平面向量概念和基本运算

平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。

一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。

二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。

六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。

七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。

设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。

八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC u u u r u u u r ，∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r，因此，AB DC u u u r u u u r．③ 正确．∵ a r =b r ，∴ a r ，b r的长度相等且方向相同；又b r ＝c r ，∴ b r ，c r的长度相等且方向相同，∴ a r ，c r 的长度相等且方向相同，故a r ＝c r ．④ 不正确．当a r //b r 且方向相反时，即使|a r |=|b r |，也不能得到a r =b r，故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b r =0r这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k解：∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得：c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有22a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

第六章平面向量【知识框架】向量及基本概念 二向量的表示''几何意义向量的加法 < 运算律 向量的减法n 几何意义向量的线性运算运算律数乘向量』向量共线的条件平面向量基本定理• I'物理背景与集合意义向量的数量积《运算律性质向量的应用'向量在几何中的应用二平面几何和解析几何i向量在物理中的应用二位移、力学等6. 1向量的基本概念及基本运算(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模 _(2 )特定大小或关系的向量T① 零向量：模为0的向量，记作 0,其方向是任意的② 单位向量：模为1个单位长度的向量③ 共线向量(平行向量)：方向相同或相反的非零向量。

规定：零向量与任何向量共线 ④ 相等向量：模长相等且方向相同的向量⑤ 相反向量：模长相等但方向相反的向量。

规定：零向量的相反向量是它本身 2.向量的表示法① 字母表示法：如小写字母 a , b , c 等，或AB , CD 等 ② 几何表示法：用一条有向线段表示1. 向量的加法、减法(1 )法则：平行四边形法则、三角形法则 (2 )运算律：交换律、结合律 (3)几何意义：平面向量:向量线性运算的坐标表i 向量数量积的坐标表示知识点三：定理与公式1共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数’，使得b - ■ a2. 平面向量基本定理：女口果 0(2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数■ 1, '2,使a ='心一心色3 .三点共线定理:平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数：■ J ,使得OA = -OB • IOC ，其中-■ - - -1 , 0为平面上任意一点 4.①平面内有任意三点。

、A 、B ，若M是线段AB的中点，则0M 冷0A 0B②ABC 中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则 AB BC C^ 0 , GA GB 0③ 向量加法的多边形法则【自主学习】1. 以下命题中，正确命题的序号是 _________ (1 )若 a=b ，贝y a = b (2) 若a,b 都是单位向量，则a =b-fe-f —Ifc—*■—>rf(3) 若a = o,b 二 o,则a 二 b (4)若 a = b 且 a // b,则 a = b(5) 若四边形ABCD 是平行四边形，则 AB 二DC,BC 二DA2. 已知直线x +y =a 与圆x 2 +y 2 =4交于AB 两点，且 OA + OB = OA —OB 。

平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。

平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。

一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。

可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。

二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。

具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。

三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。

对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。

设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。

设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有 的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作 ．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法 减法 数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的， 即 a +(-b )=a -b实数与向量的 积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律 交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。

在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。

本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。

一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。

向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。

二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。

2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。

A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。

A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。

数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。

kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。

计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。

零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。

3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。

【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。

平面向量的概念与运算平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。

本文将介绍平面向量的概念以及常见的运算方法。

一、平面向量的概念平面向量是指具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示，标志有向线段的箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量常用大写字母表示，例如A、B。

二、平面向量的表示平面向量可以分为简易表示法和坐标表示法两种方式。

1. 简易表示法在平面上，我们可以通过箭头的起点和终点来表示向量的方向和大小。

例如，向量AB表示从点A指向点B的向量，大小为AB的长度。

2. 坐标表示法使用坐标系来表示平面向量。

在二维坐标系中，平面上的向量可以表示为 <x, y> 的形式，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数乘三种运算。

1. 加法运算设有向量A和向量B，它们的和向量记作A + B。

假设A = <a1,a2>，B = <b1, b2>，则A + B = <a1 + b1, a2 + b2>。

2. 减法运算设有向量A和向量B，它们的差向量记作A - B。

假设A = <a1, a2>，B = <b1, b2>，则A - B = <a1 - b1, a2 - b2>。

3. 数乘运算设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA。

假设A = <a1, a2>，则kA = <ka1, ka2>。

数乘可以改变向量的大小和方向，当k大于0时，向量的方向与原向量一致，当k小于0时，向量的方向与原向量相反。

四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性两个向量相等表示它们的大小和方向都相同。

2. 平移性向量的平移不会改变其大小和方向。

3. 共线性若两个向量的方向相同或者相反，则它们共线。

4. 三角形法则若将两个向量的起点连结，形成的三角形的第三条边是这两个向量的和向量。

平面向量运算
平面向量运算可以说是代数学中最基础的概念，也是最为重要的内容之一。

它涉及到不同的概念，可以用来解决实际的问题。

本文将详细介绍平面向量的定义及其基本运算，以及一些常见的应用实例。

平面向量是指在二维平面上的一个向量，由两个数字组成，表示在横轴和纵轴的方向和长度，常写作 a = (a1 , a2)。

其中，a1横轴方向的长度，a2纵轴方向的长度。

平面向量可以用箭头表示，从原点（0，0）指向向量终点（a1，a2），其大小是指向量的长度，方向是指向量的方向（朝向终点），它的量的大小和方向是确定的。

平面向量的基本运算有加法、减法、数乘和叉乘四类运算。

其中，加法是指两个向量叠加，即将两个向量的大小和方向进行相加，可以简写为a+b=c；减法是指将两个向量的大小和方向进行相减，可以简写为a-b=c；数乘是指将一个常数和一个向量相乘，即常数与向量的大小和方向相乘，可简写为k*a=c；叉乘是指两个向量叉乘，即两个向量的大小和方向相乘，可简写为a*b=c。

平面向量的常见应用是解决几何问题。

例如，用平面向量可以解决一般的物体的位置和投影长度问题，包括点到点、点到直线、线段到点、直线到直线、圆到直线等。

平面向量运算也可以用来解决图形问题，如求出四边形的面积，求出多边形的周长，求出平行四边形的平行边的距离等。

此外，平面向量的运算还可以应用于力学、地理学等，以解决多种实际问题。

总之，平面向量是数学中最基础的概念，也是最为重要的内容之
一。

它的基本运算可以用于解决多种实际问题。

希望通过本文，读者可以对平面向量运算有更深入的理解。

平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。

它通常用有序数对表示，即(x,y)。

其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。

平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。

1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。

数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。

3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。

减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。

用符号表示为A·B。

数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。

除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC （1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b ∙<>=∙= 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。

平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。

本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。

1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。

平面向量有两个基本属性：方向和大小。

方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。

2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。

在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。

位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。

3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。

4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。

向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。

5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。

6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。

若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。

8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。

平面向量概念1. 概念定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

平面向量通常用小写字母加上一个箭头来表示，如→a。

2. 重要性平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。

它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。

2.1 几何应用平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。

通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。

2.2 物理应用在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。

2.3 工程应用在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。

通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。

3. 平面向量的基本运算3.1 加法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。

向量加法满足交换律和结合律。

3.2 减法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。

减法可以看作加法的逆运算。

3.3 数乘设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。

数乘改变向量的大小，但不改变其方向。

3.4 数量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为→a·→b=x1x2+y1y2。

数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。

3.5 向量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的向量积为→a×→b=x1y2-y1x2。

向量积的结果是一个向量，其大小表示两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

平面向量的概念和运算平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。

一、平面向量的定义和表示平面向量是有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。

设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。

平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。

例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-1), 2+4) = (2, 6)。

2. 平面向量的数乘设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。

例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。

3. 平面向量的减法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，其中-CD = (-x2, -y2)。

例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。

三、平面向量的性质和应用1. 平面向量的共线性与共面性如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线；如果三个向量在同一个平面内，则它们共面。

2. 平面向量的数量积设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，它们的数量积记作AB·CD = x1x2 + y1y2。

平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

错误!未找到引用源。

若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。