同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空题(4'416'?=)
1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且, 则.
2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程所确定的函数的 导数.
3. 极限111lim(
)ln 2
12
n n n n n
→∞
+++
=+++.
4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数)
2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E
-++++.
二. 选择题(4'416'?=)
5. 设函数在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ].
()0,0A a b <>;
()0,0
B a b ><;
()0,0
C a b ≤>;
()0,0D a b ≥<
6. 曲线,
[D ]
()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近
线但有水平渐近线;
()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直
渐近线
7. 将0x +
→时的无穷小量2
000sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ===-??排
列起来, 使
得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ]
(),,A αβγ
; (),,B αγβ; (),,C βαγ;
(),,D γβα
8. 设函数
()
f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且
2
()
(0)0,lim
2x f x f x →==-, 则在该点处 ()
f x :
[C ]
()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()
D 取得极小值.
三. 解答题(7'428'?=)
9. 求极限, []
10. 计算定积分 [224
400111(tan )(sec 1)28242
xd x x dx ππππ==--=-??]
11. 计算反常积分 [221221
0111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232
xdx xd x x x x ππ+∞
+∞+∞
=-=--=+++??] 12. 试求微分方程的通解
[22
1111()'()1(ln )2
x x x x c y x y y -=-?=-+]
四. (8')求曲线ln y x =上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.
[3
12222
2
2
1(1)(1)(21)1
(0)'(ln 2)22
x x x R x R K x x ++-==>?=?-] 五. (8')设不定积分, (1)计算01,I I ; (2)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =的递推
公式
[(1)01arcsin ,I x c I =+=
211
n n n n I I x c n n
---=
-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续, 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点
[,]a b ξ∈, 使. [min
max ()()()b
a
b
a
f x
g x dx
f f
g x dx
≤
≤??
]
七. (8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线及此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D , 试求:
(1)平面图形D 的面积; (2)平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积,
[]
八. (8')已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐
次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程.
[212,
"'2(12)x x x x y c e c e xe y y y x e -=++--=-]
同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=)
1. 已知极限lim ()x e
f x →存在, 且函数()
f x 满足:
ln 1()lim ()()e
x e x e x x f x f x x e e
-
→-=+-, 则
.
2. 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11
(2)(1)(1)!(
1)5n n n
f n -=--+.
3. 不定积分1tan 1
(tan ln tan )sin 22
x
dx x x C x +=++?
.
4. 定积分sin 2sin cos 03
33
4
x x x dx π
π
=
+?.
二. 选择题(4'416'?=) 5. 曲线的斜渐近线方程为
[A ]
:1
A y x =--;
:1
B y x =-;
:1
C y x =-+;
:1D y x =+.
6. 曲线
22162y x x
=-上点
(2,0)
P 处曲率K =
[B ]
:0A ; :16B ; ; :4D .
7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x
[C ]
:A 均为奇函数; :B 均为偶函数; :C 中只一个奇函数; :D 既非奇函数也非
偶函数.
8. 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆
2222x y +=的周长,
则 [D ]
12:A s s π
-=;
12
:B s s >;
12
:C s s <;
12:D s s =.
三. 解答题(4'728'?=)
9. 求极限. [2cos ln 3
3
3
1
(cos 1)1
lim
lim
36
x x x x e
x x x x +→→--===-] 10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数, 且, 证明()f x 在0x =处可导, 并求
'(0)
f .
[00()(0)()(0)
(0)0,lim
lim 2'(0)00
x x f x f f x f f f x x +
-→→--====--] 11. 求定积分2
1[]max{1,}x x e dx --?, 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.
[0
1
2
10102x I e dx dx dx e --=-++=-???]
12. 判定反常积分的收敛性, 如果收敛, 求出其值. [21
ln 111
(ln 1)()[]e e x I x d x x x e
+∞+∞-=--=-
-=?] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限.
[0
()()()()1
lim
lim
lim
[()()]2
()()()x x
x
x
x x x x x f u du uf u du
f u du
xf x f x f x f u du
xf x f u du
ξξ→→→∞-====++???
??]
五. (8')设可积函数
()
f x 在
(,)
-∞+∞内满足关系式:
()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx π
π
?
.
[2322(sin )(2)2I x x dx x dx π
π
π
π
πππ=-++-=-??]
六. (8')设n 为正整数, 函数
2lim ,0()1
00nx n x x f x e x x -→∞?
≠?
=--??=?
, 求曲线()y f x =及直线
所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积. [
122202
001()[()()]()1283,01
x x x f x V dx x x x x πππ?
=?=---=-?+-≥?+??] 七. (8')求微分方程223(1)20dy
x y xy dx
-+=的通解.
[22231111()'()()x x x C y y y y
+
=?=-] 八. (8')令sin x t =, 化简微分方程22
arcsin 2(1)x d y dy
x x y e dx dx
---=, 并求
其通解.
[22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 12
2arcsin 2
t x x
x d y x y e y C e C e e dt -?-=?=++] 同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷
一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限3
1lim(
)2
x
x x e x →∞
+=-.
2. 若极限000
(2)()
lim
3h f x h f x h
→--=, 则03'()2
f x =
-.
3.
积分2
2216(3
x x dx -+=
?. 4. 积分2cos 2cos 1
sin 2
x x xe dx e C =
-+?.
5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为12
12()x y c x c e
=
+.
6. 记
41sin I xdx
π
π
-=?,
22sin I xdx
π
π
-=?,
23I x dx
π
π
-=?,
21sin I x xdx
π
π
-=?.
则这4项积 分的大小关系为
[ B ]
()A 2134I I I I >>>;()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.
7. 下列反常积分中收敛的反常积分是 [ A ]
; ; ()sin C xdx +∞
-∞?; 8. 若函数23
ln(1)ln 2
,1()1
1x x f x x a x ?+-≠?=-??=?
在1x =连续, 则常数
[ D ]
()A ; ()B ; ()C ; ()D .
二. 解答题(6'530'?=)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ,则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题(每题4分) 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导,并有)()(b f a f =,则(D ) A .一定存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导,且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<', 当,0>?x 时,有(A ) A. ,0<>?dy y C. ,0
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称:高等数学一 课程编号: 学分:4 适用对象: 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程,它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性,对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础,也是培养理性思维的重要载体,在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 (二)教学目标 通过本课程的学习,逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力,尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力,一是为后继课程提供必需的基础数学知识;二是传授数学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 (三)基本要求 1、基本知识、基本理论方面:掌握理解极限和连续的基本概念及其应用;熟
悉导数与微分的基本公式与运算法则;掌握中值定理及导数的应用;掌握不定积分的概念和积分方法;掌握定积分的概念与性质;掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面:掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法,培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念,了解函数的几种特性(有界性),掌握复合函数的概念及其分 解,掌握基本初等函数的性质及其图形,理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念,掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系,了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性, 10、了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。
第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转))
学年第二学期期末考试试卷 课程名称:《高等数学》 试卷类别:A 卷 考试形式:闭卷 考试时间:120 分钟 适用层次: 适用专业; 阅卷须知:阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称:高等数学A (考试性质:期末统考(A 卷) 一、单选题 (共15分,每小题3分) 1.设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ,00(,)y f x y 都存在,则 ( ) A .(,)f x y 在P 连续 B .(,)f x y 在P 可微 C . 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D . 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2.若x y z ln =,则dz 等于( ). ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3.设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域,则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ). 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4. 4.若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A . 条件收敛 B . 绝对收敛 C . 发散 D . 敛散性不能确定 5.曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 系(院):——————专业:——————年级及班级:—————姓名:——————学号:————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数,写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”,B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1)(4,2),(4,3),(4,4)}; A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}; B={(1,2),(1,3},(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1)(4,3)} 2. 在数学系学生中任选一名学生.设事件A={选出的学生是男生},B={选出的学生是三年级学生},C={选出的学生是科普队的}. (1)叙述事件ABC的含义. (2)在什么条件下,ABC=C成立? (3)在什么条件下,C?B成立? 解 (1)事件ABC的含义是,选出的学生是三年级的男生,不是科普队员. (2)由于ABC?C,故ABC=C当且仅当C?ABC.这又当且仅当C?AB,即科普队员都是三年级的男生. (3)当科普队员全是三年级学生时,C是B的子事件,即C?B成立. 3.将下列事件用A,B,C表示出来: (1)只有C发生;
(2)A 发生而B ,C 都不发生; (3)三个事件都不发生; (4)三个事件至少有一个不发生; (5)三个事件至少有一套(二个不发生)发生; (6)三个事件恰有二个不发生; (7)三个事件至多有二个发生; (8)三个事件中不少于一个发生。 解 (1)ABC ; (2)ABC : (3)ABC (4)A B C U U ; (5)AB BC AC U U ; (6)ABC ABC ABC U U ; (7)ABC ; (8)A B C U U 。 4.设 A , B , C 是三个随机事件,且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0,81 )(=AC P ,求A ,B ,C 中至少有 一个发生的概率. 解 设D ={A ,B ,C 中至少有一个发生},则D =A +B +C ,于是 P (D )=P (A +B +C ) =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ). 又因为
同济大学高等数学(下)期中考试试卷2 一.简答题(每小题8分) 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =?为什么? 3.不需要具体求解,指出解决下列问题的两条不同的解题思路: 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点,求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数,3x y =是f 的一条等高线,若 1)1,1(-=y f ,求)1,1(x f . 二.(8分)设函数f 具有二阶连续的偏导数,),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.(8分)设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ,其中f 与g 均具有连续的偏导数,求dx dy . 四.(8分)求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(,,处的切线与法平面的方程. 五.(8分)计算积分) ??D y dxdy e 2,其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.(8分)求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.(14分)设一座山的方程为2221000y x z --=,),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. (1)问:z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大,并求出此增长率; (2)攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点,即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大,请写出该点的坐标. 八.(14分) 设曲面∑是双曲线2422=-y z (0>z 的一支)绕z 轴旋转而成,曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. (1)写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标; (2)若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体,求Ω的体积.
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ???
高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学复习提纲 一、考试题型 1.填空题6题 2.计算题8题 二、知识点 1.平面及其方程。 例题:一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2.空间直线及其方程。 例题:求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题:求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3.旋转曲面。 例题:将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题:将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导,隐函数求导。 例题:求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题:设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??
本资料仅供参考复习练手之用,无论是重修只求及格,还是为了拿优保研,复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重,作为一个重修过高数的学长,望大家不要舍本求末,记住这样一句话,只有当你付出了,你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=.
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 分,共 ?分) .下列各组函数中,是相同的函数的是( ) (?)()()2ln 2ln f x x g x x == 和 ( )()||f x x = 和 ( )g x = ( )()f x x = 和 ( )2 g x = ( )()|| x f x x = 和 ()g x = .函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续,则a = ( ) (?) ( ) 1 4 ( ) ( ) .曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ) (?)1y x =- ( )(1)y x =-+ ( )()()ln 11y x x =-- ( ) y x = .设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ) (?)连续且可导 ( )连续且可微 ( )连续不可导 ( )不连续不可微 .点0x =是函数4 y x =的( ) (?)驻点但非极值点 ( )拐点 ( )驻点且是拐点 ( )驻点且是极值点
.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ) (?)只有水平渐近线 ( )只有垂直渐近线 ( )既有水平渐近线又有垂直渐近线 ( )既无水平渐近线又无垂直渐近线 . 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ) (?)1f C x ?? -+ ??? ( )1f C x ?? --+ ??? ( )1f C x ?? + ??? ( )1f C x ?? -+ ??? . x x dx e e -+?的结果是( ) (?)arctan x e C + ( )arctan x e C -+ ( )x x e e C --+ ( ) ln()x x e e C -++ .下列定积分为零的是( ) (?)424arctan 1x dx x π π-+? ( )44 arcsin x x dx ππ-? ( )112x x e e dx --+? ( )()1 2 1 sin x x x dx -+? ?.设()f x 为连续函数,则 ()1 2f x dx '?等于( ) (?)()()20f f - ( )()()11102f f -????( )()()1 202f f -????( )()()10f f - 二.填空题(每题 分,共 ?分) .设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = .已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '= .21 x y x =-的垂直渐近线有条 . ()21ln dx x x = +?
2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;
(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:
《高数》试卷7(上) 一、选择题(每小题3分) 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( ). A []1,2- B [)1,2- C (]1,2- D ()1,2- 2、极限x x e ∞→lim 的值是( ). A 、 ∞+ B 、 0 C 、∞- D 、 不存在 3、=--→211) 1sin(lim x x x ( ). A 、1 B 、 0 C 、 21- D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( ) A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是( ). A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设 ?+=C x dx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( ). A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、?=+dx x x ln 2( ). A 、C x x ++-22ln 212 B 、 C x ++2 )ln 2(21 C 、 C x ++ln 2ln D 、 C x x ++-2ln 1 8、曲线2x y = ,1=x ,0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V ( ). A 、?104dx x π B 、?1 0ydy π C 、?-1 0)1(dy y π D 、?-104)1(dx x π
9、?=+1 01dx e e x x ( ). A 、21ln e + B 、2 2ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为( ). A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27 2=* 二、填空题(每小题4分) 1、设函数x xe y =,则 =''y ; 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m . 3、=?-1 13cos xdx x ; 4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 . 5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ,最小值是 ; 三、计算题(每小题5分) 1、求极限 x x x x --+→11lim 0 ; 2、求x x y sin ln cot 2 12+= 的导数; 3、求函数 1133+-=x x y 的微分; 4、求不定积分?++1 1x dx ; 5、求定积分 ?e e dx x 1 ln ; 6、解方程 2 1x y x dx dy -= ; 四、应用题(每小题10分) 1、 求抛物线2x y = 与 2 2x y -=所围成的平面图形的面积. 2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域: 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限: 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ (0) 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明:当沿着x 轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着2 x y =趋于(0,0)时,极限为2 1 , 二者不相等,所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明:当)0,0(),(≠y x 时,为初等函数,连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时, )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→,所以函数在(0,0)也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =,求f(x)及z 的表达式. 解:f(x)=x x -2,z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明:x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ,∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案:
《高数》试卷1 (上) (A) y =x —1 (B ) y=_(x 1) (C ) y = I n X -1 x -1 ( D ) y = x 4?设函数f x =|x|,则函数在点x=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) —f -丄 C (C ) f 1 C (D ) 一 f - C I X 丿 I X 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 1.下列各组函数中 ,是相同的函数的是 ( ). (A ) f (x ) = lnx 2 和 g (x ) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=J? (C ) f (X )=X 和 g (x ) = (T X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsinx+4 -2 x 式0 2.函数 f (X )= * In (1 +x ) 在X = 0处连续,则 a =( ) a x = 0 (A ) 0 ( B 1 - (C ) 1 (D ) 2 4 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( ) (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 「?选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共30分)
同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)
同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程,也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版,该教材保持了原来的优点、特点,进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域: 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限: 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ (0) 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明:当沿着x 轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着2 x y =趋于(0,0)时,极限为2 1 , 二者不相等,所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明:当)0,0(),(≠y x 时,为初等函数,连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时, )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→,所以函数在(0,0)也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案:
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =,求f(x)及z 的表达式. 解:f(x)=x x -2,z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明:x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ,∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点( 1,21,23)处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ,y u ?? ,z u ?? 解:1 -=??y z x y z x u , x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=,证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导(偏导)说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续; 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在, 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点(a,b )处的偏导数存在,求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→