4.2.1 复数的加法与减法 课件1(高中数学选修1-2北师大版)

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1.若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z等于( D )
A.0
B.2i
C.6
D.6－2i
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
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2.已知复数 z1＝3m＋mi,z2＝2＋i,则当23<m<1 时,复数 z＝z1－z2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
.
题型一 复数加减法的运算
例1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； 解 原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
反思与感悟 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减 做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类 比多项式加减中的合并同类项.
思考 复数代数形式的加法法则是怎样规定的，你怎样理 解其规定的合理性. 答 对于两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)而言： (1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致； (2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立； (3)符合向量加法的平行四边形法则.
知识点二 复数加法的运算律
题型三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1,求|z1＋z2|. 解 方法一 设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1,① (a－c)2＋(b－d)2＝1② 由①②得2ac＋2bd＝1,
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1＋z2对应的点分别为A,B,C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴△OAB是边长为1的正三角形, ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形, 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长, ∴|z1＋z2|＝|O→C|＝ |O→A|2＋|A→C|2－2|O→A||A→C|cos 120°＝ 3.

[答案] 8
[解析] 由条件知 z＝z1＋z2， ∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i， 即(1＋b)＋(a－2)i＝－2＝4，
∴b＝2，a＝6，a＋b＝8．
3． 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， → → → 若向量OA、OB对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则CD对应的 复数是( ) B．－2＋4i D．4－2i A．2＋4i C．－4＋2i
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
数系的扩充与复数的引入
第四章 §2 复数的四则运算
第1课时 复数的加法与减法
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进
行化简、求值． 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
1．若z1＝3＋2i，z2＝－4＋i，则z1＋z2＝________，z1－z2
＝________．
[答案] －1＋3i 7＋i
2．在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， → → → 已知OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈ R)，则 a＋b＝________．
复数与复数相加减，相当于多项式加减
复数的加法的几个注意点 (1)复数的代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就按 规定进行运算． (2)复数加法中的规定，是实部与实部相加，虚部与虚部相
加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．
(3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．
(4)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．

类比联想，探究新知
证明 交换律：设 z1 a bi, z2 c di(a,b,c,d R), 有 z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i,
z2 z1 (c di) (a bi) (c a) (d b)i. 所以 z1 z2 z2 z1，即复数的加法满足交换律.
分析
z1 z2 a bi c di ， 由于期望加法结合律成立，故 z1 z2 (a c) (bi di)； 由于期望乘法对加法满足分配律，故 z1 z2 (a c) (b d)i.
规定 设 z1 a bi, z2 c di(a,b,c,d R)是任意两个复数， 则 z1 z2 (a c) (b d)i.
类比联想，探究新知
问题 3 复数的加法已得到，那么复数是否有减法呢？实数 的减法是通过引入实数的相反数得到，类似地，能 否通过引入复数的相反数来定义复数的减法呢？
分析 复数的相反数：即给定复数 z2，若存在实数 z ，使得 z2 z 0，则称 z 为 z2的相反数，记作 z z2.设 z2 c di 的相反数是 z x yi(c, d, x, y R)，则 z2 z (c x) (d y)i 0，解得 x c, y d ，即 z c di (c di) z2.
(
x
3i)
(1
yi)
2
5i,
x 3
1 2, y 5,
x y
3, 2.
z1 z2 (3 3i) (1 2i) 4 i.
练 4 在平行四边形 ABCD中, AC 与 BD相交于原点O ,向量
OA , OB 对应的复数为 3 i, 1 3i , 则 CD 对应的复数
为
.
分析 平行四对边的平行性联系到向量平行

把复数运算混淆为实数运算致误 [典例] 已知 M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则 M∩N＝________. [解析] 利用复数的几何意义解决问题，在复平面内，|z＋1|＝1 的几何意义是以点(－1,0) 为圆心，以 1 为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点 A(0,1)和点 B(0，－1)距离相等 的点的集合，是线段 AB 的垂直平分线，也就是 x 轴．M∩N 的几何意义是 x 轴与圆的公 共点对应的复数．故 z＝0 或 z＝－2. 所以 M∩N＝{0，－2}． [答案] {0，－2}
复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解 决问题．
2．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则
点 C 对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
解析：由题意知 A(6,5)，B(－2,3)，
探究二 复数加减运算的几何意义 [例 2] (12 分)如图，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试 求： (1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数； (3)B 点对应的复数．
[解析] (1)A→O＝－O→A， ∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)O→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对应的复数为 1＋6i.
A→C对应复数 z3－z1，A→B对应复数 z2－z1， A→D对应复数 z4－z1. 由复数加减运算的几何意义得A→D＝A→B＋A→C， ∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)， ∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i. ∴AD 的长为|A→D|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.