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第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“cos cos sin b C c B a A +=、cos sin 0a C C b c --=、222sin sin sin sin sin A C A C B ++=、()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），可变形为①CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===②,2sin ,2sin ,2sin Rc C R b B R a A ===③CB A c b a sin :sin :sin ::=其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即R 2能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。
我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到sin cos sin sin sin A B A B B C =+，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为︒180，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，B A 、角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换C 角，即()sin cos sin sin sin A B A B B A B =++1cos A A =+，利用辅助角公式化简即可求值。
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
第1讲三角函数的图象与性质——小题备考微专题1三角函数图象的平移伸缩『常考常用结论』1．“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．图象变换y＝sin x向左(φ>0)或向右(φ<0),平移|φ|个单位y＝sin (x＋φ)横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)．『保分题组训练』1．将函数y＝sin x的图象向左平移π4个单位，得到的图象的函数解析式是()A．y＝sin(x−π4)B．y＝sin x－π4C．y＝sin(x+π4)D．y＝sin x＋π42．要得到函数y ＝cos (3x −π6)的图象，只需将y ＝cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π6B ．向左平移π6C ．向右平移π18D ．向左平移π183．[2021·河北保定一模]已知函数f(x)＝2sin x ，为了得到函数g(x)＝2sin (2x −π3)的图象，只需( )A ．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π6个单位 B ．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12，再向右平移π6个单位C ．先将函数f(x)图象向右平移π6个单位，再将点的横坐标变为原来的12 D ．先将函数f(x)图象向右平移π3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍4．(多选题)要得到函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象，只要将函数y ＝sin x 的图象( )A ．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度B ．每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)D ．向左平移π6个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)『提分题组训练』1．[2021·河北张家口三模]为了得到函数f (x )＝sin 13x ＋cos 13x 的图象，可以将函数g (x )＝√2cos 13x 的图象( )A ．向右平移3π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移3π4个单位长度D ．向左平移π4个单位长度2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin (2x +π3)的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos (2x +π4)的图象，则a 的值可以为( )A．5π12B．7π12C．19π24D．41π243．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移2π3的单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是()A．34B．1 C．2 D．324．[2021·山东青岛期末检测](多选题)要得到y＝cos2x的图象C1，只要将y＝sin(2x+π3)的图象C2怎样变化得到()A．将y＝sin(2x+π3)的图象C2沿x轴方向向左平移π12个单位B．将y＝sin(2x+π3)的图象C2沿x轴方向向右平移11π12个单位C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移5π12个单位D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移π12个单位微专题2三角函数的性质『常考常用结论』1．三角函数的单调区间y＝sin x的单调递增区间是[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z)；y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的递增区间是(kπ−π2，kπ+π2)(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．3．三角函数的周期(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个最小正周期．『保分题组训练』1．下列函数中，周期为π，且在区间(π2，π)单调递增的是()A．y＝|sin x|B．y＝sin |x|C．y＝cos 2x D．y＝sin 2x2．已知函数f(x)＝cos (2x+π3)，则下列说法错误的是()A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的图象关于点(−5π12，0)对称C．f(x)在[−π6，π3]上为减函数D．f(x)的一条对称轴是x＝π123．[2021·山东济宁质量检测](多选题)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有性质()A．在(0，π4)上单调递增，为偶函数B．最大值为1，图象关于直线x＝－3π2对称C．在(−3π8，π8)上单调递增，为奇函数D．周期为π，图象关于点(3π4，0)对称4．[2021·辽宁朝阳二模] (多选题)已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法正确的是( ) A. f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B. f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心 D. f (x )在区间[π4，π2]上单调递增『提分题组训练』1．[2021·淄博一模]已知f (x )＝cos x (cos x ＋√3sin x )在区间[－π3，m ]上的最大值是32，则实数m 的最小值是( )A ．π12 B ．π3 C ．－π12 D ．π62．将函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为( )A ．π12 B ．π6 C ．5π12D ．－5π123．[2021·湖南六校联考](多选题)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象上，对称中心与对称轴x ＝π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的一个对称点为(5π12，0)B ．当x ∈[π6，π2]时，函数f (x )的最小值为－√3C ．若sin 4α－cos 4α＝－45(α∈(0，π2))，则f (α＋π4)的值为4−3√35D ．要得到函数f (x )的图象，只需要将g (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位 4．[2021·山东烟台一模](多选题)已知函数f (x )＝2|sin x |＋|cos x |－1，则( ) A ．f (x )在[0，π2]上单调递增B ．直线x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴C．方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根D．f(x)的最小值为－11．三角函数单调区间的求法：微专题3由图象求三角函数的解析式『保分题组训练』1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成()A．y＝2sin (2x+π3)B．y＝sin (x+π12)C．y＝√2sin (2x−5π6)D．y＝2sin (2x+π6)2．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g (x )＝A sin ωx 图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度3．设函数f (x )＝sin (ωx −π4)(ω>0)的部分图象如图所示，且满足f (2)＝0.则f (x )的最小正周期为( )A ．169 B ．16C ．18D ．984．[2021·全国乙卷]把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin (x −π4)的图象，则f (x )＝( )A ．sin (x2−7π12) B. sin (x 2+π12) C. sin (2x −7π12) D. sin (2x +π12)『提分题组训练』1．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线y ＝A sin (ωx +π6)(A >0，ω>0)在[−π2，π2]上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为( )A ．y ＝2sin (πx +π6) B ．y ＝2√33sin (2π5x −π3) C ．y ＝2√33sin (4π5x −2π3)D ．y ＝2sin (πx −5π6)2．[2021·山东德州一模](多选题)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为2π3 B ．g (x )在区间[π9，π3]上单调递增 C ．g (x )的图象关于直线x ＝4π9对称D ．g (x )的图象关于点(π9，0)成中心对称3．[2021·石家庄一模](多选题)函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图，把函数f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝g (x )的图象，下列结论正确的是( )A ．φ＝π3B ．函数g (x )的最小正周期为πC ．函数g (x )在区间[−π3，π12]上单调递增 D ．函数g (x )关于点(−π3，0)中心对称确定y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的解析式的方法详解答案 二轮专题复习战略·数学(新高考)专题二 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质微专题1 三角函数图象的平移伸缩保分题组训练1．解析：函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin (x ＋π4)的图象． 故选C . 答案：C2．解析：将y ＝cos 3x 的图象向右平移π18个长度单位，可得函数y ＝cos [3(x −π18)]＝cos (3x −π6)的图象．故选C . 答案：C3．解析：对于A ：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin 12x ，故A 错误；对于B ：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin 2x ，再右移π6个单位，得到y ＝2sin 2(x −π6)，即为y ＝2sin (2x −π3)，故B 正确；对于C: 先将函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到y ＝2sin (x −π6)，再将点的横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin (2x −π6)，故C 错误；对于D: 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位，得到y ＝2sin (x −π3)，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin (12x −π3)，故D 错误．故选B . 答案：B4．解析：(1)先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．(2)先平移后伸缩时：向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误．故选BC .答案：BC提分题组训练1．解析：f (x )＝sin 13x ＋cos 13x ＝√2cos (13x −π4)＝√2cos [13(x −3π4)].故选A . 答案：A2．解析：由题意知，g(x)＝cos (2x +π4)＝sin (2x +3π4)，其图象向左平移a 个单位得到函数f(x)＝sin (2x +2a +3π4)，而函数f(x)＝sin (2x +π3)，所以有2a ＋3π4＝π3＋2k π，a ＝－524π＋k π，取k ＝1得a ＝1924π. 故选C . 答案：C3．解析：∵函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，∴2π3＝k·T2＝kπω，即ω＝32k ，k ∈Z ， 令k ＝1，可得ω的最小值为32，故选D. 答案：D4．解析：对于A ，将y ＝sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向左平移π12个单位，可得y ＝sin [2(x +π12)+π3]＝sin (2x +π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项A 正确；对于B ，将y ＝sin (2x +π3)的图象C 2沿x 轴方向向右平移11π12个单位也可得到，y ＝sin [2(x −11π12)+π3]＝sin (2x −3π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项B 正确；对于C ，先作C 2关于x 轴对称，得到y ＝－sin (2x +π3)的图象C 3，再将图象C 3沿x轴方向向右平移5π12个单位，得到y ＝－sin [2(x −5π12)+π3]＝－sin (2x −π2)＝cos 2x 的图象C 1，故选项C 正确；对于D ，先作C 2关于x 轴对称，得到y ＝－sin (2x +π3)的图象C 3，再将图象C 3沿x轴方向向左平移π12个单位，得到的y ＝－sin [2(x +π12)+π3]＝－sin (2x +π2)＝－cos 2x 图象，故选项D 不正确．故选ABC.答案：ABC微专题2 三角函数的性质保分题组训练1．解析：对于A ，y ＝|sin x |的图象是将y ＝sin x 的图象中y 轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为π；当x ∈(π2，π)时，y ＝sin x >0，∴y ＝|sin x |＝sin x 在(π2，π)上单调递减，故A 不正确；对于B ，当x ＝－3π2时，y ＝sin |x |＝－1，当x ＝－π2时，y ＝sin |x |＝1≠－1，所以周期不是π，故B 不正确；对于C ，y ＝cos 2x 的最小正周期为2π2＝π，当x ∈(π2，π)时，2x ∈(π，2π)，y ＝cos 2x 单调递增，故C 正确；对于D ，y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，当x ∈(π2，π)时，2x ∈(π，2π)，y ＝sin 2x 不是单调递增的，故D 不正确．故选C. 答案：C2．解析：对于函数f (x )＝cos (2x +π3)，它的最小正周期为2π2＝π，故A 正确；令x ＝－5π12，可得f (x )＝0，所以f (x )的图象关于点(−5π12，0)对称，故B 正确；当x ∈[−π6，π3]时，2x ＋π3∈[0，π]，故f (x )在[−π6，π3]上为减函数，故C 正确；令x ＝π12，可得f (x )＝0，故x ＝π12不是f (x )的一条对称轴，故D 错误．故选D. 答案：D3．解析：g (x )＝sin 2(x −π4)＝sin (2x −π2)＝－cos 2x ，x ∈(0，π4)，则2x ∈(0，π2)，g (x )＝－cos 2x 单调递增，为偶函数，A 正确，C 错误；最大值为1，当x ＝－3π2时2x ＝－3π，为对称轴，B 正确；T ＝2π2＝π，取2x ＝π2＋k π，∴x ＝π4+kπ2，k ∈Z ，当k ＝1时满足，图象关于点(3π4，0)对称，D 正确．故选ABD. 答案：ABD4．解析：因为函数f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12|sin 2x |，画出函数图象，如图所示；由图可知，f (x )的对称轴是x ＝kπ4，k ∈Z ；所以x ＝π2是f (x )图象的一条对称轴， A 正确； f (x )的最小正周期是π2，所以B 正确；f (x )是偶函数，没有对称中心，C 错误；由图可知，f (x )＝12|sin 2x |在区间[π4，π2]上是单调减函数，D 错误．故选AB. 答案：AB提分题组训练1．解析：f (x )＝cos x (cos x ＋√3sin x )＝√3sin x cos x ＋cos 2x ＝1+cos 2x2+√32sin 2x ＝sin (2x ＋π6)＋12，由x ∈[－π3，m ]得2x ＋π6∈[－π2，2m ＋π6]， 当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z 时取得最大值， 故2m ＋π6≥π2，即m ≥π6.则实数m 的最小值是π6. 故选D. 答案：D2．解析：∵函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x ＝2sin (2x +π3)，将函数y ＝sin 2x ＋√3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移φ个单位后， 得到函数y ＝2sin (2x +2φ+π3)，函数关于y 轴对称， ∴2φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝kπ2+π12(k ∈Z )，当k ＝0时，|φ|min ＝π12. 故选A. 答案：A3．解析：函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象上， 对称中心与对称轴x ＝π12的最小距离为14×2πω＝π4，∴ω＝2.再根据2×π12＋φ＝k π，k ∈Z ，可得φ＝－π6，故 f (x )＝2cos (2x −π6). 令x ＝5π12，可得f (x )＝－1≠0，故A 错误；当x ∈[π6，π2]时，2x －π6∈[π6，5π6]，故当2x －π6＝5π6时，函数f (x )的最小值为－√3，故B正确；若sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝－45(α∈(0，π2))，∴cos 2α＝45，sin 2α＝√1−cos 22α＝35，则f (α+π4)＝2cos (2α+π2−π6)＝－2sin (2α−π6)＝－2sin 2αcos π6＋2cos 2αsin π6＝4−3√35，故C 正确；将g (x )＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位，可得y ＝2cos (2x −π3)的图象，故D 错误．故选BC. 答案：BC4．解析：A 选项，当x ∈[0，π2]，f (x )＝2sin x ＋cos x －1，f (x )不单调，A 错误， B 选项，f (π－x )＝2|sin (π－x )|＋|cos (π－x )|－1＝2|sin x |＋|cos x |－1＝f (x )， ∴x ＝π2是它的一条对称轴，B 正确．C 选项，f (x )＝1，即2|sin x |＋|cos x |＝2，当x ∈[0，π2]，即2sin x ＋cos x ＝2，sin x ＝1或sin x ＝35，有两个零点；当x ∈[π2，π]，2sin x －cos x ＝2，sin x ＝35，有1个零点，共3个零点；D 选项，若f (x )min ＝－1，即2|sin x |＋|cos x |＝0，需要|sin x |＝0，且|cos x |＝0矛盾，D 错误．故选BC. 答案：BC微专题3 由图象求三角函数的解析式保分题组训练1．解析：由图可知A ＝2，因为图象过点(0，1)，所以2sin φ＝1，所以取φ＝π6， 因为图象过点(11π12，0)，所以2sin (11π12ω+π6)＝0，所以11π12ω＋π6＝2k π，k ∈Z ，即ω＝2411k －211，k ∈Z ，当k ＝1时，ω＝2，所以y ＝2sin (2x +π6).故选D.答案：D2．解析：根据函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象，可得A ＝1，14T ＝5π12−π4＝π6，即T ＝23π，∴ω＝2π23π＝3.将(π4，0)代入，可得f (π4)＝sin (3×π4＋φ)＝0，则3×π4＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－3π4，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，故f (x )＝sin (3x ＋π4)．故把g (x )＝sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到f (x )＝sin (3x ＋π4)的图象．故选C. 答案：C3．解析：因为f (2)＝0，所以sin (2ω−π4)＝0⇒2ω－π4＝k π(k ∈Z )⇒ω＝12k π＋π8(k ∈Z )，设函数f (x )＝sin (ωx −π4)(ω>0)的最小正周期为T ，由图可知{54T >2T <2，因为ω>0，所以有{54·2πω>22πω<2，⇒π<ω<5π4，因为ω＝12k π＋π8(k ∈Z )，所以74<k <94∵k ∈Z ∴k ＝2， 所以ω＝98π，因此T ＝2π98π＝169，故选A.答案：A4．解析：依题意，将y ＝sin (x −π4)的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin (x −π4) 将其图象向左平移π3个单位长度 → y ＝sin (x +π12)的图象 所有点的横坐标扩大到原来的2倍→ f (x )＝sin (x2+π12)的图象．答案：B提分题组训练1．解析：由题图2可知：y ＝f (x )＝A sin (ωx +π6)过(0，1)，(56，0)两点，所以有y ＝f (0)＝A sin π6＝1⇒12A ＝1⇒A ＝2，f (56)＝2sin (56ω+π6)＝0⇒56ω＋π6＝k π(k ∈Z )⇒ω＝(65k －15)π(k ∈Z )，当k ＝1时，y ＝f (x )＝2sin (πx +π6)，显然A 不符合题意，此时函数的周期为2ππ＝2，要想抵消噪音，只需函数y ＝f (x )＝2sin (πx +π6)向左或向右平移一个单位长度即可，即得到y ＝f (x ＋1)＝2sin (πx +π+π6)＝－2sin (πx +π6)， 或y ＝f (x －1)＝2sin (πx −π+π6)＝2sin (πx −5π6)，故选项D 符合，显然选项B ，C 的振幅不是2，不符合题意， 故选D. 答案：D2．解析：根据函数的图象：周期12T ＝5π12−(−π12)＝π2，解得T ＝π，故ω＝2. 进一步求得A ＝2.当x ＝5π12时，f (5π12)＝2sin (5π6+φ)＝－1，由于|φ|＜π， 所以φ＝2π3.所以f (x )＝2sin (2x +2π3)，函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )＝2sin (3x +π6)的图象，故对于A ：函数的最小正周期为T ＝2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9，π3]，所以3x ＋π6∈[π2，76π]，故函数g (x )在区间[π9，π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x ＝4π9时，g (4π9)＝2sin (4π3+π6)＝－2，故函数g (x )的图象关于直线x ＝4π9对称，故C 正确；对于D ：当x ＝π9时，g (π9)＝2，故D 错误． 故选AC. 答案：AC3．解析：根据函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象， 可得T ＝2πω＞11π12，且34T ＜11π12，∴ω∈(1811，2411).把(0，√3)代入，可得2sin φ＝√3，∴φ＝π3，或 φ＝2π3.再把根据图象经过最高点(11π12，2)，可得ω·11π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 当φ＝π3时，ω·11π12+π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，求得ω＝211+24k11，不满足条件ω∈(1811，2411)， 故φ＝2π3，故A 错误． 此时，由ω·11π12+2π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，求得ω＝－211+24k 11，令k ＝1，可得ω＝2，满足条件ω∈(1811，2411)，故f (x )＝2sin (2x +2π3).把函数f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝g (x )＝2sin (2x +π3)的图象，故g (x )的最小正周期为2π2＝π，故B 正确．当x ∈[−π3，π12]，2x ＋π3∈[−π3，π2]，故g (x )单调递增，故C 正确．令x ＝－π3，求得g (x )＝－√3≠0，故g (x )的图象不关于点(−π3，0)中心对称，故D 错误． 故选BC.答案：BC。
而2 019＝6×336＋3.所以输出的S ＝336×0＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝3.故选C.3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对弦长.“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3.半径等于4 m 的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2解析：选B 如图.由题意可得∠AOB ＝2π3.OA ＝4.在Rt △AOD 中.可得∠AOD ＝π3.∠DAO ＝π6.OD ＝12AO ＝12×4＝2.于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23.可得弦长AB ＝2AD ＝2×23＝43.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2)．故选B.考点二 三角函数的图象与解析式 题型一 由“图”定“式” [例1] (1)(20xx·××市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4题型二 三角函数的图象变换[例2] (1)(20xx·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象.只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度 B ．向左平移5π12个单位长度 C ．向右平移5π6个单位长度 D ．向左平移5π6个单位长度 (2)(20xx·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合.则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4 B ．2＋3π4 C ．2＋5π12D ．2＋7π12[解析] (1)因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋512π.所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选B.(2)将函数y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝－cos [2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋2m (m >0).平移后得到的图象与y ＝k sin x cos x ＝k 2sin 2x (k >0)的图象重合.所以错误!所以k ＝2.m ＝n π＋错误!(n ∈Z ).又m >0.所以m 的最小值为π4.故k ＋m 的最小值为2＋π4.故选A. [答案] (1)B (2)A3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|.y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期.相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[多练强化]1．(20xx·全国卷Ⅱ)下列函数中.以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象.如图．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减.f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )＝sin|x |不是周期函数.排除B 、C 、D.故选A.2．(20xx·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象.则g (x )具有性质( )A ．最大值为1.图象关于直线x ＝π2对称 B ．为奇函数.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增C ．为偶函数.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称[典例] (20xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π5(ω>0).已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④[解析] 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点.如图.其图象的右端点的横坐标在[a .b )上.此时f(x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点.但f (x )在(0,2π)可能有2或3个极小值点.所以①正确.②不正确；当x ∈[0,2π]时.ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5.由f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π.得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时.π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增.所以③正确．故选D.[答案] D [素养通路]本题利用图形描述数学问题.通过对图形的理解.由图象建立形与数的联系.确定函数的周期.根据“五点作图法”代入数据求参数．考查了直观想象这一核心素养．。
第2讲 三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析](1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A.－157 B.157 C.－158D.158(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6[解析] (1)法一：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝⎛⎭⎫15152＝157，故选B. 法二：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝2sin θ·15sin θ（15sin θ）2－sin 2θ＝157，故选B. (2)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.∵sin(α－β)＝－1010，sin α＝55， ∴cos(α－β)＝31010，cos α＝255，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22， ∴β＝π4.[答案] (1)B (2)C[解题方略] 三角函数求值的类型及方法[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A.－2－3 B.－2＋3 C.2－ 3D.2＋3解析：选D tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D.2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( )A.－7B.－17C.7D.－7或－17解析：选A 由复数z 为纯虚数，得⎩⎨⎧cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，即⎩⎨⎧cos θ＝45，sin θ≠35，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝－35，所以tan θ＝－34，于是tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－34－11＋⎝⎛⎭⎫－34×1＝－7.3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π12，且2sin 2θ＋3sin 2θ＝－15，则tan ⎝⎛⎭⎫2θ＋π12＝________.解析：由2sin 2θ＋3sin 2θ＝－15，得1－cos 2θ＋3sin 2θ＝－15，得cos 2θ－3sin2θ＝65，2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝65，即cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝35，又θ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π12，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎫2θ＋π12＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－tanπ41＋tan ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3tanπ4＝17.答案：17考点二 利用正、余弦定理解三角形题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算[例2] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ca cos B ＝tan A ＋tan B.(1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . [解] (1)∵在△ABC 中，3ca cos B ＝tan A ＋tan B ，∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B ，∴3sin A ＝1cos A，则tan A ＝3， 又0<A <π，∴A ＝π3.(2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7， 得cos ∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0<∠BDC <π，∴∠BDC ＝2π3.又A ＝π3，∴△ABD 为等边三角形，∴c ＝5.[变式1] 若本例(2)变为：a ＝3，求b ＋c 的取值范围. 解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得b 2＋c 2－3＝bc ，即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈(3，23].[变式2] 若本例(2)变为：AD ⊥BC ，且a ＝3，求AD 的取值范围. 解：∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，∴AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，∴0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴0<AD ≤32，即AD 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32.[解题方略] 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型二 利用正、余弦定理进行面积计算[例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围. [解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32.[解题方略] 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.三角形面积公式还可用其它几何量表示S ＝12(a ＋b ＋c )r ，其中a ＋b ＋c 为三角形的周长，r 为三角形内切圆的半径.题型三 正、余弦定理的实际应用[例4] 甲船从位于海岛B 正南10海里的A 处，以4海里/时的速度向海岛B 行驶，同时乙船从海岛B 以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时.[解析] 如图，设经过x 小时后，甲船行驶到D 处，乙船行驶到C 处，则AD ＝4x ，BC ＝6x ，则BD ＝10－4x ，由余弦定理得，CD 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2×(10－4x )×6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎫x －5142＋6757.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B ，因而若x <2.5，则当x ＝514时距离最小，且最小距离为6757＝15217，若x ≥2.5，则BC ≥6×2.5＝15>15217，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为514小时.[答案] 514[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A.6B.5C.4D.3解析：选A ∵ a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴ 由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴ bc＝6.故选A.2.(2019·河南期末改编)在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sinB sinC ，则C ＝________，BC ＝________.解析：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C .结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2. 答案：5π1223.(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B ).(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7， 又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.考点三 解三角形与三角函数的交汇问题[例5] 如图，在△ABC 中，三个内角B ，A ，C 成等差数列，且AC ＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10，0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式.[解] (1)在△ABC 中，由角B ，A ，C 成等差数列，得B ＋C ＝2A ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π3. 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cosπ3， 所以c 2－10c －125＝0，解得c ＝AB ＝5＋5 6. 因为CO ＝10×sinπ3＝53， 所以S △ABC ＝12×(5＋56)×53＝252(32＋3).(2)因为AO ＝10×cosπ3＝5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×(10＋5)＝30， 故ω＝π15.因为f (－5)＝M sin ⎣⎡⎦⎤π15×（－5）＋φ＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π3. 因为f (0)＝M sinπ3＝53，所以M ＝10， 所以f (x )＝10sin ⎝⎛⎭⎫π15x ＋π3.[解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤[跟踪训练](2019·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值.解：(1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(22)2－4⎝⎛⎭⎫1＋32＝4－23＝(3－1)2，解得a ＝3－1.数学建模——解三角形的实际应用[典例] 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°. (1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340 m/s) [解] (1)设BC ＝x m ，由条件可知AC ＝x ＋217×340＝(x ＋40)m.在△ABC 中，由余弦定理，可得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， 即x 2＝1002＋(x ＋40)2－2×100×(x ＋40)×12，解得x ＝380.所以AC ＝380＋40＝420(m)， 故A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠HAC ＝30°， 所以HC ＝AC tan 30°＝420×33＝1403， 故这种仪器的垂直弹射高度为140 3 m. [素养通路]数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.本题中把求A ，C 两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC 中，通过解三角形求AC 的长，把求高度HC 建立数学模型，在Rt △ACH 中，通过解三角形求HC 的长.考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·开封市定位考试)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－13，则cos 2α的值为( )A.－79B.79C.－223D.13解析：选B 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－13，所以sin α＝13，所以cos 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79，故选B.2.(2019·长春市质量监测一)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin x 的最大值为( )A. 3B.2C.2 3D.4解析：选A 法一：由已知得f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以函数的最大值为3，故选A. 法二：由已知得f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ，故函数的最大值为⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，故选A. 3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A.60°B.120°C.45°D.135°解析：选A 由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝60°，故选A.4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( )A.3π4B.π3 C.π6D.π4解析：选D 由b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ·⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C .因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin C ＝22.因为0＜C ＜2π3，所以C ＝π4.故选D. 5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形.6.(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A.60B.80C.100D.125解析：选C 如图，台风中心为B ，2.5小时后到达点C ，则在△ABC中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β，∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β，∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选C.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.答案：638.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝________.解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，又3sin 2C cos C＝2sin A sin B ，由正弦定理可得3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－4c 2＝0，则b 2＋c 2－bc ＋b 2－4c 2＝0.又b ＝6，∴c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4(负值舍去).答案：49.(2019·洛阳市统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C的值是________.解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （C ＋A ）sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ，∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：53三、解答题10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.11.(2019·重庆市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长. 解：(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝60°.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，∴a ＝6. 由余弦定理得b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28， ∴b ＝27.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝7.∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝⎛⎭⎫－714＝13. ∴BD ＝13.12.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. B 组——大题专攻强化练1.(2019·江西七校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若f (x )＝sin(2x ＋A )，将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及单调递减区间.解：(1)∵a 2－(b －c )2＝bc ，∴a 2－b 2－c 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .2.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin A cos C ＋c sin A cosA －3b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为43，且b ，a ，c 成等差数列，求△ABC 的内切圆的半径. 解：(1)由a sin A cos C ＋c sin A cos A －3b cos A ＝0，可知sin A (sin A cos C ＋cos A sin C )＝3sin B cos A ，∴sin A sin(A ＋C )＝3sin B cos A ，∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴sin A sin B ＝3sin B cos A ，∵sin B ≠0，∴sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由题意可知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝43，∴bc ＝16，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝(b ＋c )2－3bc ，又∵b ，a ，c 成等差数列，∴a 2＝4a 2－48，∴a ＝4，b ＋c ＝2a ＝8，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝12，设△ABC 内切圆的半径为r ，则12r ·(a ＋b ＋c )＝S △ABC ，即12r×12＝43，∴r ＝233.3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C .(1)求B 的大小；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC 中，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C ， 故b 2＝a 2＋c 2－3ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝π6.(2)由(1)知，C ＝5π6－A ，故sin A ＋cos C ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A －π6.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，C ＝5π6－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，A －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π3，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎭⎫12，32，故sin A ＋cos C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3（2＋3）2.(1)求CD ；(2)求∠ABC .解：(1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3（2＋3）2，∵BC ＝23，BD ＝3＋6， ∴sin ∠CBD ＝12.∵∠ABC 为锐角，∴∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9， ∴CD ＝3.(2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.∵BC ＜BD ，∴∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，∴ACsin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BDC ＝CD sin ∠CAD即AC cos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAC .由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝错误!.∴∠ABC 为锐角，∴∠ABC ＝45°.[思维流程——找突破口][典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. [快审题] [稳解题] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B. 又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37 .因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.[题后悟道]1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”.。
