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高中数学必修四三角函数PPT课件

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人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43

人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43

2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4

sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)

高中数学必修四三角函数PPT课件

高中数学必修四三角函数PPT课件

01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。

人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件

人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件

cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可 得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ， 满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
cos

4 ，tan
5


3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)

高中数学苏教版必修四《1.3.1三角函数的周期性1》课件

高中数学苏教版必修四《1.3.1三角函数的周期性1》课件

2024/11/14
12
苏教版 高中数学
1.3.1
谢谢大家
周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2024/11/14
4
单击此处编辑母版标题样式
判断下列说法是否正确
• 单•击第此二处级 编（辑1母）版x 文 本时样式，sin(x 2 ) sin x 则 2
11
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此1.下处面编函辑数母是版周期文函本数样吗式？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？
• 第二f (级x) 5 • 第三级 2.已• 知第奇四• 级第函五数级f(x)是R上的函数，且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).
3.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函 数吗？如果是，它的周期是多少？
是 2 ，那么下列函数的周期是多少呢？
• 单击(此1) f处(x编) 辑2c母os 3版x 文本T样 2式
• 第(2二) 级f (x) sin 1 x • 第三级 2
3
T 4
2
3
2
1
2
一般•地第，四• 级第函五级数 y Asin(x )及 y Acos(x )
（其中A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T
2
若 0
则
T 2
2024/11/14
9
单击此处编辑母版标题样式
1.求下列函数的最小正周期
• 单击此处(1编) 辑f (母x)版文si本n(样2式x )
•
第二级

1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四

1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四

2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x

人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件


探究与归纳
角 与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数 定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数 关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。 概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象 限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学

高一数学必修四课件第章三角函数的周期性


研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。

人教版高中数学必修四课件：1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)


x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0

2

3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx


2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
（其中A 0且 A 1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
x
0


4
• 再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象，可看作由下面方法得到：
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习：
2．用五点法作函数 y sin x, x 0,2

人教高中数学必修四 1.2.1三角函数线 课件(共30张PPT)

α的
(Ⅳ) 终边
二、单位圆中的三角函数线 带方向的线段称为有向线段。
规定：有向线段与坐标轴同向时数量为 正，反向时数量为负。
如图，单位圆与角α的终边交于点P(x,y)，与x轴交于点A；
，过P点作PM⊥x轴，垂足为M；
注意：正弦线、余弦线、正切线
过A点作AT⊥x轴，与OP的延长线交于点T。 都是有向线段，有正负之分.
不查表，比较大小。
2
（２）cos 3
和 cos 4
5
解：由图形得到
cos 2π > cos 4π
3
5
2π 3 4π 5
y 1
o 1x
题型五：利用三角函数线比较三角函数值的大小
不查表，比较大小。
⑶ tan 2 和 tan 4
3
5
解：由图形得到
2π 3 4π 5
y 1
tan 2π < tan 4π
2
规律方法：
3
3
-1
利用三角函数线解三角不等式的步骤：
第一步：在直角坐标系内，以原点为圆心作出单位圆；
第二步：作出三角函数值对应的三角函数线；
第三步：作出三角函数线对应的两个角；
第四步：根据不等式的范围，写出角的取值范围.
“三角函数线法”是解三角不等式最好的方法，需牢固掌握.
x1 2
y
1
3
1
O
x
(2k , 2k 5 )k Z
6
6
6
-1
2 sin 1
2
[2k 7 , 2k ]k Z
6
6
y

1
6
y
1
2
O 1x
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答案：D
-
23
1.2 任意角的三角函数
α角是第二象限的角，│cos │= cos ,则角 属于：
2
2
2
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限. 答案：C
-
24
1.2 任意角的三角函数
已知α、β是第二象限的角，且 cos cos ，则 （ ） A. ;
B. sin sin ；
• 答案：（1）第一象限角；（2）-1035°与-675°
• 变式3
• 答案：（1）第二象限角；（2）-930°与-570°
-
7
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.2 第几象限角
•
已知α是第几象限角，确定 n
n * 所在象限的方法：
• 先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次
将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应
对值是︱α︱
︱α︱=
• 角度制与弧度制换算：
l r
180°= π rad（弧度的单位）
• 2 360o
1o
180
1
180
o
57.3o
（1弧度=57.3度）
-
12
练习题
例1+变式1：
提示：直接利用
1o
180
1
180
o
57.3o
例2+误区警示（用弧度制表示终边相同角）
同一式子单位不能混用！！！
C. tan tan ； D.以上都不对.
答案：B
-
25
1.2 任意角的三角函数
• 1.2.2 单位圆与三角函数线
sin cos tan
-
26
练习题
• 例1+变式1： • 例2+变式2：
• （利用π/4的三角函数线做参照）
• *例3+变式3： • 误区警示！
-
27
1.2 任意角的三角函数
sin a y
++
o
x
––
cos a y
–+
o
x
–+
tan a y
–
+
o +
–x
-
18
1.2 任意角的三角函数 熟记特殊角的三角函数值！！！
P8 α---弧度数---sinα, cosα, tanα
-
19
1.2 任意角的三角函数
例1：
提示：确定P在第几象限——分情况讨论a值——三角函数 定义求值——结论
边落在第几象限，则称为第几象限角．
• 第一象限角的集合为 k 360o k 360o 90o, k
• 第二象限角的集合为 k 360o 90o k 360o 180o, k
• 第三象限角的集合为 k 360o 180o k 360o 270o, k k 360o 270o k 360o 360o, k
• 第四象限角的集合为
-
3
练习题
• 例1： •⑥ • 变式1 •D
-
4
练习题
• 例2：
• 提示：作出各角的终边 • （1）第一象限角；（2）第四象限角 • （3）第二象限角；（4）第三象限角
• 变式1 • B（由α的表示法，确定-α的表示法，得出-α的范围）
-
5
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.2 第几象限角
2．下列各组角中，终边相同的角是
k
A．2
与
k
2
(k Z)
B．k
3
与
k 3
（）
(k Z)
C．(2k 1)与(4k 1) (k Z)
D．k
6
与k
6
(k Z)
-
11
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.3 弧度制
• 弧度的概念：
• 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
• 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝
-
15
练习题
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角
所对的弧长是
（）
A．2
B．s
2 in1
C． 2sin1
D． sin 2
-
16
1.2 任意角的三角函数
• 1.2.1 三角函数的定义
• 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是
(x,y)，它与原点的距离是 r r x2 y2 0
高中数学必修四 第一章 三角函数
-
1
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.1 角的概念与推广
y
的终边
(,)
正角
o
x
负角
的终边
正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
-
2
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.2 第几象限角 • 角的顶点与原点重合，角பைடு நூலகம்始边与轴的非负半轴重合，终
• 则 sin y
r
cos x
r
tan y x 0
x
• 三角函数在各象限的符号：
• 第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正， 第四象限余弦为正．
-
17
1.2 任意角的三角函数
• 三角函数在各象限的符号： • 第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正．
• 终边在轴上的角的集合为 k 180o, k • 终边在轴上的角的集合为 k 180o 90o, k
• 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90o, k • 与角终边相同的角的集合为 k 360o , k
-
6
练习题
• 例3：
• 提示：首先与α终边相同的角，为求满足条件的θ，取适当的整数 即可
变式1：
sinα= -4/5 cosα= 3/5 tanα= -4/3
-
20
1.2 任意角的三角函数
例2：
根据三角函数在各象限的符号规律
变式2：
答案：四
-
21
1.2 任意角的三角函数
例3：
提示：注意tanx自身对x 的要求
变式3： 误区警示：
-
22
1.2 任意角的三角函数
下列各三角函数值中，取负值的是（ ）; Asin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos570
的标号即为 n 终边所落在的区域．
-
8
练习题
• 误区警示P4
若α是第三象限角，则
3
是第几象限角？
答案：第一或第四象限角
-
9
练习题
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}， 那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C.AC D．A=B=C
答案：B
-
10
练习题
-
13
1.1 角的概念与弧度制
• 1.1.3 弧度制
• 弧长公式：
• 若扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S
• 则扇形弧长公式 l r
• 扇形周长公式 C 2r l
• 扇形面积公式
S 1 lr 1 r2
22
-
14
练习题
例3+变式3
变式3 利用二次函数求极值 答案： 当r=10cm， 取面积最大值=100cm2， 此时圆心角θ=2rad