2019-2020年数学必修2同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1 第1课时 直线与平面平行(苏教版)

[A基础达标]1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.2．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC ＝θ3.则下列关系一定成立的是()A．cos θ1cos θ2＝cos θ3B．cos θ1cos θ3＝cos θ2C．sin θ1sin θ2＝sin θ3D．sin θ1sin θ3＝sin θ2解析：选B.⎭⎪⎬⎪⎫P A⊥平面ABCBC⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A⊥BCAC⊥BCP A∩AC＝A⇒BC⊥平面P AC⇒BC⊥PC，所以cos θ1＝ABPB，cosθ2＝BCPB，cosθ3＝BCAB.则有cos θ1cos θ3＝cos θ2.3.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：选B.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．6．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC的中点E，连结DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C.所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝32a，DE＝a2，即有tan∠ADE＝3，所以∠ADE＝60°.答案：60°7．如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的序号为________．解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，①成立．又因为FG2⊥EG2，即FG⊥EG，又因为SG∩EG＝G，所以GF⊥平面GSE，又SE⊂平面GSE，所以GF⊥SE.故③成立．若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，②错．因为EF不垂直于EG，所以EF不垂直于平面SEG，④错．答案：①③8.如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A 1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.证明：(1)由题意，得AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，所以CD⊥平面A1B1BA，因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，所以AB1⊥平面CED.9．如图，四棱锥P-ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面P AD；(2)证明：DE⊥平面PBC.证明：(1)连结AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△P AC中，EO是中位线，所以P A∥EO.因为EO⊄平面P AD，P A⊂平面P AD，所以EO∥平面P AD.(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC.[B能力提升]1．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P 在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．2．正△ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.因为BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，所以BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，所以DH为BH在平面ADC内的射影，所以BH⊥AC，又正△ABC边长为a，所以DH＝34a，所以BH＝BD2＋DH2＝74a.答案：74a3.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，且PG⊥平面ABCD.若G为AD边的中点．求证：BG⊥平面P AD.证明：连结BD，由题意知△P AD为正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD.因为PG⊥平面ABCD.所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．所以BG⊥AD.又AD∩PG＝G，所以BG⊥平面P AD.4．(选做题)已知在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.(2)过点A作BC的平行线交CD的延长线于E，过点E作PC的垂线，垂足为F(图略)，则有AE∥平面PBC.所以点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，又EF⊥PC，BC⊥平面PDC，则EF⊥BC，又BC∩PC＝C，所以EF⊥平面PBC，所以EF即为E到平面PBC的距离．又因为AE∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCE为平行四边形，所以CE＝AB＝2，又因为PD＝CD＝1，PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥CD，∠PCD＝45°，所以EF＝2，即点A到平面PBC的距离为 2.。

[A基础达标]1．下面给出了三个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都平行的两条直线．其中，能确定一个平面的条件有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选B.①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③和直线a都平行的两直线平行，能确定一个平面．故选B.2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么() A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，所以M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知，l⊂α.故选A.3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D解析：选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.6．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．解析：当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．答案：1或2或37．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．解析：如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．答案：共线8．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)解析：图形①中，连结MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．答案：①③9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1；(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(4)由A，C1，B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．解：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．证明：如图．(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1，在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q 是α与β的公共点，同理P 是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ .又A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C . 所以R ∈α，且R ∈β，则R ∈PQ . 故P ，Q ，R 三点共线．[B 能力提升]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N交CB 于点Q ，连结PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连结NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.2．已知A 、B 、C 、D 为不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上， (1)如果EH ∩FG ＝P ，那么点P 在________上； (2)如果EF ∩GH ＝Q ，那么点Q 在________上． 解析：(1)如图，由AB 、AD 确定平面α. 因为E 、H 在AB 、DA 上，所以E ∈α，H ∈α， 所以直线EH ⊂α， 又因为EH ∩FG ＝P ， 所以P ∈EH ，P ∈α.设BC 、CD 确定平面β，同理可证，P ∈β， 所以P 是平面α，β的公共点，因为α∩β＝BD ，所以点P 在直线BD 上． 同理可证(2)点Q 在直线AC 上． 答案：(1)BD 所在的直线 (2)AC 所在的直线3．在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ，BC ，DC ，AD (或延长线)分别与平面α相交于点E ，F ，G ，H .求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上． 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD是一个平面图形，即AB，CD确定一个平面β，则AB⊂β，AD⊂β.因为E∈AB，所以E∈β，因为H∈AD，所以H∈β.又因为E∈α，H∈α，所以α∩β＝EH.因为DC⊂β，G∈DC，所以G∈β.又因为G∈α，所以点G在α与β的交线EH上．同理，点F在α与β的交线EH上．所以E，F，G，H四点共线．4．(选做题)如图，定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一点，P∉α，直线AP，BP与平面α分别相交于A′，B′，试问，如果P点任意移动，直线A′B′是否恒过一定点，请说明理由．解：随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点．理由如下：直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α＝A′，BP∩α＝B′，所以α∩β＝A′B′，而AB∩α＝O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.。

高中数学必修二课件第一节：二次函数的图像与性质1. 课程介绍- 学习目标：了解二次函数的图像和性质，掌握二次函数的变换和相关公式，并能够灵活运用。

- 学习内容：二次函数的标准形式、顶点坐标、对称轴，二次函数图像的变换和性质。

- 学习方法：理论讲解结合实例演练，有效运用数学软件进行图像绘制和分析。

2. 二次函数的标准形式与性质- 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

- 顶点坐标与对称轴：通过公式 x = -b / (2a) 求得。

- 开口方向：由二次项系数 a 的正负决定。

- 零点求解：利用二次函数的根公式求得。

3. 二次函数图像的变换- 平移变换：通过改变函数中的常数项 c 实现上下平移、左右平移。

- 伸缩变换：通过改变二次项系数 a 的绝对值实现纵向伸缩、横向伸缩。

- 翻折变换：改变二次项系数a 的符号实现纵向翻折、横向翻折。

4. 二次函数图像的性质- 对称性：二次函数关于对称轴对称。

- 最值与零点：与二次函数的顶点和零点有关。

第二节：二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系- 概念解释：一元二次方程为二次函数的零点问题。

- 特点分析：一元二次方程的解对应二次函数的图像与 x 轴的交点。

2. 一元二次方程的解法- 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，得到解的可能值。

- 公式法：应用求根公式求解一元二次方程。

- 完全平方公式：通过将一元二次方程转化成完全平方形式解方程。

3. 一元二次方程应用实例- 判断方程有解与无解的条件。

- 使用一元二次方程求解实际问题，如物体抛体运动的高度、开口向下的喷泉高度等。

第三节：二次函数与二元一次方程组1. 二次函数与二元一次方程组的关系- 概念解释：二元一次方程组中的两个方程替换二次函数的 x 和 y，求解二元一次方程组的解。

- 特点分析：二元一次方程组的解对应二次函数和直线的交点。

2. 二元一次方程组的解法- 代入法：将一个方程的变量表示成另一个方程的变量的代数式，代入另一个方程进行求解。