2021届江苏省徐州市一中高三上学期“夯实基础知识”强化训练(三)数学试卷(A)及答案

2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,52.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.164.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2- B.52-C.2D.1125.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.352B. C.572D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB C.1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为223D.点1B 到平面1A EF 的距离为4512.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.14.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.15.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.18.在①()()21212n n n S S a n -+=+≥，②1n a =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且__________，*N n ∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，证明：12n T <.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D ，且BD =，若b =ABC 的面积.20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PAD --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.2023~2024学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,5U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}1,3,4 B.{}1,3 C.{}1,2,5 D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用并集与补集的概念计算即可.【详解】由题意可知{}3,4U B =ð，所以(){}1,3,4U A B ⋃=ð.故选：A 2.若2i 1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求得复数z ，即可得z ，可得其对应的点的坐标，即可得答案.【详解】由题意知2i 1iz -=+，故i(1i)21i z =++=+，故1iz =-则复数z 对应的点为(1,1)-，在第四象限，故选：D3.拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】先确定a 可能的取值，再结合余弦定理判断三角形为钝角时a 的取值，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则a 的取值可能为1,2,3,4,5,6，有6种可能；,4,5a 能够构成三角形时，需满足19a <<，若,4,5a 能够构成钝角三角形，当5所对角为钝角时，有2222450,9a a +-<∴<，此时2a =；当a 所对角为钝角时，需满足2222540,41a a +-<∴>，此时没有符合该条件的a 值，故,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是16，故选：D4.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则⋅= ab （）A.2-B.52-C.2D.112【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量定义及向量的数量积、向量的模计算即可.【详解】因为()()0,2,1,a b t =-=，所以向量b 在向量a上的投影向量为2142||||b a a t a a a a⋅-⋅==-，所以1t =，故2a b ⋅=-故选：A5.已知等比数列{}n a 的首项为3，则“911a a <”是“1114a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式，由911a a <可得q 的取值范围，说明1q <-时不能推出1114a a <；继而说明1114a a <成立时推出1q >，即可推得911a a <，由此可判断答案.【详解】由题意知等比数列{}n a 的首项为3，设公比为q ，由911a a <，则81033q q <，即21,1q q >∴>或1q <-，当1q <-时，01114133(1)0q a a q -=->，即1114a a >，即“911a a <”不是“1114a a <”的充分条件；当1114a a <时，即1013,1q q q <∴>，则810q q <，即81033q q <，即911a a <，故“911a a <”是“1114a a <”的必要条件，故“911a a <”是“1114a a <”的必要不充分条件，故选：B 6.已知π4ππsin ,3536θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则πtan 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425-B.2425C.724D.724-【答案】C 【解析】【分析】根据角的变换及诱导公式，二倍角的正切公式求解即可.【详解】因为ππ36θ-<<，所以ππ032θ<+<，所以3cos 5π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，故4tan 3π3θ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，πππsin 2cos 232πππ13tan 2tan 2ππ632ππsin 2tan 2cos 23332θθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎢ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭+=+-==-=-⎪ ⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π161tan 17394π2422tan 33θθ⎛⎫-+-⎪⎝⎭=-=-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，故选：C7.已知()1y f x =-为偶函数，当1x ≥-时，()()2ln 23f x x x =++.若()()12f x f x >，则（）A.()()121220x x x x -+-< B.()()121220x x x x -+->C.()()121220x x x x -++< D.()()121220x x x x -++>【答案】D 【解析】【分析】利用偶函数的性质及复合函数的单调性计算即可.【详解】由()1y f x =-为偶函数可知()f x 的图象关于=1x -轴对称，又1x ≥-时，()222312u x x x =++=++单调递增，ln y u =单调递增，故()()2ln 23f x x x =++在()1,-+∞上单调递增，(),1-∞-上单调递减，即()()()()()()221212121212111120f x f x x x x x x x x x >⇒+>+⇒+-+=-++>.故选：D8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()0,3的直线与C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，若6AF BF +=，则ABD △的面积为（）A.2B. C.2D.【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为H ，A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，由题意和抛物线的定义可得3HH '=，即2H x =，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出直线AB 的斜率，求得H 的坐标，进而求出其中垂线方程，可得D 的坐标，结合弦长公式和三角形面积公式计算即可求解.【详解】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，设A 、B 、H 在准线上的射影分别为A B H '''、、，则1()2HH AA BB '''=+，由抛物线的定义可知，,,6AF AA BF BB AF BF ''==+=，所以6AA BB ''+=，得3HH '=,即点H 的横坐标为2，设直线AB ：3y kx =+，代入抛物线方程，得22(64)90k x k x +-+=，由22(64)360k k ∆=-->，得13k <且0k ≠.设()()1122,,,A x y B x y ，则122464k x x k -+==，解得2k =-或12（舍去）.所以直线AB ：23y x =-+，(2,1)H -，所以AB 的中垂线方程为11(2)2y x +=-，令0y =，解得4x =，即(4,0)D ，则DH =又122994x x k==，所以AB =所以1122ABD S AB DH == .故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM 2.5（PM 2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：3ug /m ）的日均值，依次为36,26,17,23,33,106,42,31,30,33，则（）A.前4天的极差大于后4天的极差B.前4天的方差小于后4天的方差C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数与众数相同【答案】AD 【解析】【分析】根据方差和极差判断A ，B 选项，根据中位数判断C 选项，根据百分位数和众数判断D 选项.【详解】前4天的极差361719-=，后4天的极差423012-=，A 正确;前4天的平均数25.5，方差222210.50.58.5 2.547.254+++=，后4天的平均数34，方差2222834122.54+++=,前4天的方差大于后4天的方差，B 选项错误;数据从小大排列17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,这组数据的中位数为3133322+=，C 选项错误;这组数据的第60百分位数100.66⨯=是第6个数和第7个数的平均数3333332+=与众数33相同，D 选项正确.故选:AD.10.已知函数()()cos (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点相邻的()f x 的一个零点为π6，则（）A.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数C.()f x 在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在π5π,46⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据极小值可得A ，再根据极值点与零点关系可得周期，进而可得ω，再代入极小值点求解即可；对B ，根据解析式判断即可；对C ，代入ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭判断是否为减区间即可；对D ，根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.【详解】对A ，由题意2A =-，且周期T 满足5πππ12644T -==，故πT =，即2ππω=，2=ω，故()()2cos 2f x x ϕ=+.因为()f x 在5π12x =处取得极小值2-，故()5π2π2π,Z 12k k ϕ⨯+=+∈，即()π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，故π6ϕ=，则()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由诱导公式()2ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ，ππππ2cos 22cos 22sin 23362y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对C ，ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭则ππ5π2,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，不为余弦函数的单调递减区间，故C 错误；对D ，π5π,46x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭则1π22π1π,366x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，故,πc 2os 2316x ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎛⎫+ ⎪⎝⎣⎭⎭，则π2cos 26x ⎡∈-⎣⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）A.11B D 与EF 是异面直线B.存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB C.1A F 与平面1B EB所成角的余弦值为3D.点1B 到平面1A EF 的距离为45【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a m AB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅=⋅，则1AF 与平面1B EB 所成角的余弦值为223=，C 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF 的距离为111141717A B n n ⋅==，D 错误.故选：BC12.已知函数()()()11ln ,f x a x x x a =-++∈R ，则下列说法正确的是（）A.当1ln8a =时，()122f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.当0a >时，()22f a a a <-C.若()f x 是增函数，则2a >-D.若()f x 和()f x '的零点总数大于2，则这些零点之和大于5【答案】ABD 【解析】【分析】直接代入即可判断A ，令()()()22a g a f a a =--，利用导数说明函数的单调性，即可判断B ，由()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，利用导数求出()min f x '，即可求出a 的取值方程，即可判断C ，首先说明2a <-，得到()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，利用对数均值不等式得到121x x >，即可得到122x x +>，再说明()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x 且431x x =，最后利用基本不等式证明即可.【详解】对于A ：当1ln 8a =时()()()11ln 1ln 8f x x x x =-++，则()12ln3ln23ln 23ln 208f =+=-+=，11111331ln 1ln ln 2ln 202282222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：()()()()211ln 1ln f a a a a a a a a a =-++=-++，令()()()()()()222221ln 21ln a a a a a a a a a g a f a a a --+--=--+==++，则()112ln ln 21a a a a a a ag a '=+-++=-++，令()()1ln 21a a am a g a -+=+'=，则()2222217211214820a m a a a a a a a '⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=--==<，所以()g a '在()0,∞+上单调递减，又()10g '=，所以当01a <<时()0g a '>，当1a >时()0g a '<，所以()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110g a g ==-<，所以当0a >时，()22f a a a <-，故B 正确；对于C ：()1ln 0x f x a x x+'=++≥在()0,∞+上恒成立，令()()1ln x h x f x a x x +'==++，则()22111x h x x x x-'=-=，所以当01x <<时()0h x '<，当1x >时()0h x '>，所以()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 120f x f a ''==+≥，解得2a ≥-，故C 错误；对于D ：因为()10f =，即1为()f x 的一个零点，当2a =-时()0f x '≥，()0f x '=有且仅有一个根1，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()f x 和()f x '都只有1个零点，不符合题意；当2a >-时()0f x ¢>，则()f x '无零点，()f x 只有一个零点，不符合题意；当2a <-时()f x '在()0,1和()1,+∞上各有一个零点1x ，2x ，所以11221ln 101ln 10a x x a x x ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，所以211221ln ln x x x x x x -=>-，所以121x x >，所以122x x +>=，且()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，且()10f =，所以()10f x >，()20f x <，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上各有一个零点3x 、4x ，又()()()11111111ln 11ln f a a x x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=--++=-⎡⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以431x x =，所以()123412*********x x x x x x x x ⎛⎫++++=++++>++= ⎪⎝⎭，故D 正确.ln ln a ba b-<-的证明如下：ln ln a b a b -<-，只需证ln ln ln aa b b -=⇔=1x =>，只需证12ln x x x <-，1x >，设1()2ln n x x x x=-+，1x >，则()22221(1)10x n x x x x-'=--=-<，可得()n x 在(1,)+∞上单调递减，∴1()(1)02ln n x n x x x<=⇒<-，得证.故选：ABD【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(35)P X <<的值为__________.【答案】0.3##310【解析】【分析】根据正态分布的性质求得(7)P X ≥，根据正态分布的对称性求出(3)0.2P X ≤=，继而可求得答案.【详解】由题意知随机变量()25,X N σ~，且(7)0.8P X <=，则(7)10.80.2P X ≥=-=，故(3)0.2P X ≤=，故(35)0.5(3)0.50.20.3P X P X <<=-≤=-=，故答案为：0.314.已知52323a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为__________.【答案】270【解析】【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】令()5523211332322a x x a a x ⎛⎫=⇒+=+=⇒=- ⎪⎝⎭，则()552233233a x x x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，设()5233x x --的通项为()()()5235102355C 3C 31rrrrrr r r r T x x x -----=-=⋅⋅-⋅，当2r =时，()55C 311027270rrr -⋅⋅-=⨯=，即展开式中的常数项为270.故答案为：27015.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的内切球的体积为__________.【答案】9π2【解析】【分析】根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，即可求得圆锥的高，继而利用圆锥的母线和高之间的夹角的正弦求得内切球半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥内切球的半径为R ，则π515π,3r r ⨯⨯=∴=，则圆锥的高为4h ==，设圆锥的母线和高之间的夹角为π,(0,)2θθ∈，则33sin ,452R R R θ==∴=-,故该圆锥的内切球的体积为3439ππ(322⨯=，故答案为：9π216.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且2PF x ⊥轴，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，与直线1PF 交于点A ，若点A 在圆222:O x y a +=上，则C 的离心率为__________.【解析】【分析】由题意求出22||b PF a =，结合双曲线定义以及角平线性质推出1||2AF a =，从而推出1222cos 2cPF F b a a ∠+=，在1AOF △中，利用余弦定理可求得4224340a a c c -+=，结合齐次式求解离心率，即可得答案.【详解】由题意知2(,0)F c ，2PF x ⊥轴，故将x c =代入22221x ya b-=中，得22221c y a b -=，则2b y a =±，即22||b PF a=，不妨设P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -=，故21||2b PF a a=+；设PQ 为12F PF ∠的平分线，由题意知2F A PQ ⊥，则2||||PA PF =，即2||b PA a =，而211||||||2b PF PA AF a a=+=+，故1||2AF a =，由点A 在圆222:O x y a +=上，得||OA a =；又1||OF c =，则1221212c ||os 2||F F PF b c PF F a a∠=+=，在1AOF △中，222111112||||||2||||cos OA OF AF OF AF PF F =+-⋅∠,即222224222ca c a c ab a a=+-⋅⋅⋅+，结合222b c a =-，即得4224340a a c c -+=，即42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍），故e =，即C【点睛】关键点睛：求解双曲线的离心率，关键是求出,,a b c 之间的数量关系式，因此解答本题时，要结合题中条件以及双曲线定义推出相关线段长，从而在1AOF △中，利用余弦定理求出,,a b c 的关系，化为齐次式，即可求得答案.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点2⎫⎪⎪⎝⎭.（1）求C 的标准方程；（2）过点()1,0-的直线l 与C 交于,A B 两点，当165AB =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）y =或y =-【解析】【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆经过的点，列出方程组，解之即可求解；（2）易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212,x x x x +，根据弦长公式化简可得2212(1)34k AB k+=+，结合165AB =计算求出k 的值即可求解.【小问1详解】由题意，2222222126()(2)21c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】易知直线l 的斜率不为0，设:(1)l y k x =+，即y kx k =+，()()1122,,,A x y B x y ，22143y kx kx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=，22222(8)4(34)(412)990k k k k ∆=-+-=+>，221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，2212(1)34k AB k+==+，又165AB =，所以2212(1)16534k k +=+，解得k =，所以直线l的方程为yy =-.18.在①()()21212n n n S S a n -+=+≥，②1n a =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且__________，*N n ∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，证明：12n T <.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选择①，根据n a 和n S 的关系得到12n n a a +-=，确定等差数列得到通项公式；若选择②，根据n a 和n S 的关系得到12n n a a +-=，确定等差数列得到通项公式；（2）确定11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】若选择①：()()21212n n n S S a n -+=+≥，则()21121n n n S S a +++=+，相减得到：()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++=+-，0n a >，故12n n a a +-=，()122221S S a +=+，解得23a =，212a a -=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；若选项②：1n a =+，则()241n n S a =+，()21141n n S a ++=+，相减得到：()()2211411n n n a a a ++=+-+，整理得到()()1120n n n n a a a a +++--=，0n a >，故120n n a a +--=，故数列{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，故21n a n =-；【小问2详解】()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，故()21111111112335212122211n T n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪-++⎝<⎭ .19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-.（1）求cos B ；（2）设角B 的平分线交AC 边于点D ，且BD =，若b =ABC 的面积.【答案】（1）13-（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得cos B ，即得答案；（2）根据同角三角函数关系求出22sin 3B =，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，由二倍角余弦公式求出cos 3θ=，利用等面积法推出()32a c ac +=，结合余弦定理即可求得12ac =，从而利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】由题意cos cos 3cos 3b C c B b A c +=-可得sin cos sin cos 3sin cos 3sin B C C B B A C +=-，即sin()3sin cos 3sin()B C B A A B +=-+,即sin 3sin cos 3(sin cos cos sin )3sin cos A B A A B A B A B =-+=-，而(0,π),sin 0A A ∈∴>，故1cos 3B =-；【小问2详解】由(0,π)B ∈，1cos 3B =-可得sin 3B =，角B 的平分线交AC 边于点D ，设π,(0,)2ABD θθ∠=∈，则213cos 2cos 1cos 33B θθ=-=-∴=，111sin sin sin 2222ABC S c a ac θθθ=⋅+=⋅ ，()32323ac a c ac =⋅∴+=，由b =22212483b a c ac ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，即()24483a c ac +-=，则()()224448,129093a c ac ac ac -=∴-+=，则12ac =（负值舍去），故21s in 1221232ABC ac B S =⨯⨯== 20.设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.（1）若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X 表示最后摸出的2个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）4495（2）分布列见解析，24475【解析】【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X 的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.【小问1详解】从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为223225C C 2C 5P +==，记事件A 为最后摸出的2个球颜色不同，事件B 为这2个球是从丙箱中摸出的，则()()()|P AB P B A P A =，()111111113342222665661242C C C C C C C C 21433855C 5C 55C 5C 7523P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭，()111143223663C C C C 2148855C 5C 375P AB ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，所以()8844375|389575P B A ==；【小问2详解】X 的所有可能取值为2，3，4，则()222342226662C C C 214333255C 5C 55C 25P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()38375P X ==，()2222322542226666C C C C 2143228455C 5C 55C 5C 753P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯+⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列如表：X234P 32538752875故()33828181141122442342575757575E X ++=⨯+⨯+⨯==.【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAB 是锐角三角形，PA BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC .（1）求证：AB BC ⊥；（2）设2,4PA PB AC ===，点D 在棱BC （异于端点）上，当三棱锥-P ABC 体积最大时，若二面角C PA D --大于30 ，求线段BD 长的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）46(0,9【解析】【分析】（1）过点P 作PE AB ⊥，根据面面垂直的性质定理，证得PE ⊥平面ABC ，进而证得BC ⊥平面PAB ，即可得到BC AB ⊥；（2）设2,2AB a BC b ==，得到22(4)3P ABC V a a -=-，令()22(4)3f a a a =-，利用导数求得函数的单调性，得到233a =时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，建立空间直角坐标系，设BD m =，求得平面CPA 与PAD 的法向量分别为1n = 和246()3n m= ，结合向量的夹角公式和题设条件，列出不等式，求得m 的取值范围即可.【小问1详解】证明：过点P 作PE AB ⊥于点E ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，且PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又因为PA BC ⊥，且PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.【小问2详解】解：设2,2AB a BC b ==，因为BC AB ⊥，可得222AB BC AC +=，即224416a b +=，所以224a b +=，所以b =，又由PE ==所以2112222(4)3233P ABC V a b a a -=⨯⨯⨯==-，令()22(4)3f a a a =-，可得()22(43)3f a a '=-，令()0f a ¢=，解得233a =，当03a <<时，()0f a '>，()f a 单调递增；当23a <<时，()0f a '<，()f a 单调递减，所以当233a =时，即4346,33AB BC ==时，三棱锥-P ABC 的体积最大，以B 为原点，,BC BA 所在的直线分别为,x y 轴，以过点B 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设BD m =，可得4643232643(,,0),(0,,(,33333CA PA DA m =-=-=- ，则46232643(,0,0),(,0,0),(0,,(0,,0)3333D m C P A ，设平面CPA 与平面PAD 的法向量分别为11112222(,,),(,,)n x y z n x y z == ，由111146430332326033x y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1y =，可得111,1x z ==，所以1n = ，又由222223260334303y z mx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1y =，可得22,13x z m ==，所以2()3n m = ，设二面角C PA D --的平面角的大小为θ，所以12123cos cos302n n n n θ⋅===，解得09m <<，所以BD 的长的取值范围为46(0,9.22.已知函数()2e 32sin 1,xf x a ax x a =-+-∈R .（1）当01a <<时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；（2）当0x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值.【答案】（1）38（2）2a =或1a =【解析】【分析】（1）求出曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程，然后求出与x 轴，y 轴的交点，表示出切线与两坐标轴围成的三角形面积，然后利用导数求最大值即可；（2）令()00f '=求出a 的值，然后验证a 的值使函数()f x 在0x =处取到极值.【小问1详解】由已知()2e 32cos x f x a a x '=-+，01a <<则()2320f a a '=-+，()201f a =-，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()22321y a a x a =-++-，01a <<当0x =时，21y a =-，当0y =时，12a x a +=--，设线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为()h a ，则()()221111112222a a a a a a h a ++=-=-⋅--，01a <<()()()()()()()()()23222321211213112222h a a a a a a a a a a a a +---+-∴-+-=⋅=--'-，令()0h a '>，则102a <<，即()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0h a '<，则112a <<，即()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()max 111132112481222h a h +⎛⎫=-⋅= ⎪⎛⎫= ⎪-⎝⎝⎭⎭，即曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为38；【小问2详解】由（1）()2e 32cos x f x a a x '=-+，因为当0x =时，函数()f x 取得极值，得()20032f a a '=-+=，解得2a =或1a =，当2a =时，()4e 62cos x f x x '=-+，设()()4e 62cos xg x f x x '==-+，则()4e 2sin x g x x -'=，令()()4e 2sin xr x g x x =-'=，则()4e 2cos x r x x -'=，明显()4e 2cos x r x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()02r x r ''∴>=，即()4e 2sin x g x x -'=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4g x '∴>，即()4e 62cos x f x x '=-+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()4620f x '∴>-+=，即函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增又明显()4e 2sin 0x g x x -'=>在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则()4e 62cos x f x x '=-+在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ''∴<=，即函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，当1a =时，()e 32cos x f x x '=-+，设()()e 2cos 3xt x f x x '=+-=，则()e 2sin xt x x -'=，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，明显()0t x '>，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为e 1,sin x x x x ≥+≥，()()()e 2sin 12sin sin 1sin 0x t x x x x x x x '∴-=≥+=-+-≥-()e 2sin 0x t x x -'∴=≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()e 32cos x f x x '∴=-+在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '=，∴函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极值，故2a =或1a =.现证明e 1x x ≥+，设()=e 1x m x x --，则()=e 1xm x '-，令()0m x '>，得0x >，()m x 在()0,∞+上单调递增，令()0m x '<，得0x <，()m x 在(),0∞-上单调递减，()()00m x m ∴≥=，即e 1x x ≥+，现证明πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭，设()sin n x x x =-，则()1cos 0n x x ='-≥在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立即()n x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()00n x n ∴≥=，即πsin ,0,2x x x ⎡⎫≥∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：第二问中，使导函数为零的不一定是极值点，要带入验证，符合极值点左右两边单调性不一样才是极值点.。

徐州一中2021届高三年级“夯实基础知识”强化训练（三）数学A 卷年级 高三 科目 数学 时间2020年11月6日第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．集合{}2|,M y y x x R ==-∈，{}22|2,N x x y x R =+=∈，则M N =， ，A ．()(){}1,1,1,1--- B ．{}1-C ．[]1,0-D ．⎡⎤⎣⎦2．在复平面内，复数z 满足5(1)1z i +=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ， A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知3cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值为（ ） A ．1225 B ．1225-C ．2425D ．2425-4．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数5．在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．236．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若100410051a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2007B ．2008C ．2009D ．20107．如图所示，正方体的棱长为1，过点A 作平面的垂线，垂足为点H ，则下列命题正确的是( )平面点H 是的垂心 与平面所成的角为A. B. C.D.8．已知函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．eD ．2e 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．a 是单位向量B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+10．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ） A ．1a =B ．展开式中含6x 项的系数是-32C ．展开式中含1x -项D ．展开式中常数项为4011．已知1,F 2F 分别是双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点，A 为左顶点，P为双曲线右支上一点，若122PF PF =且12PF F △的最小内角为30︒，则（ ）A B ．双曲线的渐近线方程为y = C ．245PAF ︒∠= D ．直线220x y +-=与双曲线有两个公共点 12．已知函数()sin cos f x x x =+，下列命题正确的为（ ） A ．该函数为偶函数 B ．该函数最小正周期为2πC ．该函数图象关于2x π=对称D ．该函数值域为⎡-⎣第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（16题第一个空2分，第二个空3分）. 13．函数()2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 14．已知数列的通项公式为⎩⎨⎧-=-为奇数为偶数n n n a n n ,2,311则其前10项和为___________． 15．设直线l 过抛物线()220y px p =>的焦点，且交抛物线于A B ，两点，交其准线于C 点，已知4AF =，3CB BF =，则p = .16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,当P 在1CC 上时,AP =______;点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+（R λ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足411(21)log ()n n n b n a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且． 已知 _______，计算的面积；请从，，这三个条件中任选两个，将问题补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． Ⅱ求的最大值．19．（本小题满分12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若9544.0)22(>+<≤-σμσμY P ，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形， AB BD ==3PB =.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设Q 是棱PC 上的点，当PA 平面BDQ 时，求二面角A BD Q --的余弦值.21．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）与直线l ：x m =（R m ∈），四点3,1（），3,1-（），()，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.22．(本小题满分12分)已知函数x ax x x f ln )(2-+-= （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.徐州一中2021届高三年级“夯实基础知识”强化训练（三）数学A 卷答案1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C8．B 由题意，函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，当0k ≤时，取1x =时，可得()11ln 20f =->，所以0k ≤不符合题意，舍去； 当0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，则()1[2(12)]1211x kx k g x kx x x -⋅--'=--=++， 令()0g x '=，可得10x =或21212kx k-=>-， （1）当12k ≥时，则1202k k-≤，则()0g x '<在[0,)+∞上恒成立， 因此()g x 在[0,)+∞单调减，从而对任意[0,)x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=， 即对任意[0,)x ∈+∞，都有()2f x kx ≤成立，所以12k ≥符合题意； （2）当102k <<时，1202k k->，对于()12(0,),02k x g x k -'∈>，因此()g x 在12(0,)2kk-内单调递增， 所以当12(0,)2kx k -∈时，()()000g x g ≥=，即存在()200f x kx ≤不成立， 所以102k <<不符合题意，舍去， 综上可得，实数k 的取值范围是12k ≥，即实数k 的最小值为12．故选：B ． 9．ABDA. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误；D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确.故选：ABD10．AD 因为512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =得，12a +=，所以1a =，故A 正确.此时5511122a x x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中的通项为()()5562551221rrr r r rr xC x C x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或()()()5542551122r r r rr r r C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令626r -=或426r -=解得0r =，所以含6x 项的系数是32，故B 错误.令621r -=-或421r -=-，都无解，故展开式中不含1x -项，故C 错误. 令620r -=或420r -=，解得3r =或2r ，所以展开式中常数项为40.故选：AD11．ABDA ．因为122PF PF =，122PF PF a -=，所以14PF a =，22PF a =， 又因为22.42c a a a >>，所以1230PF F ∠=︒，所以222121644cos 2422a c a PF F a c +-∠==⋅⋅，所以c =，所以e =确；B ．2222223c a b e a a +===，所以222b a =，所以b a =y =，故结论正确；C．因为2c =，所以2221212PF PF F F =+，所以2190PF F ∠=︒，又因为)221,2AF c a a PF a =+==，所以22AF PF ≠，所以245PAF ︒∠≠，所以结论不成立；D ．因为222222012x y x y a a+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以()2222222y y a --=，所以22716820y y a -+-=，所以()22216478232560aa∆=-⋅⋅-=+>，所以直线220x y +-=与双曲线有两个公共点，所以结论正确.故选：ABD. 12．BCD当cos 0x ≥时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当cos 0x <时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数不是偶函数，A 错误；()()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=+++=+=，该函数最小正周期为2π，B 正确；()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，故该函数图象关于2x π=对称，C 正确；根据周期性，不妨取,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2sin 1,24f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， 3,22x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()2sin 1,24f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，故值域为1,2⎡⎤-⎣⎦.故选：BCD .13.1914．256 解：数列的通项公式为其前10项和： ．故答案为：256． 15．83过,A B 分别作准线的垂线交于准线于,E D ，因为4AF =，3CB BF =，所以4,3AE CB BF ==，且BF BD =，设BF BD a ==，则3BC a =，根据三角形的相似性可得BD CB AE AC =，得3434a a a a =++，解得2a =，所以GF GF AEAC=，即3434p a a a a +=++，所以4813a p a ==+. 16．392取1,CC CD 的中点分别为,N M ,连结11,,,AM MN B N AB1//AB MN ∴1AB NM 四点共面,且四边形1AB NM 为梯形，11,,D E MN D E AM MN AM M ⊥⊥⋂=∴1D E ⊥面1AB NM点P 在正方体表面上移动∴点P 的运动轨迹为梯形1AB NM 如图所示：正方体1111ABCD A B C D -的边长为2， 当点P 在1CC 上时,点P 为1CC 的中点N ,AP AN ==3==又NM =11AB AM B N ===∴梯形1AB NM 为等腰梯形,等腰梯形1AB NM 高为2h =∴()1112AB NM MN A h S B =+⋅梯形19242== 故答案为:3AP =, 点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积为:94. 17．解:（Ⅰ）依题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=；-----3分因为数列{}n a 为等比数列，故11a =，故412λ+=，解得2λ=-，-----4分 故数列{}n a 的通项公式为()1*2N n n a n -=∈．-----5分（Ⅱ）依题意，()()()14141log log 22212n n n n a a n -+=⋅=-，-----6分 故()()()()4112112121212121log n n n b n n n n n a a +===-+--++，-----8分故数列{}n b 的前n 项和1111121 (335212121)n n T n n n =-+-++-=-++.-----10分 18．解：Ⅰ若选，． ，， --------------2分 ，，又，． ---------3分 的面积． ---------5分若选，由可得， --------------2分 ，，又，．---------3分 的面积． ---------5分 若选，，， --------------1分 又，，可得， -------------3分 的面积．-------------5分 Ⅱ -------------8分 ，，故的最大值为 -------------10分 19．解：（1）()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+-------------2分()()()()222226047.572.5600.0260 52.5 67.5 60 0.13 σ=-+-⨯+-+-⎡⎤⎡⨯⎤⎣⎦⎣⎦()22 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈ -------------4分（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7.随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()03300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：-------------8分数学期望30.7 2.1EX =⨯= -------------9分 （3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， -------------11分 所以可以认为该校学生的体重是正常的. -------------12分 20．解：（1）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，∵△P AD 是边长为2的正三角形，∴OP =OP ⊥AD ，-------------1分又AB ＝AD =OB ⊥AD ，且OB =于是OB 2+OP 2＝9＝PB 2，从而OP ⊥OB ．-------------3分所以OP ⊥面ABCD ， 而OP ⊂面P AD ，所以面P AD ⊥面ABCD ．-------------4分 （2）连结AC 交BD 于E ，则E 为AC 的中点，连结EQ ，当P A ∥面BDQ 时，P A ∥EQ ，所以Q 是BC 中点．-------------6分由（1）知OA ，OB ，OP 两两垂直，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B （0，0），C （﹣2，0），D （﹣1，0，0），P （0，0），Q （﹣1，22，）， ()1DB =，，022DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，． 设面BDQ 的法向量为()n x y z =，，，由0602n DB x n DQy ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(61n =-，．-------------9分面ABD 的法向量是()001m =，，，-------------10分∴cos 23m n=-＜，＞．-------------11分 ∵二面角A ﹣BD ﹣Q 是钝角，∴二面角A ﹣BD ﹣Q 的余弦值为．----------12分21．解：（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1，()3,1-一定在椭圆C 上，即22911a b+=，①-----1分若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上，所以22331a b +=，② -----------3分 联立①②可解得212a =，24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=．-----------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-，设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭，当00y ≠时，设()11M x y ，，()22N x y ，，显然12x x ≠， 联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x x x x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为001·33y y --=， -----------8分又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+， -----------9分即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； -----------11分当00y =时，直线MN 即x =-，此时l '为x 轴亦过点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， -------12分综上所述，l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． -----------12分 22.解（1）因为2()ln f x x ax x =-+-，所以221()x ax f x x'-+=-，--------1分令2()21g x x ax =-+．280a ∆=-≤，即a -≤≤()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≤，所以函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；280a ∆=->，即a <-或a >2()210g x x ax =-+=有不相等的两根，a <-时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上为减函数22≤∴a 时，函数()f x 在(0,)+∞上为减函数 --------3分当a >12,x x （12x x <），021,022121>=>=+x x a x x,0,021>>∴x x 则48,482221-+=--=a a x a a x 当()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，()0>g x ，此时()0f x '<，所以函数()f x 在)48,0(2--a a 和),48(2+∞-+a a 上为减函数； 当()12,x x x ∈时，()0<g x ，此时()0f x '>，所以函数()f x 在)48,48(22-+--a a a a 上为增函数． --------5分（2）对函数()f x 求导得221()x ax f x x'-+=-. 因为()f x 存在极值，所以221()0x ax f x x'-+=-=在(0,)+∞上有解，即方程2210x ax -+=必有两个不等正根.设方程2210x ax -+=的两个不等正根分别为12,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， -----7分由题意知()()12f x f x + ()()()22121212ln ln a x x x x x x =+-+-+22211ln 1ln 22424a a a =-+-=++， ----------9分 由28a >得()()12121ln3ln 22f x f x +>+-=+， 即这些极值的和的取值范围为(3ln 2,)++∞． ---------12分。

【高三】2021年高三数学高考前模拟试题（附答案徐州市）徐州市2021年高考考前信息卷数学第一卷参考公式：样本数据的标准偏差，其中一、题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.如果设置，则=▲2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为▲．如果已知样本数量，则标准偏差为。

3.4．在集合中任取一个元素，所选元素完全满足方程式的概率为▲5．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且它们的如果偏心率相互倒数，则双曲线方程为▲6．已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数7.如果有且只有两个零，那么实数的取值范围是▲．7.那就知道了▲8．有一个正四面体的棱长为，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为▲．9.通过点的直线将圆分成两条弧。

为了最大化两个弧长之间的差异，直线方程为▲10．已知数列的前项和，且的最大值为8，则▲．11．已知中心为的正方形的边长为2，点分别为线段上的两个不同点，且，则的取值范围是▲．12.在序列中，已知当时是，则▲．13.众所周知，如果满足实数，则▲14．设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为．若存在，使得，则实数的取值范围是▲．二、答：这个大问题有6个小问题，总共90分。

请在答题纸上指定的区域答题。

回答时，你应该写一篇文字描述、验证过程或计算步骤15．（本小题满分14分）这对情侣的内角是已知的⑴求边的长；（2）计算值16．（本小题满分14分）如图所示，在金字塔中，平面和四边形是平行四边形，，，是（1）求证：平面；（2）如果脚是垂直的，验证：17．（本小题满分14分）年末，有人以1万元的价格买了一套房子，其中首期为1万元，1万元是商业贷款。

贷款月利率为‰，按复利计算。

贷款每月偿还一次，每年偿还一次，并从贷款后的下一个月开始偿还⑴这个人每月应还贷多少元？（2）为了抑制高房价，国家颁布了《全国五条》，要求在出售房屋时，应按差额的20%缴纳税款。

徐州市2014届高考信息卷数学Ⅰ【试卷综析】这套试卷注重双基，突出能力考查;试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度,同时对理解和应用能力、运算能力、空间想象能力及对解决综合问题的能力进行了考查。

重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}04B x x =≤≤，则A B =ð ▲ ． 【知识点】全集与补集的概念.【答案解析】[)1,0- 解析 ：解： 因为{}2340A x x x =--≤，所以解得{}1A x x =-≤≤4，又因为{}04B x x =≤≤，则A B =ð[)1,0-.故答案为：[)1,0-【思路点拨】先利用一元二次不等式的解法求出集合A ；再利用补集的定义求A B ð. 2．复数i (1i)z =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义． 【答案解析】二 解析 ：解：z=i•（1+i ）=-1+i ， 故复数z 对应的点为（-1，1），在复平面的第二象限，故答案为：第二象限.【思路点拨】化简复数z ，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 3．函数()lg(2)f x x =-的定义域为 ▲ ． 【知识点】对数函数的定义域．【答案解析】(],1-∞ 解析 ：解：应该满足()2020x lg x -⎧⎨-⎩＞，＞即21x -＞，解得1x <，所以函数的定义域为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

2021~2022学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝x－1}，则A∪B＝A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若复数z满足z1－i＝2i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门．若某同学从中选3门，要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法种数共有A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．若(x －a x)8的二项展开式中x 6的系数是－16，则实数a 的值是A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D6．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X 服从正态分布N (60，102)，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数约为(附：若随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.9545，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)≈0.9973)A ．12B ．23C ．46D ．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A (a ，b )，B (c ，d )，且sin θ＋3cos θ＝0，若a ＋c ＝－1，1b ＋4d的最小值为A ．83B ．3C ．103D ．4【答案】B8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝(13)n ＋1－b ，数列{(ab )n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是A ．－3B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U，集合M，N是U的子集，且M⫋N，则下列结论中一定正确的是（）A．（∁U M）∪（∁U N）＝U B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪（∁U N）＝U D．（∁U M）∩N＝∅2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）A．B．C．D．3．已知z1，z2是复数，下列结论错误的是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z224．函数（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的大致图象为（）A．B．C．D．5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2B．C．D．17．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是其上一动点，点M（1，1），直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（）A．|PM|+|PF|的最小值是2B．动点P到点H（3，0）的距离最小值为3C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x+y﹣3＝0对称D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点（2，0），则点N在抛物线C的准线上8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，满足f（x）＞0且f（x）+f′（x）＜0（f′（x）为函数的导函数），若0＜a＜1＜b且ab＝1，则下列不等式一定成立的是（）A．f（a）＞（a+1）f（b）B．f（b）＞（1﹣a）f（a）C．af（a）＞bf（b）D．af（b）＞bf（a）二、选择题（共4小题）.9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．log2a+log2b≥﹣2B．ab+C．D．2a﹣b＞10．已知（1﹣2x）2021＝a o+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则（）A．展开式中所有项的二项式系数和为22021B．展开式中所有奇次项系数和为C．展开式中所有偶次项系数和为D．11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为12．已知函数f（x）＝e sin x﹣e cos x，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（）A．f（x）在是增函数B．f（x+）是奇函数C．f（x）在（0，π）上有两个极值点D．设，则满足的正整数n的最小值是2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2−x−2≥0},B={x|y=√x−1}，则A∪B=()A. RB. [1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[0,+∞)2.复数z满足z1−z=2i，则z平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有()A. 18种B. 24种C. 30种D. 36种4.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5.若(x−ax)8的二项展开式中x6的系数是−16，则实数a的值是()A. −2B. −1C. 1D. 26.某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N(60,102)，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为()(附：若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.)A. 12B. 23C. 46D. 1597.已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A(a,b)，B(c,d)，且sinθ+3cosθ=0，若a+c=−1，则1b +4d的最小值为()A. 83B. 3 C. 103D. 48.已知等比数列{a n}的前n项和S n=(13)n+1−b，数列{(ab)n}的前n项和为T n，若数列{T n}是等差数列，则非零实数a的值是()A. −3B. 13C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a <b ，则下列结论错误的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. (12)a >(12)bD. ln(b −a)>010. 已知圆M ：x 2+y 2+4x −1=0，点P(a,b)是圆M 上的动点，则( )A. 圆M 关于直线x +3y +2=0对称B. 直线x +y =0与圆M 相交所得弦长为√3C. ba−3的最大值为12D. a 2+b 2的最小值为√5−211. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)( )A. 是偶函数B. 其图象关于直线x =π4对称 C. 在[π4,π2]上是减函数D. 在区间[π6,2π3]上的值域为[−√3,2]12. 若f(x)和g(x)都是定义在R 上的函数，且方程f[g(x)]=x 有实数解，则下列式子中可以为g[f(x)]的是( )A. x 2+2xB. x +1C. e cosxD. ln(|x|+1)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______． 14. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−13)=3，则f(113)的值是______．15. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，P 为C 上一点，若A(−2,0)，则PAPF 的最大值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱D1C1上运动，点Q在棱BC上运，若线段PQ的中点为M，则点M的轨迹的长度是______．动，且PQ与BB1所成的角为π4四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n.数列{b n}是等比数列，b1=1，a5−2b2=a3．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．18.如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=3，点F是边AD的中点，点E在边BC上，且四边形CEFD为正方形．将梯形ABEF沿EF折起，使得AC⊥DE，得到如图②所示的几何体．(1)证明：平面ABEF⊥平面CEFD；(2)求二面角B−AC−D的大小．19. 在△ABC 中，D 是边BC 上异于点B ，C 的一点．(1)证明：sin∠BAD AC+sin∠CAD AB=sin∠BAC AD；(2)若AD ⊥AC ，AC =9，AD =3，sin∠BAC =45，求BD ．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ；点P(2,3)在双曲线C 上，直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，且当直线MA 的斜率为l 时，MF =AF ． (1)求双曲线C 的方程；(2)若OM ⊥ON ，求O 到直线l 的距离．21. 全国高中数学联赛试题设置如下：联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”).一试包括8道填空题(每题8分)和3道解答题(分别为16分、20分、20分)，满分120分．二试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面．前两道题每题40分，后两道题每题50分，满分180分．已知某一数学克赛选手在一试中每道填空题能够正确解答的概率均为45，每道解答题能够正确解答的概率均为35，在二试中前两道每题能够正确解答的概率均为35，后两道每题能够正确解答的概率均为25.假设每道题答对得满分，答错得0分． (1)记该选手在二试中的成绩为X ，求P(X ≥100)；(2)根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分(含100分)以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为910，一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为25.问该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到12，并说明理由． (参考数据：(45)8≈0.168，(45)7≈0.21，(45)6≈0.262.)22. 已知函数f(x)=e x−1+a(x −1)2−x ，a ∈R ．(1)若曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线过点(1,0)，求a 的值； (2)若函数f(x)在x =1处有极大值，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x2−x−2≥0},B={x|y=√x−1}，∴A={x|x≤−1或x≥2}，B={x|x≥1}，∴A∪B=(−∞,−1]∪[1,+∞)．故选：C．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z1−z=2i，∴z=2i1+2i =2i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4+2i5=45+25i，∴z在复平面内对应的点为：(45,25)，位于第一象限．故选：A．由z1−z =2i，得z=2i1+2i，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，有C41⋅C32=12(种)选法；②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，有C42⋅C31=18(种)选法．综上，两类课程中都至少选一门的选法有12+18=30种；故选：C．根据题意，分两种情况讨论：①若从A类课程中选1门，从B类课程中选2门，②若从A类课程中选2门，从B类课程中选1门，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵a⊥α，α⊥β，a⊥b，∴b在β外或b⊂β，只有b垂直于α与β的交线时才能得到b⊥β，∴不能得出b⊥β，故充分性不满足．当a⊥α，α⊥β，b⊥β时，β内至少有一条直线c//a，又∵b⊥β，所以b⊥c，所以b⊥a，所以必要性满足；故选：B．由a⊥α，α⊥β，可以得到a⊂β或a//β，再由a⊥b，b//β或b⊥β，或b⊂β．本题考查了直线与平面的位置关系，逻辑推理、空间想象是本题的关键，属于基础题．5.【答案】D)8的二项展开式的通项为(−a)r C8r x8−2r，【解析】解：(x−ax令8−2r=6，解得r=1，则(−a)1C81=−16，解得a=2．故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵X服从正态分布N(60,102)，=0.02275，∴P(X≥80)=P(X≥60+20)=1−0.95452则估计进入面试环节的人数为1000×0.02275=22.75≈23人．故选：B．由题意求出P(X≥80)=P(X≥60+20)的值，乘以1000得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为sinθ+3cosθ=0，即tanθ=−3， 又第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A(a,b)，B(c,d)， 所以ba =d c=−3，故b =−3a ，d =−3c ， 所以b +d =−3(a +c)， 又a +c =−1， 则b +d =3，所以1b+4d=13(b +d)(1b+4d)=13(db+4b d+5)≥13×(2√d b⋅4b d+5)=3，当且仅当d b =4b d，即b =1，d =2时取等号，所以1b +4d 的最小值为3． 故选：B ．由已知结合同角基本关系求出tanθ，从而得到b =−3a ，d =−3c ，解得a +c =−1，则b +d =3，利用“1”的代换以及基本不等式求解最值即可．．本题考查了三角函数定义的理解与应用，同角三角函数关系式的运用，利用基本不等式求解最值的应用，主要考查了“1”的代换的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为等比数列{a n }的前n 项和S n =(13)n+1−b ， 则当n ≥2 时，a n =S n −S n−1−(13)n+1−b −(13)n +b =−23×(13)n ， 则a 1=S 1=19−b =−29， 解得b =13，则(ab)n =(a3)n ，即{(ab)n } 是以a3为首项，a3为公比的等比数列，则T n =a 3[1−(a 3)n ]1−a 3=a 31−a 3−(a 3)n+11−a 3，因为{T n }是等差数列，则通项公式不能出现n +1次方项， 所以a3=1， 解得a =3． 故选：C ．根据a n =S n −S n−1求出{a n }通项公式，利用a 1=S 1可求出b =13，求出T n ，根据等差数列的特点可得．本题考查等比数列求和，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：因为a <b ，选项A ：若a =−1，b =1，则1a =−1,1b =1，所以1a <1b ，故选项A 错误， 选项B ：若a =−1，b =1，则a 2=b 2，故B 错误，选项C ：因为函数y =(12)x 为单调递减函数，当a <b 时，(12)a >(12)b ，故C 正确， 选项D ：若a =−12,b =12，则b −a =12−(−12)=1，所以ln(b −a)=ln1=0，故D 错误， 故选：ABD ．选项AB ：利用a ，b 的特殊值a =−1，b =1即可判断；选项C ：利用指数函数的单调性即可判断求解；选项D ：利用特殊值以及对数函数的性质即可判断．本题考查了不等式的性质，涉及到指数函数与对数函数的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：由圆M ：x 2+y 2+4x −1=0，得(x +2)2+y 2=5，得圆心M(−2,0)，半径r =√5，可得M 在直线x +3y +2=0上，故A 正确；点M到直线x+y=0的距离d=√12+12=√2，则写出l=2√(√5)2−(√2)2=2√3，故B 错误；由t=ba−3，得b=t(a−3)，代入圆的方程并整理，得(1+t2)a2+(4−6t2)a+9t2−1=0．Δ=(4−6t2)2−4(1+t2)(9t2−1)=−80t2+20≥0，解−12≤t≤12．∴t的最大值12，故C正确；∵|OM|=2，∴∣OP∣min=√5−2，则a2+b2的最小值为∣OP∣min2=9−4√5，故D错误．故选：AC．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线方程成立判断A；求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长判断B；把t=ba−3，化为b=t(a−3)，代入圆的方程，利用判别式法求t的范围判断C；由a2+b2的几何意义，即圆上点的到原点距离的平方判断D．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)(ω>0)的零点依次构成一个公差为12⋅2πω=π2的等差数列，∴ω=2，f(x)=2sin(2x+π3).把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x的图象，显然，g(x)为奇函数，故A错误；令x=π4，求得g(x)=2，为最大值，可得其图象关于直线x=π4对称，故B正确；在[π4,π2]上，2x∈[π2,π]，g(x)是减函数，故C正确；在区间[π6,2π3]上，2x∈[π3,4π3]，sin2x∈[−√32,1]，g(x)的值域为[−√3,2]，故D正确，故选：BCD．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为x −g[f(x)]=0，所以g[f(x)]=g[f(g(x))]， 则x =g[f(x)]有解，对于A ，当x 2+2x =x 时，方程有解，故选项A 正确； 对于B ，当x +1=x 时，方程无解，故选项B 错误； 对于C ，当e cosx =x ，令ℎ(x)=e cosx −x ， 因为f(0)=e >0,f(π2)=1−π2<0，由零点的存在性定理可知，ℎ(x)在(0,π2)上存在零点， 所以方程有解，故选项C 正确；对于D ，当ln(|x|+1)=x 时，x =0为方程的解， 所以方程有解，故选项D 正确． 故选：ACD ．由已知可得g[f(x)]=x 与f[g(x)]=x 是等价的，即判断四个选项都分别等于x 是否有解即可得到答案．本题主要考查了抽象函数问题，以及函数零点问题，同时考查了数形结合的思想和转化的思想，属于中档题．13.【答案】−83【解析】解：因为正方形ABCD 的边长为2， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ))⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=−23⋅22−13⋅0=−83， 故答案为：−83．用平面向量数量积计算求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．14.【答案】3【解析】解：f(x)是定义域为R 的奇函数，可得f(−x)=−f(x)， 又f(1+x)=f(−x)，则f(x +1)=−f(x)， 即有f(x +2)=−f(x +1)=f(x)， 可得f(x)的最小正周期为2，若f(−13)=3，则f(113)=f(4−13)=f(−13)=3． 故答案为：3．由函数的奇偶性和周期性的定义，可得f(x)的最小正周期为2，结合已知条件，可得所求值．本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.【答案】√2【解析】解：如图，不妨设P 在第一象限，过P 作PN 与准线垂直，垂足为N ，则 PAPF =PAPN =1cos∠APN =1cos∠PAF ，当PAPF 取得最大值时，则∠PAN 必须取得最大值，此时AP 与抛物线相切，设切线方程为y =k(x +2)，联立{y =k(x +2)y 2=8x ，消去x 可得ky 2−8y +16k =0，Δ=64−64k 2=0，即k 2=1，则k =1，∠PAN =π4， 则PAPF 的最大值为√2． 故答案为：√2．过P 作PN 与准线垂直，垂足为N ，则 PAPF =PAPN =1cos∠APN =1cos∠PAF ，当PAPF 取得最大值时，则∠PAN 必须取得最大值，此时AP 与抛物线相切，设直线l 的方程，代入抛物线方程，由Δ=0，本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算求解能力，属于中档题．16.【答案】π2【解析】解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，过Q 作QR ⊥B 1C 1于点R ，因为QR//BB 1，PQ 与BB 1所成的角为π4，所以∠PQR =π4，且△PQR 为等腰直角三角形， 则|PQ|=2√2．设Q(m,2,2)，P(0,n,0)，0≤m ，n ≤2， 设PQ 的中点M(x,y,1)， 所以x =m2，y =n+22，即m =2x ，n =2y −2，由|PQ|=√m 2+(n −2)2+4=8，可得m 2+(n −2)2=4，所以4x 2+(2y −4)2=4，即x 2+(y −2)2=1，(0≤x ≤1,1≤y ≤2)， 可得M 的轨迹为14圆弧，所以M 的轨迹的长度为14×2π=π2． 故答案为：π2．以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由异面直线所成角的定义，结合勾股定理可得|PQ|，设Q(m,2,2)，P(0,n,0)，0≤m ，n ≤2，设PQ 的中点M(x,y,1)，由中点坐标公式和两点的距离公式可得x ，y 的轨迹方程，再由圆的弧长公式计算可得所求值．本题考查空间中异面直线所成角的定义和运用，以及轨迹的长度，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)解：当n =1时，a 1=S 1=3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2+2n −(n −1)2−2(n −1)=2n +1， ∵当n =1时，a 1=3也满足上式，∴a n =2n +1，n ∈N ∗． 又∵a 5−2b 2=a 3，∴b 2=a 5−a 32=11−72=2，∴等比数列{b n }的公比为2， ∴b n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗． (2)由(1)知，a n ⋅b n =(2n +1)⋅2n−1，T n =a 1b 1+a 2b 2+⋅⋅⋅+a n b n =3⋅20+5⋅21+7⋅22+⋅⋅⋅+(2n +1)⋅2n−1， 2T n =3⋅21+5⋅22+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅2n−1+(2n +1)⋅2n ， 两式相减，可得−T n =3⋅1+2⋅21+2⋅22+⋅⋅⋅+2⋅2n−1−(2n +1)⋅2n =3+2⋅2−2n 1−2−(2n +1)⋅2n=−(2n −1)⋅2n −1， ∴T n =(2n −1)⋅2n +1．【解析】(1)结合题干并根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式，然后根据a 5−2b 2=a 3可计算出b 2的值，即可得到等比数列{b n }的公比，从而可计算出数列{b n }的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{a n ⋅b n }的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n 项和．考查了转化与化归思想，分类讨论，等比数列的性质，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)证明：连接CF ，∵四边形CEFD 为正方形．将梯形ABEF 沿EF 折起，使得AC ⊥DE ，∴EF ⊥DF ，EF ⊥AF ，CF ⊥DE ， ∵CF ∩AC =C ，∴DE ⊥平面ACF ， ∵AF ⊂平面ACF ，∴DE ⊥AF ， ∵EF ∩DE =E ，∴AF ⊥平面CEFD ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面CEFD ；(2)以F 为坐标原点，FE 为x 轴，FD 为y 轴，FA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,1)，A(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面ABC 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1,2)， 设平面ACD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +2b −2c =0m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −2c =0，取b =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 设二面角B −AC −D 的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√6⋅√2=√32，∴θ=30°，∴二面角B −AC −D 的大小为30°．【解析】(1)连接CF ，推导出EF ⊥DF ，EF ⊥AF ，CF ⊥DE ，从而DE ⊥平面ACF ，DE ⊥AF ，进而AF ⊥平面CEFD ，由此能证明平面ABEF ⊥平面CEFD ；(2)以F 为坐标原点，FE 为x 轴，FD 为y 轴，FA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −AC −D 的大小．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：如图，由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，得12AB ⋅AD ⋅sin∠BAD +12AC ⋅AD ⋅sin∠DAC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC ，等式两边同时除以12AB ⋅AC ⋅AD ， 可得sin∠BAD AC+sin∠CAD AB=sin∠BAC AD．(2)如图，作BE 垂直于CA 交CA 的延长线于点E ， 由题可得sin∠BAE =sin∠BAC =45， 故tan∠BAE =34， 不妨设AE =3x ，则BE =4x ，根据△CAD 相似于△CED ， 可得CAAD =CEEB ，代入解得x =1，即AE =3，可得BE =4，BD =BC −CD =4√10−3√10=√10．故答案为：√10．【解析】(1)由题意可得S △ABD +S △ACD =S △ABC ，根据三角形的面积公式即可证明． (2)作垂直辅助线构造相似，不妨设AE =3x ，则BE =4x ，可得CAAD =CEEB ，代入解得x =1，即可得解BD 的值．本题主要考查了三角形的面积公式，考查了三角形相似的性质，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)当直线MA 的斜率为l 时，即∠MAF =45°，又|MF|=|AF|，可得△MAF 为等腰直角三角形，且MF ⊥AF ， 设F(c,0)，可得M(c,b 2a )，则a +c =b 2a=c 2−a 2a，可得c =2a ，b =√3a ，由点P(2,3)在双曲线C 上，可得4a −9b =1， 解得a =1，b =√3，c =2， 则双曲线的方程为x 2−y 23=1；(2)当直线MN 的斜率不存在时，M ，N 关于x 轴对称，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON ，可得|y 1|=|x 1|，且x 12−y 123=1，解得x 12=32，则直线MN 的方程为x =x 1， 则O 到直线MN 的距离为|x 1|=√62；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +t3x 2−y 2=3可得(3−k 2)x 2−2ktx −t 2−3=0， Δ=4k 2t 2+4(3−k 2)(3+t 2)>0，x 1+x 2=2kt3−k 2，x 1x 2=−3+t 23−k 2，y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=−k 2⋅3+t 23−k2+kt ⋅2kt 3−k 2+t 2=3(t 2−k 2)3−k 2，由OM ⊥ON ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即−3+t 23−k +3(t 2−k 2)3−k =0，可得t 2=32(1+k 2)，所以O 到直线y =kx +t 的距离为√1+k2=√62⋅√1+k 2√1+k 2=√62．综上可得，O 到直线l 的距离为√62．【解析】(1)由题意可得△MAF 为等腰直角三角形，且MF ⊥AF ，求得M 的坐标，结合|MF|=|AF|，可得c =2a ，再由P 的坐标满足双曲线的方程，可得a ，b ，进而得到所求双曲线的方程；(2)讨论直线MN 的斜率不存在，求得M 的坐标，可得O 到直线l 的距离；再考虑直线l 的斜率存在，设l ：y =kx +t ，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，可得t 2=32(1+k 2)，再由点到直线的距离公式，计算可得所求距离． 本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得，P(X =100)=(1−35)×(1−35)×25×25=16625，P(X =130)=35×35×C 21×(1−25)×25=108625， P(X =140)=C 21×35×(1−35)×25×25=48625，P(X =180)=35×35×25×25=36625，故P(X ≥100)=P(X =100)+P(X =130)+P(X =140)+P(X =180)=16625+108625+48625+36625=208625；(2)由题意可知，一试分数达到100分及以上，则①后三题解答只错一题，前8题全对， ②前8题填空题只答错一题或两题，解答题全部答对， ③全部答对．一试题目全部答对的概率为(45)8×(35)3≈0.168×0.216≈0.036，后三题解答只错一题，前8题全对的概率为C 31×(45)8×(35)2×(1−35)≈3×0.168×0.36×0.4≈0.073，前8题填空题只答错一题或两题，解答题全部答对的概率为C 81×(45)7×(1−45)×(35)3+C 82×(45)6×(1−45)2×(35)3≈0.136，故一试获得100分以上的概率为0.036+0.073+0.136=0.245，所以该同学获得省一等奖的概率为0.245×910+(1−0.245)×25=0.2205+0.302=0.5225>12，故该选手最终获得省一等奖的可能性达到12．【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理，求解即可；(2)一试分数达到100分及以上，则①后三题解答只错一题，前8题全对，②前8题填空题只答错一题或两题，解答题全部答对，③全部答对，分别求出三种情况对应的概率，再求解该同学获得省一等奖的概率，比较即可得到答案．本题考查了离散型随机变量的理解与应用，离散型随机变量的概率问题，相互独立事件的概率乘法公式的应用以及分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=e x−1+a(x−1)2−x，则f′(x)=e x−1+2a(x−1)−1，所以f′(0)=e−1−2a−1，又f(0)=e−1+a，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−(e−1+a)=(e−1−2a−1)x，又切线过点(1,0)，所以−(e−1+a)=e−1−2a−1，解得a=2e−1−1．(2)f′(x)=e x−1+2a(x−1)−1，f′(1)=0，f″(x)=e x−1+2a，显然，f″(x)在R上单调递增，若f″(1)=1+2a>0，即a>−12时，①若a≥0，则f″(x)>0，f′(x)单调递增，此时当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)在x=1处取极小值，舍去；②当−12<a<0时，注意到f″(1+12a)<0，此时f″(x)在(1+12a,1)上有唯一的零点x0，且当x0<x<1时，f″(x)<0，f′(x)单调递减；当x>1时，f″(x)>0，f′(x)单调递增，所以f′(x)≥f′(1)=0，f(x)在R上单调递增，不符合题意，舍去；若f″(1)=1+2a=0，即a=−12时，可得f′(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f′(x)≥f′(1)=0，也舍去；若f″(1)=1+2a<0，即a<−12时，而f″(−2a)>0，所以存在唯一的x1∈(1,−2a)使f″(x1)=0，且当x<x1时，f″(x)<0，f′(x)单调递减，注意到f′(1)=0，所以当x<1时，，f′(x)>0，f(x)单调递增，当1<x<x1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x =1处有极大值，符合题意． 综上，a 的取值范围是(−∞,−12).【解析】(1)对f(x)求导，求出f′(0)，f(0)，即可求得曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程，将点(1,0)代入，即可求解a 的值；(2)f′(x)=e x−1+2a(x −1)−1，f′(1)=0，再对f′(x)求导，可得f″(x)=e x−1+2a ，且在R 上单调递增，分a >−12时，a =−12时，a <−12时三种情况讨论，求出f(x)的单调性及极值，即可求得符合题意的a 的取值范围．本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。

2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数的虚部为（ ）A.1B.C.D.3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.B. C. D.5.等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A.588B.448C.896D.5486.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）A.1C.27.已知，则（ ）A.B. C. D.{}{}230,3,1,0,1,2,3A xx x B =-≤=--∣A B ⋂={}1,2,3{}0,1,2,3{}3,1--{}3i 11i-+1-i i-()()2,1,3,4a b == ab 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭65π100π94000π81400π91000π81{}n a 1234327,2a a a a a a ++==+789a a a ++=xOy 1y kx =+224x y +=,A B AOB ()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=22cos cos αβ-=136136-1616-8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A.B.C.是增函数D.是减函数二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.在区间单调递减D.当时，的值域为10.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）A.直线与直线的夹角为B.直线与平面C.点到平面D.三棱锥11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）()0,∞+()f x ()()()f xy xf y yf x =+()e e f =()22e 1ef =()1010e 10e f =()f x ()f x x()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2sin2g x x =π3()f x ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2⎤⎦1111ABCD A B C D -,M N 111,CC C D MN 1AD 60MN 11AB D A 1B MN 11C B MN -e e 1x y =-+()ln e 1y x =+-ΓA.有对称轴B.的弦长的最大值为C.直线被D.的面积大于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从二项分布，若，则__________.13.在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.14.已知双曲线上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5（1）求关于的经验回归方程；（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：ΓΓx y t +=Γ)e 2-Γ2e 4-ξ()10,B p ()3111E ξ+=p =ABCD ABC ACD DA DC =ACD ⊥ABC E BD ACDE ABCD 1:2D AC E--()2222:10,0x y C a b a b-=>>C θ2268x y xy ++=C x t y t /tx /t y y x ˆˆˆy bx a =+100t 90t 100t t 1221ˆ()ˆˆ.ni i i ni i x y nxy b x n x ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑16.（15分）已知椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，点，求.17.（15分）已知数列满足为常数.（1）若，求；（2）若的各项均为正数，证明：.18.（17分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）点分别在边上，且平分平分，.①求证：；②求.19.（17分）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.（1）求证：函数具有性质；（2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：；（3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点()2222:10x y C a b a b +=>>C 22y x =+C ,A B 11,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ {}n a (*111,n nd n d a a +-=∈N )1211,3a a ==11nk k k a a +=∑{}n a 212n n n a a a +++≤ABC ,,A B C ,,a b c ()1cos sin b C B +=C ,P Q ,AC AB BP ,ABC CQ ∠ACB ∠BC BQ PB PC +=+AB APBC PC=ABC ∠R ()f x ()f x 'k ()x ϕ()()()244f x x kx x k ϕ=-+'()0x ϕ>x ()f x ()W k ()3212413f x x x x =-++()1W ()g x ()2W ()22121212,,sincos x x x x x x αθθ<=+2212cos sin x x βθθ=+θ∈R ()()()()12g g g x g x αβ-≤-()h x (),P a b ()()22()()L x x a h x b =-+-()()00,Q x h x ()L x 0x x =Q P h ()h x ()W k.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.()()()()()()121,,1,P t h t t P t h t t ϕϕ-++-t ∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h k2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，，选B.2.【答案】A 【解析】，虚部为1，选A.3.【答案】A【解析】在上的投影向量，选A.4.【答案】C【解析】，内切球半径，选C.5.【答案】B【解析】，则舍或2，选B.6.【答案】D 【解析】D.7.【答案】D【解析】，选D.8.【答案】B【解析】，则，则{}03A xx =≤≤∣{}0,1,2,3A B ⋂=()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+a b()210683,4,2555||a b b b ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭π13π65π,5,12rl r r h ==∴==1121021021313103R ⨯⨯⨯==++2100400π4π4π99S R ==⋅=4322a a a =+222,20,1q q q q q =+--==-()6789123764448a a a a a a q ++=++=⨯=111,22AOB d AB S AB d =≤==⋅=⋅ =≤()()()()2211111sin ,sin ,cos cos sin sin 23236αβαβαβαβαβ+=-=-=-+-=-⨯=-()()()f xy xf y yf x =+()()()(),ln f xy f y f x f x x xyyx x=+=，即对.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】关于对称，A 对.向左平移个单位变为错.，则的一个单调减区间而在单调递减，C 对.，则.D 错.选AC.10.【答案】ABD【解析】与的夹角为与的夹角即为正三角形，，A 对.面与平面，B 对.设平面的法向量()()1010ln ,ee10f x x x f ==⋅()1010e 10,B ef =()π0,3f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭π,03⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3()π2π2sin 2,B 33g x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2232x <+<()π7π,1212x f x <<∴π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭()πππ7π,,,1221212f x ⎛⎫⎛⎫⊂∴⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π02x <<ππ4ππ02π,2,2sin 223333x x x ⎛⎫<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭MN ∥1,CD MN 1AD 1CD 1AD 11,AD C AD C ∠ 160AD C ∠∴= 1CA ⊥()()111111,2,2,2,0,2,2,cos ,AB D CA D C CA D C =-=-==MN ∴11AB D 1B MN ()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ⎧⋅=-+=⎧⎪=∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩不放设，则错.对于D ，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为D 对.11.【答案】ACD【解析】由的反函数为，两者关于对称，A 正确.对于B ，，令在上单调递减；上单调递增，注意掉在和有一个零点，另一个零点为，B 错.对于与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离直线被正确.1x =()182,2,1,2,2,,C 3AB n z y n d n ⋅=-=-=--==1C MN MN ,P MN =22222132,,12(2)2OP R R R OP R ⎧+=⎪⎪∴==⎨⎪-+>⎪⎩()e e 1e e 1,ln e 1,e e 1xxxy y x y y =-+⇒=+-∴=+-∴=-+()ln e 1y x =+-y x =e e 1e e 1x x y x y x⎧=-+⇒-=-⎨=⎩()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-()h x (),0∞-()0,∞+()()()()120,12e 010,e h h h h x ->-=+-<=∴()2,1--0x ()()001,1,1,,A B x y ∴)01AB x ∴=->∴C,x y t +=ΓAB e e 1x y =-+P y x =P AB P ()e e 1xf x =-+()e 10x f x x ==⇒='()000,2e ,P P -y x =d =∴x y t +=Γ)e 2,C -对于D ，ВD 正确，选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】设，则，取中点为中点平面平面二面角为.14.【答案】4【解析】设在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x ∴>=⋅-⋅-=-->- ( )021,x -<<-∴13()()110,,10,313130111,3B p E p E E p p ξξξξ~=+=+=+=∴=122DA DC ==AC =AC 1,2B ACD E ACD V BF DF BD E V --====∴BD ACD ⊥,ABC BD DE EF ∴===D AC E --1,cos 2DFE DFE ∠∠∴=(),P x y 2268x y xy ++=(),P y x ∴'2268x y xy ++=(),P y x ''--∴2268x y xy ++=y x=±而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线联立实轴端点为，的虚轴长为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16.【解析】（1）由题意，椭圆：.（2），解得或.17.【解析】（1）.∴y x=-y x∴=221,68y xxx y xy=⎧⇒=±∴⎨++=⎩()()1,1,1,1--a∴=2c b⇒==C∴44114.5, 4.5,84.5,4 3.5i i i ii ix y x y x y xy=====-=∑∑4213.5ˆˆ45,0.7, 4.50.7 4.5 1.355iix x b a=-=∴===-⨯=∑0.7 1.5ˆ3.y x∴=+100,71.35x y==71.35t9071.3518.65-=∴18.65t222124,222ca ab c bca b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪⋅=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩22184x y+=2222184y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩2xy=⎧⎨=⎩()1616149,0,2,,14999xA By⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩113514113514637,2,24369436914416MA MB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯-⨯=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12111111,,2,121213n n na a n na a a+==∴-=∴=+-=-1111111,21(21)(21)22121n nnk kan k k k k==⎛⎫∴=∴=-⎪--+-+⎝⎭∑∑11111111112335212122121nn n n n⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（2）整理得显然成立，.18.【解析】（1）.（2）①证明：在和中分别使用正弦定理（2）同理()()1111111,0,0,11n n n d a d a a a n d a =+->≥∴=+-()()21111211111211n n n a a a nd n d n d a a a +++≤⇔≤+++-++2221111nd nd d a a ⎛⎫⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n n n a a a +++∴≤()sin 1cos sin ,sin 0B C C B B +=> ππcos 12sin 1,63C C C C ⎛⎫-=⇒-== ⎪⎝⎭ABP BCP sin 4sin ,sin 3sin ABAP AB AP BC PC BC PC ∠θ∠θ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩①①②②()sin60sin sin60sin sin 60PB PC BC PB PCθθθ+===++ ()()1sin30sin 230sin 2302BC BQ BC BQθθ+==+++ ()()1sin 2302sin 230BC BQ PB PC θθ+++=+⇒=+19.【解析】（1）取，则具有性质.（2）具有性质函数使得时对恒成立在上单调递增，当且且另一方面，同理（3）设，，()1260sin 302θθ⇒+=<<+()12cos 602θ∴+==- ()()()22cos 3011cos 602cos 602θθθ-∴+=⇒--=()()()2cos 30sin 602602θθθ∴-+-=- ()()2cos 302cos 902θθ⇒-=- 30290,40,80ABC θθθ∠-=-∴==()()2244144f x x x x x '=-+=⋅-+()1x ϕ=()()()()244,f x x x x f x ϕ=⋅-+∴'()1W ()g x ()2,W ∴∃()x ϕ()()()2248g x x x x ϕ=-+'()()22240x x x ϕ=⋅-+>x ∀∈R ()g x ∴R ()()1212,x x g x g x <∴< 2222222111sin cos ,cos sin x x x x x x αθθβθθ≤+=≥+=()()()()()()()()2121,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≤≥∴-≤-22111sin cos x x x αθθ≥+=2x β≤()()()()()()()()1212,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≥≤∴-≥-()()()()()()2112g g g x g x g x g x αβ∴-≤-=-()()()()221(1)[]L x x t h x h t t ϕ=-++--()()()()222(1)[]L x x t h x h t t ϕ=--+-+()()()()()()1212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=-++--⎦'⎣'对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，①，②，①-②具有性质恒成立故恒成立综上：的取值范围为.()()()()()()2212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=--+-+⋅⎦'⎣' t ∀∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h ()000,,P x y x ∴()1L x ()2L x 0,x ∴R ()()10200L x L x ∴==''()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤⇒-++--=⎣⎦'()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤---+⎣'+=⎦()()()()()00044010h x t h x t h x ϕϕ⇒-⋅='⇒'⋅'⇒=>()h x ()()()0,00W k t h x ϕ∴>⇒>'2440kx x k -+>2116160k k k >⎧⇒⇒>⎨-<⎩k ()1,∞+。

2021届江苏省徐州市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|2A x R x =∈≥，2{|20}B x R x x =∈--<则下列结论正确的是（ ） A ．AB R = B ．A B ⋂≠∅C ．()R A C B ⊆D ．()R A C B ⊇【答案】C【详解】集合{}{}2|22A x R x x R x x =∈≥=∈≥≤-或{}2{|20}|12B x R x x x R x =∈--<=∈-<< {}|12A B x R x x ∴=∈>-≤-或,所以A 错误A B B ∴⋂=∅∴，错误{}|21R C B x R x x =∈≥≤-或,()R A C B ∴⊆,所以C 正确，D 错误故答案选C 2．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（ ） A ．6种 B ．12种 C ．36种 D ．72种【答案】C【分析】4名同学中选2名作为一人，共3人分到三个小区即可．【详解】由题意不同的安排方法是234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件方法．4．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】C【分析】先确定基本事件总数，再分类讨论要求事件含有的基本事件数，计算概率即可.【详解】依题意，基本事件总数是4424A =，设事件A 表示甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”，①若甲模仿“爬”，则乙能模仿“扶”或“捡”，有2种选择，剩余的2人全排列222A =种排法，故有224⨯=种排法；②若甲模仿“扶”，则乙只能模仿 “捡”， 剩余的2人全排列222A =种排法，故有122⨯=种排法，故A 包含426+=个基本事件，()61244P A ==. 故选：C.【点睛】本题考查了利用古典概型的概率计算解决实际问题，属于基础题.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可.【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C.【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为（ ） A ．415-B ．415C ．43-D ．43【答案】D【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。

2020-2021学年江苏省徐州一中高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（）A．倍B．倍C．倍D．倍2．满足条件|z﹣1|＝|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线3．在二项式（1+x）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A．B．C．D．4．化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化（△G）的热力学公式Gibbs﹣Helmholtz方程和Van′tHoff方程，可以得到温度（T）与可逆反应的平衡常数（K）的关系式：△H﹣T△S＝△G＝﹣RTlnK式中△H为焓变（在一定温度变化范围内视为定值），△S为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2．则＝（）A．B．C．D．5．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．6．在2022年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标．某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神，面向全体学生开设了体育校本课程．该校学生小烷选完课程后，其他三位同学根据小烷的兴趣爱好对他选择的课程进行猜测．甲说：“小烷选的不是足球，选的是篮球．”乙说：“小烷选的不是篮球，选的是羽毛球．”丙说：“小烷选的不是篮球，也不是乒乓球．”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小烷选择的课程（）A．可能是乒乓球B．可能是足球C．可能是羽毛球D．一定是篮球7．已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．已知函数f（x）在（0，1）上恒有xf′（x）＞2f（x），其中f′（x）为函数f（x）的导数，若α，β为一个锐角三角形的两个内角，则（）A．sin2βf（sinα）＞sin2αf（sinβ）B．cos2βf（sinα）＞sin2αf（cosβ）C．cos2βf（cosα）＞cos2αf（cosβ）D．sin2βf（cosα）＞sin2αf（cosβ）二、选择题（共4小题）.9．对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（）A．若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC．若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝∁R A⊕∁R B10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上三点A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F为抛物线的焦点，则（）A．抛物线的准线方程为x＝﹣1B．＝，则||成等差数列C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝﹣1D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为211．设函数，则（）A．f（x）的最大值为B．|f（x）|≤5|x|C．曲线y＝f（x）存在对称轴D．曲线y＝f（x）存在对称中心12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{a n}，其前n项和为S n，n∈N*，则（）A．a20＝220B．C．S23＝2156D．a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a48＝9800三、填空题（共4小题）.13．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为．14．函数f（x）满足以下条件：①f（x）的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；②f（x）是偶函数；③f（x）在（0，+∞）不是单调函数；④f（x）恰有2个零点．请写出函数f（x）的一个解析式．15．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市．在新冠病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新冠病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被新冠病毒感染未被新冠病毒感染总计注射疫苗1050未注射疫苗30总计a100表中a的值为；计算可知，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”．参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82816．已知F1，F2分别为双曲线E：的两个焦点，E上的点P到原点的距离为b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线E的渐近线方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分。

徐州市2021届高三第三次调研测试数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1.本试卷共6页，包含选择题（第1题～第12题，共12题）、非选择题（第13题～第22题，共10题）两部分。

本卷满分为150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

每题只有一项符合题目要求。

1. 已知全集U,集合M,N 是U 的子集．且M N,则下列结论中一定正确的是A. (C U M)∪(C U N)=UB. M ∩(C U N)=øC.M ∪(C U N)=UD.(C U M) ∩N=ø2. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为 A. 112 B. 13 C. 12 D. 343.已知z 1,z 2是复数，下列结论错误的是A.若|z 1-z 2|=0,则1z =2zB.若z 1=2z ,则1z =z 2C.若|z 1|=|z 2|,则z 1·1z =z 2·2zD.若|z 1|=|z 2|,则2212z z ==24. 函数f(x)= 52sin 33x xx x -+-（x ∈[-π,0) ∪(0,π])的大致图象为5. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始·已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长6. 某圆锥母线长为2,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为D.17.抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,P 是其上一动点，点M(1,1),直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点，下列结论正确的是A.|PM|+|PF|的最小值是2B.动点P 到点H(3,0)的距离最小值为3C.存在直线l ,使得A,B 两点关于直线x+y-3=0对称D.与抛物线C 分别相切于A 、B 两点的两条切线交于点N,若直线AB 过定点（2,0),则点N 在抛物线C 的准线上8. 已知函数f(x)是定义在区间（0,+0x)上的可导函数，满足f(x)>0且f(x)+f '(x)<0 (f '(x)为函数的导函数），若0<a<1<b 且ab=1,则下列不等式一定成立的是A. f(a)>(a+1)f(b)B.f(b)>(1-a)f(a)C.af(a)>bf(b)D. af(b)>bf(a)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年秋学期高三年级第三次学情分析考试数学试卷注意：1.试卷分值150分，考试时间120分钟；2.试卷的答案一律写在答题纸上。

第I 巻〔选择题〕一、单项选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分．〕1．全集U R =，集合{}{}31,1M x x N x x =-<<=≤，那么阴影局部表示的集合是() A ．[]1,1-B ．(]3,1-C ．()3,1--D ．()(),31,-∞-⋃-+∞2．复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，那么复数z 的模为() A ．3B ．2 C ．1 D ．23．A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0〞是真命题的一个充分不必要条件是() A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤54．程大位?算法统宗?里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要清楚依次弟，孝和休惹外人传.〞意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级清楚，使孝顺子女的美德外传，那么第八个孩子分得斤数为()A.65B.184C.183D.176 5．函数()sin(e e )x x f x -=+的图像大致为()6单位向量12,e e 的夹角为23π，那么向量12e e -与向量12+2e e 的夹角为〔〕 A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π7. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象〔〕 A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移π12个单位C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位8．对于任意的实数x ∈[]e ,1，总存在三个不同的实数[]5,1-∈y ，使得0ln 12=---x ax xe y y 成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 A ．⎥⎦⎤⎝⎛-e e e 1,2524 B.4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.⎥⎦⎤ ⎝⎛425,0e D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-e e e3,2524 二、多项选择题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)．9.函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x R ∈，那么〔 〕. A.()22f x -≤≤B.()f x 在区间()0,π上只有一个零点C.()f x 的最小正周期为πD.直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 10．等比数列{}n a 的公比q ＜0，等差数列{}n b 的首项10b >，假设99a b >，且1010a b >，那么以下结论一定正确的选项是〔 〕. A ．9100a a <B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >11．函数()x f 是偶函数，()1+x f 是奇函数，并且当[]2,1∈x ，()21--=x x f ，那么以下选项正确的选项是〔 〕.A.()x f 在()2,3--上为减函数B.()x f 在()2,3--上()0<x fC.()x f 在()2,3--上为增函数D.()x f 在()2,3--上()0>x f 12. 函数()ln f x x =，32()2e ()g x x x kx k R =-+∈，假设函数()()y f x g x =-有唯一零点,那么以下四个命题中正确的选项是〔 〕.A ．21e ek =+B ．曲线()y g x =在点(e,(e))g 处的切线与直线e 10x y -+=平行C ．函数2()2e y g x x =+在[0,e]上的最大值为22e 1+D ．函数2()e ex y g x x =--在[0,1]上单调递增。

江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已如集合A ＝{}2x x ≥，B ＝{}220x x x −−<，则下列结论正确的是 A ．AB ＝R B ．AB ≠∅C ．A ⊆(RB) D ．A ⊇(RB)2．复数i12iz =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．有4名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名同学都只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为A ．6种B ．12种C ．36种D ．72种 4．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫 博物院，有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图 中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们 采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶” 且乙只能模仿“扶”或“检”的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．165．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A(4，﹣3)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．56．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，设AC 交BD 于点O ，则异面直线A 1O 与BD 1所成角的余弦值为 A ．41515−B ．41515C ．439− D ．439 7．若偶函数()f x 满足()(1)2020f x f x ⋅+=，(2)1f −=−，则(2021)f ＝A ．﹣2020B ．﹣1010C ．1010D ．20208．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23 )，记为第一次操作；…，再将剩下的两个区间[0，13]，[23，1] 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）A ．4B ．5C ．6D ．7二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知曲线C 的方程为22191x y k k +=−−(k ∈R)A ．当k ＝5时，曲线C 是半径为2的圆B ．当k ＝0 时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为13y x =± C ．存在实数k ，使得曲线C 为离心率为2的双曲线D ．“k ＞1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 10．设a ＞0，b ＞0，则A ．12(2)()9a b a b++≥ B ．222(1)a b a b +≥++C ．22a b a b b a+≥+ D ．22a b ab a b +≥+ 11．如图BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，BF 2FO =，则 A ．1BF FC 3=B ．8FD FE 9⋅=−C ．﹣1＜cos<FD ，FE >≤45−D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 第11题 12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，41sin[(21)]()21i i x f x i =−=−∑的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则 A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于点(2π，0)对称 C ．函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称D ．函数()f x 的导函数()f x '的最大值为4三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．262(1)()x x x+−展开式中含x 2的项的系数为 ．14．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星 波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反 射聚焦到焦点处（如图②所示），已知接收天线的口径 （直径）为4.8m ，深度为1m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 m ． 第14题 15．已知θ∈(2π−，0)，sin(4π＋θ)＝35，则tan2θ的值为 ． 16．在平面四边形ABCD 中，AB ＝CD ＝1，BC ＝2，AD ＝2，∠ABC ＝90°，将△ABC 沿 AC 折成三棱锥，当三棱锥B —ACD 的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①c cosB ＋b cosC ＝2，②b cos(2π﹣C)＝c cosB ，③sinB ＋cosB ＝2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝6π， ，b ＝4？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足123n n S a a =−且2a ，32a +，48a −成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为20．（1）能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为X，求X的概率分布和数学期望E(X)．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++，n a b c d=+++．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AP＝AB＝2，∠BAD＝60°，求二面角A—PB—D的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln 43f x x x x =+−+． （1）求函数()f x 在[1，2]上的最小值； （2）若3()(1)f x a x ≤−，求实数a 的值． 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，2)． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆C 上位于第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，点P(2，0)，若∠PAB 为锐角，求△ABP 的面积的取值范围．参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C 9．ABD 10．ACD 11．BCD 12．BCD13．﹣100 14．1.44 15．724−16．43π17．18．19．20．21．22．江苏省盐城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．命题“∀x ∈(0，1)，x 2﹣x ＜0”的否定是A ．∃x ∉(0，1)，x 2﹣x ≥0B ．∃x ∈(0，1)，x 2﹣x ≥0C ．∀x ∉ (0，1)，x 2﹣x ＜0D ．∀x ∈(0，1)，x 2﹣x ≥02．已知集合A ＝{}ln(1)x y x =−，集合B ＝1(), 22xy y x ⎧⎫=>−⎨⎬⎩⎭，则AB ＝A ．∅B ．[1，4)C ．(1，4)D ．(4，+∞) 3．已知向量a ，b 满足a b =，且a ，b 的夹角为3π，则b 与a b −的夹角为A ．3πB ．2πC ．34π D ．23π 4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A ．5B ．6C ．7D ．8 5．函数()sin xf x x x=−(x ∈[π−，π])的图像大致是6．要测定古物的年代，可以用发射性碳法：在动植物的体内都含有微量的发射性14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变．经科学测定，14C的半衰期为5730年（设14C 的原始量为1，经过x 年后，14C 的含量()xf x a =即1(5730)2f =），现有一古物，测得其14C 的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？0.7937≈，0.9998≈） A ．1910 B ．3581 C ．9168 D ．17190 7．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +−是等比数列，则8i i 1a =∑＝A ．376B ．382C ．749D ．766 8．设x ，y ∈(0，π)，若sin(sin x )＝cos(cos y )，则cos(sin x )与sin(cos y )的大小关系为A ．＝B ．＞C ．＜D ．以上均不对 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．设函数()5xf x =，2()g x ax x =−(a ∈R)，若[(1)]f g ＝5，则a ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 10．函数21()(2)2ln 2f x ax a x x =−++单调递增的必要不充分条件有 A ．a ≥2 B ．a ＝2 C ．a ≥1 D ．a ＞2 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，则角A 可为 A ．34π B ．4πC ．712πD ．23π12．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n ≥N ，有n x a r −<，则数列{}n x 为收敛数列．下列关于收敛数列正确的有 A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比q ∈(﹣1，1]C ．若数列{}n x 满足sin()cos()22n x n n ππ=，则{}n x 是收敛数列D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为n S (n S ≠0)，则数列1nS 一定是收敛数列 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若2sin()43πα−=，则sin 2α＝ ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的中线，若b ＝4c ＝4且2AB AD AB ⋅=，则cosA ＝ ；中线AD 的长为 ．15．若{}n a 是单调递增的等差数列，且4n a n a a =，则数列{}n a 的前10项和为 ． 16．若函数21()ln 2f x x b x ax =++在(1，2)上存在两个极值点，则b (3a ＋b ＋9)的取值范围 是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设函数()cos 2sin f x x m x =+，x ∈(0，π)．（1）若函数()f x 在x ＝2π处的切线方程为y ＝1，求m 的值；（2）若x ∀∈(0，π)，()f x ＞0恒成立，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）设()sin()f x x ωϕ=+，其中ω为正整数，2πϕ<，当ϕ＝0时，函数()f x 在[5π−，5π]单调递增且在[3π−，3π]不单调．（1）求正整数ω的值； （2）在①函数()f x 向右平移12π个单位得到奇函数；②函数()f x 在[0，3π]上的最小值为12−；③函数()f x 的一条对称轴为x ＝12π−这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答．已知函数()f x 满足 ，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＜b ，(A)(B)f f =．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角C ；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）设函数()()e x f x a x =−． （1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的x ∈[0，+∞)，不等式()f x ≤x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC ＝2，∠BAD ＝6π．（1）若23AD AB AC 55=+，且角B ＝6π，求AC 的长； （2）若BDC ＝3π，求角B 的大小．21．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332S a =，4424S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22n n nna b S +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n T ＜2．22．（本小题满分12分）设函数()e sin 1xf x a x =−−． （1）当x ∈(2π−，2π)时，()0f x '>，求实数a 的取值范围；（2）求证：存在正实数a ，使得()0xf x ≥总成立．江苏省盐城市2021届高三第一学期期中考试数学试卷详解一、单项选择题 1．答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论，故选B ． 2．答案：C解析：A ＝(1，+∞)，B ＝(0，4)，故A B ＝(1，4)． 3．答案：D解析：2221()cos 32b a b a b b a b b a π⋅−=⋅−=−=−， 222()2a b a b a a b b a −=−=−⋅+=，cos<b ，a b −>＝221()122ab a b b a b a−⋅−==−−．故选D ．4．答案：B 解析：12n n a −=，21nn S =−，11()2n n b −=，112()2n n T −=−，112()12n n n n n P S T −=+=−+，51333316P =−<，61653332P =−>．5．答案：B 解析：()()sin()sin x xf x f x x x x x−−===−−−−，sin 1sin sin x xx x x x=+−−，x →+∞，sin 11sin x x x +→−． 6．答案：A 解析：573012a=，157303()0.7937a =，0.79371910x a x =⇒=． 7．答案：C解析：32212()a a a a −=−，1132n n n a a −+−=⋅，1322n n a −=⋅−，3232n n S n =⋅−−，8749S =．8．答案：D解析：由题意知0＜sin x ≤1，﹣1＜cos y ＜1，1rad ≈57°，因为sin()cos 2παα+=，sin()cos 2παα−=，所以sin cos 2x y π−=或sin cos 2x y π+=，cos(sin )cos(cos )sin(cos )2x y y π=+=− 或cos(sin )cos(cos )sin(cos )2x y y π=−=，故选D ．二、 多项选择题 9．答案：BD 解析：1[(1)]55112, 0a f g a a −==⇒−=±⇒=．10．答案：AC解析：2(2)(1)()(2)2ax x f x ax a a x x−−'=−++=⇒=． 11．答案：BC解析：22221122cos A cos A A 2223c a b bc b c bc b π=+=+−⇒=−>−⇒<． 12．答案：BCD解析：对于A ，令n x ＝1，则存在a ＝1，使0n x a r −=<，故A 错；对于B ，11n n x x q−=⋅，若1q >，则对任意正数r ，当n ＞11log ()1q r x ++时，n x ＞r ＋1，所以此时不存在正整数N 使得定义式成立； 若q ＝1，显然符合，若q ＝﹣1为摆动数列11(1)n n x x −=−，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；q ∈(﹣1，1)时，取a ＝0，N ＝[11log ()q r x +]＋1，当n ＞N 时，11110n n rx x qx r x −−=<=，故B 正确；对于C ，1sin()cos()sin()0222n x n n n πππ===，符合； 对于D ，1(1)n x x n d =+−，21()22n d dS n x n =+−，当d ＞0时，n S 单调递增并且可以取到比1r 更大的正数，当n＞＝N 时，110n nr S S −=<，d ＜0同 理，所以D 正确． 三、填空题 13．答案：19解析：21sin 2sin[2()]cos[2()]12sin ()42449ππππαααα=−+=−=−−=． 14．答案：2解析：1AD (AB AC)2=+， 则2221AB AD AB AB (AB AC)=AB AB AC=AB B 22π⋅=⇒⋅+⇒⋅⇒=，2AB AD AB ⋅=，由投影可易知DB ⊥AB ，即B 2π=，b ＝4，c ＝1，则a =，1cos A 4=，AD 2==． 15．答案：220解析：设(0)n a kn b k =+>，4()4()n a n a a k kn b b kn b =⇒++=+，则24404k k k b kb b b =⎧=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，则4na n =，则10(440)102202S +⨯==． 16．答案：(4，8116)解析：2()x ax bf x x++'=，则2()g x x ax b =++在(1，2)上有两个不同的零点1x ，2x ，则1212x x ax x b+=−⎧⎨=⎩， 则222212121212112239()3()9(3)(3)b ab b x x x x x x x x x x x x ++=−++=−−，1x ∈(1，2)，2113x x −∈[94−，﹣2)，同理2223x x −∈[94−，﹣2)，由于12x x ≠， 221122(3)(3)x x x x −−∈(4，8116)． 四、解答题17．解：（1）由题意知：，得：m ＝2；（2）令，则时，，递增；时，，递减，故，因此m ＞1．18．解：（1）ϕ＝0时，()sin()f x x ω=，N ω*∈由题意知：又N ω*∈，故ω＝2；（2）选③：关于对称 则，又，故，，即或，即：或，又A ，B 为△ABC 内角，且a ＜b ，故因此，这样的△ABC 存在，且C ＝．19．解：（1）时，；时，故()f x 递增区间为(，)，递减区间为(，)；（2），不等式恒成立即，，令，x ≥0，则，令，，故在递增，则，即因此在递增，所以，所以，a ≤2． 20．解：（1）因为23AD AB AC 55=+，则又CD ＝2，则CB ＝5，BD ＝3，又∠BAD ＝∠B ＝6π，故AD ＝BD ＝3，且∠ADC ＝3π在△ACD 中，由余弦定理：AC 2＝AD 2＋CD 2﹣2AD·CDcos ∠ADC ＝7，故AC ＝；（2）设，则，在△ABD 中，由正弦定理：在△ACD 中，由正弦定理：，即由上述两式得：又，故，即，即．21．解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意知：故；（2）由（1）知：，则，故．22．解：（1），即，，令，，则时，，时，故在递减，在递增因此，所以，；（2）取，则，令，，则在R上递增又，故x＜0时，，即；x＞0时，，即①x＞0时，，令，x≥0，故在递增，因此所以，x＞0时，，即()0xf x>；②时，，即()0xf x>；③时，由（1）知：，则在递增因此，即()0xf x≥；因此，12a=时，()0xf x≥总成立，即题意得证．。

一、填空题：1.已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N =I ，则=M N U ．2.已知复数3i 1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ．5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为 ．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．7.已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ．8.在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ．9.已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ． 10.在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin(010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ．11.已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ． 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ．14.已知函数1()()e xaf x ax=-∈R．若存在实数m，n，使得()0f x≥的解集恰为[],m n，则a的取值范围是．二、解答题15.（本小题满分14分）在△ABC中，已知π6C=，向量(sin,1)A=m，(1,cos)B=n，且⊥m n．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3BD BC=u u u r u u u r，13AD=，求△ABC的面积．16.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，//AD BC，o60BAD∠=，2AB=，1DE EF==．（1）求证：//BC EF；（2）求三棱锥B DEF-的体积．17.（本小题满分14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式*2*219,,15601020,540x xxpxx x⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩NN, ≤≤,　≤≤(日产品废品率=日废品量日产量×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n nb a b a +=-+，*n ∈N ． （1）求证：数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1pc ，1q c ，1rc 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．21.A 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．21.B 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．21.C 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．21.D 选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z ∈R ，且2380x y z +++=．求证：222(1)(2)(3)14x y z -+++-≥．23.（本小题满分10分）在数列{}n a 中，已知120a =，230a =，113n n n a a a +-=-(*n ∈N ，2n ≥)．。

)江苏高考信息速递名校速递徐州一中 2018-2019 学年第一学期高三年级阶段性检测（一）数学学科（时长：120 分钟分值：160 分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1.已知集合 A = {x 3 ≤ x ≤ 4}， B = {1, 2, 4}，则 A B = ▲ ．2.若复数 z ＝(1＋mi)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数 m 的值为 ▲ ．3.“a=1”是“直线 ax-y+2a=0 与直线(2a-1)x+ay+a=0 互相垂直”的 ▲条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）．4.函数 y = -(x - 5) | x | 的递增区间是▲．5. 按如图所示的程序框图运行后， 输出的结果是 63 ， 则判断框中的整数 M 的值是▲ ．6． 已知cos( π -α = 2，则cos α＝ ▲ ．2 37．已知方程 x 2 4 - m y 2 － 2 + m＝1 表示双曲线，则实数 m 的取值范围为▲ ．8.设 m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 a=(m ，n)，b=(1，-1)．则向量 a ，3b 的夹角为锐角的概率是 ▲ ．9.已知函数 f (x ) 是定义在实数集 R 上的奇函数， 且在区间 [0,+∞ )上是单调递增， 若f (lg2 ⋅ lg50 + (lg5)2 ) + f (lg x - 2) < 0 ，则 x 的取值范围为▲ ．10.已知函数 f (x ) = x 2 + bx 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线l 与直线3x - y + 2 = 0 平行，若数列{ 1 } 的前 n 项和为S ，则 S 的值为 ▲．f (n )n 201811.在锐角 ∆ABC 中，若 A = 2B ，则 a的取值范围是▲ ．b12.已知正实数 a ，b 满足 a ＋3b ＝7，则 1 1＋a 4 ＋ 2＋b的最小值为▲ ． 13.当 0 ≤ x ≤ 1 时， | ax - 2x 3 |≤ 1恒成立，则实数 a 的取值范围是▲．2 214.若实数 a ，b ，c 成等差数列且点 P （－1，0）在动直线 ax ＋by ＋c =0 上的射影为 M ，点N (3，3)，则线段 MN 长度的最大值是▲ ．二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ‐ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PA ⊥平面 ABCD ，E 为 PD的中点．求证：（1）PB ∥平面 AEC ；（2）平面 PCD ⊥平面 PAD ．B (A 第P 15 题图) EC D16.（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)＝2sin(x ＋ ππ)·cosx. 3(1)若 0≤x ≤ ，求函数 f(x)的值域；2(2)设△ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 A 为锐角且 f(A)＝， 22 b ＝2，c ＝3，求 cos(A —B)的值.17．（本小题满分 14 分）如图，有一块等腰直角三角形的草坪 ABC ，其中 AB ＝BC ＝2，根据实际需要，要扩大此草坪的规模，在线段 BC 上选取一点 D ，使四边形 ADCE 为平行四边形．为方便游客参观， 现将铺设三条观光道路 AD ，AE ，EC ．设∠ADB ＝θ．(1)用θ表示出道路 AE ，EC 的长度；(2)当点 D 距离点 B 多远时，三条观光道路的总长度最小?18. （本小题满分 16 分）x 2 y 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ： a 2 ＋ b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P(3，1)在椭圆上，△PF 1F 2 的面积为 2 ．(1)①求椭圆 C 的标准方程；②若点 Q 在椭圆上，且∠F 1QF 2＝π，求QF 1·QF 2 的值． 3(2)直线 y ＝x ＋k 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k 的值．19.（本小题满分16 分）设函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 是奇函数，且当x =-3时， f (x) 取得极小值-2 3.3 9 （1）求函数 f (x) 的解析式；（2）求使得方程-1f '(x) -nx + 4n +1= 0 仅有整数根的所有正实数n 的值；3 3（3）设g(x)=|f(x)+(3t-1)x|，（x∈[-1,1]），求g(x)的最大值F(t)．20..（本小题满分16 分）1 1各项均为正数的数列{a n}中，设S n=a1+a2+…+a n，T n= +a 1 a21+…+an，且(2－S n)(1+T n)=2，n∈N*．(1)设b n=2－S n，证明：数列{b n}是等比数列；1 (2)设c n=2na n，求集合{(m，k，r)｜c m+c r=2c k，m<k<r，m，k．r∈N*}．徐州一中2018-2019 学年第一学期高三年级阶段性检测（一）数学学科（加试）（时长：30 分钟分值：40 分）21．B．选修4—2：矩阵与变换设＞，＞，若矩阵＝a 02 2 x2 y2a 0b 0 A 把圆C：x ＋y ＝1 变换为椭圆E：＋0 b 4＝1．3（1）求a，b 的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－数a 的值．π)＝a 截得的弦长为2 3，求实6【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．卷．纸．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B－PC－D 的余弦值．23．在一个盒子中有大小一样的7 个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3 个球，设随机变量X 为摸出的3 个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望E(X)．3 3 3 3 , ]1.{4} 52.－23.充分不必要4.[0, ]2注： 可开开闭1 5.5 6. 97.(－2，4)520188.9（0，10）.10.11. ( 2, 3)12.13. [- 1 3 14. 5 + 122019 142 215.（1）证明： 连 BD ，AC 交于 O 。