《高等数学》下 期末试卷（基础卷）
一．填空题（本题满分15分，每小题3分） 1. 设y x
z a =,则偏导数
z
x
∂=∂_________. 2. 设L 为曲线2y x =上从()1,1-到()1,1的一段弧,则曲线积分d L
x s =⎰________. 3. (,)d d D
f x y x y ⎰⎰在直角坐标下的累次积分为 ，其中D 是222x y y +=围
成的区域.
4. 一平面过点(6,3,2)且与平面5438x y z +-=平行，则此平面方程为___ __.
5. 空间曲线23,,x t y t z t ===在点0(1,1,1)M 处的切线与直线11
22x y z l k
-+==
平行，则l = ，k = ________.
二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内.
1. 设(3,5,2),(2,1,4)a b =-=，要使a b λμ+与z 轴垂直，则,λμ之间的关系为 .
A.2λμ=
B.2μλ=
C. λμ=
D.2λμ=-
2. 设可微函数(),f x y 在点00(,)x y 取得极小值，则以下结论正确的是 . A.0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零 B.0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零 C.0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零 D.0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在
3. 设222(0)D x y a a +≤>是由所围成的闭区域，则
d πD
I x y ==,则 a = .
A. 1
B.
C. D.
4. 函数(),f x y 在()00,x y 处满足________时,它在()00,x y 处连续.
A.()()0
000lim ,,x x f x y f x y →=,()()0
000lim ,,y y f x y f x y →=;
B.
()()
()00,,lim
,x y x y f x y →存在;
C.偏导数存在;
D.可微.
5. 设()11sin n
n a n
=-,则________.
A.1n n a ∞
=∑与2
1
n
n a ∞
=∑均收敛; B.1n n a ∞
=∑与2
1
n n a ∞
=∑均发散;
C.1
n n a ∞
=∑发散而2
1
n
n a ∞=∑收敛; D.1
n n a ∞
=∑收敛而2
1
n n a ∞
=∑发散.
三．计算题（本题满分24 分，共4小题，每小题满分6分） 1. 计算函数e xy z =在点(2, 1)处的全微分.
2. 过点(0,2,4)且同时平行于平面2132x z y z +=-=与的直线方程.
3. 求()()d 2d L I x y x x y y =-++⎰,其中22
:136x y L +
=,取逆时针方向. 4. 判别级数1π
πsin n n
n ∞
=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.
四.（本题10分）在曲面z xy =上求一点，使该点处的法线垂直于平面
390x y z +++=，并写出法线方程.
五.（本题10分）将12分解为三个正数x ,y ,z 之和,使得32u x y z =最大. 六.（本题10分）
求圆锥面z =,圆柱面221x y +=及平面0z =所围 立体的体积.
七.（本题10分）求幂级数1
12
n n n nx -∞
=∑的收敛域及和函数.
八.（本题6分）证明:11
d ()d (1)()d ,y y f x x x f x x =-⎰⎰⎰其中()f x 在[0,1]上连续.
《高等数学》下 期末试卷（综合卷）
一．填空题（本题满分15分，每小题3分）
1. 已知向量(2,3,1),(1,2,3),(2,1,2)a b c =-=-=，求向量a b ⨯在向量c 上的投影 .
2. 求经过三点(3,1,0),(1,4,1),(2,5,2)--的平面方程 .
3. 函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，''(1,1)1,(1,1)2,(1,1)3,x y f f f ===-函数 (,)((,),(,))x y f f x y f x y ϕ=，求
(1,1)|x
ϕ
∂=∂ (1,1),|y ϕ∂=∂ . 4. 幂级数2
2(3)n
n x n n
∞
=--∑ 的收敛域是 . 5. 函数()e ,10
1,01x x f x x ⎧-≤<⎨≤≤⎩
=的傅里叶级数的和函数)(x s 在点4x =-处收敛
于 ，在点5x =处收敛于 .
二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内.
1. 设L 为椭圆13
42
2=+y x ，并且其周长为S ，则22(3412)d L x y s ++⎰= .
A. S B . 6 S
C . 12 S
D . 24 S
2. xoy 平面上的曲线12+=x y 绕直线0=y 旋转所得旋转曲面的方程为 .
A. 1222+=+x z y
B. 2222)2(+=+x z y
C. 122++=z x y
D. 222++=z x y
3. 设函数(),f x y 在点()0,0附近有定义，且()0,03x f =，()0,01y f =，则下列结论成立的是 .
A . ()0,0d 3d d z x y =+
B. 曲面(),z f x y =在点()()0,0,0,0f 的法向量为()3,1,1
