高考数学第二轮专题复习教案推理与证明

专题1.9 推理与证明、复数一．考场传真1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2．【2017课标II ，理1】31i i+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D. 3．【2017课标II ，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩，故选D.4．【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B ．22C．2D．2【答案】C【解析】由题意可得：21izi=+，由复数求模的法则：1121zzz z=可得：22212izi===+.故选C.5．【2017课标3，理7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D6．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.7．【2017课标II ，理8】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.7.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念，①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.8.框图（1）流程图：①了解程序框图；②了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图①了解结构图；②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息.2.命题规律：1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题.2.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题.3．学法导航1.归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．2. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．3．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i.(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n ＝z mn (m ，n 为分数)；(2)若z m ＝z n ，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.注意利用共轭复数的性质，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．一．基础知识整合基础知识：1.算法：①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.②程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了③程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格2．程序框图构成程序框的图形符号及其作用3．几种重要的结构（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构4.算法语句：输入语句输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量输出语句输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“＝”称作赋值号条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF（2）“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句END IF循环语句（1）当型循环语句当型（WHILE型）语句的一般格式为：WHILE 条件循环体WEND（2）直到型循环语句直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：DO循环体LOOP UNTIL 条件【推理与证明】1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.3.直接证明：综合法、分析法（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：（1）当n 取第一个值0n （例如1n =）时，证明命题成立；（2）假设当n k =()0,k N k n *∈≥时命题成立，并证明当1n k =+时，命题也成立，于是命题对一切n N *∈，0n n ≥，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.【复数】1.复数的相关概念：（1）形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示.（2）复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数.（3）复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =. 特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==.2.复数的几何意义：（1）复平面：x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y 轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点一 一对应.（3）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量一 一对应.（4）复数的模：向量的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc ad i c di c di c di c d c d +-++-==+++-++； 4.重要性质：1i i =，21i =-， 3i i =-，41i =.41n i=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.二．高频考点突破考点1程序框图的执行【例1】【2018某某德阳三校联考】执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的x =1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）A. m n -＜1B ．m n -＜0.5C ．m n -＜0.2D ．m n -＜0.1 【答案】B【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节． 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．【举一反三】【2018某某某某六校联考】按下列程序框图来计算：如果输入的5x =，应该运算（ ）次才停止A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C考点2 简单程序的运用【例2】如图所示，运行该程序，当输入,a b 分别为 2,3时，最后输出的的值是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．32 【答案】B【解析】程序的作用是取,a b 中的最大值，故3m =.【规律方法】输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句． 【举一反三】1.下面求258112012+++++…的值得伪代码中，正整数的最大值为．【答案】2015考点3 归纳推理【例3】【某某省某某市2018届12月考试】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，3344553344558815152424===，，，则按照以上规律，若8888n n=具有 “穿墙术”，则n= A. 35 B. 48 C. 63 D. 80 【答案】C【解析】根据规律得313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯ ,所以7963n =⨯= ,选C.【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.【举一反三】【某某省、某某省重点中学2018届第二次联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A. 64B. 65C. 71D. 72 【答案】D考点4 类比推理【例4】已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1ab cc+=，ABC ∆为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)nnna b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）． 【答案】锐角三角形【解析】易得c 最大，则C 角最大，(,3)1n nnn n a b a b c n N n c c ⎛⎫⎛⎫+=∈≥⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故该三角形为锐角三角形.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为.【答案】465【解析】因2352200⨯=，故200的所有正约数之和为465)551)(2221(232=+++++.故应填答案465.考点5复数【例5】 【某某省中原名校2018届第五次联考】已知a R ∈，若24a ii+-是纯虚数，则在复平面内，复数2018z ai i =+所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z a bi =+(),a b R ∈，实部为a ，虚部为b .（1）复数的概念：①z 为实数0b ⇔=；②z 为纯虚数0a ⇔≠且0b =；③z 为虚数0b ⇔≠.（2）复数的几何意义：①z a bi z =+⇔在复平面内对应的点(),Z a b z ⇔在复平面对应向量(),OZ a b =；②复数z 的模22z a bi a b =+=+.（3）共轭复数：复数z a bi =+与z a bi =-互为共轭复数.【举一反三】若复数()12bib R i-∈+的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A.-6 B.-3 C.3 D.6 【答案】B 【解析】因5)1225)2)(1(21ib b i bi i bi +--=--=+-,故由题设122--=-b b ,即3-=b ,应选B.1. 执行下列程序框图，如果输出i 的值为3，那么输入的x 取值X 围是（ ）A ．16x <B ．416x <<C ．416x ≤<D ．1664x ≤< 【答案】C押题依据 算法框图是高考命题的热点题型．开始x输入0i =2log x x=0?x <1i i =+i输出结束是否2. 已知a ∈R ，i 是虚数单位.若i 2i a -+与5i3i 2i--互为共轭复数，则a =（ ） A ．13 B ．13- C ．3- D ．3【答案】D【解析】()()i 2i i 2i 5a a ---=+()()212i 212i 555a a a a --+-+==-，()()()5i 2i 5i 510i3i 3i 3i 1i 2i 2i 2i 5+-+-=-=-=+--+，∵i 2i a -+与5i 3i 2i --互为共轭复数，∴2121,155a a -+=-=-，解得3a =.故选D. 押题依据 复数是高考经常考的一个热点，难度不大． 3. 观察下列各式：；；；；若按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则的值为（ ）A ．43B ．44C ．45D ．46 【答案】C押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力．4. “MN 是经过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b +=+.”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则.” 【答案】2222111||||a MN OP a b -=-【解析】由于在椭圆中2222111||||a MN OP a b+=+，在双曲线中和变为差，所以类比结果应是2222111||||a MN OP a b -=-.押题依据 本题考查类比推理等基础知识，类比推理也是高考考查的热点.5. 分别计算1153+，2253+，3353+，4453+，5553+，…，并根据计算的结果，猜想2017201753+的末位数字为． 【答案】8【解析】由85311=+，345322=+，1525333=+，7065344=+，33685355=+，163545366=+，…，押题依据 根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．。

专题18 算法、复数、推理与证明1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．一、算法框图与复数1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种．(2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构．③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构．2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i.④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件 a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )．(3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2. (4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数． 二、推理与证明1.合情推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论．(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q 为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．考点一、程序框图例1．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +2【答案】D【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始【答案】C【解析】当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥； 2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C. 【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B. 32C ．－12D.12考点二 复数的概念例2．【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若3,4z a i z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B 7-7或（C ）3（D 3【答案】A 【解析】由3,4z a i z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）(A)1 (B) -1 (C)i (D) i -【答案】C 【解析】4i4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ．【变式探究】(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B考点三 复数的四则运算例3．【2017课标II ，理1】31ii +=+（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】D 【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

专题检测(三) 数列、推理与证明(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是A ．15B ．30C ．31D ．64解析 由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12， 因为a 7＋a 9＝16，a 4＝1， 所以a 12＝15.故选A. 答案 A2．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 010等于A ．－2B ．－13C ．－12D ．3解析 由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝－2，a 6＝－13，…，所以数列{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2 010＝a 2＝－13.故选B.答案 B3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质 ，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时S n 最大．故选C.答案 C4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于A.310 B.13 C.18D.19解析 由等差数列的求和公式，可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310，故选A.答案 A5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为A ．4B ．5 C. 45D. 15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，由{a n }是等比数列，知⎝⎛⎭⎫45t 2＝⎝⎛⎭⎫15t －15×4t ， 显然t ≠0，解得t ＝5. 答案 B 6．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …………则第( )行的各数之和等于2 0092. A. 2 010B ．2 009C ．1 006D ．1 005解析 由题设图知，第一行各数和为1； 第二行各数和为9＝32； 第三行各数和为25＝52； 第四行各数和为49＝72；…， ∴第n 行各数和为(2n －1)2， 令2n －1＝2 009，解得n ＝1 005. 答案 D7．已知正项等比数列{a n }，a 1＝2，又b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前7项和T 7最大，T 7≠T 6，且T 7≠T 8，则数列{a n }的公比q 的取值范围是A ．172＜q ＜162B ．162-＜q ＜172-C ．q ＜162-或q ＞172-D ．q ＞162或q ＜172解析 ∵b n ＝log 2a n ，而{a n }是以a 1＝2为首项，q 为公比的等比数列， ∴b n ＝log 2a n ＝log 2a 1q n －1＝1＋(n －1)log 2q .∴b n ＋1－b n ＝log 2q .∴{b n }是等差数列， 由于前7项之和T 7最大，且T 7≠T 6，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＋6log 2q ＞0，1＋7log 2q ＜0，解得－16＜log 2q ＜－17，即162-＜q ＜172-.故选B.答案 B8．已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1＜a 2＜a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2. 其中真命题有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析 3－1,3＋1都不在数列0,1,3中，所以①错； 因为数列1,4,5具有性质P ， 但1＋5≠2×4，即a 1＋a 3≠2a 2， 且a 1＝1≠0，所以③④错；数列0,2,4,6中a j －a i (1≤i ≤j ≤4)在此数列， 所以②正确，所以选D. 答案 D9．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是A.n ＋12(n ＋2)B.n ＋1n ＋2C.n (3n ＋5)4(n ＋1)(n ＋2)D.3n ＋44(n ＋1)解析 依题意得f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋2， 则m ＝a ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， 1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和等于12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n －⎝⎛⎭⎫13＋14＋…＋1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝n (3n ＋5)4(n ＋1)(n ＋2)，选C. 答案 C10．等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d ，a 9a 8的值分别是A ．8，109B ．9，109C ．9，119D ．8，119解析 设S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 15， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 16，则有S 偶－S 奇＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 16－a 15)＝8d ， S 偶S 奇＝8(a 2＋a 16)28(a 1＋a 15)2＝a 9a 8. 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝640，S 奇∶S 偶＝18∶22，解得S 奇＝288，S 偶＝352. 因此d ＝S 偶－S 奇8＝648＝8，a 9a 8＝S 偶S 奇＝119.故选D. 答案 D11．数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N ＋)，则m ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 009的整数部分是A ．3B ．2C ．1D ．0解析 依题意，得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝3716＞2，a n ＋1－a n ＝(a n －1)2＞0，数列{a n }是递增数列，∴a 2 010＞a 3＞2，∴a 2 010－1＞1，∴1＜2－1a 2 010－1＜2.由a n ＋1＝a 2n －a n ＋1得1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 009＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2 009－1－1a 2 010－1 ＝1a 1－1－1a 2 010－1＝2－1a 2 010－1∈(1,2)，因此选C. 答案 C12．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1， ∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3， 当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N ＋，用含有n 的代数式表示)． 解析 第二列等式右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，与第一列等式右端比较即可得，13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝14n 2(n ＋1)2.故填14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)214．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析 由a 2＝2，a 4－a 3＝4得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 2q 2－a 2q ＝4⇒q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2. 答案 215．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 100 16．经计算发现下列正确不等式：2＋18＜210，4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 成立的条件不等式：________.解析 当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)． 给出的三个式子的右边都是210，左边都是两个根式相加，两个被开方数都是正数且和为20， 又10＋10＝210，所以根据上述规律可以写出一个对正实数a ，b 成立的条件不等式： 当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)． 答案 当a ＋b ＝20时，有a ＋b ≤210，a ，b ∈(0，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n .已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解析 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.②由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(12分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1,42是a 1和a 4的等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .解析 (1)因为42是a 1和a 4的等比中项， 所以a 1·a 4＝(42)2＝32. 从而可知a 2·a 3＝32.①因为6是a 2和a 3的等差中项，所以a 2＋a 3＝12.② 因为q ＞1，所以a 3＞a 2.联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8.所以q ＝a 3a 2＝2，a 1＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝log 2a n (n ∈N ＋)，所以a n b n ＝n ·2n . 所以S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .③2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.④③－④得，－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1.19．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)， 因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)具有性质：若M ，N 是椭圆上关于原点O 对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)具有类似特性的性质并加以证明．解析 可以通过类比得：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点O 对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明 设点M (m ，n )，则N (－m ，－n )， 又设点P 的坐标为P (x ，y )， 则k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m， 注意到m 2a 2－n 2b2＝1，点P (x ，y )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，故y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，n 2＝b 2⎝⎛⎭⎫m 2a 2－1， 代入k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2可得：k PM ·k PN ＝b 2a 2(x 2－m 2)x 2－m 2＝b 2a 2(常数)，即k PM ·k PN 是与点P 的位置无关的定值．21．(12分)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M更新．证明：须在第9年初对M 更新．解析 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，34为公比的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ， n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6， n ≥7. (2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6， A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n .易知{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫3428＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫3439＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．22．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解析 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23， 又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. (i)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；(ii)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k ＝a k ＋1.故由(i)(ii)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n ＜a n ＋1＋1a n ＝c 得a n ＜α.当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )， α－a n ＋1≤13n (α－1)．当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3.因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2，103.。

合情推理1-归纳推理 教案一、新课引入:1、引出推理的概念：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

（2分钟）2、日常生活中，推理。

例如:医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态， 考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。

3、生活中我们遇到这样的情形，你能得到怎样的推理？4、看见柳树发芽，冰雪融化。

5、看见乌云密布，燕子低飞。

6、看见花儿凋谢，树叶变黄。

（5-6分钟） 二、数学猜想例1、设f(n)=n 2+n+41,1、观察下列数据，你能猜到什么结论？2、由此猜想：n 为任何正整数时f(n)=n 2+n+41都是质数3、n=40呢？n=41呢？(10-12分钟)4、引出归纳推理定义，（板书课题）5、归纳推理的一般步骤.(12-14分钟)感受归纳推理的魅力，重点介绍两大猜想（同时指出：归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明。

）1、费马猜想。

已知12,12,12,1243212222++++都是质数， 614144)4(534133)3(474122)2(434111)1(2222=++==++==++==++=f f f f运用归纳推理你能得出什么样的结论？ 半个世纪后欧拉发现说明了什么？ 后来人们又发现12,12,12876222+++都是合数，你们又能得到什么样的结论？ 这个结论是否正确呢？(16-18分钟)2．介绍歌德巴赫猜想观察下列等式：10=3+7 ，20=3+17 ，30=13+17你们能从中发现什么规律？你能多写几个这样的式子么？这个规律对于其他偶数是否成立？ 介绍歌德巴赫猜想（22-25分钟）3、请同学们举出一些其他学科中运用归纳推理得到的重要发现的实例。

三、归纳推理的练习及归纳推理的作用1．发现新事实：应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。

观察：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……由上述具体事实能提出怎样的结论？可以猜想：前n 个连续奇数的和等于n 的平方，即 (26-30分钟)由上述具体事实能提出怎样的结论？1、已知数列{}n a 的首项11=a ，且有11+=+n n n a a a ，求这个数列的通项公式。

２017－2018学年高中数学复习课(二）推理与证明教学案新人教A版选修１-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(201７-2０１８学年高中数学复习课（二) 推理与证明教学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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复习课(二) 直接证明与间接证明合情推理(１）近几年的高考中归纳推理和类比推理有时考查,考查的形式以填空题为主,其中归纳推理出现的频率较高,重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．（2）处理与归纳推理相关的类型及策略①与数字有关：观察数字特点，找出等式左右两侧的规律可解.②与式有关:观察每个式的特点,找到规律后可解.③进行类比推理，应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键．[考点精要]1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤[典例］（1)在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S 2,则＼f(S1,S２)＝14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体Ｐ­ABＣ的内切球体积为V１,外接球体积为V２,则＼ｆ(V1,V２）=( ）A。

错误!B。

错误!Ｃ．＼f(1,64) ﻩD。

＼f(1,27）（２）（陕西高考）观察下列等式:1－＼f（1,2）＝错误!,1-错误!+错误!-错误!＝错误!+错误!,1－错误!＋错误!-错误!+错误!－错误!=错误!+错误!＋错误!，……，据此规律，第n个等式可为_＿_＿__＿_＿____＿_____＿_________＿__＿＿_＿_______＿__.［解析］(1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故错误!＝错误!.（２）等式的左边的通项为错误!-错误!，前n项和为1-错误!+错误!-错误!+…+错误!－错误!;右边的每个式子的第一项为错误!,共有n项，故为错误!+错误!+…+错误!．[答案] (1）D （2)１－１2＋错误!-错误!+…+错误!-错误!＝错误!＋错误!+…＋错误![类题通法］(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.(2)进行类比推理时,要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.错误!1．某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,１,2，3,5,则预计第１0年树的分枝数为( )A．２１ﻩB．34C.５2 D．55解析:选D 因为2=1+１,3=２＋１,5=3+2，即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第１0年树的分枝数为21+34＝5５。

推理与证明【专题要点】1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明.2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.3.演绎推理4.证明①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法 近几年高考中加大了其考察力度.③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】 1合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 2直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识纵横】⎧⎧⎧→⎪⎪⎨→⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩→⎨⎧⎧⎪→⎪⎨⎪→⎨⎩⎪⎪⎪→⎩⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理推理与证明综合法直接证明证明分析法间接证明反证法【教法指引】高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。

反证法一、教学目标：1。

知识与技能:(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法;（2）了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题。

2.过程与方法：通过学生动手及简单实例，让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用。

3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式，体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点。

三。

教学难点：正确理解、运用反证法。

四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动。

教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法:综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因.(2)让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？(初中所学)间接证明：不是从正面证明命题的真实性,而是证明命题的反面为假,或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法.二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色,至少有5个球是同色的。

你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】(1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤:a、反设:假设命题结论不成立(即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论:由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．网络构建高频考点突破 考点一：合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设f k (x )＝sin 2k x ＋cos 2k x (x ∈R )，利用三角变换，估计f k (x )在k ＝1,2,3时的取值情况，对k ∈N ＋时推测f k (x )的取值范围是________(结果用k 表示)．(2)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________．”[审题导引] (1)由f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．[规范解答] (1)当k ＝1，f 1(x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 当k ＝2时，f 2(x )＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 2(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.当k ＝3时，f 3(x )＝sin 6x ＋cos 6x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )＝1－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 22x . ∵0≤sin 22x ≤1，∴f 3(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，故可推测12k －1≤f k(x )≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故填V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .[答案] (1)12k －1≤f k (x )≤1(2)V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论． (2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质． 【变式训练】1．若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)的数列{b n }也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0，则有通项为d n ＝________(n ∈N ＋)的数列{d n }也是等比数列．解析 ∵{c n }是等比数列，且c n ＞0， ∴{lg c n }是等差数列，令d n ＝nc 1·c 2·…·c n ， 则lgd n ＝lg c 1＋lg c 2＋…＋lg c n n ，由题意知{lg d n }为等差数列， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n 为等比数列．答案nc1·c2·…·c n2．平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．解析n＝2时，交点个数：f(2)＝1.n＝3时，交点个数：f(3)＝3.n＝4时，交点个数：f(4)＝6.n＝5时，交点个数：f(5)＝10.猜想归纳：f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．考点二：演绎推理【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.[审题导引]由a、b、c为正实数，显然易得a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc ＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法．[规范解答](1)证必要性(直接证法)：因为a、b、c为正实数，所以a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0.所以必要性成立．(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc＞0，则它们只能是二负一正．不妨设a＜0，b＜0，c＞0，又由于ab＋bc＋ac＞0⇒a(b＋c)＋bc＞0，因为bc＜0，所以a(b＋c)＞0.①又a＜0，所以b＋c＜0.②而a＋b＋c＞0，所以a＋(b＋c)＞0.所以a＞0，与a＜0的假设矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．【规律总结】1．演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果． 2．适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．【变式训练】3．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析 因为凸函数满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提) 所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论) 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332. 因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332. 考点三：数学归纳法【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0,1－S n ＝a n b n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2的值和数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{c n }满足：c n ≤a 1＋(b n －1)a(n ∈N ＋，0＜a ＜1)，求证：∑n k ＝1 c k k ＋1＜1.[审题导引] (1)由于S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0中含有S 2n ，通过升降角标的方法无法把S n 转化为a n ，这样就需要把a n 转化为S n －S n －1(n ≥2)，通过探求S n ，然后根据求得的S n 求{a n }的通项公式；(2)根据(1)求得的结果，根据c kk ＋1的结构确定放缩的方法求证． [规范解答] (1)S 21－(a 1＋2)S 1＋1＝0⇒a 1＝12， S 22－(a 2＋2)S 2＋1＝0⇒a 2＝16. S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得S n S n －1－2S n ＋1＝0，② 又由S 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝23，S 3＝12－S 2＝34.猜想S n ＝nn ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，显然成立；②假设当n ＝k 时，S k ＝kk ＋1，则n ＝k ＋1时，S k ＋1S k －2S k ＋1＋1＝0，S k ＋1＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋1＋1成立．综合①②，可知猜想成立．所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n (n ＋1)，当n ＝1时也满足，故a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)证明 由(1)，得b n ＝n ， c n ≤a 1＋(n －1)a ＝11a ＋n －1＜1n ，则∑nk ＝1 c k k ＋1＜∑n k ＝1 1k (k ＋1)＝1－1n ＋1＜1. 【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k 到k ＋1时命题变化的情况．【变式训练】4．(2012·青岛二模)已知集合A ＝{x | x ＝－2n －1，n ∈N ＋}，B ＝{x | x ＝－6n ＋3，n ∈N ＋}，设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的任一项a n ∈A ∩B 且首项a 1是A ∩B 中的最大数，－750＜S 10＜－300.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1392n a n +-⎛ ⎝⎭令T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…b 2n )，试比较T n与48n2n ＋1的大小． 解析 (1)根据题设可得：集合A 中所有的元素可以组成以－3为首项，－2为公差的递减等差数列；集合B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列．由此可得，对任意的n ∈N ＋，有A ∩B ＝B ， A ∩B 中的最大数为－3，即a 1＝－3，设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝－3＋(n －1)d ， S 10＝10(a 1＋a 10)2＝45d －30，∵－750＜S 10＜－300， ∴－750＜45d －30＜－300， 即－16＜d ＜－6，由于B 中所有的元素可以组成以－3为首项，－6为公差的递减等差数列， 所以d ＝－6m (m ∈Z ，m ≠0)， 由－16＜－6m ＜－6⇒m ＝2， 所以d ＝－12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝9－12n (n ∈N ＋)．(2)b n ＝1392n a n +-⎛ ⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，T n ＝24(b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n )＝24×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， T n －48n 2n ＋1＝24－242n －48n 2n ＋1＝24(2n －2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与48n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1，… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 证法一 ①当n ＝3时，由上验算可知成立． ②假设n ＝k 时，2k ＞2k ＋1，则2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立． 根据①②可知，对一切n ≥3的正整数， 都有2n ＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n 2n ＋1.证法二 当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C nn ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，∴当n ＝1,2时，T n ＜48n 2n ＋1，当n ≥3时，T n ＞48n2n ＋1.名师押题高考【押题1】 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个整数对是 A ．(7,5) B ．(5,7) C ．(2,10) D ．(10,1)解析 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对，注意到10(10＋1)2＜60＜11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…因此第60个整数对是(5,7)．故选B.答案 B[押题依据] 能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求．相比较而言，归纳推理是高考的一个热点．本题体现了归纳对推理的思想，需从所给的数对中总结归纳出其规律，进而推导出第60个整数对．题目不难，体现了高考的热点，故押此题．押题2】已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝b ·n －a ·mn －m .”现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且b m＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N ＋)，若类比上述结论，则可得到b m ＋n ＝________.解析 由题意类比可得b m ＋n ＝n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭g .答案 n n mb a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭g[押题依据] 归纳和类比是两种重要的思维形式，是高考的热点，通常以选择题或填空题的形式考查．本题以数列知识为背景，考查类比推理，题目不难，但具有较好的代表性，故押此题．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.可以推测，m – n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。

复习课(二) 推理与证明[对应学生用书P43]其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．[考点精要]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. [答案] (1)127 (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[类题通法](1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋12．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝1(1)获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．[考点精要](1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．[典例] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 法一：综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．[题组训练]1．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝1f －x，可得0<f(x)<1.综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.(1)问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； (2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例] (1)否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．[解析] (1)自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )， 与已知矛盾，故原命题成立． [类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．[题组训练]1．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数， 与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知方程f (x )＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的大前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y ＝x 3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .答案：2π2r 2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9110．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |， 即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2， 即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2， 即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1， 所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明． 解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． ∴原式得证．12．设函数f (x )＝e xln x ＋2ex －1x，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差〔比〕数列的概念，掌握等差〔比〕数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明〞这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四那么运算法那么、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势〔1〕数列是特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点〔2〕数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

〔3〕加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即〔a3+a5〕2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中表达，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

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本文题目：高三理科数学复习教案：推理与证明复习教学案高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解合情推理的含义.2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.4.了解演绎推理的重要性.5.掌握演绎推理的基本模式：三段论.6.能运用演绎推理进行简单的推理.7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.11.了解数学归纳法的原理.12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题. 本章重点：1.利用归纳与类比进行推理;2.利用三段论进行推理与证明;3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题;4.数学归纳法的基本思想与证明步骤;运用数学归纳法证明与自然数n(nN*)有关的数学命题.本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题;2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题;3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明. 推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.知识网络14.1 合情推理与演绎推理典例精析题型一运用归纳推理发现一般性结论【例1】通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.sin215+sin275+sin2135sin230+sin290+sin2150sin245+sin2105+sin2165sin260+sin2120+sin2180=32.【解析】猜想：sin2(-60)+sin2+sin2(+60)=32.左边=(sin cos 60-cos sin 60)2+sin2+(sin cos 60+cos sin 60)2=32(sin2+cos2)=32=右边.【点拨】先猜后证是一种常见题型;归纳推理的一些常见形式：一是具有共同特征型，二是递推型，三是循环型(周期性).【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b①a2+b2②a3+b3c5+h5.其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .【解析】②③;an+bn题型二运用类比推理拓展新知识【例2】请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公式中的二分之一与三棱锥的体积公式中的三分之一是类比对象.由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4)，(1)若a11=a22=a33=a44=k，则 =;(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4)，若S11=S22=S33=S44=K，则 = .【解析】2Sk;3VK.题型三运用三段论进行演绎推理【例3】已知函数f(x)=ln ax-x-ax(a0).(1)求此函数的单调区间及最值;(2)求证：对于任意正整数n，均有1+12+13++1nln enn!. 【解析】(1)由题意f(x)=x-ax2.当a0时，函数f(x)的定义域为(0，+)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，+)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.当a0时，函数f(x)的定义域为(-，0)，此时函数在(-，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，fmin(x)=f(a)=ln a2，无最大值.(2)取a=1，由(1)知，f(x)=ln x-x-1xf(1)=0，故1x1-ln x=ln ex，取x=1,2,3，，n，则1+12+ 13++1nln e+ln e2++ln en=ln enn!. 【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而三段论是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.【变式训练3】已知函数f(x)=eg(x)，g(x)=kx-1x+1(e是自然对数的底数)，(1)若对任意的x0，都有f(x)(2)求证：ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)]2n-3(nN*). 【解析】(1)由条件得到f(1) k2ln 2+13，猜测最大整数k=2，现在证明 0恒成立：2，设h(x)=ln(x+1)+3x+1，则h(x)=1x+1-3(x+1)2=x-2(x+1)2. 故x(0,2)时，h(x)0，当x(2，+)时，h(x)0.所以对任意的x0都有h(x)h(2)=ln 3+12，即 0恒成立，所以整数k的最大值为2.(2)由(1)得到不等式2-3x+1所以ln[1+k(k+1)]2-3k(k+1)+12-3k(k+1)，ln(1+12)+ln(1+23)++ln[1+n(n+1)](2-312)+(2-323)++[2-3n(n+1)]=2n-3[112+123++1n(n+1)]=2n-3+3n+12n-3，所以原不等式成立.总结提高合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发;那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.14.2 直接证明与间接证明典例精析题型一运用综合法证明【例1】设a0，b0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab8.【证明】因为a+b=1，所以1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab=1+ba+1+ab+a+bab2++a+b(a+b2)2=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时等号成立. 【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.【变式训练1】设a，b，c0，求证：a2b+b2c+c2aa+b+c. 【证明】因为a，b，c0，根据基本不等式，有a2b+b2a，b2c+c2b，c2a+a2c.三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c).即a2b+b2c+c2aa+b+c.题型二运用分析法证明【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca.求证：I24S.【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S，故要证I24S，只需证a2+b2+c2+2S4S，即a2+b2+c22S.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca0，即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)0，只需证三括号中的式子均为负值即可，即证a2显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.故I24S.【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.【变式训练2】已知a0，求证：a2+1a2-2a+1a-2.【证明】要证a2+1a2-2a+1a-2，只要证a2+1a2+2a+1a+2.因为a0，故只要证(a2+1a2+2)2(a+1a+2)2，即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22(a+1a)+2，从而只要证2a2+1a22(a+1a)，只要证4(a2+1a2)2(a2 +2+1a2)，即a2+1a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立.题型三运用反证法证明【例3】若x，y都是正实数，且x+y2.求证：1+xy2或1+yx2中至少有一个成立.【证明】假设1+xy2和1+yx2都不成立.则1+xy2，1+yx2同时成立.因为x0且y0，所以1+x2y且1+y2x，两式相加得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相因此1+xy2与1+yx2中至少有一个成立.【点拨】一般以下题型用反证法：①当结论的反面比结论本身更简单、更具体、更明确;②否定命题，唯一性命题，存在性命题，至多至少型命题;③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.【变式训练3】已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0;x2+(a-1)x+a2=0;x2+2ax-2a=0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.【解析】假设三个方程均无实根，则有由(4a)2-4(-4a+3)0，得4a2+4a-30，即-32由(a-1)2-4a20，得(a+1)(3a-1)0，即a-1或a由(2a)2-4(-2a)0，得a(a+2)0，即-2以上三部分取交集得M={a|-32总结提高分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐;综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题pq与逆否命题 q p是等价的，而反证法是相当于由 q推出 p成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件 q的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等. 14.3 数学归纳法典例精析题型一用数学归纳法证明恒等式【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立?若存在，求出a、b、c并证明;若不存在，试说明理由. 【解析】假设存在a、b、c使12+22+32++n2+(n-1)2++22+12=an(bn2+c)对于一切nN*都成立.当n=1时，a(b+c)=1;当n=2时，2a(4b+c)=6;当n=3时，3a(9b+c)=19.解方程组解得证明如下：当n=1时，显然成立;假设n=k(kN*，k1)时等式成立，即12+22+32++k2+ (k-1)2 ++22+12=13k(2k2+1);则当n=k+1时，12+22+32++k2+(k+1)2+k2+(k-1)2++22+12=13k(2k2+1)+(k+ 1)2+k2=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)[2(k+1)2+1].因此存在a=13，b=2，c=1，使等式对一切nN*都成立. 【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n=k到n=k+1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.【变式训练1】用数学归纳法证明：当nN*时，113+135++1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.【证明】(1)当n=1时，左边=113=13，右边=121+1=13，左边=右边，所以等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立，即有113+135++1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，则当n=k+1时，113+135++1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)( 2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3 =k+12(k+1)+1，所以当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立.题型二用数学归纳法证明整除性问题【例2】已知f(n)=(2n+7)3n+9，是否存在自然数m使得任意的nN*，都有m整除f(n)?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【解析】由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，结论显然成立;(2)假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.则当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1)，由假设知3[(2k+7)3k+9]能被36 整除，又3k-1-1是偶数，故18(3k-1-1)也能被36 整除.即n=k+1时结论也成立.故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除. 由f(1)=36知36是整除f(n)的最大值.【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明. 在证明n=k+1结论也成立时，要注意凑形，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.【证明】方法一：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时结论成立，即f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9( 32k+2-8k-9)+64(k+1)，即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.方法二：①当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.②假设当n=k(k1，kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k +1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1)，所以n=k+1时命题也成立.根据①②可知，对任意的nN*，命题都成立.题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，求证：对任意的nN*，不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1，b，r 均为常数)的图象上，所以Sn=bn+r(b0且b1，b，r均为常数).当n=1时，a1=S1=b+r;当n2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1.又数列{an}为等比数列，故r=-1且公比为b.(2)当b=2时，an=2n-1，所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n(nN*)，所以bn+1bn=2n+12n，于是要证明的不等式为32542n+12nn+1对任意的nN*成立. 下面用数学归纳法证明.当n=1时，322显然成立.假设当n=k时不等式成立，即32542k+12kk+1.则当n=k+1时，32542k+12k2k+32k+2k+12k+32k+2=k+1(2k+32k+2)2=(2k+3) 24(k+1)=[2(k+1)+1]24(k+1)=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=(k+1)+1+1 4(k+1)(k+1)+1，即当n=k+1时不等式成立，所以原不等式对任意nN*成立. 【点拨】运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.【变式训练3】设函数f(x)=ex-1+ax(aR).(1)若函数f(x)在x=1处有极值，且函数g(x)=f(x)+b在(0，+)上有零点，求b的最大值;(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围;(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1=1，an+1=f(an)-f(an)，求|an+1-an|的最小值.【解析】(1)f(x)=ex-1-ax2，又函数f(x)在x=1处有极值，所以f(1)=0，即a=1，经检验符合题意.g(x)=ex-1-1x2，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数，当x=1时，g(x)=0，当x(1，+)时g(x)0，g(x)为增函数.所以g(x)在x=1时取得极小值g(1)=2+b，依题意g(1)0，所以b-2，所以b的最大值为-2.(2)f(x)=ex-1-ax2，当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex-1-ax20在[1,2]上恒成立，所以ax2ex-1，令h(x)=x2 ，则h(x)=ex-1(x2+2x)0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)=1，所以a当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理ax2ex-1，h(x)=x2ex-1在[1,2]上的最大值为h(2)=4e，所以a4e.综上实数a的取值范围为a1或a4e.(3)由(1)得a=1，所以f(x)-f(x)=1x+1x2，因此an+1=1an+1a2n，a1=1，所以a2=2，可得02.用数学归纳法证明如下：①当n=1时，a3=34，a4=289，结论成立;②设n=k，kN*时结论成立，即02，则n=k+1时，a2k+3=1a2k+2+1a22k+212+12=1，所以01+1=2.所以n=k+1时结论也成立，根据①②可得02恒成立，所以|an+1-an|a2-a1=2-1=1，即|an+1-an|的最小值为1. 总结提高数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：①1②若kM，则k+1M，那么必有M=N*成立.数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如归纳、猜想、证明是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是凑形以便运用归纳假设的条件.。

XX届高考数学轮备考推理与证明复习教案XX版高三数学一轮精品复习学案：第二节推理与证明【高考目标导航】一、合情推理与演绎推理考纲点击了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

热点提示归纳推理与数列相结合问题是考查重点；类比推理、演绎推理是重点，也是难点；以选择题、填空题的形式考查合情推理；考查演绎推理的各种题型都有，难度不大，多以中低档题为主。

二、直接证明与间接证明考纲点击了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点；热点提示本考点在历年高考中均有体现，主要以考查直接证明中的综合法为主；分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判官方法，一般不会单独命题；题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题。

三、数学归纳法考纲点击了解数学归纳法的原理；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

热点提示归纳——猜想——证明仍是高考重点；常与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点；题型以解答题为主，难度中等偏上。

【考纲知识梳理】一、合情推理与演绎推理注：归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。

归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。

二、直接证明与间接证明直接证明注：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。

分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。

间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。

高中数学 第2章《推理与证明》教案（1） 新人教A 版选修22课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时 ●教学过程： 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。

第二章推理与证明复习课教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论 充分条件③原命题 假设错误 原命题正确④(ⅰ)n 取第一个值n 0(n 0∈N *)(ⅱ)n ＝k(k ≥n 0，k ∈N *)时当n ＝k ＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f(n)为n 个点可连的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，…，猜想：f(n)＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱PA ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案：1.B 2.A类型二：类比推理例2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝2a 10＝0， 所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相似地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n }满足的一般结论，而得到等比数列{b n }所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形 ②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AB ，BC 的中点．证明：平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB 1与平面BDD 1B 1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵BB 1⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥MN.∵MN ∥AC ，AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD.又BD ∩BB 1＝B ，∴MN ⊥平面BDD 1B 1.∵MN ⊂平面MNB 1，∴平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f(x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f(2x)的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12答案：D类型四：直接证明例4已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c)2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc)＝13[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]≥0，∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c)2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ， 求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1 a 1＝12， 并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ， 得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n.又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>164.① 又(1－a)a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b)b ≤14，(1－c)c ≤14. 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c ≤164， 与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d)．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b<0与Δ2＝c 2－4d<0，有a 2＋c 2<4(b ＋d)，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d)>2ac ，即ac<2(b ＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r(b>0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． 解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r)＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k(k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k 2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f(3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f(k)≥k 2成立B ．若f(5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f(k)≥k 2成立C ．若f(7)<49成立，则当k ≥8时，均有f(k)<k 2成立D ．若f(4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f(k)≥k 2成立答案：1.B 2.D拓展实例例 已知函数f(x)＝a x ＋x －2x ＋1(a>1)． (1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f(x)＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0， 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f(x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f(x 0)＝0没有负数根． 点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)． 思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k·1＝16k(k ＋1)(k ＋2)． 当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k(k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋a)(n ＋b)对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a)(1＋b)，令n ＝2，得4＝26(2＋a)(2＋b)， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca.证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca.此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案：1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2 007(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f(x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f(1)＝1(x ∈N *)，猜想f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝42x ＋2 B ．f(x)＝2x ＋1C ．f(x)＝1x ＋1D ．f(x)＝22x ＋1答案：1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ， 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立． 设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．备课资料例1：若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2x ＋π2，b ＝y 2－2y ＋π3，c ＝z 2－2z ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：直接证明较难入手，运用反证法进行证明．证明：设a 、b 、c 都不大于0，a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝(x 2－2x ＋π2)＋(y 2－2y ＋π3)＋(z 2－2z ＋π6)＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.点评：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想是：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题．例2：数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3，…)． 证明：(1)数列{S n n}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 思路分析：利用a n 与S n 的关系，合理转化已知条件a n ＋1＝n ＋2n S n即可． 证明：(1)由a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n 得n ＋2n S n＝S n ＋1－S n . ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n .∴S n ＋1n ＋1S n n＝2.∴数列{S n n}为等比数列． (2)由(1)知{S n n }的公比为2，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1，∴S n ＋1＝4a n . 点评：综合法又叫顺推法，其实质就是由因导果法．例3：已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254. 思路分析：用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式，找到使之成立的充分条件．证明：要证(a ＋1a )(b ＋1b )≥254，只需证4a 2b 2＋4(a 2＋b 2)＋4≥25ab ， ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝1－2ab.只需证4a 2b 2＋4(1－2ab)＋4≥25ab ，即4a 2b 2－33ab ＋8≥0.(*)只需证ab ≤14或ab ≥8.∵a>0，b>0，a ＋b ＝1≥2ab ，∴ab ≤14. 又ab ≥8不可能，∴ab ≤14时，使得(*)式成立．∴原不等式成立． 点评：由待证结论出发，步步寻找使该结论成立的充分条件．例4：在△ABC 中(如图1)，若CE 是∠ACB 的角平分线，则AC BC ＝AE BE.其证明过程：作EG ⊥AC 于点G ，EH ⊥BC 于点H ，CF ⊥AB 于点F.∵CE 是∠ACB 的平分线，∴EG ＝EH.又∵AC BC ＝AC·EG BC·EH ＝S △AEC S △BEC ，AE BE ＝AE·CF BE·CF ＝S △AEC S △BEC ，∴AC BC ＝AE BE. (1)把上面结论推广到空间中：在四面体A —BCD 中(如图2)，平面CDE 是二面角A-CD-B 的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是__________．(2)证明你所得到的结论．图1 图2思路分析：运用类比思想，由平面图形边长成比例类比到空间图形面积(体积)成比例．解：(1)结论：S △ACD S △BCD ＝AE BE 或S △ACD S △BCD ＝S △AEC S △BEC 或S △ACD S △BCD ＝S △AED S △BED. (2)证明：设点E 到平面ACD 、平面BCD 的距离分别为h 1、h 2，则由平面CDE 平分二面角A-CD-B 知h 1＝h 2.又∵S △ACD S △BCD ＝h 1S △ACD h 2S △BCD ＝V A —CDE V B —CDE ，AE BE ＝S △AED S △BED ＝V C —AED V C —BED ＝V A —CDE V B —CDE .∴S △ACD S △BCD ＝AE BE. 点评：类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，从而提出猜想．(设计者：赵海彬)。

2021年秋高中数学第二章推理与证明阶段复习课第2课推理与证明学案新人教A版选修22[核心速填]1．合情推理：(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一样的推理．(2)类比推理：由专门到专门的推理．(3)合情推理：归纳和类比是常用的合情推理，差不多上依照已有的事实，通过观看、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．演绎推理：(1)演绎推理是由一样到专门的推理．(2)三段论是演绎推理的一样模式，包括：①大前提——已知的一样原理；②小前提——所研究的专门情形；③结论——依照一样原理，对专门情形做出的判定．3．直截了当证明与间接证明(1)直截了当证明的两类差不多方法是综合法和分析法：①综合法是从条件推导出结论的证明方法；②分析法是由结论追溯到条件的证明方法；(2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立动身，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法：数学归纳法要紧用于解决与自然数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．专门要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．[体系构建][题型探究]合情推理(1)观看下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AB AC ＝BMMC.若在四面体P －ABC 中，二面角B －PA －C 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到的结论是________，并加以证明.【导学号：31062174】[解析] (1)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. (2)画出相应图形，如图所示． 由类比推理得所探究结论为S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. 证明如下：由于平面PAD 是二面角B －PA －C 的平分面，因此点D 到平面BPA 与平面CPA 的距离相等，因此V D ­BPA V D ­CPA ＝S △BPAS △CPA. ① 又因为V D ­BPA V D ­CPA ＝V A ­BDP V A ­CDP ＝S △BDPS △CDP.②由①②知S △BPA S △CPA ＝S △BDPS △CDP成立． [答案] (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n (2)S △BPA S △CPA ＝S △BDPS △CDP[规律方法] 1.归纳推理的特点及一样步骤2．类比推理的特点及一样步骤[跟踪训练]1．(1)观看如图2­1中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .图2­1按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] (1)依图的构造规律能够看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复运算一次，应减去)．……猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4 ，T 12T 8 ，T 16T 12成等比数列． [答案] (1)S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *) (2)T 8T 4T 12T 8综合法与分析法若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，m ＞0，求证：aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.【导学号：31062175】[思路探究] 依照在△ABC 中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．∵aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2，∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.母题探究：1. (改变条件)本例删掉条件“m ＞0”，证明：a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c .[证明] 要证 a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c.只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c . 即证a ＋b >c .而a ＋b >c 明显成立．因此a ＋b 1＋a ＋b ＞c 1＋c.2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A ，B ，C 成等差数列”，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列． ∴B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． [规律方法] 分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法查找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.反证法已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.[证明] 假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，因此假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1. [规律方法] 反证法的关注点 1反证法的思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设确信结论，即否定——推理——否定通过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”即确信原命题. 2反证法常用于直截了当证明困难或以否定形式显现的命题；涉及“差不多上……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.[跟踪训练]2．若x ，y ，z ∈(0,2)，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不可能都大于1.【导学号：31062176】[证明] 假设x (2－y )>1，且y (2－z )>1，且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1，①由于0<x <2，因此0<x (2－x )≤ 1， 同理0<y (2－y )≤1,0<z (2－z )≤1，三式相乘得0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1，② ②与①矛盾，故假设不成立．因此x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不可能都大于1.数学归纳法设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． [解] (1)∵a 1＝1， ∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a； a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a. 猜想a n ＝an －1＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝ak －1＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·ak －1＋a a ＋ak －1＋a＝ak －1＋a ＋1＝a [k ＋1－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，关于任何n ∈N *，都有a n ＝an －1＋a.[规律方法] 1.数学归纳法的两点关注 1关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少.2关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.2.与“归纳—猜想—证明”相关的常用题型的处理策略 1与函数有关的证明：由已知条件验证前几个专门值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明.2与数列有关的证明：利用已知条件，当直截了当证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法.[跟踪训练]3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *) [证明] ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324.②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋122k ＋1k ＋1＞1324. 这确实是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．转化与化归思想的应用已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β【导学号：31062177】[证明] 要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β21＋tan 2β成立， 即证1－sin 2αcos 2 α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，因此(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，因此1＋2sin 2β＝4sin 2α， 即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确．[规律方法] 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最差不多的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或差不多解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一样性的问题转化为直观的专门问题；将实际应用问题转化为数学问题.本章中不管是推理过程依旧用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想.[跟踪训练]4．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R .(1)求证：假如a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判定(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论． [解] (1)证明：当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a . ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)(1)中命题的逆命题为“假如f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，∴f (a )＜f (－b )． 同理可得f (b )＜f (－a )．∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．。