所以，交点坐标是
－19＋
(
6
287，1＋ 6287)和(－19－6
287，1－ 6287)．
故公共弦长是
－19－
6
287－－19＋6
2872＋1－ 6287－1＋ 62872
＝ 2987＋2987＝13 574.
求弦长的另一种方法：因为③式是公共弦所在 直线的方程，所以第一个圆的圆心(－3,0)到直 线的距离为
代数法
___Δ__＜__0___ Δ＝0___Δ_＞__0__ Δ源自0_________ Δ＜0
_________
思考感悟 两圆没有交点，一定外离吗？ 提示：不一定，还可能内含．
2．相交弦与公切线问题 设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R、r(R≥r)， 则
(1)当d＞R＋r时，两圆_外__离____，此时有__四__条___ 公切线； (2)当d＝R＋r时，两圆_外__切___，连心线过切点， 有__两__条___外公切线，__一__条___内公切线； (3)当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交，连心线垂直 平分公共弦，有__两__条___外公切线； (4)当d＝R－r时，两圆内切，连心线过切点，只 有一条公切线．
知新益能
1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系如下表所示(注意“⇔”与“⇒” 的不同)．
几何法
两圆的位置关 系
|C1C2|＞r1＋r2 |C1C2|＝r1＋r2 |r1－r2|＜|C1C2|＜
r1＋r2 |C1C2|＝|r1－r2| |C1C2|＜|r1－r2|
⇔相离⇒ ⇔外切⇒
⇔相交⇒
⇔内切⇒ ⇔内含⇒
此时a＝－1或a＝－2. (2)当1<d<5即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交， 此时－5<a<－2或－1<a<2. (3)当d>5即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离， 此时a>2或a<－5.
考点二 公共弦问题 研究公共弦所在直线的方程或弦长．
一次方程 f(x，y)＝0⇒fxx－，ay2＝＋0y，－b2＝r21， 消去 一个变元得方程求出根⇒回代得方程组的解，即交点
坐标．
(2)求两圆相交时的公共弦长的方法，方法一： 代数法，即求两圆交点，再利用两点间的距离 公式求解；方法二：利用几何法求解，两种方 法比较，选用方法二更简捷．
跟踪训练1 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋ a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切； (2)相交；(3)外离． 解：将两圆方程化为标准方程(x－a)2＋(y＋2)2＝ 9， (x＋1)2＋(y－a)2＝4. 设两圆圆心距为d，则 d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. 当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，
x2＋y2＋6x－7＝0，
①
x2＋y2＋6y－27＝0，
②
①－②，得 3x－3y＋10＝0.③ 方程③表示公共弦所在直线的方程．
由③，得 y＝x＋130，代入①，并整理得 18x2＋114x＋37＝0.
解得 x1＝－19＋6 287，x2＝－19－6 287，
所以
y1＝1＋
6
287，y2＝1－
287 6.
(4)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax ＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆 系方程．
课堂互动讲练
考点突破 考点一 判断两圆的位置关系 利用几何法计算圆心距．
例1 判断下列两圆的位置关系，若相交，请 求出交点坐标及公共弦长． (1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1和(x－2)2＋(y－5)2＝16； (2)x2＋y2＋6x－7＝0和x2＋y2＋6y－27＝0. 【分析】 由两圆的圆心距与半径关系可判定两 圆的位置关系，两圆相交求交点，可由圆的方程 联立方程组，解方程组求交点坐标，求弦长可由 两点间的距离公式或由几何法求解．
即f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ≠－1)． 当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－ F2＝0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心 圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线 为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两
圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连 心线垂直的直线．
d′＝|－99＋＋190|＝3
1＝ 2
2 6.
又半径 r1＝4，所以弦长为 2 16－326＝13 574.
【点评】 (1)求两圆 C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21；C2：
(x
－
c)2
＋
(y
－
d)2
＝
r
2 2
交
点
的
方
法
是
由
xx－ －ca22＋＋yy－－db22＝＝rr2221 ⇒先消去二次项得关于 x，y 的
3．圆系与圆系方程 具有某种共同性质的圆的集合，称为__圆__系___． (1)同心圆系(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，x0，y0为常 数，r为参数． (2)圆心共线且半径相等圆系(x－x0)2＋(y－y0)2 ＝r2，r为常数，圆心(x0，y0)在直线Ax＋By＋C ＝0上移动． (3)过两已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝ 0(i＝1,2)的交点的圆系方程，x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，
【解】 (1)根据题意，得两个圆的半径分别为 r1 ＝ 1 和 r2 ＝ 4 ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝
[2－－2]2＋5－22＝5. d＝r1＋r2，所以两圆外切． (2)将圆的一般方程化为标准方程，得 (x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为 r1＝4 和 r2＝6， 两圆的圆心距 d＝ 0＋32＋－3－02＝3 2. 显然 2<3 2<10，即|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两圆 相交．
2.3.4 圆与圆的位置关系
学习目标
1. 理解五种圆与圆的位置关系，掌握它的位置 关系的判定方法． 2．会利用圆与圆的位置关系求解圆的方程，了 解圆系的使用方法．
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2.3.4
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 初中平面几何介绍的两个圆的位置关系，画图表 示如图．
