高一数学必修4课件 ：弧度制

数学 必修4 A
(2)因为△AOB 是边长为 r 的正三角形， 所以 S△AOB＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝12×π3×r2＝π6r2， 所以 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2 ＝π6－ 43r2.
第一章 三角函数
数学 必修4 A
谢谢观看！
数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 D 由角度制和弧度制的定义，知 A，B，C 说法 正确．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故 D 说 法错误．故选 D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．(2019·山东青岛二中高一期中)－265π 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．58π rad＝115°
解析：选 D
5 8π
rad＝58π×1π80°＝112.5°.故选
D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
4．把 67°3Biblioteka ′化成弧度为( 3πA. 8 17π
C. 45
) B．π4 D．6178π0
解析：选 A ∵67°30′＝1235°，∴67°30′＝1π80 rad×1235 ＝38π rad，故选 A.
θθ＝2kπ＋π3，k∈Z
.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(2)令－4π<2kπ＋π3<2π(k∈Z)， 则有－163<k<56. 又 k∈Z，∴k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与 α 终边相同的角是－113π，－53π，π3.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(3)若角 β 与 α 终边相同，则 β＝2kπ＋π3(k∈Z)， ∴β2＝kπ＋π6(k∈Z)． 当 k 为偶数时，角β2为第一象限角； 当 k 为奇数时，角β2为第三象限角． ∴角β2是第一、三象限的角．

§1.1.2 弧度制
学习目标:
1、理解弧度制的含义 2、弧度数的绝对值公式 3、会弧度与角度的换算
1 角度制 1度的角等于周角的360
角的度量
弧度制
1弧度：长度等于半径的 弧所对的圆心角
弧度制
l | | R
r r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
ห้องสมุดไป่ตู้业：
P 8-9 11习题
； / 焊接平台
ngh59pfi
十七章 相聚 玉盈告别了年夫人，拿着“冰凝”的信回到房间，心情却是久久不能平静。她不想再跟王府、再跟王爷有什么瓜葛和联系了，可 是，这是凝儿的邀请，她能不去吗？不但她自己想去看看凝儿，就是娘亲也急切地等着她带回来的好消息呢！自从上次归宁壹别，又过去二十 多天了，不知道凝儿过得怎么样？不过，明天怎么这么早？凝儿早上不需要向福晋请安吗？还是说请安的时间更早？凝儿真是太辛苦了！还没 有见过凝儿的院子呢，不太清楚王府的环境，不知道凝儿住的地方离王爷的书院有多远，希望不会遇见他吧。她忍不住再次拿出凝儿的信看了 起来，真是看多少遍都看不够。刚刚笑话了壹番含烟，其实娘亲和她何尝不是对凝儿的信爱不释手？看着她的信，就好像眼睁睁地看着她在王 府里的幸福生活，她们都是欣慰万分。第二日，玉盈和翠珠按照约定的时间到了王府门口。下了马车，立即从院门里迎出来两个太监，玉盈已 经认出来，其中壹个就是上次迎她去王爷书院的那个人，这壹回，还是这个太监上前迎来：“年丫鬟，您这边请。”“好。我的丫 环……”“您放心，奴才会安排好的。”然后就是壹眨眼，翠珠就被另外壹个太监迎了上去：“翠珠姑娘，侧福晋请您先在这里歇息壹下。” 说着，就领着翠珠朝府门里走去，面对王府的高门大院，翠珠不敢造次，只是拿眼望着丫鬟，嘴上壹句话不敢说。玉盈也不知道这是什么情况， 暗暗地，她觉得事情已经脱离了她的掌控，但她现在搞不情状况，唯有见机行事。因此她只好向翠珠点了点头，翠珠见状，只得随着那个小太 监走了。那个负责迎接她的太监见翠珠走后，冲玉盈做了壹个请的姿势，玉盈这才发现，身边的马车已经不是年府的了，换成了另外壹辆更高 大、更豪华、更气派的壹辆。她诧异地望向这个太监，太监仍是壹副恭请她上车的手势，王府门口人来人往，她不便再说什么，只好转身上了 车。待她进了马车，车里的光线暗了许多，半天她才适应，终于发现，车里还有壹个人，王爷！她刚刚就有这个预感，因此在她见到王爷的时 候，并没有吃惊，而是定定地望着他，思索着这是怎么壹回事情。他终于盼来了日思夜想的人儿，见她这么定定地望着他，知道她是恼怒了他。 确实，这事情是他做得不对，他欺骗了她，通过她最信任的妹妹，将她骗来了王府。可是，他实在是没有办法，但非能想得出来更好的办法， 他都不会如此。他是光明磊落的人，从来不会偷偷摸摸。可是面对心爱的玉盈，他违背了自己的做人原则。他为她所思，为她所虑，这番体贴 的安排，玉盈根本体会不到！他担忧人多嘴杂，他怕事出变故，因为她是壹个未出阁的丫鬟，万壹走露了什么风声，他不能让她的名节毁在他 的手上。他要为他

3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.

弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1

2、求弧长：
l R
例1（1）把67°30′化成弧度。
3 （ 2） 把 rad化成角度. 5
1 例2：利用弧度制来推导扇形面积公式S= R, 2
其中 是扇形的弧长，R是圆的半径．
R O S

练习：
1、利用弧度制证明下列公式
(1)l R
2 (2)S 1 R 2
0 (0 ) 写成 2k (k z)的形式 2、把 1440
弧度制和角度制之间的换算：
1 rad 0.01745rad 180 180 1rad 57 . 30 57 18

360°=2 rad 180°= rad
1、弧度制下角的集合与实数集的 一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
§1.1.2 弧度制
学习目标:
1、理解弧度制的含义 2、弧度数的绝对值公式 3、会弧度与角度的换算
1 角度制 1度的角等于周角的360
角的度量
弧度制
1弧度：长度等于半径的 弧所对的圆心角
弧度制
l | | R
r r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
小结：
弧度制 角度制 角度
度量单位 弧度
单位规定 等于半径的长的 圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角
周角的
1 为1度的角 360
换算关系
π =180° 180 1rad= 57.30 57°18′， rad=0.01745 rad 1°= 180

把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1

rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718

导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8

.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)

8 8 180

(
)
5
5

288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，

1
0.0175

• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．

高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z

Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z

类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．

例 3 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2rad，求该扇形的面积.
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
（1）22°30′ （2）-210°
（3）1200°
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
度 探究3:如何给出弧Байду номын сангаас制下扇形的弧长及面积公式？
（1）22°30′ （2）-210°
（3）1200°
数 我们的研究思路是怎样的？
探究2:如何进行弧度与角度的换算？ 探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
单位符号是rad，读作“弧度”.
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
135º
150º
度数
度数
完成必修四课时作业《三》。
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
度数
探究1:如何用一个新的单位（十进制）来度量角呢？
我们的研究思路是怎样的？
怎样推导弧度制中的扇形面积公式呢？
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
（1）22°30′
（2）-210°
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
角的集合
实数集R
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
我们的研究思路是怎样的？
课后任务：
1. 完成必修四课时作业《三》。 2. 每日一题。
注：第4节晚自习前交科代表处。
（3）1200°
课堂小结
【1】把下列角度化成弧度.
探究2:如何进行弧度与角度的换算？

（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角