高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 苏教版必修4
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高中数学第一章三角函数1.1.2弧制课件苏教版必修4
第二十五页，共35页。
[再练一题] 3．已知扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 6，求扇形的弧长和面积． 【解】 ∵α＝120×1π80＝23π. 又 r＝6， ∴弧长 l＝αr＝23π×6＝4π. 面积 S＝12lr＝12×4π×6＝12π.
第二十六页，共35页。
[构建·体系]
第二十七页，共35页。
π (2)10
rad＝1π0×18π0°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×18π0°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
第十三页，共35页。
一抓
角度制与弧度制换算的要点： 抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点
二记 记住常见角对应的弧度数
第二十二页，共35页。
一个扇形的周长为 20，则扇形的半径和圆心角各取什么值 时，才能使扇形面积最大？
【精彩点拨】 设出扇形的圆心角、 半径、弧长 → 用半径表示 圆心角 → 求扇形面积 → 转化为二次 函数求最值
【自主解答】 设扇形的圆心角为 α，半径为 r，弧长为 l，则 l＝αr， 依题意 l＋2r＝20，即 αr＋2r＝20， ∴α＝20－r 2r. 由 l＝20－2r>0 及 r>0 得 0<r<10，
第二十一页，共35页。
[探究共研型]
扇形的弧长及面积问题 探究 1 公式 l＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ 【提示】 公式 l＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角． 探究 2 在扇形的弧长 l，半径 r，圆心角 α，面积 S 中，已知其中几个量可 求其余量？举例说明． 【提示】 已知任意两个量可求其余两个量，如已知 α，r，可利用 l＝|α|r， 求 l，进而求 S＝12lr； 又如已知 S，α，可利用 S＝12|α|r2，求 r，进而求 l＝|α|r.
[再练一题] 3．已知扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 6，求扇形的弧长和面积． 【解】 ∵α＝120×1π80＝23π. 又 r＝6， ∴弧长 l＝αr＝23π×6＝4π. 面积 S＝12lr＝12×4π×6＝12π.
第二十六页，共35页。
[构建·体系]
第二十七页，共35页。
π (2)10
rad＝1π0×18π0°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×18π0°＝－240°；
(4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
第十三页，共35页。
一抓
角度制与弧度制换算的要点： 抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点
二记 记住常见角对应的弧度数
第二十二页，共35页。
一个扇形的周长为 20，则扇形的半径和圆心角各取什么值 时，才能使扇形面积最大？
【精彩点拨】 设出扇形的圆心角、 半径、弧长 → 用半径表示 圆心角 → 求扇形面积 → 转化为二次 函数求最值
【自主解答】 设扇形的圆心角为 α，半径为 r，弧长为 l，则 l＝αr， 依题意 l＋2r＝20，即 αr＋2r＝20， ∴α＝20－r 2r. 由 l＝20－2r>0 及 r>0 得 0<r<10，
第二十一页，共35页。
[探究共研型]
扇形的弧长及面积问题 探究 1 公式 l＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ 【提示】 公式 l＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角． 探究 2 在扇形的弧长 l，半径 r，圆心角 α，面积 S 中，已知其中几个量可 求其余量？举例说明． 【提示】 已知任意两个量可求其余两个量，如已知 α，r，可利用 l＝|α|r， 求 l，进而求 S＝12lr； 又如已知 S，α，可利用 S＝12|α|r2，求 r，进而求 l＝|α|r.
1.1.2弧度制
我们把长度等于半径长的弧 我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 半径长的 弧度的角。 弧度”常用“rad”表示。 做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。 设弧AB的长为l 设弧AB的长为 : AB的长为 若l=r,则∠AOB= =, =2r, 若l=2 ,则∠AOB= =2 =3r, 若l=3 ,则∠AOB= =3
o
o
1 3 67 30 ' = rad × 67 = π rad 180 2 8 3 rad化成度 化成度。 （2） 把 — π rad化成度。 5
解： 3 π rad 5
3 = × 180 5
o
π
2
= 108
o
试一试：教材 试一试：教材P9 练习 1 2
四、练习: 练习:
例1.请写出一些特殊角的弧度数 1.请写出一些特殊角的弧度数
练习1 与角－1825 的终边相同 的终边相同， 练习1：与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 ＿＿＿， 弧度 360º－25º， 解：－1825 =－5×360 －25 ， ：－1825º= 1825 所以与角－1825 的终边相同 的终边相同， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25 . 最小的角是－25º.
其中： 以角α 其中：l —— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径 角所在圆的半径 角所在
l α = r
这种用“弧度” 做单位来度量角的制度， 这种用“弧度” 做单位来度量角的制度， 叫做弧度制 弧度制。 叫做弧度制。
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的 比值来表示， 比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的 圆的半径之间是否存在一定联系？若存在， 圆的半径之间是否存在一定联系？若存在， 请阐述是什么关系？若不存在，说明理由. 请阐述是什么关系？若不存在，说明理由. 结论：当圆心角一定时， 结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与 半径的比值是一定的，与所在圆的半径大 半径的比值是一定的， 小无关. 小无关
o
o
1 3 67 30 ' = rad × 67 = π rad 180 2 8 3 rad化成度 化成度。 （2） 把 — π rad化成度。 5
解： 3 π rad 5
3 = × 180 5
o
π
2
= 108
o
试一试：教材 试一试：教材P9 练习 1 2
四、练习: 练习:
例1.请写出一些特殊角的弧度数 1.请写出一些特殊角的弧度数
练习1 与角－1825 的终边相同 的终边相同， 练习1：与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 ＿＿＿， 弧度 360º－25º， 解：－1825 =－5×360 －25 ， ：－1825º= 1825 所以与角－1825 的终边相同 的终边相同， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25 . 最小的角是－25º.
其中： 以角α 其中：l —— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径 角所在圆的半径 角所在
l α = r
这种用“弧度” 做单位来度量角的制度， 这种用“弧度” 做单位来度量角的制度， 叫做弧度制 弧度制。 叫做弧度制。
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的 比值来表示， 比值来表示，那么一个角的弧度数与所在的 圆的半径之间是否存在一定联系？若存在， 圆的半径之间是否存在一定联系？若存在， 请阐述是什么关系？若不存在，说明理由. 请阐述是什么关系？若不存在，说明理由. 结论：当圆心角一定时， 结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与 半径的比值是一定的，与所在圆的半径大 半径的比值是一定的， 小无关. 小无关
数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)
1、注册资本并不需要一次缴清 我国目前实行注册资本认缴制，认缴制的意思就是：注册资本不用在一开始就全部缴纳完成，而是只要在承诺的时限内(一般为10-20年)缴完 即可，这极大的降低了公司注册时的资金压力。
猜卷子，轻狂书生被批评为文锋还不如小童生老道，大受打击，化悲痛为酒量，自己喝，并且满席的逼人喝。满席的被他带动起来，都致力于 进行“自己喝与劝人喝”的行为，端着酒榼，大言不惭道：“怕什么？这又不是烈酒，是淡酒！童子都饮得！”于是小童生和宝音都躲不过去。 明柯好歹良心发现，替宝音挡一挡狼爪：“这小子酒量不行。”宝音深受启发，正准备装醉，“卟嗵”，那边已倒下一个。刘晨寂来酒不拒， 饮下三杯，轰然倒地，醉死如一截木头，任谁推都不动，好如一截木头。而蝶宵华饮过三杯，宽了外衣，剩个碧蓝精绣薄绸子的中衣，中衣领 口扣子还解开一颗，肉香四溢，媚眼流盼，气场全开。来给宝音灌酒的无聊人士，先被刘晨寂的倒下，吸引了注意力，之后就流着哈喇子跟其 他人一样聚到蝶宵华脚边了，像被肉摊上香气吸引来的苍蝇，任摊主左挥右驱，百赶不去。——摊主就是那自封护花有责，不胜群蝇之扰的七 王爷。宝音居此宴会，芒刺在股，坐立不安。男人就喜欢这种调调？见识了！反正以后她打死都不要来了。小童生免过被灌酒的劫难，又来同 宝音攀谈，宝音也理解他：毕竟席上看来，只有宝音一人跟他年龄相近嘛！雄性动物的本能，年长的都爱欺负弱小的，小童生估计平时被欺负 惨了，遇见宝音，如茫茫大海中攀住一根浮木。可宝音小身体里装着个老灵魂，纵然心怀宽广母爱泛滥，也不见得此时此地愿与他交谈——她 还怕多说多错呢！第八十三章 自毁入宫路（2）小童生殷勤的喋喋不休，拷问至祖籍家人。她微笑敬他一杯酒，自己只抿了一口，轰然倒地， 百问不答，效刘晨寂状。闭上了眼睛，宝音看不到刘晨寂此时的危险，否则，未必敢学他。轻狂书生从蝶宵华身边被挤了出来，转头忽见刘晨 寂俯在桌上，肌肤如玉、布衣国色，顿生歹念，踉跄过去，待趁醉把手搭在他肩上，吃顿豆腐，忽觉天旋地转，似乎是酒力涌上来，禄山之爪 再也搭不下去，跑出去吐了，吐至一半，忽忆及一事，心头凛然：城东某富翁，听说也是此道馋痨，贪吃不顾形像的人，某日召刘大夫视疾， 见色起意，病榻边就要毛手毛脚，忽的病势大危，昏迷了三天三夜，几乎没能抢救得转来，人都说他自作孽。除此人之外，还有某无赖儿，想 用计谋，逼刘大夫就范，谋划到一半，家遭祝融，流落街头，这也是自作孽。再加上他今儿喝到吐„„想对刘大夫不轨的人，似乎很容易自作 孽，不可活呢？宝音在屋里，装醉都装得腰酸背痛，不断腹诽此宴之不可理喻，不知什么时候才能结束。还有，如果是她安排的宴会啊，看到 有客人醉倒，立刻就安排扶下去，软褥上卧着，奉碗醒酒汤了！何至于就让客人趴到现在？想啥就来啥，还真有个粗喉咙道：“把醉了的兄弟 都抱到那边躺着吧！老
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
原创1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
新课引入
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度等于周角的1/360。 这种用度作为单位来度量角的单位叫做角度制，为了使用方便，数学 上还采用另一种度量角的单位——弧度制
思考：什么是弧度制呢？
新课引入
r
A
B
1rad r
O
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
2
6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2） 把 —3 π 弧度化成度。 5
解： (1)把112º30′化成弧度（用π表示）。
(2)把 8 化为角度。
5
课堂练习
与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数 是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
第一章 三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
新课引入
角度长度是可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千 克、磅等不同的单位制. 不同的单位制能给解决问题带来方便，那么，角的度量是否能用不同 的单制呢？ 不同单位制之间可以进行换算，那么，角的单位制之间是怎样进行互 化的呢？下面我们一起来看看.
绝对值如何计算？
α=l r
特别注意，α的正负是由角α的终边的旋转方向决定的
探究点2
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度 是圆周 1 所对的圆心角的大小；
高中数学游戏教学课件2--弧度制
l是扇形弧长，r是圆的半径，扇形圆心角的大小 为α rad，其中（|α|≤2π）
弧度制下
弧长公式
l r
扇形面积公式 S 1 lr 1 r2
22
角度制下
l n r
180 S n r2
360
弧度制的优越性！
活动： 你能用不同的方法度量角的大小吗？
小结:
单位(米) 2米
长度
问题4：角度与弧度如何互化？ 360o＝2π rad
1o＝1π80rad ≈ 0.01745rad 1rad＝1π80度≈ 57.30o
π
2π
2
3π 3
90°
4 120°
5π 135°
6 150°
π
3π
60° 4
45°
π
30° 6
π 180°
0° 0
互化练习： 请将量角器上各角进行弧度与角度的互化.
单位(尺)
2尺
Hale Waihona Puke 1米=3尺单位(1度) 2度 角
单位(1弧度) 2弧度
360度=2π 弧度
拓展研究 运用“单位制构建的一般过程” ，你会研究
其它量的单位制吗？
课后作业： P10习题1.1： 3，4， 8
苏教版高中数学必修4
1.1.2 弧度制
思考：点P的位置与哪些几何量有关？
探究：能否像度量长度那样，用十进制的 实数来度量角的大小？
可行
问题1：生活中同一个量，它的度量结果可 以用不同的单位表示吗？请举例说明．
问题2：图中哪些几何量能唯一确定角α？
结论：弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小. 瑞士数学家欧拉，为数学发展奋斗一生.
互化练习： 请将下列角进行角度与弧度的互化．
弧度制下
弧长公式
l r
扇形面积公式 S 1 lr 1 r2
22
角度制下
l n r
180 S n r2
360
弧度制的优越性！
活动： 你能用不同的方法度量角的大小吗？
小结:
单位(米) 2米
长度
问题4：角度与弧度如何互化？ 360o＝2π rad
1o＝1π80rad ≈ 0.01745rad 1rad＝1π80度≈ 57.30o
π
2π
2
3π 3
90°
4 120°
5π 135°
6 150°
π
3π
60° 4
45°
π
30° 6
π 180°
0° 0
互化练习： 请将量角器上各角进行弧度与角度的互化.
单位(尺)
2尺
Hale Waihona Puke 1米=3尺单位(1度) 2度 角
单位(1弧度) 2弧度
360度=2π 弧度
拓展研究 运用“单位制构建的一般过程” ，你会研究
其它量的单位制吗？
课后作业： P10习题1.1： 3，4， 8
苏教版高中数学必修4
1.1.2 弧度制
思考：点P的位置与哪些几何量有关？
探究：能否像度量长度那样，用十进制的 实数来度量角的大小？
可行
问题1：生活中同一个量，它的度量结果可 以用不同的单位表示吗？请举例说明．
问题2：图中哪些几何量能唯一确定角α？
结论：弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小. 瑞士数学家欧拉，为数学发展奋斗一生.
互化练习： 请将下列角进行角度与弧度的互化．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
推荐-高中数学苏教版必修四课件第1章 1.1.2 弧度制
有关. A.5 B.4
C.3 D.2 答案:C 解析:①⑤不正确.②③④正确.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6
2.(2016·安徽合肥三中月考)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则
这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 C.si2n1
B.sin 2 D.2sin 1
答案:C
解析:设圆的半径为 r,则 sin 1=1������,∴r=si1n1. ∴l=|α|·r=2·si1n1 = si2n1,故选 C.
典例导学 即时检测 一 二 三
导学号51820003圆心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切
圆的半径为
.
答案:2
解析:如图.
设内切圆半径为r,则OO'=2r,R=3r. 由弧长公式得 2π=π3·3r,解得 r=2.
典例导学 即时检测 一 二 三
弧度制下涉及扇形问题的解题思想: (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=12lr=12|α|r2 (其中l是扇形的 弧长,α是扇形的圆心角). (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分 析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积 公式直接求解或列方程(组)求解.
解(1)∵-1 725°=-5×360°+75°, ∴-1 725°=-10π+51π2. ∴-1 725°角与51π2角的终边相同. 又51π2角是第一象限角, ∴-1 725°角是第一象限角. (2)∵643π=20π+43π,∴643π角与43π角的终边相同. ∴643π角是第三象限角.
典例导学 即时检测 一 二 三
12
交流2
(1)将51π2化为角度制是 (2)将54°化为弧度制是
C.3 D.2 答案:C 解析:①⑤不正确.②③④正确.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 6
2.(2016·安徽合肥三中月考)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则
这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 C.si2n1
B.sin 2 D.2sin 1
答案:C
解析:设圆的半径为 r,则 sin 1=1������,∴r=si1n1. ∴l=|α|·r=2·si1n1 = si2n1,故选 C.
典例导学 即时检测 一 二 三
导学号51820003圆心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切
圆的半径为
.
答案:2
解析:如图.
设内切圆半径为r,则OO'=2r,R=3r. 由弧长公式得 2π=π3·3r,解得 r=2.
典例导学 即时检测 一 二 三
弧度制下涉及扇形问题的解题思想: (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S=12lr=12|α|r2 (其中l是扇形的 弧长,α是扇形的圆心角). (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分 析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积 公式直接求解或列方程(组)求解.
解(1)∵-1 725°=-5×360°+75°, ∴-1 725°=-10π+51π2. ∴-1 725°角与51π2角的终边相同. 又51π2角是第一象限角, ∴-1 725°角是第一象限角. (2)∵643π=20π+43π,∴643π角与43π角的终边相同. ∴643π角是第三象限角.
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12
交流2
(1)将51π2化为角度制是 (2)将54°化为弧度制是
高中数学必修四《弧度制》PPT
问题：弧长分别为r、2 r、3 r、……、l 所对的圆心角
的弧度数是多少？
B
O
α
r
r
A
B 2r
α
B
OrA
3r
α
O r AB
r
O rA
1 rad 2 rad 3 rad rad
探究：如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重 合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下列表格中填空.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
1° = π rad ≈ 0.01745 rad 180
1 rad =（180 ）° ≈57.30° π
根据上面两个式子，就可以进行弧度与角度的换算.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
180° = π
引入弧度制的意义： 1、使进位制统一； 2、三角函数的自变量变为实数； 3、简化了微积分运算；
完成下列特殊角的度数与弧度数对应表:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o n
180
弧
度0 6
43
2
2
3
180
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
1米是 1 秒的时间内光在真空中行驶的 长度 299792458 1千克是1立方米的纯水在4℃时的质量
思考：请说出下列的∠AOB大小.
B
90° 180° 360°
O
AB
O
A
O
A (B)
角度制（用“度”作为单位来度量角的单位制.）
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
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跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝12＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
1234
1.若α＝－3，则角α的终边在第 三 象限. 解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57.30°＝－171.90°，而 －171.90°为第三象限角， ∴α＝－3为第三象限角.
[预习导引] 1.弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作
1 rad .用 弧度 作为角的单位来度量角的单位制称为 弧度制 .
(2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是 正数 ；负角的弧度数是 负数 ；零角的弧度数 是0.
(3)角的弧度数的计算
)°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧
度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
34π
5π 6
π
3π 2 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(α≤2π)为其圆心角，则
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<a2， ∴当 r＝4a时，Smax＝1a62.此时，l＝a－2·4a＝2a，
∴α＝rl＝2.故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最 大，最大为1a62 .
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一 是 S＝12lr＝21|α|r2，二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可 以求出另一个. (2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是 把面积 S 转化为 r 的函数.
β2＝－3π＝－60°，设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－ 420°.
要点三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时， 扇形的面积最大，并求这个最大值. 解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已 知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝12l·r＝12(a－2r)·r＝－r2＋a2r ＝－r－a42＋1a62 .
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的 l
弧度数的绝对值是|α|＝ r .
2.角度制与弧度制的换算
(1)
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
π
1°＝180 rad≈0.017 45 rad
1
rad＝(
180 π
要点二 用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指 出是第几象限角： (1)－1 500°； 解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋53π，是第四象限角.
(2)236π； 解 ∵236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角.
(1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的
象限； 解 ∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限.
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出 与它们终边相同的所有角. 解 β1＝35π＝35π×18π0°＝108°， 设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°， 得k＝－2，或k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－ 252°.
度量单位类别 α 为角度制
α 为弧度制
扇形的弧长 扇形的面积
l＝1α8π0r
S＝
απr2 360
l＝|α|·r
S＝
1 2l·r
＝12|α|·r2
要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；
解 20°＝2108π0＝π9.
(2)－15°； 解 －15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2； 解 71π2＝172×180°＝105°.
(3)－4. 解 ∵－4＝－2π＋(2π－4)， π2＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角. 规律方法 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时， 其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与 弧度制不能混用.
跟踪演练 2 设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3.
(4)－115π. 解 －115π＝－151×180°＝－396°.
规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系 式：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的 对应值.
跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； 解 112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)把－51π2化成度. 解 －51π2＝－51π2×1π80°＝－75°.
[知识链接]
1.初中几何研究过角的度量，当时是用度来作为单位度量
角的.那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的
大小是否有关？
答
规定周角的
1 360
作为1°的角；它的大小与它所在圆
的大小无关.
2.用度作为单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了 它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l＝1n8π0r，S＝n3π6r02.
第一章——
三角函数
1.1.2 弧度制
[学习目标]
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
1 预习，个个击破 当堂训练，体验成功