2021届江苏省徐州市苏北三市高三第一次质量检测数学试题Word版含解析

江苏省徐州市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2018·衢州）-3的相反数是（ ）A. 3B. -3C. 13D. −13【答案】 A【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：-3的相反数是-（-3）=3.故答案为：A【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

2.（2021·徐州）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B.C. D.【答案】 D【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意故答案为：D【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可. 3.（2021·徐州）下列计算正确的是（ ）A. (a 3)3=a 9B. a 3·a 4=a 12C. a 2+a 3=a 5D. a 6÷a 2=a 3【答案】 A【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】A. (a 3)3=a 9 ，符合题意；B. a 3·a 4=a 7≠a 12 ，不符合题意；C. a 2+a 3≠a 5 ，不符合题意；D. a6÷a2=a4≠a3，不符合题意故答案为：A【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法及除法、合并同类项分别进行计算，然后判断即可.4.（2021·徐州）甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别.具体情况如下表所示.若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋（）A. 摸出红色糖果的概率大B. 摸出红色糖果的概率小C. 摸出黄色糖果的概率大D. 摸出黄色糖果的概率小【答案】C【考点】概率公式【解析】【解答】解：P（甲袋摸出红色糖果）=25，P（甲袋摸出黄色糖果）=25，P（乙袋摸出红色糖果）=410=25，P（乙袋摸出黄色糖果）=210=15，∴P（甲袋摸出红色糖果）=P（乙袋摸出红色糖果），故A，B错误；P（甲袋摸出黄色糖果）>P（乙袋摸出黄色糖果），故D错误，C正确.故答案为：C.【分析】利用概率公式分别求出甲袋摸出红色糖果，甲袋摸出黄色糖果，乙袋摸出红色糖果，乙袋摸出黄色糖果的概率，然后比较即可.5.（2021·徐州）第七次全国人民普查的部分结果如图所示.根据该统计图，下列判断错误的是（）A. 徐州0－14岁人口比重高于全国B. 徐州15－59岁人口比重低于江苏C. 徐州60岁以上人口比重高于全国D. 徐州60岁以上人口比重高于江苏【答案】 D【考点】条形统计图【解析】【解答】解：根据题目中的条形统计图可知：徐州0－14岁人口比重高于全国，A选项不符合题意；徐州15－59岁人口比重低于江苏，B选项不符合题意；徐州60岁以上人口比重高于全国，C选项不符合题意；徐州60岁以上人口比重低于江苏，D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据条形统计图中的数据对四个选项逐一判断即可.6.（2021·徐州）下列无理数，与3最接近的是（）A. √6B. √7C. √10D. √11【答案】C【考点】估算无理数的大小【解析】【解答】解：∵32=9，( √6)2=6，( √7)2=7，( √10)2=10，( √11)2=11，∴与3最接近的是√10，故答案为：C.【分析】用逼近法估算无理数的大小，即可求解.7.（2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A. y=(x−2)2+1B. y=(x+2)2+1C. y=(x+2)2−1D. y=(x−2)2−1【答案】B【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+2)2+1，故答案为：B【分析】先求出y=x2的顶点坐标为（0，0），再求出平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，1），利用平移的性质利用顶点式写出平移后抛物线解析式即可.8.（2021·徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A. 27倍B. 14倍C. 9倍D. 3倍【答案】C【考点】正方形的性质，圆的面积【解析】【解答】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= 1(2x)2=2x2，2∴9πx2÷2x2= 9π≈14，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，2故答案为：C.【分析】由圆和正方形的对称性可知：OA=OD，OB=OC，可设OB=x，则OA=3x，BC=2x，分别求出圆、正方形的面积，即可求出结论.二、填空题9.（2021·徐州）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为________人.【答案】9.08×106【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：9080000=9.08×106，故答案为：9.08×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此解答即可.10.49的平方根是________．【答案】±7【考点】平方根【解析】【解答】解：49的平方根是±7．故答案为：±7．【分析】根据平方根的定义解答．11.（2021·徐州）因式分解：x2－36= ________.【答案】（x＋6）（x－6）【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】解：x2－36=（x＋6）（x－6）；故答案为：（x＋6）（x－6）.【分析】利用平方差公式分解即可.12.（2021·崆峒模拟）为使√x−1有意义，则x的取值范围是________.【答案】x≥1【考点】二次根式有意义的条件【解析】【解答】根据二次根式的被开方数为非负数，可知x-1≥0，解得x≥1.【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.13.（2021·徐州）若x1,x2是方程x2+3x=0的两个根，则x1+x2=________. 【答案】-3【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：∵x1,x2是方程x2+3x=0的两个根，∴x1+x2=−ba =−31=−3，故答案是：-3.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可知x1+x2=−ba，据此求解即可.14.（2021·徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC=58°，则∠BAC= ________°.【答案】32【考点】圆周角定理【解析】【解答】∵∠ADC=58°，∴∠ABC=∠ADC=58°，又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°−58°=32°.故答案为：32.【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC=∠ADC=58°，由AB是直径，可得∠ACB= 90°，利用三角形内角和即可求出∠BAC的度数.15.（2021·徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ=90°，则圆锥的底面圆半径r为________ cm.【答案】2【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：∵母线长l为8cm，扇形的圆心角θ=90°∴圆锥的底面圆周长=θπl180=90×8π180=4πcm∴圆锥的底面圆半径r=4π2π=2cm故答案为：2.【分析】根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长即可求解.16.（2021·徐州）如图，在ΔABC中，点D,E分别在边BA,BC上，且ADDB =CEEB=32，ΔDBE与四边形ADEC的面积的比为________.【答案】421【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵ADDB =CEEB=32，∴BDAD =BEEC=23∴BDAB =BEBC=25∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∴S△BDES△ABC =(BDBA)2=(25)2=425∴ΔDBE与四边形ADEC的面积的比= 421.故答案是：421.【分析】证明△BDE∽△BAC，可得S△BDES△ABC =(BDBA)2，据此即可求出结论.17.（2021·徐州）如图，点A,D分别在函数y=−3x ,y=6x的图象上，点B,C在x轴上.若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是________.【答案】（2，3）【考点】点的坐标，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴设D点坐标为（m，6m ），则A点坐标为（−m2，6m），∴m-（−m2）= 6m，解得：m=±2（负值舍去），经检验，m=2是方程的解，∴D点坐标为（2，3），故答案是：（2，3）.【分析】设D点坐标为（m，6m ），由正方形的性质，可得A点坐标为（−m2，6m），根据正方形的边长相等，可得m-（−m2）= 6m，求出m值即可.18.（2021·徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E,F分别在线段AB,AD上.若BE= FD=2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为________ cm.【答案】24【考点】矩形的性质【解析】【解答】∵矩形 AEGF 的周长为 20cm ，∴ AE +AF =10 ，设 AE =x ，则 AF =10−x ， AB =x +2 ， AD =12−x ，S 阴影=S ABCD −S AEGF =AB ×AD −AE ×AF=(x +2)(12−x)−x(10−x)=12x +24−x 2−2x −10x +x 2=24 ，故答案为24.【分析】由矩形的性质及周长，可求出AE +AF =10 ， 设 AE =x ，则 AF =10−x ， AB =x +2 ， AD =12−x ，由S 阴影=S 矩形ABCD −S 矩形AEGF ， 利用矩形的面积公式代入计算即得结论.三、解答题19.（2021·徐州）计算：（1）|−2|−20210+√83−(12)−1（2）(1+2a+1a 2)÷a+1a【答案】 （1）解：原式= 2−1+2−2=1（2）解：原式=a 2+2a+1a 2⋅a a+1 =(a+1)2a 2⋅a a+1 = a+1a【考点】实数的运算，分式的混合运算【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数幂的性质、立方根进行计算即可； （2）将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.20.（2021·徐州）（1）解方程： x 2−4x −5=0（2）解不等式组： {2x −1≤3x +2>3x +8【答案】 （1）解：∵ x 2−4x −5=0∴ (x +1)(x −5)=0∴ x 1=−1 ， x 2=5（2）解：∵{2x−1≤3x+2>3x+8∴{2x≤42x<−6∴{x≤2x<−3∴x<−3【考点】因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.21.（2021·徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE= EC，OE=ED，连接BC，CD.求证：（1）ΔAOE≅ΔCDE；（2）四边形OBCD是菱形.【答案】（1）证明：在△AOE和△CDE中，∵{AE=CE∠AEO=∠CEDOE=DE，∴△AOE≅△CDE(SAS)（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AO=BO，∵△AOE≅△CDE，∴∠OAC=∠DCA，AO=CD，∴BO∥CD，BO=CD，∴四边形OBCD是平行四边形.∵BO=DO，∴四边形OBCD是菱形【考点】菱形的判定，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）根据SAS可证△AOE≌△CDE；（2）先证明四边形OBCD是平行四边形，由BO=DO，利用邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.22.（2021·徐州）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合.点D落在点G处.已知AB=4，BC=8.（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠FEC=∠AFE因为折叠，则∠FEC=∠AEF∴∠AEF=∠AFE∴ΔAEF是等腰三角形（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=8,CD=AB=4，∠D=90°设FD=x，则AF=AD−x=8−x因为折叠，则FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°在Rt△AGF中FG2=AF2−AG2即x2=(8−x)2−42解得：x=3∴FD=3【考点】等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得∠FEC=∠AFE，由折叠可得∠FEC=∠AEF，从而得出∠AEF=∠AFE，利用等腰三角形的判定即证结论；（2）由矩形的性质可得AD=BC=8,CD=AB=4，∠D=90°，设FD=x，可得AF= AD−x=8−x，由折叠可得FG=x，AG=CD=4，∠G=∠D=90°，在Rt△AGF中，由FG2=AF2−AG2可得关于x的方程，求解即可.23.（2021·徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问：该商品打折前每件多少元？【答案】解：该商品打折卖出x件400 x ⋅810=400x+2解得x=8经检验：x=8是原方程的解，且符合题意∴商品打折前每件4008=50元答：该商品打折前每件50元.【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】设商品打折卖出x件，根据折后的单价不变，列出方程，求解并检验即可.24.（2021·徐州）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1,B1,B2,⋯,D3,D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内.用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率.【答案】解：画树状图得：所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为38【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】利用树状图列举出圆球下落过程中共有8种等可能路径，其中落入③号槽内的有3种，然后利用概率公式计算即可.25.（2021·徐州）某市近年参加初中学业水平考试的人数（以下简称“中考人数”）的情况如图所示.根据图中信息，解决下列问题：（1）这11年间，该市中考人数的中位数是________万人；（2）与上年相比，该市中考人数增加最多的年份是________年；（3）下列选项中，与该市2022年中考人数最有可能接近的是（）A.12.8万人；B.14.0万人；C.15.3万人（4）2019年上半年，该市七、八、九三个年级的学生总数约为（）A.23.1万人；B.28.1万人；C.34.4万人（5）该市2019年上半年七、八、九三个年级的数学教师共有4000人，若保持数学教师与学生的人数之比不变，根据（3）（4）的结论，该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加多少人（结果取整数）？【答案】（1）7.6（2）2020（3）C（4）C（5）解：由题意得：2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6，∴4000×40.6−4000=721（人）34.4答：该市2020年上半年七、八、九三个年级的数学教师较上年同期增加721人.【考点】用样本估计总体，折线统计图，中位数【解析】【解答】解：（1）∵11个数据从大到小排列：13.7，11.6，10.3，9.1，8.6，7.6，7.4，6.8，6.6，6.2，6.1，∴中位数为：7.6，故答案是：7.6；（2）∵6.6-6.1=0.5，7.4-6.6=0.8，9.1-7.4=1.7，11.6-9.1=2.5，13.7-11.6=2.1，∴该市中考人数增加最多的年份是2020年，故答案是：2020；（3）∵2021年与2020年中考人数相差2.1万，∴2022年与2021年中考人数相差约2.1万，∴2022年中考人数为15.3万人最合适，故答案为：C ；（4）∵2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，∴2019年上半年，七八九年级总人数为：9.1+11.6+13.7=34.4（万）故答案为：C ；【分析】（1）将这11个数据从大到小排列，最中间位置的数据即为中位数；（2）分别求出下年比上年所多的人数，然后比较即可；（3）由于2021年与2020年中考人数相差2.1万，可得2022年与2021年中考人数相差约2.1万，据此判断即可；（4）由于2019年七年级同学在2021年中考，八年级同学在2020年中考，将2019、2010、2021这三年的中考人数相加即可.（5）先求出2020年上半年学生人数约为11.6+13.7+15.3=40.6， 由于保持数学教师与学生的人数之比不变，可求出2020年数学老师人数，再减去4000即得结论.26.（2021·徐州）如图，点 A,B 在函数 y =14x 2 的图象上.已知 A,B 的横坐标分别为－2、4，直线 AB 与 y 轴交于点 C ，连接 OA,OB .（1）求直线 AB 的函数表达式；（2）求 ΔAOB 的面积；（3）若函数 y =14x 2 的图象上存在点 P ，使得 ΔPAB 的面积等于 ΔAOB 的面积的一半，则这样的点 P 共有________个.【答案】 （1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4）设直线AB 的解析式为 y =kx +b ，把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB的解析式为：y=12x+2（2）解：对于直线AB：y=12x+2当x=0时，y=2∴OC=2∴SΔAOB=SΔAOC+SΔBOC= 12×2×2+12×2×4=6（3）4【考点】待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（x，14x2）∵ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，∴ΔPAB的面积等于12×6=3，①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，∵S四边形ADEB=S四边形ADFP+S四边形PFEB+SΔPAB∴12×(1+4)×(2+4)=12(x+2)(1+14x2)+12(14x2+4)(4−x)+3整理，得，x2−2x−4=0解得，x1=1+√5，x2=1−√5∴在直线AB的下方有两个点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半；②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，∵S四边形PADF=S四边形ADEB+S四边形BEFP+SΔPAB∴12(1+14x2)(x+2)=12×(1+4)×(2+4)+12(4+14x2)(x−4)+3整理，得，x2−2x−12=0解得，x1=1+√13，x2=1−√13∴在直线AB的上方有两个点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半；综上，函数y=14x2的图象上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有4个，故答案为：4.【分析】（1）利用抛物线解析式求出A、B坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；（2）由直线AB解析式可求出点C坐标，即得OC，根据SΔAOB=SΔAOC+SΔBOC，利用三角形面积公式求解即可；（3）分两种情况：①当点P在直线AB的下方时，②当点P在直线AB的上方时，根据割补法分别建立方程，求解即可.27.（2021·徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F,E为DF与AB的交点.已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°.参考数据：√2√3√6≈2.45（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°.后排光伏板的前端H在AB 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？【答案】（1）解：在Rt△ADF中，cos∠DAF=AFAD∴AF=ADcos∠DAF= 100×cos28°= 100×0.88=88cm在Rt△AEF中，cos∠EAF=AFAE∴AE=AFcos∠EAF =88cos13°=880.97≈91cm（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，则∠AMN=∠MAC+∠MGA∴∠AMN=13°+32°=45°在Rt△ADF中，DF=AD·sin∠DAF=100×sin28°=100×0.47=47cm 在Rt△DFG中，DFFG=tan∠DGF=tan32°=0.62∴FG=DF0.62≈75.8cm∴AG=AF+FG=88+75.8= 163.8cm∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴AN=AG×sin32°=163.8×0.53≈86.8cm在Rt△ANM中，sin45°=ANAM=86.8 AM∴AM=√22≈123.1cm∴EM=AM−AE=123.1−91=32.1cm≈32cm ∴EH的最小值为32cm。

提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2022·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2022·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝()A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.3．(2022·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2022·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案]B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2022·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2022·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( ) A.613 B.365 C.65 D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“美丽 图象”．下列函数的图象为“美丽 图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，由于y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，由于x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排解B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排解C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，依据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2022·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.10．(2022·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B [解析]画出函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2022·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，明显在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，由于函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．由于C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2022·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x 2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观看得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2022·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．[答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA→＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，简洁得到∠ACB ＝120°.∵CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2022·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P.(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0， x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x－x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1.又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k ＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2022·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a ∈R . (1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0， ∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0， ∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32， x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增； x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减； ∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln xx 2有唯一正实数根， 令φ(x )＝－x －ln xx 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2xx 4＝x －1＋2ln xx 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增． 即φ(x )≥φ(1)＝－1， 又当x →0时，φ(x )→＋∞， 而当x →＋∞时，φ(x )→0且φ(x )<0，故满足条件的实数a 的取值范围为：{a |a ≥0或a ＝－1}．。

江苏省苏北四市2021—2021 学年度高三第一次调研考试数学试题考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题〔第 1 题——第14 题〕、解答题〔第 15 题——第20 题〕。

本卷总分值160 分，考试时间为120 分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

参考公式：样本数据 x1, x2 ,, x n的方差 s21n(xix)2，其中 x 1 n x i．n i1n i1一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1．假设复数z11i ， z224i ，其中 i 是虚数单位，那么复数z1 z2的虚部是．2．集合 A( ,0] ， B{1,3,a} ，假设 A B，那么实数 a 的取值范围是．3．假设函数 f ( x)2m 为奇函数，那么实数m．开始2x14．假设抛物线的焦点坐标为(2,0) ，那么抛物线的标准方程S0,n1是．5．从某项综合能力测试中抽取10 人的成绩，统计如n ≤12N下表，那么这10 人成绩的方差为．Y输出 S 分数54321S S n人数31132结束n n26．如图是一个算法的流程图，那么最后输出的S〔第 6 题图〕．7．直线 l1： ax 3 y10 ， l 2： 2 x (a1)y10 ，假设 l1∥ l 2，那么实数 a 的值是．8．一个质地均匀的正四面体〔侧棱长与底面边长相等的正三棱锥〕玩具的四个面上分别标有1， 2， 3， 4 这四个数字．假设连续两次抛掷这个玩具，那么两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是．π 3，π，那么 cos．9． cos()( , π)45210．函数 y f ( x)及其导函数 y f ( x) 的图象如下图，那么曲线 y f ( x) 在点 P 处的切线方程是．yy f (x)yf ( x)1OP(2,0)x〔第 10 题图〕11．在△ ABC 中，点 M 满足 MAMBMC0 ，假设 ABAC mAM 0 ，那么实数 m 的值为．12．设 m ， n 是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出以下命题：①假设 m ， ，那么 m ； ②假设 m// ， m ，那么 ；③假设 ， ，那么 ；④假设 m ， n ， m//n ，那么 // ．上面命题中，真命题 的序号是〔写出所有真命题的序号〕 ．．．．13．假设关于 x 的不等式 (2 x 1)2 ≤ ax 2 的解集中的整数恰有2 个，那么实数 a 的取值范围是．14．数列{ a n } ， { b n } 满足 a 11 ， a 22 ， b 1 2 ，且对任意的正整数i , j , k , l ，当12021i j kl 时，都有 a ib ja kb l ，那么 (a ib i ) 的值是．2021 i 1二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定位置 内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值 14 分〕如图，在△ ABC 中，AB3，AC6 ， BC7 ，AD是BAC 平分线．（ 1〕求证： DC 2BD ；〔 2〕求 AB DC 的值．ABDC〔第 15 题图〕16．〔本小题总分值14 分〕如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PB PD ，且E，F分别是BC， CD 的中点．求证：（1〕EF ∥平面PBD；（2〕平面PEF⊥平面 PAC ．PAFBE C〔第 16 题图〕17．〔本小题总分值14 分〕在各项均为正数的等比数列{ a n } 中， a22a1 3 ，且 3a2， a4， 5a3成等差数列．〔 1〕求数列 { a n } 的通项公式；〔 2〕设 b n log3 a n，求数列a n b n的前n项和S n．18．〔本小题总分值16 分〕椭圆 E：x2y21的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆 C 的圆心，圆84C 恰好经过坐标原点O，设 G 是圆 C 上任意一点．〔 1〕求圆 C 的方程；〔 2〕假设直线 FG 与直线l交于点 T，且 G 为线段 FT 的中点，求直线FG 被圆 C 所截得的弦长；〔 3〕在平面上是否存在一点P，使得GF 1 ？假设存在，求出点P坐标；假设不存在，GP 2请说明理由．19．〔本小题总分值16 分〕如图 1，OA， OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤．为观光旅游需要，拟过栈桥 CD 上某点M分别修建与OA，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以 MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图 2 所示的直角坐标系，测得CD 的方程是 x 2 y 20(0 x 20) ，曲线 EF 的方程是 xy 200( x 0) ，设点M的坐标为 (s, t) ．〔题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度〕〔 1〕求三角形观光平台MGK 面积的最小值；〔 2〕假设要使 MGK 的面积不小于320 平方米，求t 的范围．图 1图220．〔本小题总分值16 分〕函数 f ( x)e x ax 1〔 aR ，且 a 为常数〕．〔 1〕求函数 f ( x) 的单调区间；〔 2〕当 a 0 时，假设方程 f (x)0〔 3〕假设对所有x ≥ 0 都有 f ( x) ≥只有一解，求 a 的值；f ( x) ，求 a 的取值范围．数学Ⅱ 〔附加题〕21．【选做题】此题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．A ．选修 4-1：几何证明选讲〔本小题总分值10 分〕如图， AB 是⊙O的直径，弦 BD 、CA的延长线相交于点E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F．求证：E〔 1〕AED AFD ；D·FBA O〔 2〕 AB 2 BE BD AE AC ．B ．选修 4-2：矩阵与变换 〔本小题总分值10 分〕求曲 线 2x 22 xy 10 在矩 阵 MN 对应的变 换作用下得 到的曲线方 程，其中1 0 1M2 ， N．1 1C ．选修 4-4：坐标系与参数方程 〔本小题总分值 10 分〕 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．直线l 的极坐标方程为cos2 sin 0 ，曲线C 的参数方程为x 4cos , AB 的长．y2sin ( 为参数 ) ，又直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求线段D．选修 4-5：不等式选讲〔本小题总分值10 分〕假设存在实数 x使3x 614 x a 成立，求常数a的取值范围．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4 ，AD 3 ， AA1 2 ，E，F分别是棱 AB ，BC 上的点，且EB FB 1．〔 1〕求异面直线 EC1与 FD1所成角的余弦值；〔〕试在面 A1B1C1D1上确定一点G ，使DG 平面D1EF．2D1C1GB1A1D CFA E B〔第 22 题图〕23．〔本小题总分值10 分〕设二项展开式C n( 3 1)2 n 1 ( n N *)的整数局部为A n，小数局部为B n．（1〕计算C1B1, C2B2的值；（2〕求C n B n．参考答案一、填空题．． a 0．．y 28x1 223 -14126． 367． -38．35．5429．1010． x y 2 0 11． -312．②13．9 , 25 14． 20214 9二、解答 15．〔 1〕在ABD 中，由正弦定理得16．〔 1〕因 E ， F 分 是 BC ， CD 的中点，所以 EF//BD ， ⋯⋯⋯⋯ 2 分所以 EF平面 PBD ，所以 EF//平面 PBD 。

专题03算法初步【母题来源一】【2019年高考某某卷】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是______________．【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可． 【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =【名师点睛】识别、运行流程图和完善流程图的思路： （1）要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构； （2）要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题； （3）按照题目的要求完成解答并验证．【母题来源二】【2018年高考某某卷】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______________．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======， 因为76>，所以结束循环，输出8.S =【母题来源三】【2017年高考某某卷】如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是______________．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．【命题意图】（1）了解算法的含义，了解算法的思想.（2）理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（3）理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.【命题规律】高考中对流程图的考查，主要是顺序结构、条件结构、循环结构，其中循环结构为重点，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件，流程图常与函数、数列、不等式等知识点结合考查.高考中对算法语句的考查，主要是以伪代码的形式重点考查条件语句和循环语句.结合某某近几年的高考，此部分的考查基本集中在两个方面：一是流程图表示的算法；二是伪代码表示的算法.【方法总结】三种基本逻辑结构的常见问题及解题策略：(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．(3)循环结构①已知流程图，求输出的结果．可按流程图的流程依次执行，最后得出结果．②完善流程图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．③对于辨析流程图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.1．【某某省某某市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】某算法流程图如图所示，该程序运行后，x ，则实数a的值为_______．若输出的63【答案】7【解析】执行第一次循环时，有1n =，21x a =+； 执行第二次循环时，有2n =，43x a =+； 执行第三次循环时，有3n =，87x a =+， 此时有4n =，输出87x a =+. 所以8763a +=，故7a =. 故填7.【名师点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算，计算时关注各变量的变化情况，并结合判断条件决定输出何种计算结果.对于本题，按流程图逐个计算后可得关于a 的方程，解出a 即可. 2．【某某省某某市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．【答案】17【解析】模拟执行程序代码，可得S ＝3.第1步：i ＝2，S ＝S ＋i ＝5； 第2步：i ＝3，S ＝S ＋i ＝8； 第3步：i ＝4，S ＝S ＋i ＝12； 第4步：i ＝5，S ＝S ＋i ＝17. 此时，退出循环，输出S 的值为17． 故答案为17．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i ，S 的值是解题的关键，属于基础题．求解时，模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，即可得解输出的S 的值．3．【某某省某某市2019届高三适应性考试数学试题】一个算法的流程图如图所示，则输出的a 的值为_______．【答案】9【解析】初始值1,0n a ==，第一步：033,1124a n =+==+=<，继续执行循环； 第二步：336,2134a n =+==+=<，继续执行循环； 第三步：639,314a n =+==+=，结束循环，输出9a =. 故答案为9.【名师点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行，即可得出结果.4．【某某省某某金陵中学、海安高级中学、某某外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】8【解析】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为8.【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．对于本题，根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．5．【某某省七市(某某、某某、某某、某某、某某、宿迁、某某)2019届高三第三次调研考试数学试题】如图是一个算法流程图.若输出y的值为4，则输入x的值为_______．【答案】−1【解析】当1x ≤时，由流程图得：3y x =-， 令34y x =-=，解得：1x =-，满足题意. 当1x >时，由流程图得：3y x =+， 令34y x =+=，解得：1x =，不满足题意. 故输入x 的值为1-.【名师点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题.求解时，对x 的X 围分类，利用流程图列方程即可得解.6．【某某省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为_______．【答案】8【解析】根据如图所示的伪代码得：1T =，2i =，6T <成立，212T =⨯=，224i =+=； 6T <成立，224T =⨯=，426i =+=；6T <成立，428T =⨯=，628i =+=， 6T <不成立，结束循环，输出8i =.故答案为8.【名师点睛】本题主要考查了循环结构语句及其执行流程，属于基础题.按程序图依次执行即可得解. 7．【某某省某某市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______．【答案】8【解析】输出13y =，若6y x =，则1326x =>，不合题意； 若5y x =+，则1358x =-=，满足题意. 本题正确结果为8.【名师点睛】本题考查算法中的If 语言，属于基础题.根据伪代码逆向运算求得结果.8．【某某省某某中学2019届高三3月月考数学试题】执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为_______．【答案】4【解析】模拟执行程序代码，可得i ＝1，a ＝2，满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯2，i ＝2； 满足条件i 2≤，执行循环体，a ＝1⨯22⨯，i ＝3， 不满足条件i 2≤，退出循环，输出a 的值为4． 故答案为4．【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a 的值是解题的关键，当i ＝3时，不满足条件退出循环，输出a 的值即可，属于基础题．9．【某某省某某市（苏北三市（某某、某某、某某））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为_______．【答案】21【解析】第1步：3,9I S ==； 第2步：5,13I S ==； 第3步：7,17I S ==；第4步：9,21I S ==，退出循环，输出21S =. 故答案为21.【名师点睛】本题考查的知识点是程序框图和语句，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．求解时，由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10．【某某省某某市2019届高三下学期阶段测试数学试题】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_______．【答案】205【解析】阅读伪代码可知，I 的值每次增加2，23S I =+， 跳出循环时I 的值为101I =，输出的S 值为21013205S =⨯+=. 故答案为205.11．【某某省某某市2019届高三5月高考信息卷数学试题】执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为_______．【答案】7【解析】程序执行中的数据变化如下：1,3,k S ==133,123S k =⨯==+=， 继续运行，339,325S k =⨯==+=；继续运行，9545,527S k =⨯==+=，S >10，此时退出循环，输出k =7， 故答案为7.12．【某某省高三某某中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试数学试题】中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的2n =，1x =，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，输出的s 的值为_______．【答案】6【解析】第一次输入1a =，得1s =，1k =，判断否；第二次输入2a =，得3s =，2k =，判断否；第三次输入3a =，得6s =，3k =，判断是，退出循环，输出6s =，故答案为6.【名师点睛】本题考查了循环结构流程图，要注意每次循环后得到的字母取值，属于基础题.求解时，先代入第一次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为否，再代入第二次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断仍为否，再代入第三次输入的a ，计算出对应的,s k ，判断为是，得到输出值.13．【某某省某某市、某某市2019届高三第二次模拟考试数学试题】下图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为_______．【答案】16【解析】运行结果依次为：i =1，S =1，1＜6，i =3，S =4；3＜6，i =5，S =9；5＜6，i =7，S =16，7＞6，输出S =16.故答案为16.【名师点睛】本题主要考查算法，意在考查学生对该知识的理解能力和掌握水平.直接按照算法的伪代码运行即得结果.14．【某某省某某市基地学校2019届高三3月联考数学试题】运行如图所示的流程图，若输入的63a b ==，，则输出的x 的值为_______．【答案】0【解析】由6a =，3b =得：3x =，循环后：4b =，5a =；由4b =，5a =得：1x =，循环后：2b =，4a =；由2b =，4a =得：2x =，循环后：3b =，3a =；由3b =，3a =得：0x =，输出结果：0x =，本题正确结果为0.【名师点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.求解时，按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.15．【某某省某某、某某、某某、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．【答案】7【解析】初始值：a ＝0，b ＝1.第1次循环：a ＝1，b ＝3，满足a <15；第2次循环：a ＝5，b ＝5，满足a <15；第3次循环：a ＝21，b ＝7，不满足a <15，退出循环，输出b ＝7.故答案为7．【名师点睛】本题考查的知识点是算法流程图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．。

姓名，年级：时间：第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的错误!任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的错误!两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α（3）直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线错误!平行⇒a∥b2．平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是错误!直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的错误!垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β(3）平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于错误!交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α3．直线与平面所成的角（1）定义:平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°]．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的错误!两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2）二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱错误!垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．直线与平面垂直的五个结论（1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l ⊂α，m⊂β,下列结论正确的是( ）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β,则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确;当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β,l⊂α时,α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α,m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.2．（2019·浙江杭州模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l,∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.3．（2019·广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n,n⊂β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n答案B解析A项，若α⊥β,m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线,故不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α,β有可能相交但不垂直，故不正确；D项,若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m，n有可能是异面直线,故不正确，故选B.4．若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面,则a ⊥b的一个充分不必要条件是( ）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β,a⊂α,b⊂βC．a⊥α,b∥αD．a⊥α,b⊥α答案C解析对于A，B，直线a，b可能是平行直线,相交直线，也可能是异面直线;对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D,一定能推出a∥b.故选C.5．(2019·江西南昌模拟）如图，在四面体ABCD中,已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在（)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC ⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.6．(2019·沈阳模拟）已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB;④AB⊥BC。

2021届江苏省苏北四市高三第一次调研考试数学（文）试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试 时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iiz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 150 200250300350400450 （第5题） （第17题）a 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a bI I b ←←← ←+ ←+ ←+ （第4题）10．在平面直角坐标系xOy中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ． 14．如图，在ABC△中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点. 求证：⑴//MN 平面11ABB A ； ⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．B （第14题）AD CE （第16题） 1A 1BN M 1C CB A18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分） 已知数列{}n a ，其前n 1n a -，其中2n ，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列；⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值；⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.（第18题） （第18题）2021届江苏省苏北四市高三第一次调研考试数学（文）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}-2．13．(0,1]4．135．750 67．598．54 9．410．1112．1]13．[2,2]-14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==， 所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯…………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sinC A B A BA B =+=+=10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ，………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分 （2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ，…………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面， 所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ=== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分（第16题）1A 1B NM1C CB A P解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y +=……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +，……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==-……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--=………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分 代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ．……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分。

江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2020届高三数学第三次模拟考试试题（含解析）参考公式：样本数据的方差，其中.棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合，，则集合中元素的个数为____．【答案】【解析】由于，所以集合中元素的个数为5.【点睛】根据集合的交、并、补定义：，，，求出，可得集合中元素的个数.2. 设，（为虚数单位），则的值为____．【答案】1【解析】由于，有，得.3. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是____．【答案】【解析】4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是____．【答案】【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，“国”“中”“梦”；“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；共计6种，能组成“中国梦”的只有1种，概率为.【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来，写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式，求出概率值.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为____．【答案】【解析】试题分析：由得，再由题意知.考点：算法流程图的识读和理解．6. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是____．【答案】(或)【解析】7. 已知实数，满足则的取值范围是____．【答案】(或)【解析】本题为线性规划，画出一元二次不等式组所表示的可行域，目标函数为斜率型目标函数，表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，得出最优解为，则的取值范围是【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，二为线性规划的逆向思维型，给出最优解或最优解的个数反求参数的范围或参数的值.8. 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．【答案】(或)【解析】函数的图象过点，则，，，.,,,有于在为减函数，所以，解得.9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为____．【答案】【解析】, ,,.10. 如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为____．【答案】【解析】由已知，由于平面，所以【点睛】求三棱锥的体积要注意利用体积转化，以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法.用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的.11. 如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为____．【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数，和()的图象上，设，由于平行于轴，则，有，解得，又，则.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长2，以及两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2，解答出本题.12. 已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设，当时，即时，对恒成立；当时，，不合题意；当时，符合题意；当时，，即，即：综上所述：实数的取值范围是.【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13. 在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于，，，解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为____．【答案】【解析】设的外接圆半径为，则 .,,.,，则当，即：时，取得最大值为，此时中，.【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角的三角函数式，根据角的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：根据平方关系由求出，利用求出，根据三角形内角和关系利用和角公式求出，利用正弦定理求出，根据，计算，最后利用余弦定理求出.试题解析：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若平面平面，求证：．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用线面平行的判定定理由，说明平面，再由线面平行的性质定理，说明线线平行；由面面垂直的性质定理，平面内一条直线垂直交线，说明线面垂直，利用线面垂直的判定定理说明线面垂直.（1）因为是矩形，所以．又因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．（2）因为是矩形，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由（1）知，所以．【点睛】证明垂直问题时，从线线垂直入手，进而达到线面垂直，最终证明面面垂直，而面面垂直的性质定理显得更加重要，使用面面垂直的性质定理时，一定要抓住交线，面面垂直性质定理的使用非常重要，要引起重视.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.试题解析：（1）因为，，所以，所以的坐标为，设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的，，结合已知条件，得出坐标关系，再把，代入求出符合题意，则存在，否则不存在.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．【答案】（1）（2）【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以，．所以，因为，所以，所以定义域为．（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，．则，因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时(m)．答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；（3）若为等比数列，，，求满足的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用题目提供的方面的关系，借助转化为的关系，证明出满足等差数列定义，利用等差数列通项公式求出，进而得出，成等差数列，写出，根据恒成立，得出和公差的要求，比较的大小可采用比较法；是以为首项，为公比的等比数列，求出和，根据题意求出的值.试题解析：（1）由，得，即，所以．由，，可知．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故的通项公式为．（2）证法一：设数列的公差为，则，由（1）知，．因为，所以，即恒成立，所以即又由，得，所以．所以，得证．证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，则，即，因为，所以．所以，因为，所以存在，当时，恒成立．这与“对任意的，都有”矛盾！所以，得证．（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，．则，因为，所以，所以．而，所以，即（*）．当，时，（*）式成立；当时，设，则，所以．故满足条件的的值为和．【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用这个公式，从到，从到转化.20. 已知函数，．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）设函数，．若函数的最小值是，求的值；（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决问题，先求出斜率的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题.试题解析：（1）当时，，．因为在上单调增，且，所以当时，；当时，．所以函数的单调增区间是．（2），则，令得，当时，，函数在上单调减；当时，，函数在上单调增．所以．①当，即时，函数的最小值，即，解得或（舍），所以；②当，即时，函数的最小值，解得（舍）．综上所述，的值为．（3）由题意知，，．考虑函数，因为在上恒成立，所以函数在上单调增，故．所以，即在上恒成立，即在上恒成立．设，则在上恒成立，所以在上单调减，所以．设，则在上恒成立，所以在上单调增，所以．综上所述，的取值范围为．【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题，求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；恒成立为题为高考热点，已经连续命题许多年，必须重视.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．【答案】45°【解析】试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系求出所求的角 .试题解析：连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．【点睛】平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题.22.已知矩阵，若，求矩阵的特征值．【答案】矩阵的特征值为，．【解析】试题分析: 根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.试题解析：因为，所以解得所以．所以矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值为，．【点睛】矩阵为选修内容，根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.23.在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．【答案】点的极坐标为．【解析】试题分析：利用极坐标与直角坐标互化公式，把化为直角坐标，再把的方程化为直角坐标方程，要使最短，过点作直线的垂线，垂足为，写出垂线方程，解方程组求出交点坐标，再化为极坐标.试题解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．最短时，点为直线与直线的交点，解得所以点的直角坐标为．所以点的极坐标为．【点睛】极坐标为选修内容，掌握极坐标与直角坐标互化公式，掌握点和方程的互化，结合解析几何知识解题.24. 已知，，为正实数，且．求证：．【答案】详见解析【解析】试题分析：根据实施等转不等，得出，再根据三个正数的算术平均数不小于几何平均数，证明出结论.试题解析：因为，所以，所以，当且仅当时，取“”．【点睛】不等式选讲为选修内容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明，另外注意选用证明方法，如综合法、分析法、反证法，与正整数有关的命题有时还采用数学归纳法.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．【答案】（1）曲线的方程为．（2）详见解析试题解析：（1）因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．所以点的轨迹是抛物线．焦点为，准线为．所以曲线的方程为．（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立得，所以，即（*），因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为，所以，为定值．【点睛】求动点轨迹方程是常见考题，常用方法有直接法、坐标相关法，定义法、交轨法、参数法等，定点、定值问题常出现在考题的第二步，一般采用设而不求的解题思想.26. 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（1）写出，，的值；（2）求．【答案】（1），，．（2）．【解析】试题分析：分别对三种情况研究集合的非空子集，并找出交集为空集的子集对数，得出，任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；减去为空集的种数和为空集的种数加1，又与为同一组“互斥子集”，得出.试题解析：（1），，．（2）解法一：设集合中有k个元素，．则与集合互斥的非空子集有个．于是．因为，，所以．解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；其中为空集的种数为，为空集的种数为，所以，均为非空子集的种数为，又与为同一组“互斥子集”，所以．【点睛】本题为自定义信息题，这是近几年一些省市高考压轴题，首先要读懂新定义的概念的含义，从简单的情况入手去研究，如本题先从入手，，其非空子集有三个，满足的有一对，则，继续探讨，推广到.。

江苏省一般高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)地理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(综合题)两部分。

满分120分，考试时间100分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(共60分)(一) 单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2022年12月18日，北京某校王老师赴莫斯科某校参与为期七天的国际沟通。

王老师发觉两校同学在校时间均是当地时间8：00～17：00。

图1为世界时区示意图，读图回答1～2题。

图11. 两校同学同时在校的北京时间为()A. 8：00～12：00B. 10：00 ～14：00C. 12：00～16：00D. 13：00～17：002. 王老师参与国际沟通期间，莫斯科()A. 太阳从东南方升起B. 日落时间推迟C. 昼长先变长后变短D. 正午太阳高度减小图2是地质循环示意图，其中a，c、d表示三大类岩石。

读图回答3～4题。

图23. b物质最可能是()A. 岩浆的喷发物B. 风化作用的产物C. 沉积形成的岩石D. 暴露在地表的岩石4. 图中b到d的过程()A. 均在地表进行B. 岩石性质发生转变C. 能量主要来自太阳能D. 物质进入软流层图3为2022年12月12日8时亚洲局部地区海平面气压形势图(单位：hPa)。

读图回答5～6题。

图35. 图示时刻()A. 气压：太原高于呼和浩特B. 风速：乌兰巴托小于上海C. 降水概率：呼和浩特大于上海D. 风向：乌兰巴托与呼和浩特相反6. 下列关于太原市将来两每天气状况，说法可信的是()A. 雨过天晴，气温上升B. 气压下降，消灭连续性降水C. 消灭狂风、暴雨、冰雹等强对流天气D. 雨雪、大风之后可吸入颗粒物削减太阳辐射以平行光线的形式直接投射到地面上，称为太阳直接辐射。

图4为贵州贵阳和新疆塔中(塔里木盆地中部)太阳直接辐射的年变化图。

读图回答7～8题。

图47. 导致塔中春、秋季太阳直接辐射差异的最主要缘由是春季()A. 正午太阳高度低B. 白昼时间短C. 阴雨天气少D. 风沙天气多8. 塔中和贵阳太阳直接辐射差异明显，其主要影响因素是()A. 纬度B. 气候C. 地形D. 植被图5图5为某岛屿地理位置示意图。

2021~2022学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝x－1}，则A∪B＝A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若复数z满足z1－i＝2i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门．若某同学从中选3门，要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法种数共有A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．若(x －a x)8的二项展开式中x 6的系数是－16，则实数a 的值是A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D6．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X 服从正态分布N (60，102)，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数约为(附：若随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.9545，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)≈0.9973)A ．12B ．23C ．46D ．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A (a ，b )，B (c ，d )，且sin θ＋3cos θ＝0，若a ＋c ＝－1，1b ＋4d的最小值为A ．83B ．3C ．103D ．4【答案】B8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝(13)n ＋1－b ，数列{(ab )n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是A ．－3B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6,B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（ ）（A ）5i3- （B ）5i 3 （C ）i - （D ）i【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】C 解析：5i (2i)(2i)=-+z 25545i iii ===-，z i ∴=-， 故选C.【思路点拨】化简得z i =，从而可求z i =-.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3] 【学问点】二次函数B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【学问点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6yx OxyOxy Ox yO【答案】【解析】D 解析：由于53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再依据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【学问点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是留意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊状况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解. 【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 （A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422- 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，该圆的半径为2，再过H 引1BB的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：32-，所以2HP 的最小值为：2234(2)7622-+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名同学某月饮料消费支出状况的频率分布直方图如右图所示.则这100名同学中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【学问点】频率分布直方图 I2【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可.【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3 【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【学问点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【学问点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=ng n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k == ①'11(1)1,1k f y ===-,11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确；②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y nx n =-+，212n n x n += 112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，明显(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 12(2)n =-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【学问点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为大事A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为大事B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出全部的基本大事，再去求符合题意的基本大事有几个，即可求解. 【题文】17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．DBC AFE【学问点】线面平行，几何体体积 G4 G8 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）3 （Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高3=AH∴1(21)23332-+⨯=⨯=A ECBD V∴多面体ECABD 36分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【学问点】等差数列，等比数列 D2 D3 【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵122+=-n n S ①当2≥n 时，122-=-n n S ②①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10 【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 53.522.753.1252.3752.5632.469∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求0x 的值．【学问点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的微小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101e a b c <<<<<．【学问点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面争辩()ln 2mf x x x =+的零点状况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m mf ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数推断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。