北师大版 5 简单的幂函数学导学案

y x-3-2-1-3-2-143432121《幂函数》导学案【学习目标】1.了解幂函数的形式，会判断是否是幂函数；2、了解幂函数的图象与性质；3、体会幂函数的变化规律并能进行简单的应用；【课前导学】阅读课本P77～78的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.以上5个函数解析式的共同特征是____________________________________________。

定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.【预习自测】1、判断下列函数哪些是幂函数，其中是幂函数的序号是 ；①1y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。

2、已知幂函数()y f x =的图象过点2)，试求出这个函数的解析式；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究任务：幂函数的图象与性质探究一：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）2y x =；（3）3y x =；（4）12y x =；（5）1y x -=． 从图象分析出幂函数所具有的性质.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性定点探究二：证明幂函数()f x x =∞[0，+）上是增函数。

【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、下列所给的函数中，是幂函数的是（ ） A 、3y x =- B 、3y x -= C 、32y x = D 、31y x =-2、下列命题中正确的是（ ）A 、当0α=时，函数y x α=是一条直线；B 、幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C 、若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D 、幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定4、 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a5、已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，试求出这个函数的解析式；并作出图象，判断奇偶性、单调性。

4.2简单幂函数的图象和性质【学习目标】1.掌握幂函数的概念和定义.2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤.3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养.◆知识点幂函数1.幂函数的定义:一般地,形如(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.2.简单幂函数的图象和性质(1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点.(2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=-x2是幂函数.()(2)函数y=x-1是幂函数.()(3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ()(4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(5)当n<0时,幂函数y=x n是定义域上的减函数.()◆探究点一幂函数的定义例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 ()A.4B.3C.2D.1(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2是幂函数,则实数m= ()A.2或-1B.-1C.4D.2[素养小结]在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项.◆探究点二幂函数的图象的认识例2已知函数①y=x a,②y=x b,③y=x c,④y=x d的大致图象如图所示,则有理数a,b,c,d的大小关系为()A.d<c<b<aB.a<d<c<bC.b<c<a<dD.a<c<d<b变式已知幂函数f(x)的图象过点(2,14),则f(x)的大致图象为()A B C D[素养小结](1)依据图象高低判断幂函数的指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂函数的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x 12或y=x3的图象)来判断.◆探究点三幂函数性质的应用例3 (1)已知幂函数y=x p3(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则()A .p 为奇数,且p>0B .p 为奇数,且p<0C .p 为偶数,且p>0D .p 为偶数,且p<0(2)比较下列各题中两个值的大小.①2.334,2.434;②(√2)-32,(√3)-32.变式 (1)已知a=(87)13,b=1.213,c=(78)13,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<a<bB .c<b<aC .a<b<cD .a<c<b(2)若幂函数f (x )的图象过点(-2,-12),则f (x )在[1,3]上的最大值为 ( )A .13 B .-1 C .1D .-3(3)已知幂函数f (x )=m x m -12满足f (3-a )>f (a ),则实数a 的取值范围是 .[素养小结]1.比较幂函数的函数值大小的方法:(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.(2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解.4.2 简单幂函数的图象和性质【课前预习】知识点1.y=x α2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减 诊断分析(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x 2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,y=x -1是幂函数.(3)只有当α>0时,幂函数y=x α的图象才同时过点(0,0)和点(1,1).(4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=x α(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交. (5)如函数y=x -1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)C (2)A [解析] (1)幂函数的一般表达式为y=x α(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x 3,⑤y=x ,共2个.故选C .(2)由幂函数的定义知m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A .探究点二例2 B [解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0<d<1,所以a<d<c<b.故选B . 变式 B [解析] 因为函数f (x )为幂函数,所以设f (x )=x a ,由f (2)=2a =14,可得a=-2,所以f (x )=x -2=1x2,则x ≠0,所以函数f (x )的定义域为{x|x ≠0},排除A,C,D,故选B .探究点三例3 (1)D [解析] 因为函数y=x p 3(p ∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数y=x p 3为偶函数,即p 为偶数.由题图知函数y=x p 3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,则有p3<0,所以p<0.故选D .(2)解:①因为y=x 34为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4, 所以2.334<2.434.②因为y=x -32为(0,+∞)上的减函数,且√2<√3,所以(√2)-32>(√3)-32.变式 (1)A (2)C (3)[0,32) [解析] (1)因为a=(87)13,b=(65)13,c=(78)13,且y=x 13在[0,+∞)上单调递增,65>87>78>0,所以(65)13>(87)13>(78)13,即b>a>c.故选A .(2)设幂函数f (x )=x α,将(-2,-12)代入,得(-2)α=-12,解得α=-1,则f (x )=x -1,它在[1,3]上单调递减,故f (x )在[1,3]上的最大值为f (1)=1.故选C .(3)因为f (x )=m x m -12为幂函数,所以m=1,则f (x )=x 12,故f (x )的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f (3-a )>f (a ),可得{3-a ≥0,a ≥0,3-a >a ,解得0≤a<32,故a 的取值范围为[0,32).。

§5 简单的幂函数一、课标三维目标：1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

二、教学重点与难点：重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。

难点：判断函数的奇偶性。

三、学法指导：通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。

四、教学方法：对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归纳总结的能力。

五、教学过程：（一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型）1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数p=x元,这里p是s的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里v 是t的函数.【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。

）（二）探究幂函数的概念、图象和性质1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y = xα，这样的函数称为幂函数．如【练】为了加深对定义的理解，让学生判别下列函数中有几个幂函数？22x 23212(1)y =x +x (2)y = (3)y = (4)y =2 (5)y =2x (6)y =x x x 2.幂函数的图象和性质【1】通过几何画板演示让学生认识到，幂函数的图象因a 的不同而形状各异【2】引导学生从5个具体幂函数的图象入手，研究幂函数的性质① 画出12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象（重点画y=x 3和y=x 1/2的图象----学生画，再用几何画板演示）学生活动：1.学生自己说出作图步骤，交流讨论单调性。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.9集体备课 个人空间一、课题：2.5简单的幂函数二、学习目标1、理解幂函数的概念，会利用定义证明简单函数的奇偶性；2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法；3、类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像和性质；4、进一步渗透数形结合与类比的思想方法，体会幂函数的变化；三、教学过程【温故知新】在初中我们已经熟悉这3种函数的解析式：21),)(1(,x y x y xy x y ====- 问题1、请指出这3个函数解析式的异同点。

【导学释疑】幂函数的概念：如果一个函数，底数是 ，指数是 。

问题1、判断下列函数是否为幂函数.（1）4()f x x = ； （2）3()(2)f x x =-； （3）31y x x -=-；（4）5y x -= ； （5）2y x -=- ； （6）32y x -=。

【巩固提升】例1画出函数3()f x x =的图像，讨论其单调性。

解：先列出x ，y 的对应值表再用描点法画出图像。

练习、利用同样的方法画出函数2)(x x f =的图像，讨论其单调性。

xy问题2、观察3()f x x =的图像，图像关于______对称；观察2()f x x =的图像，图像关于_______对称。

函数的奇偶性：（1）奇函数：（2）偶函数：例2、判断函数5()2f x x =-、4()2g x x =+及2()23h x x x =++的奇偶性。

注：函数具有奇偶性的前提是：定义域关于__________对称。

【检测反馈】1、函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它在[-b,-a]上是（ ）A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增2、判断下列函数的奇偶性35(1)()f x x x =+ (]2(2)(),3,3f x x x =∈-2(3)()33f x x =-3、见教材P 50页动手实践。

《幂函数》导学案【学习目标】1．知识与技能：（1）了解简单幂函数的概念；会利用定义证明简单幂函数的奇偶性（2）了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

2．过程与方法：类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像与性质3．情感、态度、价值观：引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图与画图中获得学习的快乐。

【学习重点】幂函数的概念和奇偶函数的概念【学习难点】简单的幂函数的图像性质。

函数奇偶性的判断。

一、【学习过程】知识链接：1.如何画函数图象？2.如何研究一个函数？研究函数性质从那几方面入手？二、预习：1.幂函数的定义： 2.在同一坐标系中画出下列函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-x … … y ＝x 3 ……x … … y ＝x 31……三、新课探究(一)、情景设置：阅读材料并填空：(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p = 元(2) 如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积 S=(3) 如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积V=(4)如果一个正方形场地的面积为S ,那么这个正方形的边长a=(5)如果人t 秒内骑车行进了1 km ,那么他骑车的平均速度v=若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:(二)、新课探究1.幂函数： 强调结构：2.图像与性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 21y ＝x 1-定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点○1.所有的幂函数在 都有定义,并且函数图象都通过点 ; ○2.如果a>0,则幂函数的图象过点 并在(0,+∞)上为 (增、减)函数; ○3.如果a<0,则幂函数的图象过点 ,并在(0,+∞)上为 (增、减)函数; 例1.已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(3，1/9)求函数解析式3、奇偶函数的概念一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，即有 如f(x)=x 3图像关于轴对称的函数叫偶函数，即有 如f(x)=x 2例、判断函数f(x)=-2x 5和f(x)=-x 4+2的奇偶性 练习：1.P80动手实践 完成书中图2-302.求下列幂函数的定义域：（1）y ＝x 52（2）y ＝x 31（3）y ＝x 43（4）y ＝x 2-（四）、随堂练习1.如图所示，曲线是幂函数 y = x k 在第一象限内的图象，已知 k 分别取 212,1,1-，四个值，则相应图象依次为:________2．比较下列各组中两个值的大小①0.7521，0.7621；②(-0.95)31，(-0.96)31；③0.313.2，0.314.23．通过图像求下列函数的定义域和值域4．(1)y ＝x 23 (2)y ＝x 72 (3)y ＝x 53。

5 简单的幂函数教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

重点难点：1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

教学过程：一、情景引入(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x =(4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y =(5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1y x=以上问题中的函数有什么共同特征？y x = 2y x = 3y x = y =12()y x = 1y x= 1()y x -=答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数.具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数.(1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21(6)y x=仅(3)⑹是幂函数2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表：描点连线：图像特征:⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()33f x x x f x -=-=-=-即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=-３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()22f x x x f x -=-==即()()f x f x -=，像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=注：①如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；②根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；③注意：“任意”、“都有”等关键词，奇偶性是函数的整体性 ④奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑤奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；三、典型例题例2 判断()52f x x =-和4()2g x x =+的奇偶性. 【课本49页动手实践】 四、课堂训练1、画出下列函数的图像,判断其奇偶性.3(1)y x=- 2(2)y x ,x (3,3]=∈- 2(3)y x 3=- 2(4)y 2(x 1)1=++ 2、判断⑴函数()y f x =在定义域R 上是奇函数,且在](,0-∞上是增加的的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是增加的. (正确)⑵函数()y f x =在定义域R 上是偶函数,且在](,0-∞上是减少的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是减少的. (错误)3、⑴已知奇函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= . ⑵已知偶函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= .4、二次函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数,则()f x 在](,0-∞上是5、设()f x 为定义在R 上的偶函数,且()f x 在)0,+∞⎡⎣上是增加的,则(2),(3),(4)f f f --由小到大的排列顺序为五、小结1.几种简单幂函数的图像及性质.2.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法()y f x=是奇函数. 图像关于y ()y f x =是偶函数.(2)解析法 ()()f x f -=-()y f x =为奇函数 ()()f x f x -=()y f x =为偶函数六、补充1、常见幂函数图像（右图）2、总结幂函数性质⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图象都过点()1,1（原因：11x =）；⑵0a >时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.⑶0a <时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.。

北师大版高中必修15简单的幂函数教学设计一、教学目标1.能够理解幂函数的定义和性质；2.能够通过观察函数图像和求函数值的方法来理解幂函数的变化规律；3.能够通过数值计算和函数图像分析的方法来求解幂函数的相关问题；4.能够通过练习巩固所学内容，并积累解决问题的方法和技巧。

二、教学内容与教学方法1. 教学内容1.幂函数的定义和性质；2.幂函数的变化规律；3.幂函数在一定条件下的应用。

2. 教学方法1.授课讲解：通过教师讲解幂函数的定义和性质，引导学生理解幂函数的概念和特点；2.活动探究：通过给出一些幂函数的图像，让学生观察并总结出幂函数的变化规律；3.练习巩固：通过练习题巩固所学内容，并帮助学生积累解决问题的方法和技巧；4.课堂讨论：通过课堂讨论，让学生分享解题方法和思路，促进彼此之间的学习。

三、教学过程与课时安排1. 第1课时教学内容1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质。

教学过程1.通过讲解幂函数的定义和性质，引导学生掌握幂函数的概念和特点；2.通过幂函数的图像和性质，帮助学生了解幂函数的变化规律，并理解幂函数的数学意义。

2. 第2课时教学内容1.幂函数的变化规律；2.幂函数的应用。

教学过程1.通过一些幂函数的图像，让学生观察并总结出幂函数的变化规律；2.通过幂函数的应用，让学生了解幂函数在一定条件下的应用，并培养学生解决实际问题的能力。

3. 第3课时教学内容1.幂函数的应用；2.练习巩固。

教学过程1.通过幂函数的应用，让学生掌握幂函数在实际问题中的应用方法；2.通过练习题巩固所学内容，并帮助学生积累解决问题的方法和技巧。

4. 第4课时教学内容1.练习巩固；2.课堂讨论。

教学过程1.通过练习题巩固所学内容；2.通过课堂讨论，让学生分享解题方法和思路，促进彼此之间的学习。

四、教学评价1.能够根据幂函数的定义和性质，正确解释幂函数的特点；2.能够通过观察函数图像和求函数值的方法来理解幂函数的变化规律；3.能够通过数值计算和函数图像分析的方法来求解幂函数的相关问题；4.能够通过练习巩固所学内容，并积累解决问题的方法和技巧。

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

幂函数导学案幂函数是一种常见的基础函数，其形式为y=ax^n，其中a为常数，n为整数。

在学习幂函数的过程中，我们需要了解其导数的计算方法以及一些常见的性质。

本导学案将针对幂函数的导数进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、导数的定义在学习幂函数的导数之前，我们先来回顾一下导数的定义。

导数描述了函数在某一点处的变化率，可以通过极限的定义来计算。

对于函数y=f(x)，其导数f'(x)的定义可以表示为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h (h→0)其中，h表示自变量x的增量。

当h趋近于0时，得到函数在点x 处的导数。

二、幂函数的导数计算1. 当幂函数为y=ax^n时，其中a为常数，n为整数时，我们可以通过以下公式计算其导数：dy / dx = n * ax^(n-1)即，幂函数的导数等于指数n乘以系数a再乘以x的n-1次方。

2. 举例说明：对于函数y=3x^2，其导数为：dy / dx = 2 * 3x^(2-1) = 6x因此，函数y=3x^2的导数为6x。

3. 特殊情况：当幂函数为y=ax^0时，即y=a时，其导数为0。

因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。

三、常见幂函数的导数性质1. 幂函数导数的线性：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，其中a、b为常数，n、m为整数，则有：f(x) ± g(x) = f'(x) ± g'(x)即，幂函数的导数是具有线性性质的。

2. 幂函数导数的乘积法则：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，则有：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)即，幂函数的导数在求导乘积时遵循乘积法则。

四、综合练习1. 求以下函数的导数：（1）y=5x^3 - 2x^2解：y' = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) = 15x^2 - 4x（2）y=2x^4 + 3x^3 - x解：y' = 4 * 2x^(4-1) + 3 * 3x^(3-1) - 1 = 8x^3 + 9x^2 - 12. 若f(x) = x^2，g(x) = 3x，则求f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)的导数。

子洲三中 数学 导学案2011-2012学年第 学期 年级 班 组 姓名 编写者 王治强 审核者 使用时间2012年 月 日 课题 ：简单的幂函数 课时：第八课时 学习目标1、 通过具体实例了解幂函数的概念、图象和简单性2、 掌握奇函数，偶函数的概念及函数奇偶性的判断方法 学习方法：观察法，定义法，交流法相。

自主学习： 1.幂函数的概念：幂函数是指 的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数．例如：3212,,x y x y x y ===说明:(幂函数的图像和性质与幂指数α有关，当α>0时，图像过原点，且在[0，＋∞)上为增函数，当α<0时，图像不过原点，且在(0，＋∞)上为减函数.]2.奇偶函数的概念一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，即有 如f(x)=x 3图像关于轴对称的函数叫偶函数，即有 如f(x)=x 2 合作交流：1.在同一坐标系中作出下列函数的图象并观察其性质.（1）x y =； （2）2x y =；（3）1-=x y ； （4）3x y =．（5）2-=x y2.已知函数352)1()(----=m x m x x f ，m 为何值时，f (x )： (1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是二次函数？达标检测： A 级：1.在函数y ＝1x3，212x y =，y ＝x 3＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．32.已知点M (33，33)在幂函数f (x )的图像上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝x －3C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝x －123.幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图像如图所示，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 4.若函数f (x )＝3x (x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数 5.若函数y ＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．26.幂函数y ＝f (x )的图像经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是________．7讨论下列函数的奇偶性：B 级：已知下列二次函数，确定图像的开口方向，对称轴，顶点，最大值或最小值，奇偶性，单调性，指出函数增加或减少的区间，并画出图像： （1） （2）（3）C 级：幂函数3222)1(----=m m x m m y 当x ∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m 的值．课堂小结：板书设计：布置作业：教后反思：242y x x =-+-226y x x =--23;y x =-(]2223(1).();(2).(),3,3;(3).()33;(4).()2(1)1f x x f x x x f x x f x x =-=∈-=-=++。

《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。

2.3 幂函数学案课前预习学案一、预习目标预习“五个具体的幂函数”，初步认识幂函数的概念和性质。

二、预习内容1．写出下列函数的定义域，并画出函数图象、指出函数的单调性和奇偶性：12133243252(1)(2)(3)(4)(5)(6)y xy xy x y x y xy x ---= = = = ==2．下列四个命题中正确的为 （ ） A ．幂函数的图象都经过B ．当n<0时，幂函数 的值在定义域内随x 的值增大而减小C ．幂函数的图象不可能出现在第四象限内D ．当n=0时，幂函数图象是一条直线 3．下列各式中正确的是 （ ）A ．－2.4 <(－4.2)B ．(65)21-<(54)21- C ．(－π) >(－2 ) D ．(－π) <54．幂函数的图象过点(2, 4 ), 则它的单调递增区间是。

A ．(0, ＋∞)B ．[0, ＋∞)C ．(－∞, 0)D ．(－∞, ＋∞) 5．已知幂函数 的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m=__ ___三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

学习重难点：能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，概括出幂函数的性质。

二、学习过程探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w本，则需支付p w=元，这里p是w的函数. 新知：一般地，形如y xα=()a R∈的函数称为幂函数，其中α为常数.试试：判断下列函数哪些是幂函数.①1yx=；②22y x=；③3y x x=-；④1y=.探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）y x=；（2）12y x=；（3）2y x=；（4）1y x-=；（5）3y x=．从图象分析出幂函数所具有的性质.观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点三、典型例题例1讨论()f x x=在[0,)+∞的单调性.变式训练一：讨论3()f x x=的单调性.例2比较大小：（1） 1.5(1)a+与 1.5(0)a a>；（2）223(2)a-+与232-；（3）121.1-与120.9-.变式训练二练1. 讨论函数23y x=的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性.练2. 比大小：（1）342.3与342.4；（2）650.31与650.35；（3）32(2)-与32(3)-.四、反思总结幂函数y xα=的图象，在第象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y轴和直线1x=之间，图象由上至下，指数α.五、当堂达标1. 若幂函数()f x xα=在(0,)+∞上是增函数，则（）.A．α>0 B．α<0C．α=0 D．不能确定2. 函数43y x=的图象是（）.A. B. C. D.3. 若11221.1,0.9a b-==，那么下列不等式成立的是（）.A．a<l<b B．1<a<bC．b<l<a D．1<b<a课后练习与提高一、 选择题1、下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y = D ．13-=x y 2、下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限3、如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--.5. 已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则它的解析式为 .6.若幂函数xm m m m y )332(22+---=的图象不过原点，求：m 值。

《简单的幂函数》教学设计一、教学内容分析：《简单的幂函数》是《普通高中课程标准实验教科书·数学》北师大版必修1第2章第5节的内容。

是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2xy 及其他们的图象和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质----奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

二、学生学习情况分析幂函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的单调性的基础上进行研究的。

学生在初中已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数，那么幂函数是六种初等函数的一种。

其实一些简单的幂函数学生已经很熟悉，所以本节课引入很自然，但是通过一些幂函数图象的对称性，引入奇偶函数的概念，学生会有些的困难，特别是要学生找到判断函数奇偶性的方法更是困难的。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我通过情景创设引导学生从初中学过的函数出发，认识幂函数，体会引入奇偶函数的定义．在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

1在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

2通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。