信息光学1.3 卷积和相关

rect( x )
1
a
a 2
0
a 2
x
先求矩形函数的傅里叶变换 请同学业们动手推导
F {rect(x/a)} rect( x )e j2xdx
a
a
2 a
e j 2xdx
1
j2
j 2 a
j 2 a
(e 2 e 2 )
2
sina a sina a sinc(a)
a
F {rect(y/a)} a sinc(a)
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个 序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换， 然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变 换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义 傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变 换。
( x n)
a
( x na )
a
n a
n
因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数
com b( x )
a
cn exp(
n
j 2n
x) a
其中
a
a
c0
1 a
a
2 a
2
f ( x) dx
1 a
a
2 a
2
a
n
(
x
na)dx
1
a
a
2 a
a
(
x
)dx
2
1
1
cn a
a
2 a
2
a
n
1

03. 数学基础3： 卷积
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1

1 函数()y x f ,与δ函数的卷积()()()()()⎰⎰∞∞-=--=y x f d d y x f y x y x f ,,,,*,βαβαδβαδ即任意函数()y x f ,与δ函数的卷积，得出函数()y x f ,本身，而()()()0000,,*,y y x x f y y x x y x f --=--δ2 相关定理（维纳——辛钦定理）互相关 两个函数()y x f ,和()y x g ,的无相关定义为含参变量的无穷积分，即()()()()()y x g y x f d d g y x f y x R fg ,,,,,*☆=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα或 ()()()()()y x g y x f d d y x g y x f y x R fg ,,,,,*☆=++=⎰⎰∞∞-βαβα互相关卷积表达式：()()()()y x g y x f y x g y x f ,*,,,*--=☆性质：（1）()()y x R y x R fg gf ,,≠，即互相关不具有交换性，而有()()y x R y x R fg gf --=,,*（2）()()()0,00,0,2gg ff fg R R y x R ≤自相关 当()()y x g y x f ,,=时，即得到函数f 的自相关定义式()()()()()y x f y x f d d f y x f y x R ff ,,,,,*☆=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα和 ()()()y x f y x f y x R ff ,*,,*--=性质：（1）自相关函数具有厄密对称性()()y x R y x R ff ff --=,,* 当()y x f ,是实函数时，()y x R ff ,是偶函数 （2）()()0,0,ff ff R y x R ≤ 3 傅立叶变换傅立叶变换对：正变换⎰⎰+∞∞-+-=dxdy y f x f j y x f f f F y x y x )(2ex p[),(),(π逆变换⎰⎰+∞∞-+=y x y x y x df df y f x f j f f F y x f )(2ex p[),(),(π频谱函数),(y x f f F 一般是复函数，因此：[]),(exp ),(),(y x y x y x f f i f f F f f F φ= 傅立叶变换的重要性质：（1）线性a,b 为任意常数（2）缩放定理 （3）位移定理 [])(2exp ),(),(b f a f i f f F b y a x f y x y x +±⇔±±π),()](2exp[),(ηξηξπ y x f f F y x i y x f ⇔+±),(),(y x bg y x af +⇔(,)(,)x y x y aF f f bG f f +),(by ax g 1(,)yx f f G ab a b ⇔（4）卷积定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f *⇔⇔*（5）互相关定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f ⊗⇔⇔⊗***由互相关定理可以推导出自相关定理。

信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。

1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。

1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。

于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。