【探究提示】1.|C1C2|=r1+r2. 2.根据已知条件无法判断出两圆是内切还是外切,应分情况讨 论求解. 3.两圆外切时圆心距等于半径之和.当直线与圆相切时,圆心到 直线的距离等于圆的半径长.
【自主解答】(1)选C.圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为 r1=1， 圆C2:x2+y2－6x－8y+m=0的圆心为C2(3,4)，半径为 r2 = 25－m， 所以|C1C2|=5,r1+r2= 1+ 25－m， 因为圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2－6x－8y+m=0外切， 所以5=1+ 25－m, m=9.
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
2.(2014·济宁高一检测)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+
(y-3)2=1内切,则此圆的方程为
.
3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B两点,则直
线AB的方程是
.
【解析】1.选B.因为两圆的圆心距为 (2 + 2)2 + (1－0)2 = 17,
【解题探究】1.题(1)中判定两圆位置关系常用什么方法? 2.题(2)中解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应首先 如何处理? 【探究提示】1.判断两圆位置关系的常用方法是几何法. 2.解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准形 式,找到圆心坐标与半径的大小.
【自主解答】(1)选C.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1; 圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2.因为圆心距为 5 ,且 2-1< 5 <1+2,所以两圆相交. (2)对圆C1,C2的方程,经配方后可得:C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,所以圆心C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, 所以|C1C2|= (a－2a)2 + (1－1)2 =a.
【微思考】 (1)当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何? 提示:当两个不重合的圆的圆心距为零时,两个圆内含且为同心 圆. (2)当两圆仅有一个公共点时,此时两圆有怎样的位置关系? 提示:此时两圆外切或内切.
【即时练】
1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( )
A.21
B.19
C.9
D.-11
(2)已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方
程是
.
(3)求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+ 3 y=0相切于点M(3,- 3 ) 的圆的方程.
【解题探究】1.题(1)中两圆外切的条件是什么? 2.题(2)中由已知条件能否判断出圆C与圆O的相切情况?需要分 情况讨论求解吗? 3.题(3)中两圆外切时圆心距与半径之和有什么关系?当直线与 圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径有什么关系?
( ) (x－4)2＋y2＝4或 x2＋ y＋4
2
3 ＝36.
【延伸探究】将题(3)变为“求与圆x2＋y2－2x＝0内切且圆心 为M(3，- 3 )的圆的方程”，如何求解？ 【解题指南】首先判定出点M(3, - 3 )与已知圆的位置关系， 然后利用两圆相内切应满足大半径与小半径的差等于两圆心的 距离求解.
4.2.2 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系有哪几种?如何利用两圆的 问题
方程来判断它们之间的位置关系? 引航
2.两圆相切与相交的问题一般应如何处理?
已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=r12, C2：(x-x2)2+(y-y2)2=r22,
则圆心距d=|C1C2|=___(_x_1 _- _x_2_)_2 +__(_y_1 -__y_2_)2__.
① 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切．当|C1C2|=r1－ r2=3，即a=3时，两圆内切； ② 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交； ③ 当|C1C2|>5即a>5时，两圆外离； ④ 当|C1C2|<3即0<a<3时两圆内含．
【方法技巧】判断两圆位置关系的步骤 (1)将圆的方程化为标准方程,写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆位置关系或求参数 范围.
【变式训练】与圆x2+y2=25外切于点P(4,3),且半径为1的圆的
方程是
.
【解析】设所求圆的圆心为C(m,n)，则O,P,C三点共线(O为原
点)，且OC=6，所以 m = 4? 6
5
程是 (x－24)2 + (y－18)2 = 1.
5
5
答案：(x－24)2 + (y－18)2 = 1
5
5
24，n = 3? 6
【知识拓展】与两圆相切、相交有关的问题 (1)两圆的公切线与两圆的位置关系 ①两圆外离,有两条外公切线,两条内公切线. ②两圆外切,连心线过切点,有两条外公切线,一条内公切线. ③两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线. ④两圆内切,连心线过切点,只有一条公切线. ⑤两圆内含,无公切线.
(2)过两圆交点的圆系方程 已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 圆C1与圆C2相交,则过两圆C1,C2的交点的圆系方程 为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圆不 包括圆C2.
(3)由两圆相交可得5-1<d<5+1,即4<d<6. 答案:4<d<6.
【要点探究】 知识点 圆与圆的位置关系 1.对圆与圆的位置关系的两点说明 (1)根据圆心距与圆的半径之和或之差的绝对值的大小关系判 断,两个圆的位置关系分为外离、外切、相交、内切和内含五 种位置关系.
(2)圆与圆的公共点个数:当两圆外离或内含时,两圆无公共点; 当两圆内切或外切时,两圆仅有一个公共点;当两圆相交时,两 圆有两个公共点.
7+1 ,
即 x2 + y2 - 6x + 2 3y + 4- 2 7 = 0.
【方法技巧】处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切， 则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于 两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问 题.
则两圆C1,C2有以下位置关系:
位置关系
公共点个数
圆心距与 半径的关系
两圆外离 两圆内含
_0_个
_d_>_r_1_+_r_2 _d_<_|_r_1_-_r_2|_
图示
位置关系 两圆相交
公共点个数 _2_个
圆心距与 半径的关系
_|_r_1_-_r_2|_<_d_ _<_r_1_+_r_2
两圆内切 两圆外切
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则 (a－1)2＋b2＝r＋1.
①
又所求圆过点M的切线为直线 x＋ 3y＝0，
故
b＋ 3＝ a－3
3.
②
a＋ 3b ＝r.
③
2
解由①②③组成的方程组得
a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4 3，r＝6. 故所求圆的方程为
2.判断两圆位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用圆心距d与两圆半径之和或之差的绝对值 之间的关系. (2)代数法:将两圆的方程联立解方程组,若方程组有两解,则两 圆相交;若方程组只有一解,则两圆外切或内切;若方程组没有 实数解,则两圆内含或外离.
3.圆与圆位置关系判定的关注点 (1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的,如有1个交点,就不 能判定是内切还是外切,应再结合图象判定. (2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法,代数法要注意相 切时的判定. (3)一般情况下,我们尽量选择利用几何法进行判断,以减少运 算量,提高解题的速度.
_1_个
_d_=_|_r_1_-_r_2|_ _d_=_r_1_+_r_2
图示
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两圆方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.
() (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. ( )
【解析】1.(1)正确.这是用代数法判定两圆的关系. (2)错误.两个圆有可能是内含. (3)错误.反之不成立,两圆也可能内切. (4)正确.两圆有公共点包含相切和相交. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:(x-3)2+y2=1,则两圆的位置关系
【变式训练】(2014·锦州高一检测)若a2+b2=4,则圆O1:(x-a)2
+y2=1,与圆O2:x2+(y-b)2=1的位置关系是
.
【解析】因为两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b),半径r1=r2=1,
所以 |O1O2| = a2 + b2 = 2，故两圆外切. 答案:外切
