弧度制(必修四数学)PPT课件

解： S=｛α︱α=k·3600,k ∈z｝
= ｛α︱α=2kπ,k ∈z｝
【探求新知】
定义：这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数，任一负 角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式：
【小结】
（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度 量角的单位。 （2）能进行弧度与角度的转化。 （3）能初步运用弧度制表示的弧长公式，扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢

表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要
统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋
2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋ k· 360°(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．
2． 将下列各Байду номын сангаас化成 0～ 2π 范围内的角加上 2kπ(k∈ Z)的形式． 19 (1) π；(2)－315° . 3
用弧度制表示终边相同的角
(1) 把－ 1 480° 写 成 α ＋ 2kπ(k ∈ Z) 的 形式，其中 0≤α≤2π. (2)若 β∈[－4π，0]，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β.
1 480π 74π 16π [解] (1)∵－1 480° ＝－ ＝－ ＝－10π＋ ， 180 9 9 16π 又 0≤ ≤2π， 9 16π 16π ∴－1 480° ＝ －2×5π＝ ＋2×(－5)π. 9 9
1．角的单位制 (1)角度制 1 规定周角的________ 360 为1度的角，用度作为单位来度量角 的单位制叫做角度制． (2)弧度制 半径长 的弧所对的________ 圆心角 叫做1弧度的 把长度等于________ 弧度制 ， 角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________ 弧度 ，通常略去不写． 它的单位符号是rad，读作________
(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180° 是关键．由它可以得到： π 180 度数× ＝弧度数，弧度数×( )° ＝度数． 180 π (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． 3 (1)－18° ；(2) π；(3)－2 rad. 10 π π 解：(1)－18° ＝ ×(－18) rad＝－ rad. 180 10 3 3 180 (2) π＝ π·( )° ＝54° . 10 10 π 180 (3)－2 rad＝－2× ( )°≈－57.30° × 2＝－114.60° . π

的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。

5.弧长公式 l l r
r 6.扇形的公式:
(1)l R;(2)S 1 R2;(3)S 1 lR.
2
2
其中R是圆的半径,l是弧长,
(0 2 )为圆心角,
S是扇形的面积.
OB旋转方向 逆时针 逆时针
逆时针 顺时针
顺时针 不旋转
逆时针
AOB的弧度数 AOB的度数
1800
2
3600
1
(180 )0
2
( 360 )0
1800
0
00
1800
人 教 高 中 数 学必修 4PPT课 件：.2 弧度制 .
2.弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
②整圆所对的圆心角为2 r 2 .
思考: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比
值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
答: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是
唯一确定的,与圆的半径无关.
由弧度的定义可知：
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
长的比的绝对值。
注：比值
定
B
义
B
l=r
的 合 理
1弧度
l=r
1弧度
OO r r A
正角 零角 负角
正实数
零 负实数
3.角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad, 180º = π rad
1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad = (
180
π
) º 57.3º =57º 18′
4.特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 0 4 3 2 23

0° 360°
x
几何法
如图
如图
1.1.2
弧度制
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角， 即用弧度制度量时，这样的 圆心角等于1 rad. 若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
问题 1 ：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多 少？若弧是一个整圆呢？
2 当 k 2n( n Z ) 时 ，
180°
y
90°
0°
O
360°
x
n 360 n 360 45 ， n Z 2 故 是第一象限的角 . 2 当 k 2n 1( n Z ) 时 ， n 360 180 n 360 225 ， n Z 2 故 是第三象限的角 . 2 综上可知： 是第一或第三象限的角 .
4 r AOB 4 . r
注意: 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0）； 用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数 也不同.
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，
因此 360 2 rad ，
例3.利用弧度制证明扇形弧长公式：l =R; 面积公式 :
1 S lR ，其中 l是扇形的弧长 ， R是圆的半径 .( 0) 2
圆心角为 1 rad 的扇形面积为 证明：
R
又 弧长为 l 的扇形的圆心角是 l O l rad R 1 2 l 1 扇形的面积 S R lR . 2 R 2 说明：扇形面积公式还可以表示为 S 1 | | R 2 2

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2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课

角的弧度数
实数集R
2、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
则∠AOB=
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
180°= π 弧度
l=2 π r O r A(B)
例题： （1）把 67 30化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度 数
度 00 3 0 0 4 5 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0 1 3 5 0 1 5 0 0 1 8 0 0 2700 360 0
弧 度
0 6
43
2
2 3 5 3 2
346
2
四、例题讲解
例1（1）把67°30′化成弧度制。
（2）把 9 化成角度制。
4
解（1）∵67°30′=67.5°=
(135 )，
2
又∵1°= 180
∴67°30′=67.5
180
=
3 8
（2） 9 = 9 180°=405°
4
4
例2 用弧度制表示 （1）终边落在x轴上的角的集合 （2）终边落在y轴上的角的集合
{α| α=k·1800+900, k∈Z}
4.终边在第一象限上的角的集合为 {α| k·3600<α<k·3600+900, k∈Z}
5.已知α是第三象限的角，判断α/2是第几 象限的角
写出满足下列条件的角的集合. （1） 锐 角 （2） 0 到 90 的 角 （3） 第 一 象 限 的 角 （4） 小 于 90 的 角
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的 1

生 活 中 处 处 有 数 学
如何计算角的度数？
n 360 l 360 0.64 35
2 r 2.1
不用量角器，如何画出35°的角？
不用量角器，如何画给定n°大小的角？ ①以角的顶点为圆心画半径为r的圆；
②计算圆上n°圆心角所对的弧长l，并画出弧；
③画出弧长 l 所对的圆角．
2
2
答：弧AB的长为6.1米，落球区面积约为 30.16 平方米．
若r是扇形所在圆半径， (单位为弧度) 为圆心角 ， l 为扇形的弧长，S是扇形的面积．
l r
S 1 r2 1 rl.
2
2
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
小结：
生活中的数学
弧度制 弧度制与角度制
扇形中的弧 长与面积
弧所对的圆心角为 弧度，那么
l .
r
64厘米
64 0.61 rad 105
2.1米
画出

2
rad的角
rad 90
2
例1.（1）把下面的角从弧度转化为度： 3.5rad
（2）把下面的角从度转化为弧度： 11 15
0.61rad
8.95米 2.1米
L
R
l

r
EF 2.1米 BD 8.95米 AOB 0.61rad
2、正角的弧度数为正数，负角的弧度数 为负数，零角的弧度数为0．
为为为1l22r，0r，若若，则若则圆 圆则圆圆圆半 半圆心半心径 径心角径角为 为角的为的rr的弧r，，弧弧度圆圆圆度度数心心心数数为角角角为为多（（（多多少正正正少少？角角角？？）））所所所对 对对的的的圆圆圆弧弧弧长长长
在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的

B
OA:角的始边
OB:角的终边 O:角的顶点
0
A
(二)角的大小:
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角 . 负角： 按顺时针方向旋转所形成的角 .如α =-150º. 没有作任何旋转的角.记作 零角：
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点，
0 -90 时针走过的角度是＿＿

象 限. 思考：试 判断 下列 各角 所 在的
(4) 1
0 1

2
( 3.1 4

2
1.57)
( 5) (6)
4 8
1是第一象限的角 . 3 4 2 4是第三象限的角 .
分析 : 由于 3.14, 得 2 6.28 ,
4 12.56.而 8介于两数之间. 8 4 4.56 3 3 3 又 4.56 ( 3.14 4.71) 2 2 2 8是第三象限的角 .
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+1· ＿＿＿ 360° (-1) · 360° -330°= 30°+＿＿＿ 750°= 30°+＿＿＿ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β ︱β = 30°＋ k· 360°,k∈Z｝
，整个y轴指的是直线
例3
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合；
2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合；
| 2 ( ) | 2 ( )
| 2 2 2 7、第一象限内的角； | 2 2 8、第二象限内的角； 2 3 | 2 2 2 9、第三象限内的角； 3 | 2 2 2 10、第四象限内的角； 2