2019年高考数学一轮复习课时分层训练23平面向量的概念及线性运算文北师大版

了解向量的实际背景.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.了解平面向量的基本定理及其意义.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)零向量与任意向量平行．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) (6)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①②答案：A(教材习题改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线 C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|解析：选D.根据向量的概念可知选D.对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ．若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，故a ∥b ；反之，a ∥b ⇒/ a ＋b ＝0.(教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12bB ．12a －12bC ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.(教材习题改编)化简：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝________． (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝________．解析：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 答案：(1)AB →(2)0平面向量的有关概念[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.【答案】 ③辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．[通关练习]1．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．只有④正确．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(高频考点)平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)向量的线性运算； (2)根据向量线性运算求参数．[典例引领]角度一 向量的线性运算(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →(2)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A ．AF →＝13AC →＋23BD →B ．AF →＝23AC →＋13BD →C ．AF →＝14AC →＋23BD →D ．AF →＝23AC →＋14BD →【解析】 (1)法一：因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A ．法二：因为BC →＝3CD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，所以AD →＝－13AB →＋43AC →.故选A ．(2)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13BD →，故选B ．【答案】 (1)A (2)B角度二 根据向量线性运算求参数(1)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．【解析】 (1)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)． 所以y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， 所以x ＝－y ，所以x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 【答案】 (1)12(2)⎝⎛⎭⎫－13，0平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．[注意] 注意应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化运算．[通关练习]1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →解析：选A ．EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．2.如图，点E 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的n (n ∈N 且n ≥2)等分点中最靠近点D 的点，线段AE 的延长线交CD 于点F ，若AF →＝xAB →＋AD →，则x ＝________(用含有n 的代数式表示)．解析：依题意与图形得DF AB ＝DE EB ＝1n －1(n ∈N 且n ≥2)，所以DF →＝1n －1AB →，所以AF →＝AD→＋DF →＝AD →＋1n －1AB →，又因为AF →＝xAB →＋AD →，所以x ＝1n －1.答案：1n －1平面向量共线定理的应用[典例引领](1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1(2)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A ．911B ．511C ．311D ．211【解析】 (1)因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.(2)注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m＝511.故选B ． 【答案】 (1)D (2)B共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [注意] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[通关练习]1.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A ．29B ．27C ．25D ．23解析：选A ．因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， 所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得λ＝29，故选A ．2．已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)， 求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 解：(1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， 所以AB →与BD →共线， 且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．向量线性运算的常见结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(3)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →.(4)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.解决向量的概念问题的注意点(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向； (2)考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性；(3)注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．1．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C ．由题图可知a －b ＝e 1－3e 2.故选C ．2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a|>|b|解析：选A ．依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A ． 3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.由题意可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，(λ－k )a ＝(λ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，λ＋1＝0.所以k ＝λ＝－1，所以c 与d 反向，故选D.4.如图所示，已知向量AB →＝2BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A ．由AB →＝2BC →得AO →＋OB →＝2(BO →＋OC →)，即2OC →＝－OA →＋3OB →，所以OC →＝32OB →－12OA →，即c ＝32b －12a .故选A ．5．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b解析：选D.连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .6．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题为②③④. 答案：37．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．解析：因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.答案：2 38．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点，所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2.答案：29.在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .10．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， 所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →， 所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.结论得证．1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →＝( ) A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD ．b ＋13a解析：选C ．因为BE →＝AE →－AB →＝AD →＋DE →－AB →，所以BE →＝BC →＋23AB →－AB →＝AC →－AB →＋23AB →－AB →＝AC →－43AB →＝b －43a ，故选C ．2.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ等于( )A ．43B ．53C ．158D ．2解析：选B ．因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，λ＋μ＝53.故选B ． 3．(2018·江西吉安模拟)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A ．由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →＋BA →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE→＋CF →与BC →反向平行．4．已知点P 、Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足P A →＋PC →＝0，2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →|，则正实数λ＝________．解析：由条件P A →＋PC →＝0知P A →＝－PC →＝CP →，所以点P 是边AC 的中点，又2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，所以2QA →＝BC →－QB →－QC →＝BC →＋CQ →＋BQ →＝2BQ →，从而有QA →＝BQ →，故点Q 是边AB 的中点，所以PQ 是与边BC 平行的中位线，所以|PQ →|＝12|BC →|，故λ＝12.答案：125.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎨⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎨⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。

第一节 平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第57页)[基础知识填充]1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λA ．[知识拓展]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1. 4．△ABC 中，PA →＋PB →＋PC →＝0⇔点P 为△ABC 的重心．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥C ．( )(3)a ∥b 是a ＝λb(λ∈R)的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →A [AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A ．]3．(2018·长春模拟)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋PA →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b表示)．b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －B ．]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a)共线，则λ＝________.－13[由已知得a ＋λb ＝－k(b －3a)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.](对应学生用书第58页)给出下列六个命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥B ． 其中假命题的序号为________. 【导学号：00090124】①②③④⑤⑥ [①不正确．|a|＝|b|.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量； ②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． ⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ，b 同向．][规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关． 3．若a 为非零向量，则a |a|是与a 同向的单位向量，－a|a|是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.](1)(2018·开封模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC →＝( )A ．BC →B ．12AD →C ．AD →D ．12BC → (2)(2018·广州模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R)，则mn ＝( )A ．－3B ．－13C ．13D ．3(1)C (2)A [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.(2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD →＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →，所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.故选A ．][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A ．OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)(2018·北京模拟)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 【导学号：00090125】(1)D (2)12 －16[(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB→＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D ．(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.]设两个非零向量a 与b (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 和a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)，即ka ＋b ＝λa ＋λkb ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)B ． ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. (1)B (2)12 [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b)＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t(a ＋2b)，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]。

课时分层训练(二十六) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①②A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．]2．(2018·武汉调研)设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( )【导学号：79140147】A ．a 与－λa 的方向相反B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |≥|λ|aC [A 中，当λ＜0时，a 与－λa 方向相同，故A 不正确；B 中，当－1＜λ＜1时，|－λa |＜|a |，故B 不正确；C 中，因为λ2＞0，所以a 与λ2a 方向相同，故C 正确；D 中，向量不能比较大小，故D 不正确，故选C.]3．(2017·广东东莞二模)如图4­1­1所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )图4­1­1A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12bA [因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB→－12OA →＝32b －12a ，故选A.] 4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a⊥bB ．|a |＝|b |C ．a∥bD ．|a |＞|b |A [法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a⊥b . 故选A.法二：在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a⊥b .故选A.]5．(2017·河南中原名校4月联考)如图4­1­2所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )图4­1­2A.58B.14 C ．1 D.516A [DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.]二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.]8．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【导学号：79140148】12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.]三、解答题9．如图4­1­3，在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4­1­3[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b . 10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.B 组 能力提升11．(2017·河北衡水中学三调考试)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )【导学号：79140149】A ．－4B ．－1C ．1D ．4B [根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.]12．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.]13．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­4，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4­1­423 [因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝13BC . 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB→＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]14．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ).【导学号：79140150】(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. [证明] (1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB → ＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线． 又∵BP →与BA →有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。

第1讲 平面向量的概念及线性运算一、选择题1．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2 解析：选C.由题图可知a －b ＝e 1－3e 2.故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a⊥b B ．|a |＝|b | C ．a∥b D ．|a|>|b|解析：选A.依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A.3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.由题意可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，(λ－k )a ＝(λ＋1)b .因为a ，b不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，λ＋1＝0.所以k ＝λ＝－1，所以c 与d 反向，故选D.4.如图所示，已知向量AB →＝2BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A.由AB →＝2BC →得AO →＋OB →＝2(BO →＋OC →)，即2OC →＝－OA →＋3OB →，所以OC →＝32OB →－12OA →，即c ＝32b －12a .故选A.5.如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为( )A ．911 B.511 C ．311D.211解析：选B.注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.6.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ等于( )A ．43B ．53C ．158D ．2解析：选B.因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，λ＋μ＝53.故选B.二、填空题7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题为②③④. 答案：38．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．解析：因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.答案：2 39．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点，所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2.答案：210．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. 因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 三、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ(34AD →＋14AB →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，所以OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，所以BP →与BA →共线．又因为BP →与BA →有公共点B ，所以A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， 所以OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA →，OB →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0.所以m ＋n ＝1.结论得证．。

第一节　平面向量的概念及线性运算[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第69页)[基础知识填充]1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求两个向量差的运算三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ) a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与a 共线．[知识拓展]1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则＝(＋)．OP → 12OA → OB→ 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.OA → OB → OC→ [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)＝－.( )BA → OA → OB→(3)向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )AB → CD→ (4)已知a ，b 是两个非零向量，当a ，b 共线时，一定有b ＝λa (λ为常数)，反之也成立．( )[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．在四边形ABCD 中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD 为( )AB → DC → AB → BC→ A ．平行四边形 B ．菱形C ．长方形D ．正方形B [＝，则四边形ABCD 为平行四边形．又||＝||，则四边形ABCD 为菱形，AB → DC → AB → BC→ 故选B ．]3．D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量等于( )CD→ A ．－＋B ．－－BC → 12BA → BC → 12BA → C ．－D ．＋BC → 12BA → BC → 12BA →A [如图，＝＋＝＋CD → CB → BD → CB → 12BA →＝－＋.]BC → 12BA → 4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则OA → OB→＝________，＝________(用a ，b 表示)．DC → BC→ b －a －a －b [如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA→＝－＝－－＝－a －b .]BC → OC → OB → OA → OB→ 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.－　[由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，13所以Error!得Error!](对应学生用书第70页)平面向量的概念　给出下列四个命题：【导学号：79140145】①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；AB → DC→ ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④A [①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，AB → DC → AB → DC → AB → DC→ 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则∥且||＝||，∴＝.AB → DC → AB → DC → AB → DC → ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A ．][规律方法] 1 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. 2 共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈.3 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈.4 非零向量a 与的关系：是a 方向上的单位向量.a |a |a|a |[跟踪训练]　设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算　(1)(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )BC → CD→ A ．＝－＋B ．＝－AD → 13AB → 43AC → AD → 13AB → 43AC → C ．＝＋D ．＝－AD → 43AB → 13AC →AD → 43AB → 13AC →(2)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足＋＋＝0，＝λ，则PA → BP → CP → AP → PD→ 实数λ的值为________．(1)A (2)－2　[(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.AD → AC → CD → AC → 13BC → AC → 13AC → AB →43AC → 13AB → 13AB → 43AC→ 故选A ．(2)因为D 为边BC 的中点，所以＋＝2，PB → PC → PD→又＋＋＝0，PA → BP → CP→ 所以＝＋＝2，PA → PB → PC → PD → 所以＝－2，AP → PD → 与＝λ比较，得λ＝－2.]AP → PD→ [规律方法] 1 平面向量的线性运算方法①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解. 2 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.③比较、观察可知所求.3 选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.4 |a ＋b |与|a －b |的几何意义：以向量|a |，|b |为边作为平行四边形两条对角线的长度.[跟踪训练]　(1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于( )OA → OB → OC → OD→ A ．B ．2OM → OM → C ．3D ．4OM →OM →(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则CM → MB → AM → AB → AC→ ＝________.xy 【导学号：79140146】(1)D (2)3　[因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以＋＝2，OA → OC → OM→ ＋＝2，所以＋＋＋＝4.OB → OD → OM → OA → OB → OC → OD → OM →(2)由题设可得＋＝3(－)，CA → AM → AB → AM→ 即4＝3＋，亦即＝＋，AM → AB → AC → AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.故＝3.]3414xy共线向量定理的应用　设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；AB → BC → CD→ (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解]　(1)证明：∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD→ ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD→ ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.AB→ ∴，共线，又∵它们有公共点B ，AB → BD→ ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.[规律方法]　共线向量定理的三个应用1 证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线.2 证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A ，B ，C 三点共线.AB → AC→ 3 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 组 求参数的值.易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.[跟踪训练]　(1)已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD→ A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB→AD→＝i＋m j，＝n i＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是( )A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1BD→BC→CD→AB→(1)B　(2)C　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，BD→AB→∴，共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B．AB→AD→AB→AD→(2)因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋m j＝λ(n i＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，所以Error!则mn＝1，故选C．]。

第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算知识点、方法题号平面向量的概念1,10平面向量的线性运算3,5,8,13共线向量问题2,9三点共线问题4,11综合问题6,7,12,141.给出下列命题:①向量错误!未找到引用源。

与向量错误!未找到引用源。

的长度相等,方向相反;②错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=0;③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;④错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

是共线向量,则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是( A )(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:①正确;②中错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=0,而不等于0;③正确;④中错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选A.2.“存在实数λ,使得a=λb”,是“a与b共线”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a≠0,b=0,a=λb不成立.3.(2015福州期末)化简错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

的结果为( B )(A)错误!未找到引用源。

(B)错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)0解析:错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=(错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

)-(错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

)=错误!未找到引用源。

.4.(2015资阳模拟)已知向量错误!未找到引用源。

=a+3b,错误!未找到引用源。

=5a+3b,错误!未找到引用源。

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第1讲平面向量的概念及线性运算一、选择题1．已知下列各式：①错误!＋错误!＋错误!；②错误!＋错误!＋错误!＋错误!；③错误!＋错误!＋错误!＋错误!;④错误!－错误!＋错误!－错误!，其中结果为零向量的个数为（) A．1 B．2 C．3 D．4解析由题知结果为零向量的是①④,故选B.答案B2．设a是非零向量,λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a｜D．|－λa|≥|λ|·a解析对于A,当λ＞0时，a与λa的方向相同,当λ＜0时,a与λa 的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝｜－λ｜｜a｜,由于｜－λ|的大小不确定，故｜－λa|与｜a｜的大小关系不确定；对于D，｜λ|a 是向量，而｜－λa｜表示长度，两者不能比较大小．答案B3.如图，在正六边形ABCDEF中，错误!＋错误!＋错误!＝（)A．0 B。

错误!C。

错误! D.错误!解析由题图知错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

答案D4．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a｜a；②若a与a0平行，则a＝｜a|a0;③若a与a0平行且｜a｜＝1，则a 0＝a0。