【数学】2.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大版必修2)

其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两 种方法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且 只提供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心 距d与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)
＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋
by＋c＝0交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线
x2＋ y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的
解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方 圆的标 程为(x－6)2＋(y－6)2＝18. 准方程．

[一点通]
判断两圆的位置关系有几何法和代数法两
种方法，几何法比代数法简便，解题时一般用几何法．
用几何法判断两圆位置关系的操作步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程． (2)求两圆的圆心坐标和半径R、r. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|R－r|、R＋r的大小关系．
1．两圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和x2＋y2－4x＋2y＋＝0的
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
＋2y－8＝0.
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
[例1]
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，

作业布置
必做：
1、课本P130：练习 2、P132习题4.2：A组1
选做：习题4.2：B组1
小结：判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径（配方 法）
圆心距d
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2 的大小，下结
论
代数方法
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
圆C1x2 y2 2x 8y 8 0 圆C2 x2 y2 2x 8y 8 0
y
A
o
Bx
画出圆C1与圆C2以及 方程 表示直线，你 发现了什么？你能说 明为什么吗？
思考题
圆C1：x2 y2 2mx 4 y m2 5 0， 圆C2：x2 y2 2x - 2my m2 3 0, m为何值时, 两圆 (1)相切 (2)相交 (3)相离 (4)内含
圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
？
回顾：如何判断直线和圆的位置关系
形：距离
数：方程
求圆心坐标及半径r 圆心到直线的距离d
(x a)2 ( y b)2 r2 Ax ByC 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
圆与圆的位置关系
r12 r22
消去y（或x）
px2 qx r 0
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
？
图示
Rr
O1
O2
Rr
O1
O2
Rr O1 O2
R
O1
O
r
2
RO1ຫໍສະໝຸດ Or2位置关系
外离
圆心距离与半径关系
|O1O2|>|R+r|

C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(������22 + ������22-4F2>0),
联立以上两个方程得
������2 ������2
+ +
������2 ������2
+ +
������1 ������ ������2 ������
+ ������1 ������ + ������1 + ������2������ + ������2
2.公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离
公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、
弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
3.(1)当两圆内切时,两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切
线方程;当两圆外切时,两圆方程相减所得直线方程为两圆的内公
∴圆M的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
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第2课时 圆与圆的位置关系
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三与两圆相切有关的问题
【例3】已知点F(0,1),一动圆过点F且与圆x2+(y+1)2=8内切,求动 圆圆心的轨迹方程.
(1)求公共弦AB所在直线的方程; (2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.
解:(1)由已知得
������2 + ������2 + 2������ + 2������-8 = 0 ①

C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
位置关系是
A．相切 C．内含 B．外离 D．相交
(
)
解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)，r1＝1， 1 O2(2，－1)，r2＝ ，则圆心距d＝|O1O2|＝ 2 1 1 2 2 1－2 ＋－2＋1 ＝ 2，由1－ 2 <d<1＋ 2 ，得两圆相 交．

由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
因为点(1， 3)和(1，－ 3)都在直线 x＝1 上， 故过这两个点的圆的圆心在 x 轴上， 又圆心在直线 x－ 3y－6＝0 上， ∴圆心为(6,0)，半径 r＝ 6－12＋ 32＝ 28. ∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.
法二：设所求圆的方程为： x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)． 4λ 4 整理得：x ＋y － x－ ＝0， 1＋λ 1＋λ
圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为 |6＋6－2| d＝ ＝5 2， 2 ∴所求圆的圆心在过点(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂 直的直线上，并且直径为2r＝5 2－3 2＝2 2，
∴所求圆的圆心在直线y＝x上，且圆心到直线x＋y－2 ＝0的距离为 2. |a＋a－2| 设圆心为(a，a)，则 ＝ 2 ⇒a＝2或a＝0，但 2 圆心应在直线x＋y－2＝0上方， ∴a＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
[一点通]

预习交流 2
在判定直线与圆的位置关系时,可用直线方程与圆的方程联立组 成的方程组的解的个数来判断,那么,用两圆的方程组成的方程组有一 解或无解时能否准确判定两圆的位置关系?若不能准确判定,怎么办? 提示:不能.当两圆方程组成的方程组有一解时,两圆有外切、内切 两种可能情况,当方程组无解时,两圆有相离、内含两种可能情况.下一 步应考查圆心距与两半径的和与差的大小关系 ,以此来判断两圆到底 是外切还是内切,是相离还是内含.
C.相切 D.内含 解析:圆 x2+y2+6x-7=0 可化为(x+3)2+y2=16,圆心(-3,0),半径 r1=4, 圆 x2+y2+6y-27=0 可化为 x2+(y+3)2=36,圆心(0,-3),半径 r2=6,圆心距 d=3 2,因此|r1-r2|<d<r1+r2,两圆相交. 答案:B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题导学
当堂检测
解:(1)∵ m=1,∴ 两圆的方程分别可化为 C1:(x-1)2+(y+2)2=9.C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距 d= (1 + 1)2 + (-2)2 =2 2, 又∵ r1+r2=3+1=4,|r1-r2|=|3-1|=2, ∴ |r1-r2|<d<r1+r2.∴ 圆 C1 与圆 C2 相交. (2)当 m=4 时,两圆的方程分别可化为 C1:(x-4)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距 d= (4 + 1)2 + (-2)2 = 29, 又∵ r1+r2=3+1,∴ d>r1+r2. ∴ 圆 C1 与圆 C2 相离.

利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长． (2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般 不用求交点的方法，常用如下方法：
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.
① ② ③
两式相减得x＝2y－4，
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2.
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，

O

P
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？
O
R
r P
解： (1)设 O与 P相切于A， 则PA=OP-OA
所以PA=3cm
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
x 2 7 x 12 0 的两根， （3）两圆的半径为 且圆心距为8，则两圆 外离
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （1）以 P为圆心作 P 与 O 外切，小圆 的半径是多少？ （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？
两圆内切
两圆内含
d 指 圆 心 距
后退 前进
练习一：填表 Βιβλιοθήκη 2 o1的半径4 7 2 4 5 3 4 5 2
的半径
圆心距d 9 8
两圆的位 置关系
外离 相交
外切
7
1 2
内含
内切
后退 前进
7或3
练习二：填空
（1）两圆半径为7+t，7-t(0<t<7),圆心距 为2t，则两圆相 外切 （2）两圆外切时圆心距为12，内切时圆心距 为4，则两圆半径为 8 和 4
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进

位置关系
满足条件
图示
两圆内含
d < |r1－r2|
[小问题·大思维]
1．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？ 只有一组解时，一定外切吗？ 提示：不一定．当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共
点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有
一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切． 2．圆A：x2＋y2－8x＋7＝0和圆B：x2＋y2＋8x＋7＝0的位置 关系如何？ 提示：外离．圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(－4,0)，半
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆 中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0， 解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1， 解得 y＝2， x＝5， 或 y＝－6，
(3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0，
① ② ③
两式相减得 x＝2y－4.
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
x ＝－4， 1 ∴ y1＝0， x ＝0， 2 或 y2＝2，
求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直
线y＝0相切的圆的方程．
[错解] 由题意知，所求圆与直线y＝0相切且半
径为4，设其圆心C的坐标为(a,4)，且其方程为 (x－a)2＋(y－4)2＝42， 又圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝32， 其圆心为A(2,1)，半径为3. 由两圆相切，得|CA|＝3＋4， 所以(a－2)2＋(4－1)2＝72， 解得a＝2± 10， 2 所以所求圆的方程为(x－2－2 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16. 10 )2＋(y－4)2＝16

d 指 圆 心 距
后退 前进
R
两 个 圆 的 位 置 关 系 的 判 断
r
O1 O 2 d
两圆外离
两圆外切
两圆相交
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r
两圆内切
d 指 圆 心 距
后退 前进
R
两 个 圆 的 位 置 关 系 的 判 断
r
O1 O 2
d
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
所以PB=13cm
后退 前进
小结：
R
O1
r
d
O 2
两圆外离 两圆外切
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r
两圆相交
两圆内切 两圆内含
d<R-r
作业： P137
2,3,4
后退 前进
O
R
r P
解： (1)设 O 与 P 相切于A， 则PA=OP-OA
所以PA=3cm
后退 前进
例1、如图 O 的半径为5cm，P是 O 外一点， OP=8cm，求 （2）以 P为圆心作 P 与 O 内切，大圆 的半径是多少？

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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
解 ： 将 两 个 方 程 整 理 为 标 准 方 程 ：
(x1)2(y3)29, 24
(x2)2(y3)217 24
两 圆 圆 心 之 间 距 离
d(12)2(33)21 22
课内练习
半 径 之 和 为 3 171, 22
半 径 之 差 为1731 22
所 以 两 圆 相 交 .
2. 圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A， B，则线段AB的垂直平分线的方程是( A ).
x2y22x8y80 x2y24x4y20
例题解析
两 式 相 减 得 ： x 2 y 1 0 代 入 第 一 个 圆 的 方 程 有 ：
x22x30
其 判 别 式 为
( 2 )2 4 1 ( 2 ) 0
所 以 有 两 个 解 ， 即 ： 两 圆 相 交 .
课内练习
1.已知圆C1 : x2+y2+2x+3y+1=0和圆C2 ：x2+y2+ 4x+3y+2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系.
A、x+y-1=0
B、 2x-y+1=0
C、x-2y+1=0 D、 x-y+1=0
课堂小结
设
方
程 ((xx组 ca))22((yydb))22
r12 r22
的解的个 n 数为
△<0 △=0 △>0
n=0
两个圆相离
n=1
两个圆相切

这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经 测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各 顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半 径。
A
B
C
你一定能行
一个内径3cm的圆钢管在内径为 10cm的钢管内沿管壁滚动。
（1）小钢管的圆心与大钢管的圆心的距 离是多少？
（2）小钢管的圆心经过的路线是什么？
圆和圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点
都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
两个圆有唯一的公共点，并且除了
这个公共点以外，每个圆上的点都在另
一个圆的外部时，叫做这两个圆 外切 这个唯一的公共点叫做 切点
两个圆有两个公共点时，叫
做这两个圆 相交
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这
PB=13cm
答案
请 你 参 加
设圆O和圆P的半径分别为R、r，圆心 距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎 样？
R=6，r=3，d=4 R=6，r=3，d=0
R=3，r=7，d=4
R=5，r=3，d=3
1、若两圆有唯一公共点，且两圆 半径分别为5和2，则两圆圆心距 为。
2、 已知，两圆相外切，半径分别 是1㎝和2㎝ ，要作和这两个已知 圆都相切且半径等于3㎝的圆，可 作_____个。
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.

指
d=R+r
圆
心
距
断
后退 前进
R
两 个
r
O1
d
O2
圆
的
位 置
两圆外离
关
两圆外切
系 的
两圆相交
判
d
d>R+r
指
d=R+r
圆
R-r<d<R+r 心
距
断
后退 前进
R
两 个
r
O1 d O2
圆
的
位 置
两圆外离
关
两圆外切
系 的
两圆相交
判
两圆内切
断
d
d>R+r
指
d=R+r
圆
R-r<d<R+r 心
距 d=R-r
思考：两个圆是否也组成一个轴对称图形？
O1
O2
结论1、通过两圆圆心的
直线叫做连心线。
O1 O2
O2
结论2、如果两个圆相切， 那么切点一定在连心线上。
后退 前进
R
两 个
r
O1
d
O2
圆
的
位 置
两圆外离
关
系
的
判
d
d>R+r
指
圆
心
距
断
后退 前进
R
两 个
r
O1
d
O2
圆
的
位 置
两圆外离
关
两圆外切
系
的
判
d
d>R+r
后退 前进
R
两 个

准方程． 解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方程为 (x－6)2＋(y－6)2＝18.
圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为 |6＋6－2| d＝ ＝5 2， 2 ∴所求圆的圆心在过点(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂 直的直线上，并且直径为2r＝5 2－3 2＝2 2，
∴所求圆的圆心在直线y＝x上，且圆心到直线x＋y－2 ＝0的距离为 2. |a＋a－2| 设圆心为(a，a)，则 ＝ 2 ⇒a＝2或a＝0，但 2 圆心应在直线x＋y－2＝0上方， ∴a＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0， 由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1， 得 y＝ 3， x＝1， 或 y＝－ 3，
2 2
2λ ∵圆心( ，0)在直线x－ 3y－6＝0上， 1＋λ 2λ ∴ －6＝0. 1＋λ 3 解得λ＝－2. ∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.
[一点通] (1)法一是求出两已知圆的交点、所求圆的圆心及半 径，得出了圆的方程．法二是利用了过两曲线系方程的 特点，利用待定系数法求出λ得出圆的方程，需特别指出 的是法二中若取λ＝－1，则曲线系方程变成直线的方程， 此方程即为经过两圆交点的直线方程．

(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0. (3)法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， 2 x ＋y2＋2x＋2y－8＝0.

解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两种方 法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且只提 供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心距d 与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x
(2)常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2
＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋
λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点
的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋
实数m的取值范围是 A．[0，＋∞) C．(0,4) B．(0，＋∞) D．(0,4] ( )
解析：由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)， ∵两圆相离，∴|C1C2|>r1＋r2，即3>1＋ m>0，∴0<m<4. m ，∴m<4.又
答案：C
3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． [思路点拨] 先把两圆方程化为标准方程，判断两圆 的位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长

T o2
RHale Waihona Puke rdd=R+r
R o1 d
ro2
R-r<d<R+r (R>r)
o2 o1 T
r R d
d=R-r (R>r)
O1 O2
dr R
O d<R-r (R>r)
例 如图，OO的半径为5cm，点P是OO外一点，
OP=8cm。求
（1）以P为圆心作OP与OO外切，小圆OP的半径是多少？
（2）以P为圆心作OP与OO内切，大圆OP的半径是多少？
解: (1)设OO与OP外切于点A，
则
PA=OP-OA。
PA=3cm
B O AP
(2)设OO与OP内切于点B，
则
PB=OP+OB
PB=13cm
答案
请 你 参 加
设圆O和圆P的半径分别为R、r，圆心 距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎 样？
R=6，r=3，d=4 R=6，r=3，d=0
R=3，r=7，d=4
A
B
C
你一定能行
一个内径3cm的圆钢管在内径为 10cm的钢管内沿管壁滚动。
（1）小钢管的圆心与大钢管的圆心的距 离是多少？
（2）小钢管的圆心经过的路线是什么？
试一试
今有一圆形硬币，在这 硬币的周围排列几枚同样 大小的硬币，使所有的硬 币都与这枚硬币相切，并 彼此外切，则需硬币多少 枚？
小结：1、两圆的位置关系；
圆和圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点
都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
两个圆有唯一的公共点，并且除了
这个公共点以外，每个圆上的点都在另