高中数学苏教版必修5 2.3.3 等比数列的前n项和 作业

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．2．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝______. 4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝______. 5．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .二、能力提升9．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 11．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 答案1.132.5103.－114.1525.106.3 7．解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝31－2n 1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－3n 1－3＝3n －1. 8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－qn 1－q ＝48a 11－q 2n 1－q ＝60 ①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 11－q 3n1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.9.314 10.323(1－4－n ) 11.2n －1，n ∈N *12．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n.①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1， ①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

等比数列前n 项和是数列中的基本内容之一． 本节课的主要目标是探索并证明等比数列前n 项和的公式，其中引导学生探索证明求和公式的思路是本节课的难点．执教老师从研究数列的一般程序中，引出求等比数列前n 项和公式的课题以后，并不急于给出问题及其求解的方法．而是组织学生对这一问题的条件和结论进行分析和思考，由学生给出解决问题所需要的条件，构建一个完整的求等比数列前n 项和公式的命题．进而，教师又不断提出问题，如问题的条件是什么？等比数列是什么意思？目标是什么？求前n 项和是什么意思？实现目标的困难在哪里？等等，让学生逐步理解了等比数列的意义及如何运用等比数列这一条件，明确了解决求和问题的困难所在——运算次数多（项数多），帮助学生积极探索解题的途径．这样的引导和启发，对于学生明确探索要求，开拓解题思路十分有益．实际上，由于学生对等比数列的条件有了比较深刻的认识（q a a n n 1-=或q a a a a a a n n ====-12312Λ），通过独立思考提出基于消元思想由q a a n n 1-=得到“错位相减法”和运用化归思想得到由关于数列}{n S 的递推公式11a qS S n n+=-求通项的方法（通过待定系数法确定数列}1{1-+q a S n 是公比为q 的等比数列）以及由等比数列的条件q a a a a a a n n ====-12312Λ，应用比例性质得到q a S a S n n n =--1求解的多种方法．教师又在已有方法的基础上，引导学生由11-+=n n qS a S 和n n n a S S -=-1构造了关于n S 的方程)(1n n n a S q a S -+=直接求解的方法．学生的思想活跃，条理清楚，思维流畅．问题的解决在于条件和结论的统一，解题思路源于对问题的条件和结论的分析．本节课的前一半是探索等比数列前n 项和公式，实际上是解题教学．是否重视对问题的条件和结论的分析就成为解题教学成败的关键．执教老师对等比数列前n 项和公式的内容和特点，也向学生作了点拨．如通过点评证明的过程，指出等比数列前n 项和的公式应分为1=q 和1≠q 两类进行讨论，并借助学生回答等比数列前n 项和公式的内容再次强化公式成立的条件．对公式构造的特征及基本量的特征也给予说明，为公式的应用打下基础．执教老师对等比数列前n 项和公式教学的设计合理，对教学目标的把握准确，练习配置适当．在教学中，重视学生的思维训练和基本运算的训练．教学效果较好．。

等比数列的前n 项和1．若数列{}n a 的通项公式为n n n a 2=，则前n 项和为______。

2．数列1，211+，3211++，…，n +++ 211的前n 项和为_______。

3．等比数列｛a n ｝的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列｛na 1｝的前n 项之和为______。

4．在等比数列｛a n ｝中，已知a 1=25，前三项的和S 3=215，则公比q 的值为______。

5． 在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6=______。

6．求和∑=+101)23(k k 。

7．求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S 。

8．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n +1n 。

9．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，求18a 的值及这个数列的前n 项和n S 。

参考答案1．n n n n S 22121--=- 2．12+n n 3．1-n q S4． 1或－25．1406．【答案】2076。

7．【答案】21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+。

8．【解】 设n =2k ，则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －1)－(2k )］=－k =－2n ； 设n =2k －1，则(1－2)+(3－4)+…+［(2k －3)－(2k －2)］+2k －1=－(k －1)+2k －1=k =21+n 。

∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)n n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-为奇数为偶数n n n n 21 2。

9．【解】{}n a 是等和数列，12a =，公和为5，23a ∴=，则342,3,a a ==，所以2213,2()n n a a n N +-==∈，183a ∴=；数列{}n a 形如2,3,2,3,2,3,2,3,， 5()251()22n n n S n n ⎧⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数。

§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是( )A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为( )A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于( )A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603 D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n - 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案：1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+ 9.27 10.150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.3等比数列的前n 项和练习（2）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.已知数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,则数列{}n a 的前5项和5S =( ) A.312 B.62 C.3412D.682 2.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =( )A.31n -B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n - 3.等比数列{}n a 中,37a =,前三项和321S =,则公比q 的值为（ ） A.1 B.12- C.1或12- D.1-或124.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果1418a a +=, 2312a a +=,则这个数列的前8项之和8S =( ) A.513 B.512 C.510 D.2258 5.若0abc ≠,则2b ac =是a ,b ,c 成等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为（ ） A.1002101- B. 992101-C. 100299-D. 99299-二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.数列{}n a 满足1a ,21a a -,32a a -,…, 1n n a a --是以1为首项，13为公比的等比数列，则{}n a 的通项公式n a = .8.命题p :数列{}n a 是常数数列.命题q : 数列{}n a 既是等比数列又是等差数列.则p 是q 的 条件.(选填:“充要,充分不必要,必要不充分,既不充分也不必要”中的一个)9.某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则年平增长率为 .10.在等比数列{}n a 中，14a =,5q =,前n 项和为n S ，则满足510n S >的最小自然数n 的值是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项的和的4倍,第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍,求该数列的通项公式.12.某放射性物质，它的质量每天衰减3%,则此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要的天数是多少？（lg0.97= −0.0132, lg0.5= −0.3010）参考答案： 1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.31123n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦8.必要不充分 9.12(1)q + 10.811.∵在项数为偶数的等比数列中,S qS =偶奇,∴4S S S q +=偶偶偶,解得13q =,又由24349()a a a a =+得, 1108a =,∴11108()()3n n a n N -*=∈. 12.由1(13%)2n -<得lg0.97lg0.5n <,即0.01320.3010n -<-,∴0.301022.80.0132n >≈, 故23n =答: 此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要23天.。