，π3] D.[π6，5π6]解析：A 因为x ∈(－a ，a )，所以有a ＞0，且0∈(－a ，a )，因为函数f (x )＝sin(x ＋π3)在(－a ，a )上是增函数，＋π3≤π2，a ＋π3≥－π2⇒a ≤π6，∴0＜a ≤π6.(2)(2024·长沙长郡中学模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω＞0)恒有f (x )≤f (2π)，且f (x )在[－π6，π3]上单调递增，则ω的值为()A.56B.16C.76D.16或76解析：B因为恒有f (x )≤f (2π)，所以当x ＝2π时f (x )取得最大值，所以2πω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，得ω＝16＋k，k∈Z.因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以π3－(－π6)≤T2，即2πω≥π，得0＜ω≤2.因为x∈[－π6，π3]，所以ωx＋π6∈[－π6ω＋π6，π3ω＋π6].因为f(x)在[－π6，π3]上单调递增，所以－π6ω＋π6≥－π2＋2kπ，＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得≤4－12k，≤1＋6k，k∈Z.所以4－12k＞0，且1＋6k＞0，k∈Z，解得－16＜k＜13，k∈Z.故k＝0，ω＝16.反思感悟1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练3(1)(2024·西安模拟)下列区间中，函数f(x)＝3sin x－cos x单调递增的区间是()A.(0，π2)B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析：A 由题意得，f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)，令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π3≤x ≤23π，当k ＝1时，53π≤x ≤83π，因为(0，π2)⊆[－π3，23π]，所以(0，π2)是一个单调递增的区间.故选A.(2)已知a ＝sin 1，b ＝sin 32，c ＝sin 2，则()A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：D 由三角函数的诱导公式，可得sin 2＝sin(π－2)，因为0＜1＜π－2＜32＜π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，所以sin 1＜sin(π－2)＜sin 32，即a ＜c ＜b .(3)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π解析：A f (x )＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，由题意得a ＞0，因为f (x )＝2cos(x ＋π4)在[－a ，a ]上是减函数，a ＋π4≥0，＋π4≤π，＞0，解得0＜a ≤π4，所以a 的最大值是π4.限时规范训练(二十八)A 级基础落实练1.(2024·湖南联考)函数f (x )＝6sin x 4cos x4－2的最小正周期和最小值分别是()A.π和－5 B.π和－3C.4π和－5 D.4π和－3解析：Cf (x )＝6sin x 4cos x 4－2＝3sin x2－2，则f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π，当x 2＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，f (x )取到最小值为－5.2.函数y ＝16－x 2lg （sin x ）的定义域是()A.[－4，4]B.[－4，π2)∪(π2，4]C.[－4，－π)∪(0，π)D.[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π)解析：D y＝16－x2lg（sin x）有意义满足－x2≥0，x＞0，（sin x）≠0，即4≤x≤4，kπ＜x＜π＋2kπ，≠π2＋2kπ(k∈Z)，解得x∈[－4，－π)∪(0，π2)∪(π2，π).故选D.3.已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为()A.(－∞，32] B.[1，32]C.(1，32] D.(－3，2]解析：B由f(x)＝cos2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x，设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0，1]，∴g(t)＝－2(t－12)2＋32，∴g(t)∈[1，32]，即f(x)＝cos2x＋2sin x的值域为[1，32].4.下列不等式中不成立的是()A.cos(－3π10)＞cos(－4π9)B.sin507°＜sin145°C.tan(－π5)＜tan(－3π7)D.sin4＜cos4解析：C因为余弦函数y＝cos x是偶函数，比较cos310π与cos49π即可，因为0＜3π10＜4π9＜π2，所以cos3π10＞cos4π9，即cos(－3π10)＞cos(－4π9)，A 正确；sin 507°＝sin 147°，正弦函数y ＝sin x 在(90°，180°)上单调递减，且90°＜145°＜147°＜180°，所以sin 147°＜sin 145°，即sin 507°＜sin 145°，B 正确；因为－π2＜－3π7＜－π5＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)内单调递增，所以tan(－3π7)＜tan(－π5)，C 错误；因为5π4＜4＜3π2，则sin 4＜cos 4＜0，D 正确.5.(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，直线x＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则f (－5π12)＝()A.－32B.－12C.12 D.32解析：D 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间(π6，2π3)单调递增，所以T 2＝2π3－π6＝π2，且ω＞0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝sin(2x －5π6)，则f (－5π12＝sin(－5π3)＝32.故选D.6.(多选)已知函数f (x )＝tan(2x －π4)，下列结论正确的是()A.函数f (x )的最小正周期为π2B.函数f (x )的定义域为{x )x ≠k π2＋π8，k ∈Z }C.函数f (x )图象的对称中心为(k π4＋π8，0)，k ∈ZD.函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z解析：ACD对于A ，函数f (x )＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2，所以A 正确；对于B ，令2x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π8＋k π2，k ∈Z ，即函数f (x )的定义|x ≠3π8＋k π2，k ∈B 错误；对于C ，令2x －π4＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的图象关于点(k π4＋π8，0)，k ∈Z 对称，所以C 正确；对于D ，令k π－π2＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－π8＜x ＜k π2＋3π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为(k π2－π8，k π2＋3π8)，k ∈Z ，所以D 正确.故选ACD.7.设φ＞0，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)为偶函数，则φ的最小值为.解析：f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2[12sin(2x ＋φ)－32cos(2x ＋φ)]＝2[sin(2x ＋φ)cos π3－cos(2x ＋φ)sin π3]＝2sin(2x ＋φ－π3)，∵f (x )为偶函数，所以φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6，又φ＞0，∴当k ＝0时，φ的最小值为5π6.答案：5π68.已知直线x ＝π3和x ＝5π6是曲线y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个φ的值是.解析：由条件可知πω＝5π6－π3＝π2，得ω＝2，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝1时，φ＝5π6.故答案为5π6(答案不唯一).答案：5π6(答案不唯一)9.设函数f (x )＝sin(ωx －π6)＋k (ω＞0)，若f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值等于.解析：f (x )≤f (π3)对任意的实数x 都成立，∴sin(ωx －π6)＋k ≤sin(ωπ3－π6)＋k ，∴sin(ωπ3－π6)＝1，∴ωπ3－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又ω＞0，∴ωmin ＝2.答案：210.已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域.解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，所以f (x )最小正周期为π，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得单调递减区间是[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z ).(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π3∈[π3，4π3]，则2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )有最小值为－3，2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )有最大值为2，所以此时f (x )的值域为[－3，2].11.(2024·南京模拟)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω＞0.(1)若函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求f (3π2)的值；(2)若函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，且函数f (x )在[0，π4]上单调，求ω的值.解：(1)因为f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2(12sin ωx －32cos ωx )＝2sin(ωx －π3)，因为函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π3)，所以f (3π2)＝2sin(2×3π2－π3)＝2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝2sin(ωx －π3)，函数f (x )的图象关于(π3，0)对称，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈[0，π4]，ω＞0，则ωx －π3∈[－π3，πω4－π3]，又函数f (x )在[0，π4]上单调，－π3≤π2，0，解得0＜ω≤103，所以当k ＝0时ω＝1.B 级能力提升练12.(2023·镇江二模)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)在(0，π3)上存在零点，且在(π2，3π4)上单调，则ω的取值范围为()A.(2，4)B.[2，72]C.[73，269]D.[73，4]解析：C化简f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，在x ∈(0，π3)时，ωx ＋π3∈(π3，π3ω＋π3)，该区间上有零点，故π3ω＋π3＞π⇒ω＞2，又x ∈(π2，3π4)时f (x )单调，则T ＝2πω≥2(3π4－π2)⇒ω≤4，即ω∈(2，4]，＜ωπ2＋π3≤7π3，＜3ωπ4＋π3≤10π3ωπ2＋π3，＋π3≤5π2⇒ω∈[73，269].13.(多选)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，则下列结论正确的是()A.点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心B.直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在[0，π]上有两个零点D.函数f (x )在[0，π]上有三个极值点解析：AC对于函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，当x ＝3π8时，f (x )＝1，结合正弦函数图象的对称性，可得点(3π8，1)是函数f (x )图象的一个对称中心，故A 正确，B 错误；当x ∈[0，π]时，2x ＋π4∈[π4，9π4]，故当2x ＋π4＝7π6或11π6时，f (x )＝0，故函数f (x )在[0，π]上有两个零点，C 正确；当2x ＋π4＝π2或3π2时，函数f (x )取得极值，故函数f (x )在[0，π]上有两个极值点，D 错误.故选AC.14.(2024·盐城模拟)已知函数f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b (a ＞0)的值域为[－1，3].(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，求ω的取值范围.解：(1)f (x )＝2a sin ax ＋a cos(ax ＋π4)＋b＝2a sin ax ＋a (22cos ax －22sin ax )＋b ＝22a sin ax ＋22a cos ax ＋b ＝a sin(ax ＋π4)＋b ，因为a ＞0，且函数f (x )的值域为[－1，3]，a ＋b ＝－1，＋b ＝3，＝2，＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )可得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，因此，函数f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z ).(2)因为f (ωx )＝2sin(2ωx ＋π4)＋1，由于0≤x ≤π6，则π4≤2ωx ＋π4≤πω3＋π4，由f (ωx )＝0可得sin(2ωx ＋π4)＝－12，因为f (ωx )(ω＞0)在[0，π6]上恰有一个零点，则7π6≤πω3＋π4＜11π6，解得114≤ω＜194.因此，ω的取值范围是[114，194).。
5.4.3 正切函数的性质与图象知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难]1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P 210思考 可以先考察函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． [基础自测]1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎭3，则函数f (x )的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．π D．2π解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2.解法二 由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.答案：＜题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．1＋tan x 需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z. 求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠k π＋π2k∈Z 等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z(2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 解析：(1)函数y ＝1tan x有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x {x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x {x ≠k π2，k ∈Z }.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．答案：(1)D (2)见解析 (1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x≠k π＋π2，k∈Z题型二 正切函数的单调性及其应用 例2求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调区间．【解析】 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4.由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调递减区间为（－π12＋k π3，π4＋k π3）(k ∈Z )．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k∈Z)解出x 即可.方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是（2k π－π2，2k π＋32π），k ∈Z .题型三 正切函数图象与性质的综合应用[教材P 212例6] 例3求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3的定义域、周期及单调区间．【解析】 自变量x 的取值应满足 π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以，函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k ＋13，k ∈Z .设z ＝π2x ＋π3，又tan(z ＋π)＝tan z ，所以tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.因为∀x ∈{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }都有tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，所以，函数的周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z 解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z上单调递增.利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 教材反思解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解析：(1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是{x x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是{x π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z }.由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点．思想方法 与三角函数相关的函数零点问题 例 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，32π时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．【分析】 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根，也就是y ＝tan x 与y ＝sin x 交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【解析】 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sinx在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．课时作业 36 一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为()A.π4B.π2C ．π D．2π解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4.方法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4.答案：A2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：tan 5＝t an[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．答案：C4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z ) D.()k π，0(k ∈Z ) 解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan2x的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B. 答案：B 二、填空题5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋6x 的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3] 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________．解析：最小正周期T ＝π2；由k π2＝2x －π4(k ∈Z )得x ＝k π4＋π8(k ∈Z )．∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z )． 答案：π2；⎝⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z ) 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解析：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z，T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ， 得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5. [尖子生题库]10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．解析：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2k ∈Z －tan x ，k π－π2<x <k πk ∈Z，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图． 由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数． 函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。
