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高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。
在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。
不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。
2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。
3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。
4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。
5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。
下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。
例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。
1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。
2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。
3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。
4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。
5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。
由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
不等式的性质与证明方法不等式是数学中常见的一种数对关系，描述了数值之间的大小关系。
在不等式中，我们关注的是不同数值之间的相对大小，而不是它们的具体数值。
本文将介绍不等式的一些基本性质以及一些常用的证明方法。
一、不等式的性质1. 传递性在不等式中，如果a>b，且b>c，那么有a>c。
这个性质叫做不等式的传递性。
传递性是不等式证明中常用到的性质，可以通过多次使用传递性来推导出一些复杂的不等式。
2. 反身性在不等式中，对于任何一个数a，都有a≥a。
这个性质叫做不等式的反身性。
即一个数总是大于等于自身。
3. 反对称性在不等式中，如果a≥b且b≥a，那么有a=b。
这个性质叫做不等式的反对称性。
反对称性表示如果两个数既大于等于彼此又小于等于彼此，则这两个数应该相等。
4. 加法性和减法性在不等式中，如果a≥b，那么有a+c≥b+c；如果a≥b，那么有a-c≥b-c。
这个性质叫做不等式的加法性和减法性。
加法性和减法性表示在不等式两边同时加或减一个常数，原不等式的大小关系仍然成立。
5. 乘法性和除法性在不等式中，如果a≥b且c>0，那么有ac≥bc；如果a≥b且c<0，那么有ac≤bc。
这个性质叫做不等式的乘法性和除法性。
乘法性和除法性表示在不等式两边同时乘或除一个正数（或负数），原不等式的大小关系仍然成立，但需要注意，当乘或除一个负数时，不等号的方向会颠倒。
二、证明方法1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最简单的一种方法。
这种方法通过对不等式进行一系列的推导和化简，最终直接得出结论。
例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以利用乘法性、加法性和反身性进行证明。
2. 对偶证明法对偶证明法是一种证明方法，通过将不等式中的符号进行翻转，然后利用已知的性质或定理进行证明。
例如，对于不等式a+b≥2√(ab)，可以对偶后得到4ab≥(a+b)²，然后再利用乘法性和加法性进行证明。
不等式的证明与应用不等式是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括代数、几何、不等式方法、不等式证明等。
本文将讨论不等式的证明方法以及其在实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质在证明不等式前，我们首先需要了解一些不等式的基本性质。
不等式在数学中是一种大小关系的描述，可分为等号不等式和不等号不等式。
等号不等式即不等式中包含等号，例如a ≤ b，a = b。
不等号不等式指的是不等式中不包含等号，例如 a < b。
不等式具有一些基本的运算性质，与等式运算性质相似，包括加减乘除运算性质和不等号运算性质。
根据不等式运算性质，我们可以对不等式进行加减乘除等运算，得到与原不等式等价的不等式。
二、不等式的证明方法1. 代数证明法代数证明法是一种通过代数运算来证明不等式的方法。
我们可以通过代数方程的变形、公式的运用和基本的代数运算来推导出所需证明的不等式。
例如，要证明a² + b² ≥ 2ab，我们可以通过将等式变形为(a - b)² ≥ 0，再运用平方性质和不等式性质来证明。
2. 几何证明法几何证明法通过几何图形的性质来证明不等式。
我们可以利用几何形状和图像来构造不等式，并通过几何推理来证明。
例如，证明直角三角形斜边的长度大于直角边的和。
我们可以通过构造一个直角三角形图形，然后应用三角不等式和勾股定理来证明不等式成立。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种通过递归推理来证明不等式的方法。
我们可以通过证明初始条件成立，然后通过递推关系来证明不等式在所有情况下都成立。
例如，要证明n² ≥ n，我们首先证明当 n = 1 时，不等式成立；然后假设对于任意的k ≥ 1，n = k 时不等式成立，即k² ≥ k；最后通过证明n = k + 1 时不等式成立来完成归纳证明。
三、不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中有广泛的应用，包括优化问题、约束条件问题、最大最小值问题等。
不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等． 要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围． 若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0． 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和．③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．（2）综合法：由因导果．（3）分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．（4）反证法：正难则反．（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的．放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(；②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ； ④利用常用结论：k k k k k 21111<++=-+；k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k（程度大） )1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知222a y x =+，可设θθs i n ,c o s a y a x ==；已知122≤+y x ，可设θθs i n ,c o s r y r x ==（10≤≤r ）；已知12222=+by a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知12222=-by a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究．证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．比较法是证明不等式最常用最基本的方法．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题．含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件．有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度． 不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
第六节 不等式的证明（1）知识要点梳理不等式的证明方法1.比较法：比较法又分为作差比较和作商比较,作商比较多用于都是正数、单项情况下,比值与1比较.作差比较最常用。
作差比较：B A B A ≤⇔≤-0 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小；含方根的式子大小比较时,常要将它们平方或立方,再比较,其根据是:若p>q>0,则p >q ,p 2>q 2;若m>n,则m 3>n 3,3m >3n .2.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.3.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。
4.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )；已知12222=+by a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；5.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 疑难点、易错点剖析1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.5.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）等.直击考点考点一 用比较法证明不等式（或比较两数（式）的大小）【例1】 设a ＞0，b ＞0，求证：（b a 2）21（ab 2）21≥a 21+b 21. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝abb a 33）（）（+－（a ＋b ）＝abb a ab b ab a b a ）（））（（+-+-+＝ab b ab a b a ））（（+-+2＝abb a b a 2））（（-+≥0.∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，右边左边＝）（））（（b a ab b ab a b a ++-+＝abbab a +-≥ab ab ab -2＝1. ∴原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩。
【例2】若水杯中的b 克糖水里含有a 克糖，假如再添上m 克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.思路分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知)0,0(>>>++<m a b mb m a b a 解：由题意得)0,0(>>>++<m a b mb ma b a 证法一：（比较法）)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++。
0,0>>>m a b ，0,0>+>-∴m b a b ， bam b m a m b b a b m >++>+-∴即0)()(证法二：（数形结合法）如图，在Rt ∆ABC 及Rt ∆ADF 中，AB=a ，AC=b ，BD=m ，作CE ∥BD ADF ABC ∆∆∽ ，mb m a CE b m a CF b m a b a ++=++<++=∴考点二 用多种方法证明不等式（一题多证） 【例3】 已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y. 求证：a x x +＞by y+. 思路分析:观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一:（作差比较法） ∵a x x +-b y y +=))((b y a x ay bx ++-,又a 1＞b1且a 、b ∈R +， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0,∴bx ＞ay. ∴))((b y a x ay bx ++-＞0,即a x x+＞by y +.证法二:(分析法)∵x 、y 、a 、b ∈R +,∴要证a x x+＞by y +, 只需证明a x x +＞by y +,即证xb ＞ya.而由a 1＞b 1＞0,∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0, 知xb ＞ya 显然成立.故原不等式成立.思考：该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一:令f(x)=a x x +,易证f(x)在(0,+∞)上为增函数,从而a x x+>ay y +. 再令g(x)=xm m+,易证g(x)在(0,+∞)上单调递减.∵a 1>b1,a 、b ∈R +,∴a<b. ∴g(a)>g(b),即a m m +>bm m+,命题得证.解法二:原不等式即为1+a x a x >1+b y b y,为此构造函数f(x)=1+x x,x ∈(0,+∞).易证f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,而a x >by,∴1+a x a x >1+by b y，即a x x+>b y y +.考点三 用综合法证明不等式考例4 设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a ＜1.求证：log a （a x ＋a y ）＜log a 2＋81.思路分析：不等式左端含x 、y ，而右端不含x 、y ，故从左向右变形时应消去x 、y . 证明：∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2y x a +＝22x x a -. ∵x －x 2＝41－（x －21）2≤41，0＜a ＜1， ∴a x＋a y≥241a ＝2a 81.∴log a （a x＋a y）＜log a 2a 81＝log a 2＋81.锦囊妙计：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a x ＋ay≥2·a 81即可．【考例5】 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1.求证： （1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.思路分析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a +b +c ”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a 、b 、c ∈R +且a +b +c =1， ∴要证原不等式成立， 即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］.也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ）. ①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0， （b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0， （c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0， 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证.紧扣考纲大演练一.单项选择题1.(06上海春季高考)若a 、b 、c ∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) A.a 1<b 1B.a 2>b 2C.12+c a >12+c b D.a|c|>b|c| 解析：由不等式的性质容易得答案C. 答案：C2.若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确的是( ) A.a 2＜b 2 B.ab ＜b 2 C.a b +ba＞2 D.|a|+|b|＞|a+b|解析:由a 1＜b1＜0,知b ＜a ＜0.∴A 不正确.答案:A3.(07东北三校联考)设函数f(x)是定义在R 上,周期为3的奇函数,若f(1)<1,f(2)=112+-a a ,则( ) A.a<21且a ≠-1 B.-1<a<0 C.a<-1或a>0 D.-1<a<2 解析:由题意得f(-2)=f(1-3)=f(1)<1, ∴-f(2)<1, 即-112+-a a <1.∴13+a a >0,即3a(a+1)>0. ∴a<-1或a>0.故选C.答案:C（文）4.若x>0,y>0,且x 2+y8=1,则xy 有( ) A.最大值64 B.最小值64 C.最大值641 D.最小值21 解析：1=x 2+y 8≥2y x 82∙=8xy1,∴xy ≥64. 答案：B（理）4.已知m 2+n 2=1,a 2+b 2=2,则am+bn 的最大值是( ) A.1 B.23C.2D.以上都不对解析：三角代换:令m=cos α,n=sin α,a=2cos β,b=2sin β.am+bn=2cos(α+β)≤2.答案：C（理）5.已知0<a<1,b>1且ab>1,则下列不等式中成立的是( )A.log b b 1<log a b<log a b 1B.log a b<log b b 1<log a b1 C.log a b<log a b 1<log b b 1 D.log a b 1>log a b1<log a b解析：特殊值法.令a=101,b=100.答案：B（文）5.已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定解析：∵x 2=21（a +b ）2=21（a +b +2ab ）， y 2=a +b =21（a +b +a +b ）＞21（a +b +2ab ）=x 2，又x ＞0，y ＞0.∴y ＞x . 答案：B（文）6.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案：A（理）6.若不等式（－1）na ＜2+nn 11+-）（对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是A.［－2，23）B.（－2，23）C.［－3，23）D.（－3，23） 解析：当n 为正偶数时，a ＜2－n 1，2－n 1为增函数，∴a ＜2－21=23. 当n 为正奇数时，－a ＜2+n 1，a ＞－2－n 1.而－2－n 1为增函数，－2－n1＜－2， ∴a ≥－2.故a ∈［－2，23）. 答案：A 二.填空题7.（理）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，则a m 与b m 的大小关系是____________.解析：若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象，易知a m ＞b m ，故a m ≥b m .答案：a m ≥b m7（文）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a 2n +1=b 2n +1＞0（n =1，2，3，…），则a n +1与b n +1的大小关系是____________.解析：a n +1=2121++n a a ≥121+n a a =121+n b b =b n +1. 答案：a n +1≥b n +18.若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”）解析：a ＞b ＞c ，（b a -1+c b -1）（a －c ）=（b a -1+cb -1）［（a －b ）+（b －c ）］ ≥2））（（c b b a --1·2））（（c b b a --=4.∴b a -1+c b -1≥c a -4＞c a -3. 答案：＞9.对实数a 和x 而言，不等式x 3+13a 2x ＞5ax 2+9a 3成立的充要条件是____________.解析：（x 3+13a 2x ）－（5ax 2+9a 3） =x 3－5ax 2+13a 2x －9a 3 =（x －a ）（x 2－4ax +9a 2） =（x －a ）［（x －2a ）2+5a 2］＞0.∵当x ≠2a ≠0时，有（x －2a ）2+5a 2＞0.由题意故只需x －a ＞0即x ＞a ，以上过程可逆. 答案：x ＞a10.同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a 1,a 2,…,a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ,则_______________________(结论用数学式子表示). 解析：设原有人数为n,去掉n-m 个人(1≤m<n),n 个人的平均分为na a a n+⋅⋅⋅++21;m 个人的平均分为ma a a m+⋅⋅⋅++21.依题意,m a a a m +⋅⋅⋅++21≤na a a n+⋅⋅⋅++21,m n a a a n m m -+⋅⋅⋅++++21≥n a a a n+⋅⋅⋅++21三.解答题11.已知a ＞b ＞c 且a +b +c =0，求证：ac b -2＜3a . 证明：要证ac b -2＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2， 即证b 2+a （a +b ）＜3a 2，即证（a －b ）（2a +b ）＞0，即证（a －b ）（a －c ）＞0. ∵a ＞b ＞c ，∴（a －b ）·（a －c ）＞0成立. ∴原不等式成立.12.已知a +b +c =0，求证：ab +bc +ca ≤0. 证法一：（综合法）∵a +b +c =0， ∴（a +b +c ）2＝0.展开得ab +bc +ca =－2222c b a ++，∴ab +bc +ca ≤0.证法二：（分析法）要证ab +bc +ca ≤0， ∵a +b +c =0，故只需证ab +bc +ca ≤（a +b +c ）2， 即证a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca ≥0，亦即证21［（a +b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2］≥0． 而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， ∴原不等式成立.证法三：∵a +b +c =0，∴－c =a +b .∴ab +bc +ca =ab +（b +a ）c =ab －（a +b ）2 ＝－a 2－b 2－ab ＝－［（a ＋2b ）2＋432b ］≤0．∴ab +bc +ca ≤0.13.设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1.证明：∵a 、b 、c 均为实数，∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立； 21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca 21≥a c +1． 三个不等式相加即得a 21+b 21+c21≥c b +1+a c +1+b a +1，当且仅当a =b =c 时等号成立.。
