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信息光学基础1-6傅里叶变换性质

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傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件

傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件

第 29 页
2Eej24E2Eej2 j 2F 2 F
F 12 2 E ej24 E 2 E e j2
122Eej22ej2
2 E 2 ej4 e j4 2 2 E 2 2jsi4 n 2
2
8E2
s
in 4
2
4
精品4课件2
ESa2
2 4
29
X
例3-7-8
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
精品课件
9
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
2．例
ut 1 1sgntF 1
22
j
精品课件
5
三．奇偶虚实性
若 f( t) F () ， f( t)则 F ( )
证明：
由定义
F f(t)f(t)e jtd tF ()
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e j td t f ( u ) e j u d u F ( )
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移 t0左 右
t0 t0
时移加尺度变换
若 f(t)F() 则fatb1Fejab
a a
仿at
1 a
t的证
精品课件
明
过
程
11
六．频移特性
1．性质
若f(t) F()
则ff((tt))e e j j 0t0t F F 00 0为常数号 ，注
2．证明

信息光学课件 透镜的傅里叶变换性质

信息光学课件 透镜的傅里叶变换性质
P1 p2 p3
p4
P2 面的光场为 f (x, y) 对入射光的菲涅耳衍射：
UP2
U P1
h，h
1 i z
（略去相位因子 e e ikz
ik ( x2 y2 ) 2z
ikz
ei
）
UP2
1 d1
f (x, y) ei (x2 y2 ) ，
k 2d1
P3 面场分布：（U P2 乘以 P2 (x, y) ）
1 i f
ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
F
(
f
x
,
fy)
透镜后焦面物的傅立叶谱含有一位相位因子 ei f
f
(
f
2 x
f
2 y
)
，（空间频谱
按一定比例缩放）。
2，物置于透镜前的傅立叶变换关系。
首先作向化处理：
a，忽略透镜孔径影响， P(x, y) =1。
b，单位振幅平面波垂直照明，在透镜后焦面观察衍射场。
d2 f ；
则，
g(x, y)
1
i (1 d1 )( x2 y2 )
e f f
i2 ( x y )
f ( ,)e f f d d
存在位相弯曲。

（下面讨论特殊情况）
a，物置于透镜前焦面时。
d1
f
， g(x, y) 1
i f
F( fx,
f y ) ，（
fx
x f
，
fy
y f
）
位相弯曲消失：得到准确的傅立叶变换。☆
b，物紧贴透镜前表面。
d1 0
g(x, y)
1 i f

信息光学中的傅里叶变换

信息光学中的傅里叶变换

为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质
−τ / 2
t
Ωτ Ωτ = j 2 ESa sin 4 4
0
τ /2
t
f 2 (t ) = f ′′(t ) =
2E
τ
[δ (t + τ 2 )− 2δ (t ) + δ (t − τ 2 )]
− 4E /τ
f ′′(t ) 如图2-21(c)所示
Ωτ −j j Ω2τ 2E 2 e F2 (Ω ) = +e − 2 τ 2E Ωτ = 2 cos − 2 τ 2 8 E 2 Ωτ =− sin τ 4
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) ， f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
dF (Ω ) ↔ (− jt ) f (t ) 则 dΩ 一般频域微分特性的实用形式为
，使其频谱
搬移到 Ω = Ω 0 附近。反之，频谱在 Ω = Ω 0 附近的高频 信号乘以 e jΩ0t ，其频谱被搬移到附近，这就是解调。 变频是将频谱在 Ω = Ω c 附近的信号 f (t ) 乘以 e jΩ0t ， 使其频谱搬移到 Ω = Ω c − Ω 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
a > 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

§3–4傅里叶变换的性质设f(t) ←→F(jω)，f1(t) ←→F1(jω)，f2(t) ←→F2(jω)；α、α1、α2为实数，则有如下性质：一、线性：α1 f1(t) + α2 f2(t)←→α1F1(jω) + α2 F2(jω)二、对称性：F(jt)←→2πf(-ω)证明：将上式中的t换为ω，将原有的ω换为t，或：，即：F(jt)←→2π f(-ω)P.67例3-3：已知，再令==> ←→2πG(-ω)三、尺度变换：(α≠0的实数)可见信号持续时间与占有频带成反比(此性质易由积分变量代换证得)。

推论(折叠性)：f(-t) ←→F(-jω)四、时移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得)推论(同时具有尺度变换与时移)：P.69-70例3-4请大家浏览。

五、频移性：(此性质易由傅氏变换的定义证得) π.70例3-5请大家浏览。

频移性的重要应用——调制定理：欧拉公式?例如门信号的调制：显然，当ω0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时几乎不失真。

六、时域卷积：f1(t)* f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)证明：时域卷积的重要应用——求零状态响应的频域法：时域：yf(t) = f(t)* h(t) ==> 频域：Y f(jω) = F(jω)H(jω)七、频域卷积：f1(t). f2(t) ←→1/2π[F1(jω)*F2(jω)]八、时域微分性：df(t)/dt←→ jωF(jω) (其证明请自学P.72-73有关内容)推论:条件：例如：d(t) ←→1 ==>δ'(t) ←→jω九、时域积分性：证：故信号t轴上、下面积相等时F(0)=0，否则微分性与积分性是不可逆的。

十、频域微分性：例如：十一、频域积分性：f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。

十二、帕塞瓦尔定理：若f(t)为实函数，则能量表3-2傅里叶变换的基本性质下面再举几个例子说明性质的综合运用。

信息光学中的傅里叶变换

谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
F ( f x , f y )用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j( f x , f y )
F( fx, fy)
( fx, fy)
2
F( fx, fy)
振幅谱 相位谱 功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f (x, y) F( fx , f y ) exp j2 ( fx x f y y) dfxdf y = F -1{F ( f x , f y )}
但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。
因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
三、广义傅里叶变换
4、平移特性
F f ( x x0 , y y0 ) exp j2 ( fx x0 f y y0 ) F ( fx , f y )
F exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y) F ( fx fx0 , f y f y0 )
f (x, y)
f
f (x x0, y y0)
（1）互相关定理
F f ( x , y ) ★g( x , y ) F( fx, fy ) G( fx , f y )

傅里叶变换性质及定理

2
(1-15)
(1-16)
• 将变量t与ω
互换 2f ( ) F (t)e jtdt
所以
2πf(-ω) ←→ F(t)
特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么
F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω)
即有
f () 1 F(t) 2
(1-17)
•
例1-6 已知F1(ω)如图1-10所示， 利
仍以例1-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)
的频谱F0(ω)如图1-7(b)所示。 利用一个
低通滤波器（在后面介绍）， 滤除2ω0附
近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解
调。
(a)
f (t)
f0(t)
低 通 滤波 器
f1(t)
cos0t
F() A 2
A 4
(b) － 20
－0
0
0
A F0() 2
信号与系统
傅里叶变换性质及定理
•
1. 线性
•
若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则
•
af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω)
• 式中, a、 b为任意常数。
(3.3-1)
•证
af1(te jtdt
b
f(-t) ←→ F(-ω)
尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中 就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中 就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。
•
一般时宽有限的信号， 其频宽无限，
反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）
时， 其能量成比例的减少（增加）， 因
此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也

傅里叶变换性质


（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
六．频移特性
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)






频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2








将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O




f t d t f 0


t 0

1 f 0 2 1 2



F e jt d F d
F 0

F d F 0B

B
f t d t

2

2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2

O
(b)

例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4） 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,

傅里叶变换的11个性质公式

傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。

其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。

1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。

2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。

3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。

4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。

5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。

6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。

7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。

8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。

9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。

10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。

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2
f
b 2

e
j
2
f
b 2
]
Hale Waihona Puke j2 f b e j2 fa sin( bf ) bf
b e j2 fa sin c(bf )
解法二： 比例和位移性质
F sin(2
f0 x)

1 2j
[d (
fx

f0 )
d
(
fx

f0 )]
F cos(2
f0 x)
b
解法一：根据傅里叶变换的定义
F 1{rect( x a )} rect( x a ) e j2 fx dx
b

b
b 2

a
e j2 fxdx

b 2
a
j 2 fx
b 2

a
[e ]
b 2

a
j2 f
e j2 fa

[e
j
d(x)
x

d (x a)g(x)dx g(a)
d(x)函数的筛选性质

1 ei2 fxdf d (u)

2）rect 函数的傅里叶变换
f
(x,
y)

rect(x,
y)

1
0
x

1 2
,
y

1 2
其它
解：F{rect(x)}

rect(x)exp(i2 fx)dx

1 2
(ei 2
f0x

ei 2
) f0 x
1 F{ei2 f0x} 1 F{ei2 } f0x
2
2

1 [d (
2
f

f0) d (
f

f0 )]
cos(2f0x)
F{cos(2f0x)}
x 0
-f0 0 +f0
f
5）求函数 rect( x a ) 的傅里叶变换。
4、帕色伐定理
若： F{g(x, y)} G(u, v)

则：
g(x,
y)
2
dxdy




G(u, v)
2
dudv
-
-
物面能量＝频谱面能量
能量守恒定律
信号的能量由 G(u,v) 2 曲线下面积给出， 等于各频率分量的能量之和。
G(u,v) 2 代表能量(功率)谱密度(单位频率间隔的能量或功率)
Optics. Commun. 283, 1213-1216 (2010).
—其他应用：测光栅常数、波长等
FF{{gg((xx,,yy))eejj22 } (nu(axx,yv)b y)} G(un(xu,ay,)v —v随b ) 机数
空(频)域中空的间随域机的相相位移扰带动来会频带域来空频间(空的)域位的置随移机动位. 移.
02 傅里叶变换计算
• 例：求下面几个函数的傅里叶变换
1) d(x) 函数的傅里叶变换
d
(x)

0
if x 0 if x 0

d (x)dx 1

F{d (x)} d (x)exp(i2ux)dx exp(i2 u 0) 1
d(t) 函数的傅里叶变换是 1.
求下列函数的傅里叶变换
1) d (x x ')
2) exp(i2f0x) 3) cos(2f0x)
5) rect( x a ) b
4) sin(2f0x)
F{e } i2 f0x 1 ei2 e f0x i2 fxdx e dx i2 ( f f0 )x
随机位置置乱的用途？
“…备周则意怠，常见则不疑， 阴在阳之内，不在阳之对…” —— 《三十六计》
— 光学信息安全应用
Refregier and B. Javidi, Opt. Lett. 20, 767-769 (1995).
“…We propose a new optical encoding method of images for security applications. The encoded image is obtained by random-phase encoding in both the input and the Fourier planes...”
1 rect(x)
x 1/2 0 1/2
1
*
1 tri(x)
x 01
F.T.
F.T.
sinc2(x) 1
1 rect(x)
x 1/2 0 1/2
F.T.
sinc(u) 1
0 -1 1
x sinc(u ) 1
f
0 -1 1

f
0 -1 1
6、傅里叶积分定理 FF -1{g(x, y)} F -1F{g(x, y)} g(x, y)
卷积的傅里叶变换可以写成傅里叶变换的乘积；反之亦然。
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
证明： F {tri(x)} = sinc2(f )
F{tri(x)}
= F {2re. ct(x)*rect(x)}
= F {rect(x)} • F{rect(x)} = sinc(u) • sinc(u) = sinc2(u)
由位移定理：
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
d ( f f0)
exp (i2f0x)
Im
x
0
Re
x
0
F {exp(i2f0x)}
f 0 f0
3）函数cos(2f0x)的傅里叶变换
F{cos(2 f0x)}
cos(2
f0 x)
FF{g(x, y)} F -1F -1{g(x, y)} g(x, y)
对函数进行FT以及IFT，重新得到原函数.
7、可分离变量函数的FT g(x, y) g(x) g( y) F{g(x, y)} F{g(x)} F{g( y)}
由物空间的可分离性， 可简化谱空间的计算
1
2 exp(i2 fx)dx


1 2

[exp(i2
1
fx)]2
1 2
sin( fx)
sin c( f )
i2 fx
fx
F{rect(x, y)} F{rect(x) rect( y)} F{rect(x)} F{rect( y)} sin c(u) sin c(v) sin c(u, v)
06. 傅里叶变换定理及性质
学习目标： – 掌握傅里叶变换表式. – 掌握傅里叶变换的定理和性质. – 熟悉常见函数的傅里叶变换对.
2016/10/20
– 01 傅里叶变换定理及性质 – 02傅里叶变换计算 – 03常用的傅里叶变换对
4
01 傅里叶变换定理
1. 线性定理
f (x)
F{a f (x) b g(x)} (a ，b是常数)
8、复共轭函数的傅里叶变换
F{g(x)} G(u)


证明： F{g(x)} g(x) exp(i2ux)dx [ g(x) exp(i2 ux)dx]



{ g(x) exp[i(2u)x]dx} G(u)

—— 傅里叶变换定理—图解
( a 为非零实常数)
空域的压缩表现为频域坐标的展宽及频谱幅度的降低.
— 单缝夫琅和费衍射为例：
长长短短删除了， 收放全归掌握中。
——宋 ·释绍昙 《刈茆》
空域的压缩表现为频域的展宽及能量降低, 空域的展宽表现为频域的压缩及能量增加.
3. 位移定理
若： F{g(x, y)} G(u,v)
F{g(x a, y b)} e j2 (uavb)G(u,v)

1 [d (
2
fx

f0) d (
fx

f0 )]
FT comb(x) comb( f )
FT
1

comb(x )

comb(
f
)
03 常用的傅里叶变换对
结合“横岭侧峰”这句话所阐释的意 义，分析振幅和相位谱哪个更重要？
以单缝衍射为例，定量讨论缩放定理应用。
5、卷积定理
若有： F{g(x, y)} G(u, v)
F{h(x, y)} H (u, v)

则： F{ g( ,)h(x , y )dd} G(u, v)H (u, v) -
F{g(x, y) h(x, y)} G(u, v)H (u, v)
F{g(x, y)h(x, y)} G(u, v) H (u, v)
物空间位置的改变 在频域空间是难以察觉的！
物空间的位移带来频域空间的相移， 物空间的相移带来频域空间的位移.
F{g(x, y)e j2 (uaxvb y)} G(u ua , v vb )
干涉法——观察相移
物空间的位置平移带来频域空间的相移。
单缝衍射
双缝衍射
—工程中的应用：
“… It shows tha疏t t影he横in斜fo水rm清ati浅on，ab暗ou香t t浮he动di月spl黄ac昏em。ent magnitude and direction of the sourc—e—ca北n b宋e r·e林pr逋ese《nt山ed园in小th梅e f》orm of fringes at the output plane ….”