同济大学高等数学期中考试试题及解答

高等数学c2期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解？A. \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \)B. \( y = Ax^2 + Bx \)C. \( y = Ae^x + Be^{-x} \)D. \( y = A\log(x) + Bx \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的极值点个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是？A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A6. 积分 \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) 的结果是？A. \( \arctan(x) + C \)B. \( \ln(1+x^2) + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin(x) + C \)答案：A7. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( \ln(e^x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \ln(x^2) \)答案：A9. 以下哪个选项是函数 \( y = x^2 \) 的二阶导数？A. \( 2x \)B. \( 2 \)C. \( 4x \)D. \( 4 \)答案：B10. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分值是？A. \( 2 \)B. \( 0 \)C. \( \frac{2}{\pi} \)D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。

一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)1、行列式10110111中21a 的代数余子式21A = 1 .2、矩阵302101153049217C -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭中的元素23c = 75 .3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .(A). ()TT T A A A A -=-(B). ,TAB B A =(C). ()()22A B A B A B -+=-(D).AB AC =且0A ≠则B C =4、设n 阶方阵A ,B ,C 满足等式 ABC E = (E 为单位矩阵)，则等式 A 成立.(A). BCA E = (B). BAC E =(C).ACB E =(D). CBA E = 5、设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123112233123333b b b B a c a c a c cc c ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100013001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则有 C(A). 21P AP B = (B). 12PAP B = (C). 21P PA B = (D). 12APP B =6、设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A , A =12，则1*(3)2A A --=1627-. 7、 已知方阵A 满足3A A E O --=, 则()1A E --=2A A +.8、设A 是()m n m n ⨯<.矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，秩1()R AC r = , 则 C .(A).1n r r >>, (B ).1r r n >>, (C). 1r r =, (D). 1r n =二、(12分)行列式1357246813301111D =- 求211A +412A －213A +14A . 解: 211A +412A －213A +14A =24212468'13301111D -=-2421000024682468'01330133011111111D -===--三、（6分）已知A 为3阶方阵，P 为3阶可逆阵，且满足1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解: 由1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭知10011003100010001PA P E -⎛⎫⎪=-= ⎪⎪⎝⎭,故100133A E E P P -==四、(6分)设矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 求1A -.解:方法1:012100114010210001r B ⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭10021101042131001122⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故121142131122A -⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭方法2:2A =, *422842321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1*211142131122A A A -⎛⎫⎪- ⎪==- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭五、(12分)设331211223132222x x a x x x a x x x x a-+=⎧⎪-+=-=+⎨+⎪⎩，证明这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑证: 方程组增广矩阵1121232110332000ra B a a a a a -⎛⎫⎪−−→-+ ⎪ ⎪++⎝⎭, 则()2R A =, \而()2R B =当且仅当1230a a a ++=, \ 因方程组有解当且仅当()()R A R B =,故这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑六、(10分)设121212a a A b b c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111222x y z B x y z ⎛⎫=⎪⎝⎭, (1). 求AB ; (2).求行列式AB . 解 (1).112211221122112211221122112211221122a x a x a y a y a z a z AB b x b x b y b y b z b z c x c x c y c y c z c z +++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭(2). 由()min{(),()}()2R AB R A R B R A ≤≤≤. 故AB 不是满秩的, 故0AB =七、(本题15分)设n 阶方阵,A B 满足A B AB +=(1). 证明A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 若200030004B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A .(3). 等式AB BA =是否成立? 为什么?(1)证:由A B AB +=及()()A E B E AB A B E --=--+知()()A E B E E --=\故A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 由A B AB +=知()A B E B -=,而100020003B E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆,故1()A B B E -=-1002002001303000002200414000033⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3). 等式AB BA =成立. 由()()()()A E B E A E B E E --=--=, 故AB A B E BA B A E --+=--+ 故AB BA =八、(15分)设线性方程组12321231232121x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪-++=-+⎨⎪++=⎩， 问当λ取何值时，(1). 此方程组有唯一解? (2). 此方程组无解?(3). 此方程组有无穷多解?解:()211211121,11B A b λλλ⎛⎫ ⎪== ---+ -⎪⎪⎝⎭()()112211111A λλλλ-=-=-++(1)当2λ≠- 且1λ≠-时,A 可逆, 此方程组有唯一解. (2)当2λ=-时,112111222111B --⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ 103001500001r ⎛⎫ ⎪−−→ ⎝-⎭-⎪⎪此时()2R A =,()3R B =,方程组无解 (3).当1λ=-时,112111111111B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 110100100000r --⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭此时()()23R A R B ==<, 方程组有无穷多解.。

同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器）一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）1. 抛物线的准线方程为________．2. 若与a 的等差中项为18，则实数a 的值为__________．3. 在的二项展开式中，常数项等于_______.4. 函数的导数_________________.5. 已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________．6. 现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．7. 一个圆锥的表面积为，母线长为，则其底面半径为______.8. 已知等比数列的公比为，且，则__________．9. 已知正四棱锥底面边长为，则它体积为__________．10. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_______．11. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左支交于A ，B 两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为______．12. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）13. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的的2y x =3a +61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()ln f x x x =()f x '=A B A A ()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=00,01,02,,18,19 952260004984012866175168396820274377236627096623925808564389099006482834597418582977814964608925π56{}n a 125342a a a =8a =30︒{}n a n 221n S n n =+-{}n a 1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F 112AF F B = O 2OF B C ()(21)x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x <a ,m n ,αβn β⊥是（ ）A. ，且B. ，且C ，且 D. ，且14. 设，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 15. 某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（ ）．A. 剩下的8个评分的众数为7.8B. 原来的10个评分的80％分位数8.3C. 剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小D. 剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小16. 设数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，下列正确的命题是（ ）①可能为等差数列；②可能为等比数列；③均能写成的两项之差；④对任意，总存，使得．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）17. 在三棱柱中，平面ABC ，，D 为AB 中点，．.的在的//αβn ⊂α//m n m β⊥m n ⊥m β⊂m n ⊥//m β()5501521x a a x a x -=+++ 01a =123451a a a a a ++++=024121a a a ++=-135121a a a ++={}n a n n S n m n m S a ={}n a {}n a (2)i a i ≥{}n a N,1n n ∈≥N,1m m ∈≥n m a S =111ABC A B C -1CC ⊥AC CB ⊥12AC CB CC ===（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．18. 已知数列满足，，数列满足，．（1）求证：为等差数列，并求通项公式；（2）若，记前n 项和为，对任意的正自然数n ，不等式恒成立，求实数的范围．19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分．先按照考生原始分从高到低按比例划定,共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，和E 级排名各占比5％，其余各级排名各占比10％．现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中至少有一人原始成绩在内的概率；（2）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差1AC ∥1B CD 1AC 1B CD {}n a 12a =1122n n n a a ++=+{}n b 11b =12121n n n b b n ++=-2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 11n n n c b b +={}n c n S n S λ<λ,,,,,,,A A B B B C C C ++-+-,,D D E +A +[)60,70[)70,80[)60,70[)80,9083x =218s =[]90,10090y =，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差s （结果精确到0.1）．20. 已知曲线．（1）当时，若曲线交轴于、两点，为曲线上异于、的点，求直线、的斜率之积；（2）若直线与曲线交于、两点，①当时，求面积的最大值；②当实数为何值时，对任意，都有为定值？并求出的值．21. 已知函数．（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性及极值；（3）若，任意且，都有成立，求实数m 的取值范围．2210s =[]80,100z []80,100()22:2,E ax y m a +=∈R 1a =-E y A B M E A B MA MB :1l y mx =+E C D 2a =COD △a m ∈R OC OD ⋅ T T ()()3143f x ax x a =-∈R 4a =()y f x =()()1,1f ()f x 1a =12,x x ⎡∈⎣12x x ≠()()1212ln ln f x f x m x x -<-同济大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，共54分）【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】##【3题答案】【答案】-20【4题答案】【答案】.【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】18【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】##【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】【11题答案】【12题答案】14x =-33216.5ln 1x +0.4223180.125122,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】二、选择题（13～14题每题4分，15～16题每题5分，共18分）【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（17～19每题14分，20～21题每题18分，共78分）【17题答案】【答案】（1）证明略（2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1） （2）；【20题答案】【答案】（1） （2；②，【21题答案】【答案】（1） 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2n n a n =⋅1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭71085 4.3113a =2T =-83y =-（2）答案略（3）m。

高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。

3.(,)limx y →= 。

4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。

5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。

3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。

2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。

2024学年同济大学二附中高二数学第一学期期中考试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.2.半径为2的球的表面积为________.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.7.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16 B.18 C.20 D.2215.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0B.1C.2D.316.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.同济大学第二附属中学2024学年第一学期期中考试高二年级数学学科试卷满分：150分，完成时间：120分钟一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.【答案】平行或异面【解析】【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.故答案为：平行或异面2.半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】【分析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】2R = ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.3.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱11AD AA ==，2AB =，则异面直线BD 与11B C 所成角的余弦值为______．【答案】5【解析】【分析】由定义说明DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，然后计算．【详解】因为11//B C BC ，所以DBC ∠是异面直线BD 与11B C 所成角或其补角，在直角BDC中，BD ==，5cos 5BC CBD BD ∠===，故答案为：5．4.在四面体P ABC -中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0n = ，且()2,2,1CP =- ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．【答案】【解析】【分析】根据点面距公式代入计算即可得.【详解】由点面距公式得d n CP n ==⋅==故答案为：5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.【答案】2π【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.【详解】设圆锥底面圆半径为r ，则该圆锥底面圆周长为2r π，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2π，依题意，22ππ=r ，解得1r =，显然圆锥的母线长2l =，则圆锥侧面积2S rl ππ==，所以圆锥的侧面积为2π.故答案为：2π6.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形OA B C '''，且//OA B C '''，24OA B C '''==，2A B ''=，则该平面图形的面积为_________.【答案】122【解析】【分析】首先求出OC '，再画出平面图形，从而求出其面积.【详解】因为24OA B C '''==，2A B ''=，所以()2242222OC '=-+=由直观图可得如下平面图形，则24OA BC ==，242OC OC '==，所以()124222OABC S =⨯+⨯=.故答案为：1227.三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC ==，则顶点P 在平面ABC 内的射影O 是ABC V 的______．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）【答案】外心【解析】【分析】由已知可得顶点P 在底面ABC 上的射影O 到底面三角形三个顶点的距离相等，即O 为ABC V 的外心.【详解】如图，设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，则⊥PO 平面ABC ，连接OA ，OB ，OC ，OA ，OB ，OC 在平面ABC 内，∴PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，∴POA ，POB V ，POC △都是直角三角形，PA PB PC ==，∴POA ，POB V 和POC △三个三角形全等，从而有OA OB OC ==，所以O 为ABC V 的外心.故答案为：外心.8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若四边形对角线2==AC BD ，对角线AC 与BD 所成的角为π3，则FH =______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知四边形EFGH 为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为π2π,33，再由所给边长即可求得FH 的长.【详解】如图，由,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，得1////,12EF AC HG EF HG AC ===，1////,12EH BD FG EH FG BD ===，则四边形EFGH 为菱形，又AC 与BD 所成的角为π3，于是直线EF 与EH 所成角为π3，即菱形EFGH 的边长为1，相邻两个内角分别为π2π,33，即π3FEH ∠=或2π3FEH ∠=，当π3FEH ∠=时，1FH EF ==,当2π3FEH ∠=时，2sin60FH EF ==所以1FH =或FH =故答案为：19.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】【详解】设球半径为r ，则12=B 2×243B 3=32．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．10.已知二面角AB αβ--为30°，P 是半平面α内一点，点P 到平面β的距离是1，则点P 在平面β内的投影到AB 的距离是_________．【解析】【分析】设点P 在平面β内的投影为点Q ，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，证明POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，再解Rt POQ △即可.【详解】如图，设点P 在平面β内的投影为点Q ，则PQ β⊥，1PQ =，作PO AB ⊥于点O ，连接OQ ，因为PQ β⊥，,OQ AB β⊂，所以,PQ AB PQ OQ ⊥⊥，又,,,PO AB PO PQ P PQ PO ⊥⋂=⊂平面POQ ，所以AB ⊥平面POQ ，又OQ ⊂平面POQ ，所以AB OQ ⊥，所以POQ ∠即为二面角AB αβ--的平面角，所以30POQ ∠=︒，在Rt POQ △中，30,1POQ PQ ∠=︒=，所以OQ =即点P 在平面β内的投影到AB11.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____【答案】12【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.【详解】设圆锥的母线长为l,则以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，又圆锥的侧面积为π33πl l ⨯⨯=，因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，所以2π43πl l =⨯，解得12l =，故答案为：1212.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.【答案】1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】连接AP ，由线面垂直的性质得到1A A AP ⊥，再由勾股定理求出0||2AP ≤≤，即可得到P 以A 为圆心2为半径的14圆面上，再根据1111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ 得到当P 在边AD 上时四面体的体积最大，当P 在边AB 的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.【详解】连接AP ，如图所示，因为1A A ⊥平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以1A A AP ⊥，∵14A A =，由145A P ≤≤2211||A P AP AA =+，则0||2AP ≤≤；所以P 在以A 为圆心2为半径的14圆面上，由题意可知，11113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ ，所以当P 在边AD 上时，四面体1P A BC -的体积的最大值是1132444323⨯⨯⨯⨯=.所以当P 在边AB 的中点时，PBC S 的面积取得最小值，此时14242PBC S =⨯⨯=△，所以四面体1P A BC -的体积的最小值是1164433⨯⨯=，所以11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式13V Sh =，通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.二、选择题（共4小题，第13、14题每题4分，15、16题每题5分）13.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论.【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面.而“l 垂直于α内的两条直线”，没有满足相交，所以不一定能推出直线与平面垂直，但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线，即可得：“l 垂直于α内的两条直线”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B .14.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A.16B.18C.20D.22【答案】A【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为14CD AB =，且//,12CD AB BD =，设圆锥的母线长为l ，根据相似比可得1214CD ED l AB EB l -===，解得16=l ，即原圆锥的母线长为16.故选：A.15.m n 、为空间中两条直线，αβ、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是[)0,π；②经过3个点有且只有一个平面；③若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α．④若m n 、为两条异面直线，且//,//,//,//m n m n ααββ，则//αβ．A.0 B.1C.2D.3【答案】B【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④【详解】对于①，二面角的范围是[]0,π，①错；对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错对于③，若m n 、为两条异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则n 与α可能平行也可能相交，故③错误；对于④，因为//,//m m αβ，过直线m 作平面γ，使得,b a γαβγ== ，由线面平行的性质定理可得//,//m a m b ，则//a b ，因为,a b αα⊄⊂，则//a α，因为//,//αβn n ，过直线n 作平面ϕ，使得,d c ϕαβϕ== ，由线面平行的性质定理可得//,//n c n d ，则//c d ，因为,c d αα⊄⊂，则//c α，若//a c ，则//m n ，这与m n 、为两条异面直线矛盾，故,a c 相交，又因为,a c β⊂，所以//αβ，故④对，故选：B16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF 【答案】C 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又AC BC ⊥，且1AA AC A = ，则⊥BC 平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由AC BC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由⊥BC 平面11AAC C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C三、解答题（本题满分78分，共5小题）17.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别是1111C D CC AA 、、的中点．（1）证明：//MN 平面11ABB A ．（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小．（结果用反三角表示）【答案】（1）证明见解析（2）arccos 10【解析】【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行.（2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.【小问1详解】如图：连接1A B ，1D C .因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//A B CD .又，M 、N 分别是11C D 、1CC 的中点，所以1//MN CD ，所以1//MN A B ，1A B ⊂平面11ABB A ，MN ⊄平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A .【小问2详解】如图：连接PC 、1PD 因为1//MN CD ，所以1PDC ∠即为异面直线MN 与1PD 所成的角，设为θ.在1PCD V 中，221111145PD PA A D =+=+=，122CD =，2221443PC PA AB BC =++=++=.所以2221111cos θ2D P D C PC D P D C +-=⨯⋅10102522==⨯⨯.所以异面直线1PD 与MN 所成的角为：10arccos10.18.如图，已知PA ＝AC ＝PC ＝AB ＝a ，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）6arcsin4【解析】【分析】（1）推导出PM AC ⊥，PM AB ⊥，由此能证明PM ⊥平面ABC ；（2）连结BM ，则PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角，由此能求出直线PB 和平面ABC 所成的角．【小问1详解】证明：因为PAC 为等边三角形，且M 为AC 的中点，所以PM AC ⊥．又PA AB ⊥，AC AB ⊥，且PA AC A = ，所以BA ⊥平面PAC ．又PM 在平面PAC 内，所以BA PM ⊥．因为AB AC A ⋂=，且BA PM ⊥，PM AC ⊥，所以PM ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：连结BM ，由（1）知PM ⊥平面ABC ，所以PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角．因为PAC 为等边三角形，所以32PM a =.又PAB 为等腰直角三角形，且π2∠=PAB ，所以PB =．因为PM BM ⊥，所以sin 4PBM PM PB ∠==，则arcsin4PBM =∠所以直线PB 和平面ABC 所成的角的大小等于6arcsin4．19.现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若m 6AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）3312m（2），2【解析】【分析】（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据面积关系建立函数解析式，()S x =，然后利用二次函数性质求其最值.【小问1详解】由12PO =知1148OO PO ==.因为116A B AB ==，所以正四棱锥1111P A B C D -的体积()22311111=6224m ;33V A B PO ⋅⋅=⨯⨯=锥正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积()2231=68288m .V AB OO ⋅=⨯=柱所以仓库的容积()324288312m V V V =+=+=锥柱.【小问2详解】设1m PO x =，下部分的侧面积为()S x ，则14m OO x =，1111A O A B ==111()46)S x A B OO x =⋅==<<，设()()()222422363618324f x xx xx x =-=-+=--+，当218x =，即x =max ()324f x =，max ()S x =即当1PO 为2.20.如图，AB 是圆柱的底面直径，2AB =，PA 是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的表面积；（2）证明：平面PBC ⊥平面PAC ；（3）若1AC =，D 是PB 的中点，点E 在线段PA 上，求CE ED +的最小值．【答案】（1）6π（2）证明见解析（3【解析】【分析】（1）根据圆柱求表面积公式即可求解.（2）先证⊥BC 平面PAC ，再利用面面垂直的判定定理判定即可.（3）先分析得将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，通过解三角形求C D '即可.【小问1详解】根据题意，圆柱的底面半径12ABr ==，圆柱的高2h PA ==，圆柱的上下底面积和为222π2πS r ==底，圆柱的侧面积为2πr =4πS h =⋅侧，所以圆柱的表面积为26πS S S =+=底侧【小问2详解】由题意可知，PA ⊥底面ABC ，⊂BC 底面ABC ，则PA BC ⊥，由直径所对的圆周角为直角，可得BC AC ⊥，又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ，又因为⊂BC 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC 【小问3详解】将PAC 绕着PA 旋转到PC '，使其与PAB 共面，且C '在AB 的反向延长线上，当D ，E ，C '三点共线时，CE ED +的最小值为C D '，因为2PA =，2AB =，PA AB ⊥，PB ==2tan 12PA PBA AB ∠===，所以π4PBA ∠=，12BD BP ==，213BC BA AC '=+=+=，所以在三角形C BD '中，由余弦定理可得C D ='，所以CE ED +.21.已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形.（1）求证：AC PD ⊥；（2）求点D 到平面PBC 的距离；（3）若点E 是线段AD 上的动点，问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点E 此时所在的位置.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）E 在线段AD 上靠近D 点的14处，4sin 5θ=【解析】【分析】（1）由题可得⊥PO 平面ABCD ，故⊥PO AC .根据菱形的性质可得BD ⊥AC ，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）根据题干数据结合D PBC P BDC V V --=即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得AD ∥平面PBC ，可得E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h ，过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，要使θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥，从而可求解.【小问1详解】因为点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与BD 的交点O ，所以⊥PO 平面ABCD .因为AC ⊂平面ABCD ，所以⊥PO AC .因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .因为,,PO BD O PO BD ⋂=⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD .因为BD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥.【小问2详解】由题意可得ABD △、BCD △与PBD △都是边长为2的等边三角形，所以PO AO CO ===，122BDC S =⨯=△.所以PC =因为2BP BC ==，所以122PBC S ==△.设点D 到平面PBC 的距离为h ，由D PBC P BDC V V --=得1133PBC BDC S h S OP ⋅=⋅△△，=5h =.故点D 到平面PBC 的距离为5.【小问3详解】设直线PE 与平面PBC 所成的角为θ，AD BC AD ⇒∥∥ 平面PBC ，∴E 到平面PBC 的距离即为D 到平面PBC 的距离h .过E 作垂线⊥EF 平面PBC 交于点F ，则EPF θ=∠，此时sin EF PE θ=θ最大，则需使PE 最小，此时PE AD ⊥.由题意可知：1,OD OA ==，因为⊥PO 平面ABCD ，且PO =，所以PA ==，2PD ==，在PAD △中，由余弦定理可得：222cos24AP AD PD PAD AP AD +-∠==⋅，所以sin 4PAD ∠=，由面积相等11sin 22PAD S AP AD PAD AD PE =⋅∠=⋅ ，即1122242PE ⨯=⨯⨯，经计算得，2PE =12DE ==，则4sin 5θ=，此时E 在线段AD 上靠近D 点的14处.。

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。

2024-2025学年上海市杨浦区同济大学一附中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 如果直线l 不平行于平面α，那么平面α内不存在与l 平行的直线B. 如果直线l//平面α，平面α//平面β，那么直线l//平面βC. 如果直线l 与平面α相交，平面α//平面β，那么直线l 与平面β也相交D. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面β2.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间(小时)7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，93.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过点(−a,0)且倾斜角为34π的光线，经直线y =−b 反射后过C 的右焦点，则C 的离心率为( )A. 35B. 23C. 34D. 454.定义：如果函数y =f(x)在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)，满足f′(x 1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y =f(x)是区间[a,b]上的一个双中值函数，已知函数f(x)=x 3−65x 2是区间[0,t]上的双中值函数，则实数t 的取值范围是( )A. (35,65)B. (25,65)C. (25,35)D. (1,65)二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式x−2x +1≤0的解集是______．6.已知复数z =1+i(i 是虚数单位)，则|1−iz|= ______．7.已知x >0，y >0，xy =1，则1x +2y 的最小值为______．8.若α∈(π2,π),cos (π−α)=35，则tanα= ______．9.若A(1,2)、B(−3,4)、C(5,m)三点不能构成三角形，则m = ______．10.某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有______种．(用数字作答)11.已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n .若a 1=1，a 3=5，S n =64，则n =______．12.过直线y =x 上一点作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l 1，l 2，当l 1，l 2关于直线y =x 对称时，l 1，l 2的夹角的大小为______．13.已知函数f(x)=lnx−ax−2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为______．14.如图，正六边形的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA ⋅MB 的取值范围是______．15.已知(1+2024x )50+(2024−x )50=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 50x 50，其中a 0，a 1，a 2，…a 50∈R ，若a k <0，k ∈{0,1,2,…,50}，则实数k 的最大值为______．16.已知数列{a n }满足：对于任意正整数n 有a n ∈(0,π2)，且a 1=π4,f(a n +1)=f′(a n )，其中f(x)=tanx ，若b n =(−1)ntana n +1−tana n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 440= ______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

高数考试一．填空（共15分） 1.13lg(1)=++-y x x 的定义域是 ;2.e ,0,()0,0;已知在连续，则⎧<===⎨+≥⎩ x x f x x a a x x ;()ln 13.lim1cos →+=-x x x x.4.设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-则(0)='f .5.曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 .答案：一.1.[-3,0)∪(0,1); 2.1a =; 3.2; 4. (1)!-nn ；5.21,e ⎛⎫⎪⎝⎭二.选择（共15分） （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ A ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）当n →∞时，1sinn n是一个（D ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （5）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（C ）.A.52B.25C.1D.∞ 三. 计算和解答(共70分)1. 求下列极限：（10分） ()2cot 2.lim 13tan ;→+xx a x0e 1.lim(e 1)→---x x x x b x 解：()()2231cot 2233tan 0.lim 13tan lim 13tan →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦xx x x a xx e ｂ． 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.32.arccos3-=-x y 求3x y ='.（5分）解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：（10分）(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；解： d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t t x x a t t t===--， 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---4.1e 求由方程确定的二阶导。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

04-05-2学期《高等数学》期中考试参考答案一、填空与选择题(每小题4分, 共32分)1．以曲线⎩⎨⎧==+xz zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是____x 2+y 2-2x =0____.提示: 这实际上是求曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222关于xoy 面的投影柱面的方程.将方程⎩⎨⎧==+xz zy x 222中的z 消去得x 2+y 2=2x , 这就是投影柱面的方程.2．曲线⎩⎨⎧==-+00422y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是.答: x 2+y 2+z 2-4z =0. 提示:将方程x 2+z 2-4z =0中的x 换成22y x +±, 得 x 2+y 2+z 2-4z =0.3．直线11231-=-=-z yx 与平面3x +4y -z =2的位置关系是( C )(A)平行; (B)垂直; (C)直线在平面内; (D)相交但不垂直. 提示: 直线的方向向量为s =(3, -2, 1), 平面的法线向量为n =(3, 4, -1).因为s ⋅n =0, 所以直线与平面平面. 又因为直线上的点(1, 0, 1)满足平面方程, 所以直线是在平面上的.4．设z =x sin(2x +3y ), 则yx z∂∂∂2=______;解 )32cos(2)32sin(y x x y x xz +++=∂∂,)32s i n (6)32c o s (32y x x y x yx z +-+=∂∂∂.5．函数f (x , y , z )=x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向a ={2, -1, 2}的方向导数为____; 解 f x (1, 1, 1)=(3x 2y 2z )|(1, 1, 1)=3, f y (1, 1, 1)=(2x 3yz )|(1, 1, 1)=2, f z (1, 1, 1)=(x 3y 2)|(1, 1, 1)=1; )2 ,1 ,2(31-=a e .于是 2321)31(2323=⋅+-⋅+⋅=∂∂a f.6．曲线⎩⎨⎧+==222y x z x y 在点(1, 1, 2)处的切线方程为( ). (A)822111-=-=-z y x ; (B)622111-=--=-z y x ; (C)64211+=+=z y x ; (D)822111-=--=-z y x . 提示: C曲线的参数方程为x =t , y =t 2, z =t 2+4t 4. 点(1, 1, 2)所对应的参数为t =1. 曲线在点(1, 1, 2)处的切向量为T =(1, 2t , 2t +4t 3)|t =1=(1, 2, 6).7．设平面区域D : 1≤x 2+y 2≤4, 则⎰⎰+Ddxdy y x f )(22=( ).(A)⎰20)(2dr r rf π; (B)⎰20)(dr r f π; (C)⎰21)(2dr r rf π; (D)⎰21)(dr r f π.答: C . 提示:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+21212022)(2)()()(dr r rf dr r rf d rdrd r f dxdy y x f DDπθθπ.8．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得____⎰⎰110),(ydx y x f dy ____.二、解下列各题:1. 求经过直线121111-=-+=-z y x 和点(3, -2, 0)的平面方程(8分).解法一: 已知直线的一般方程为⎩⎨⎧-=---=-2111z x y x , 即⎩⎨⎧=+-=+010z x y x .过已知直线的平面束方程为 x +y +λ(x -z +1)=0.将点(3, -2, 0)代入x +y +λ(x -z +1)=0得 41-=λ.于是所求平面的方程为0)1(41=+--+z x y x , 即3x +4y +z -1=0.解法二: 由题意知所求平面的法线向量n 与向量l =(1, -1, 1)及s =(3, -2, 0)-(1, -1, 2)=(2, -1, -2) (4分) 都垂直, 故212111---=kj i n =3i +4j +k , (2分)所求平面的方程为3(x -3)+4(y +2)+(z -0)=0, 即3x +4y +z -1=0. (2分)2．已知z =(x +sin y )xy , 求xz ∂∂(8分).解 设u =x +sin y , v =xy , 则z =u v . (2分)y u u vu xv v z x u u z x z v v ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-ln 11 (4分))s i n l n ()s i n ()s i n (1y x y x y y x xy xy xy ++++=-. (2分)3. 设函数z =z (x , y )由方程(z +1)ln y +e xz -1=0确定. 求yz ∂∂在(1, 1, 0)处的值(8分).解 设F =(z +1)ln y +e xz -1. (2分) 因为在(1, 1, 0)处11)0,1,1(=+=yz F y , 1)(ln )0,1,1(=+=xz z xe y F , (4分)所以在(1, 1, 0)处111-=-=-=∂∂z y F Fy z . (2分)4. 求曲面z =x 2+y 2平行于平面x +y -2z =0的切平面方程(8分). 解 曲面z =x 2+y 2上点(x , y , z )处的法向量为n =(2x , 2y , -1). (2分) 令(2x , 2y , -1)=λ(1, 1, -2), 得21=λ. (2分)当21=λ时, 41=x , 41=y , 81=z .(2分)所求切平面的方程为0)81(2)41()41(=---+-z y x , 即0412=--+z y x . (2分)5. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值(10分).解 令⎩⎨⎧=+==+++=0)1(20)2(2)12(2222y e f y y e x e f xy x x x , (2分) 得驻点)1 ,21(-. (2分) f xx =e 2x (4x +3), f xy =4e 2x (y +1), f yy =2e 2x . (2分) 在驻点处f xx =5e , f xy =0, f yy =2e .因为f xx ⋅f yy -f xy 2=5e ⋅2e =10e 2>0, f yy =5e >0, (2分)所以点)1 ,21(-为函数的极小值点, 极小值为e f 21)1 ,21(-=-. (2分)三、解下列各题1．计算积分dy e dx I x y ⎰⎰-=222. (9分)解: 按原积分次序难以积分, 故交换积分次序. 积分区域为D : 0≤x ≤2, x ≤y ≤2, 画出积分区域图形 (1分)积分区域又可表为0≤y ≤2, 0≤x ≤y , (2分) 故 ⎰⎰⎰⎰--==yy xy dx e dy dy e dx I 0202222(2分)⎰-=22dy ye y (2分))1(214--=-e . (2分)2．计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )(, 其中Ω是由曲面22y x z +=与221y x z --=围成(9分).解 画出积分区域图形 (1分)积分区域Ω关于yOz 面对称并且f (x )=x 是x 的奇函数, 所以f (x )=x 在Ω上的三重积分为零.(1)在柱面坐标下积分区域Ω可表示为21 ,220 ,20 :r z r r -≤≤≤≤≤≤Ωπθ, (2分)于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d V dV z x )(⎰⎰⎰-=212220r rz r d z drd πθ(4分)8)1(2122222ππ=--⋅=⎰dr r r r .(2分)(2)采用先二后一的方法. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≤+≤++=222222112121z y x z y x zdxdy dzzdxdy dz8)1(12122103πππ=-+=⎰⎰dz z z dz z .(3)利用球面坐标: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⋅=124020s i n c o s dr r r d d ϕϕϕθππ⎰⎰⎰=134020s i n c o s dr r d d ππϕϕϕθ 8|41|s i n 2120104024πϕππ=⋅⋅+=r .3．求由z =4-x 2-y 2及z =0所围成的立体的体积(8分). 解: 画出立体图形 (1分)所求立体的体积可以看成是以曲面z =4-x 2-y 2为顶, 以区域x 2+y 2≤4为底的曲顶柱体的体的体积.⎰⎰≤++=42222)(y x dxdy y x V (2分)⎰⎰⋅-=20220)4(ρρρθπd d (3分)πρρπ8|)412(22042=-⋅=. (2分)高等数学试卷试卷号：B020017校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________（请考生注意：本试卷共 页）一、解答下列各题(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)对函数在上验证拉格朗日中值定理的正确性f x x ()arctan [,].=01 2、(本小题4分)指出x y z 222441+-=的类型，它是由yoz 平面上的什么曲线绕什么轴旋转而产生的？3、(本小题5分)处连续．在之值，使补充定义　0)()0()0()2tan arcsin()(=≠=x x f f x xxx f 二、解答下列各题(本大题共6小题，总计31分) 1、(本小题1分).,d 2是常数其中求　a x x a ⎰ 2、(本小题5分)．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim2n n n n 3、(本小题6分)设　求y xdy =-arcsin,.124、(本小题6分)[][]．试求，，上连续，且，在设)( , )()()()( x F b a x dt t f t x x F b a x f xa''∈-=⎰5、(本小题6分)设A x y z B x y z C x y z (,,),(,,),(,,)111222333为空间不共线的三点，以点P x y z (,,)000为相似中心，将∆ABC 伸缩成∆A B C '''（如图），使面积之比S S k A B C ABC∆∆'''=。

1同济二附中2023学年第一学期高一年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}10A x x =+=，{}0,1B =，则A B = ______． 2．已知(){},2Mx y x y =+=，(){},4N x y x y =−=，则M N = ______． 3．已知全集U =R ，集合{}2560Ax xx =−−≥，则A =______．4．已知集合{}{}21,1,,4m m ⊆，则实数m 的取值集合为______． 5．下列命题中真命题的编号是______． �2210mx x +−=是一元二次方程； �空集是任何非空集合的真子集； �互相包含的两个集合相等；�若22a cb b>，则a c >； �满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊂⊂的集合M 有7个．6．不等式2440x ax ++>的解集为R ，则a 的取值范围是______．7．已知关于x 的方程20x mx m ++=的两个实数根是1x ，2x ，若22123x x +=，则实数m的值为______．8．若0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的______条件． 9．若集合(){}2620Ax axa x =+−+=有且仅有两个子集，则实数a 的值为______．10．不等式23x x m ++−≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是______． 11．已知不等式()19a x x y y ++≥对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是______．12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A BA B B A B A−≥ ∗=−> ，若{}0,1A =，2()(){}2230Bx xax x ax =+++=，1A B ∗=，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______．二、选择题（本题满分18分，共4小题，13、14每题4分，15、16每题5分） 13．用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（ ）． A ．任意三角形都没有钝角 B ．存在一个三角形恰有一个钝角 C ．任意三角形都有两个钝角D ．存在一个三角形至少有两个钝角14．已知,a b ∈R ，且0a b <<，则下列不等关系中正确的是（ ）． A ．11a b< B ．2b aa b +> C．2a b +> D ．b aa b> 15．已知集合{}31x A x x =<−≥或，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．113a a −≤<B ．113a a −≤≤C ．{}10a a a <−≥或D ．10013a a a −≤<<<或 16．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax −>的解集中的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．()1,0−B ．()0,1C ．()1,3D ．()3,5三、解答题（本大题满分78分，共5小题）17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解下列关于x 的不等式或不等式组：（1）1ax a +<（a 为实数）（2）24505131x x x x −++>+<−318．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合{}13,A x x x =−>∈R ，(){}22210,B x x mx m x =−+−<∈R ．（1）当2m =时，求A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知3AB =米，2AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．420．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根． （1）若两根异号，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x −−=−成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； （3）求使12212x x x x +−的值为整数的实数k 的整数值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 定义{}12min ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最小数，{}12max ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最大数．（1）设a ，b 都是正实数，且1a b +=，求1max ,2ab； （2）解不等式：{}2min 1,3,123x x x x ++−>−； （3）设a ，b 都是正实数，求12max ,a b b a++的最小值．5参考答案一、填空题 1.{}1,0,1−; 2.(){}3,1−; 3.()1,6−; 4.{}2,0,2−; 5.���; 6.()8,8−; 7.1−; 8.充分不必要; 9.0218或或; 10.(]5−∞，； 11.[)4,+∞12.{0,− 11．已知不等式()19a x x y y ++≥对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是______． 【答案】[)4,+∞【解析】因为0,0x y >>,所以()11119,a ax yx y a a a x y y x ++=+++≥++++≥则0t ≥,则2280t t +−≥,解得2t ≥,故4a ≥, 即正实数a 的取值范围为[)4,+∞, 综上所述,答案:[)4,+∞ 12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A BA B B A B A−≥ ∗=−> ，若{}0,1A =，()(){}2230B x xax x ax =+++=，1A B ∗=，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______．【答案】{0,−【解析】根据题意,{}0,1A =,则有2A =,又因为()(){}2230B xx ax x ax =+++=∣即得B 表示方程()()2230x axxax +++=实数根的个数,解这个方程得(1)20x ax +=,或(2)230x ax ++=，解方程(1)得120,x x a ==,解方程(2)得, 若2120a −>,即a >或a <−时,方程有两个不等实根分别为634x x =若2120a −=,即a =−a =时,方程有且只有一个实根； 若2120a −<,即a −<<,方程没有实数根. 综上可得,()I当a >或a <−时,4B =;()II当a =−a =时,3B =；()III 当0a =时,1B=，所以(1)当A B …时,*1A B A B =−=,即得1B =,此时可得0a =； (2)当A B <时,即得3B =,此时可得a =−或a =; 故答案为:{0,−. 二、选择题13.D 14.B 15.A 16.C 15．已知集合{}31x A x x =<−≥或，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．113a a −≤<B ．113a a −≤≤C ．{}10a a a <−≥或D ．10013a a a −≤<<<或 【答案】A【解析】解法一(特殊值法):0a =时,B =∅,满足B A ⊆,因此D 错误;1a =时,{}1B x x =−∣…,不满足B A ⊆,因此B 、C 错误. 故选A.解法二:当0a =时,B =∅,满足B A ⊆;7当0a >时,1B x x a=−∣…,由B A ⊆得11a −<−,解得01a <<;当0a <时,1B x x a=−∣…,由B A ⊆得13a −…,解得103a −<…. 综上,实数a 的取值范围是113a −<…. 故选A.16．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax −>的解集中的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．()1,0−B ．()0,1C ．()1,3D ．()3,5【答案】C【解析】关于x 的不等式22()()x b ax −>,等价于()222120a x bx b −+−<, 转化为()][()110a x b a x b +−⋅−+< ,不等式的解集中的整数恰有3个,1a ∴>, 又01b a <<+,∴不等式的解集为111b bx a a −<<<−+,∴解集里的整数是2,1,0−−三个, 321ba ∴−−<−−…,231b a ∴<−…,即2233a b a −<−…; 又1b a <+ ,221a a ∴−<+,解得3a <,综上,a 的取值范围是()1,3. 故选:C . 三．解答题17.（1）分类讨论 （2）()1,1− 18.（1）()1,3（2）(][),35,−∞−∪+∞19.（1）()23,6,3∪+∞（2）当AN 为2米时,矩形花坛AMPN 的面积最小，为24平方米20．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根．8（1）若两根异号，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x −−=−成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； （3）求使12212x x x x +−的值为整数的实数k 的整数值． 【答案】（1）()1,0− （2）不存在（3）整数k 的值为-2或-3或-5.【解析】(1)略(2)12x x 、是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根,()20,0,161610k k k k k ≠ ∴∴< −+≥由根与系数的关系可得:121x x +=,121,4k x x k +=()()()2121212121322292942k x x x x x x x x k +∴−−=+−=−×=−解得95k =,而0k <,∴不存在实数k 使得()()12123222x x x x −−=−成立.(3)由根与系数的关系可得:()2121221124241x x x x x x x x k ++−=−=−+41k −+ 的值为整数,而k 为整数,1k ∴+只能取124±±±、、, 又0k <,∴整数k 的值为-2或-3或-5.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 定义{}12min ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最小数，{}12max ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最大数．（1）设a ，b 都是正实数，且1a b +=，求1max ,2ab； （2）解不等式：{}2min 1,3,123x x x x ++−>−；9（3）设a ，b 都是正实数，求12max ,a b b a++的最小值． 【答案】（1）11max ,22ab=（2）(),2−∞（31【解析】(1)由基本不等式2124a b ab + ≤=,所以11max ,22ab =(2)由于()223120x x x x +−+−+>,则min{1x +,}{}21,03,1min 1,11,0x x x x x x x x +< +−=+−=−≥当0x <时,原不等式可化为122x x +>−,即3x <,结合0x <得0x <; 当0x …时,原不等式可化为123x x −>−,即1123x x x ≥−>−或01123x x x ≤<−>−,解得12x <…或01x <…,即02x <…; 综上,原不等式解集为:(),2−∞; (3)设12max ,M a b b a=++,则12,M a M b b a ≥+≥+,于是2122M a b a b≥+++≥+,从而1M ≥+,当且仅当1a b 时取等号, 故12max ,a b b a++1+.。

2024—2025学年上海市同济大学第二附属中学高二上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是 ___________ . (★) 2. 半径为2的球的表面积为 ________ .(★★) 3. 已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ______ ．(★★) 4. 在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点到底面的距离为 _____________ ．(★★) 5. 已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为 ___________ . (★★) 6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为 _________ .(★★) 7. 三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的 ______ ．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”）(★★★) 8. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ______ ．(★★★) 9. 如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2的体积为V1 , 球O的体积为V2，则的值是 _____(★★★) 10. 已知二面角为，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是 _________ ．(★★★) 11. 如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为 _____(★★★★) 12. 如图，正方体的棱长为4，点P在正方形的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足的点P组成，则四面体的体积的取值范围 _________ .二、单选题(★) 13. 已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件(★★) 14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1: 4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（）A． 16B． 18C． 20D． 22(★★★) 15. 为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（）①二面角的范围是；②经过3个点有且只有一个平面；③若为两条异面直线，，则．④若为两条异面直线，且，则．A． 0B． 1C． 2D． 3(★★★) 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误．．的是（）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积的最大值为D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF三、解答题(★★★) 17. 如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点．(1)证明：平面．(2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示）(★★★) 18. 如图，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M为AC的中点．(1)求证：平面ABC；(2)求直线PB与平面ABC所成角的大小．(★★★) 19. 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.(1)若，，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？(★★★) 20. 如图，是圆柱的底面直径，，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．(1)求圆柱的表面积；(2)证明：平面平面；(3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值．(★★★) 21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.。