数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)

必修二圆与圆的位置关系教学内容分析1、《圆》的地位与作用《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。

第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。

初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。

2、本节课的地位与作用“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：（1）完善圆的知识体系；（2）升华数形结合思想；（3）为后续教学做准备。

教学目标设置1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。

其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围学生学情分析此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。

在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。

教学策略分析为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。

1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；2、探究阶段。

这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。

3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。

我将它们穿插在问题解决的过程中。

4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。

“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。

第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系高中数学必修2（人教A 版）第四章4.2.2圆与圆的位置关系一节，本节课是在前面已学习直线方程与圆的方程基础上，通过方程思想与几何法判定圆与圆的位置关系，培养学生方程思想和数形结合的思想方法。

重点：掌握用几何法和解析法判断圆与圆的位置关系。

难点：灵活地运用“数形结合”、解析法来解决直线与圆的相关问题。

【问题导思】对于圆与圆的位置关系，是在将两圆放在同一平面内运动状态下，通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种.1．如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？2．已知两圆的方程，能否用方程组的观点来判断两圆的位置关系？如何判断？【知识讲解】圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离 外切 相交 内切 内含 图示d 与r 1、r 2的关系 d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 d ＝|r 1－r 2| d <|r 1－r 2|(2) ⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含【知识运用】▶例1已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋4y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －8y －8＝0，判断圆C 1与圆C 2的位置关系． ▶课堂练习两圆x 2＋y 2＝a 与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，求a 的值．▶例2 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．▶课堂练习1. 两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.2. 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)试用几何法证明两圆相交；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．▶例3已知P (－1,2)为圆x 2＋y 2＝8内一定点．(1)求过点P 且被圆所截得的弦最短的直线方程；(2)求过点P 且被圆所截得的弦最长的直线方程．▶课堂练习1. 求过直线2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．2. 点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．【课堂小结】判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较为简便。

4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距OO2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.1两圆的位置关系：在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-.因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P练习题141课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. 作业习题4.2 A组8、9、10、11.。

人教高一数学教学设计之《4.2.2圆与圆的位置关系》一. 教材分析《4.2.2圆与圆的位置关系》这一节内容主要让学生了解和掌握圆与圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切和外离。

教材通过具体的图形和实例，引导学生探究圆与圆之间的位置关系，并学会用数学符号表示。

这一节内容是学生在学习了圆的基本概念和性质之后，进一步深化对圆的理解和运用。

二. 学情分析高一的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。

但是，对于圆与圆之间的位置关系，他们可能还比较陌生，需要通过具体的图形和实例来进行理解和掌握。

同时，学生可能对于数学符号的运用还不够熟练，需要老师在课堂上进行引导和练习。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握圆与圆之间的位置关系，包括内含、内切、外切和外离。

2.让学生能够用数学符号表示圆与圆之间的位置关系。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.圆与圆之间的位置关系的理解和掌握。

2.数学符号的运用和表示。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和思考来发现和理解圆与圆之间的位置关系。

2.使用多媒体教学，通过动态的图形和实例来呈现圆与圆之间的位置关系，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中加深对圆与圆之间位置关系的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关的教学PPT和教学素材。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考圆与圆之间的位置关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）使用多媒体教学，呈现圆与圆之间的位置关系的图形和实例，让学生直观地感受和理解。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和思考，找出圆与圆之间的位置关系，并用数学符号表示出来。

4.巩固（5分钟）让学生进行小组讨论，分享各自找出的圆与圆之间的位置关系，加深对知识的理解和运用。

5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些与圆与圆之间位置关系相关的实际问题，提高学生的应用能力。

圆与圆的地点关系整体设计教课剖析本节课研究圆与圆的地点关系, 要点是研究两圆地点关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关的实质问题. 教材是在初中平面几何对圆与圆的地点关系的初步剖析的基础上联合前方学习的点与圆、直线与圆的地点关系, 获得圆与圆的地点关系的几何方法, 用代数的方法来解决几何问题是分析几何的精华, 是平面几何问题的深入, 它将是此后办理圆锥曲线的常用方法 . 所以 , 增添了用代数方法来剖析地点关系, 这样有益于培育学生数形联合、经历几何问题代数化等分析几何思想方法及辩证思想能力, 其基本思想方法和解决问题的技巧对此后整个圆锥曲线的学习有着特别重要的意义. 依据学生的基础, 学习的自觉性和主动性, 自主学习和研究学习能力, 平常的学习养成的擅长察看、剖析和思虑的习惯, 同时因为本节课从内容构造与思想方法上与直线与圆的地点关系相像, 学生对上节课内容掌握较好, 进而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的阻碍, 因此教课方法能够是指引学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的地点关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的地点关系及其判断方法. 培育学生自主研究的能力. 经过用代数的方法剖析圆与圆的地点关系, 使学生体验几何问题代数化的思想, 深入认识分析几何的实质 , 同时培育学生剖析问题、解决问题的能力, 并进一步领会数形联合的思想.要点难点教课要点：求弦长问题, 判断圆和圆的地点关系.教课难点 : 判断圆和圆的地点关系.课时安排1课时教课过程导入新课思路 1. 平面几何中 , 圆与圆的地点关系有哪几种呢？怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？判断两圆的地点关系的步骤及其判断方法以下: 第一步：计算两圆的半径R,r ；第二步：计算两圆的圆心距O1O2, 即 d；第三步：依据 d 与 R,r 之间的关系 , 判断两圆的地点关系.两圆的地点关系：外离外切订交内切内含d＞ R+r d=R+r|R-r|＜d＜R+r d=|R-r|d＜ |R-r|在分析几何中 , 我们用代数的方法怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？这就是我们本堂课研究的课题 , 教师板书课题圆与圆的地点关系 .思路 2. 前方我们学习了点与圆的地点关系、直线与圆的地点关系, 那么 , 圆与圆的地点关系有哪几种呢？怎样判断圆与圆之间的地点关系呢？教师板书课题: 圆与圆的地点关系.推动新课新知研究提出问题①初中学过的平面几何中, 圆与圆的地点关系有几种？②判断两圆的地点关系, 你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④依据你所画出的图形, 能够直观判断两个圆的地点关系. 怎样把这些直观的事实转变为数学语言呢？⑤怎样判断两个圆的地点关系呢？⑥若将两个圆的方程相减 , 你发现了什么？⑦两个圆的地点关系能否能够转变为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判断呢？活动：教师指引学生回首学过的知识、举例 , 并对学生活动进行评论；学生回首知识点时, 可互相沟通 . 教师指引学生阅读教科书中的有关内容 , 注意个别指导 , 解答学生疑难 , 并指引学生自己总结解题的方法 . 学生察看图形并思虑 , 发布自己的解题方法 . 教师应当关注并发现有多少学生利用“图形”求解 , 对这些学生应当赐予夸奖 . 同时重申 , 分析几何是一门数与形联合的学科 . 启迪学生利用图形的特点, 用代数的方法来解决几何问题. 教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来鉴别两个圆的地点. 学生相互商讨、沟通 , 找寻解决问题的方法 , 并能经过图形的直观性, 利用平面直角坐标系的两点间距离公式追求解题的途径.议论结果：①初中学过的平面几何中, 圆与圆的地点关系有五类, 分别是外离、外切、订交、内切、内含 .②判断两圆的地点关系, 我们能够类比直线与圆的地点关系的判断, 当前我们只有初中学过的几何法 , 利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略 .④依据所画出的图形, 能够直观判断两个圆的地点关系. 用几何的方法说就是圆心距(d) 与两圆半径 (r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的地点关系. 一是能够利用几何法, 即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来鉴别两个圆的地点关系. 设两圆的连心线长为l, 则鉴别圆与圆的地点关系的依照有以下几点：1°当 d＞ R+r 时 , 圆 C1与圆 C2外离；2°当 d=R+r 时 , 圆 C1与圆 C2外切；3°当 |R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2订交；4°当 d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当 d＜ |R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程构成的方程组的实数解的状况, 解两个圆的方程所构成的二元二次方程组 . 若方程组有两组不一样的实数解, 则两圆订交；若方程组有两组同样的实数解, 则两圆相切；若无实数解, 两圆相离 .总结比较两种方法的优弊端.几何方法：直观, 简单理解 , 但不可以求出交点坐标.代数方法：1°只好判绝交点, 其实不可以正确的判断地点关系( 有一个交点时不可以判断内切仍是外切, 无交点时不可以判断内含仍是外离).2°长处是能够求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减, 获得一个一元一次方程, 既直线方程 , 因为它过两圆的交点, 所以它是订交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题能够化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判断问题. 由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路 1例 1已知圆 C 1： x 2+y 2+2x+8y-8=0, 圆 C 2： x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的地点关系.活动 : 学生思虑沟通 , 教师指引提示 , 判断两圆的地点关系有两种基本的方法 , 要合理使用 . 方法一看两圆的方程构成的方程组的实数解的状况 , 方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断 .x 2 y 22x 8 y 8 0,(1) 解: 方法一 : 圆 C 1 与圆 C 2 的方程联立获得方程组y 2x 24x 4 y 2 0.( 2)①- ②得 x+2y-1=0,③由③得 y=1 x, 把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0.④2=(-2) 2-4 × 1×(-3)=16 ＞ 0, 所以方程④有两个不等的实数根, 即圆 C 1与圆方程④的鉴别式 C 2订交 .方法二 : 把圆 C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0, 圆 C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0, 化为标准方程 , 得(x+1) 2+(y+4) 2=25 与(x-2) 2+(y-2) 2=10.圆 C 1 的圆心是点 (-1,-4), 半径长 r 1=5;圆 C 2 的圆心是点 (2,2),半径长 r 2= 10 .12( 12)2( 4 2) 2 =3 5 , 圆 1 2圆 C 与圆 C 的连心线的长为C 与圆C 的半径长之和为r 1+r 2 =5+ 10 ,半径长之差为 r 1-r 2=5- 10 .而5- 10＜35 ＜5+ 10 , 即 r -r＜ 3 5 ＜ r +r ,121 2所以圆 C 1 与圆 C 2 订交 , 它们有两个公共点 A 、B.评论 : 判断两圆的地点关系 , 一般状况下 , 先化为标准方程 ,利用几何法判断较为正确直观 .变式训练判断以下两圆的地点关系, 假如两圆订交 , 恳求出公共弦的方程 .(1)(x+2) 2+(y-2)2=1 与 (x-2) 2+(y-5) 2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0 与 x 2+y 2+6y-27=0.解 :(1) 依据题意,得两圆的半径分别为 r 1=1 和r 2=4,两圆的圆心距d= [ 2( 2) 2(5 2)2 =5.因为 d=r +r , 所以两圆外切 .12(2) 将两圆的方程化为标准方程 , 得 (x+3) 2+y 2=16,x 2+(y+3) 2=36.故两圆的半径分别为 r 1 =4 和 r 2=6,两圆的圆心距 d=(0 3) 2(3 0)23 2 .因为 |r 1-r 2| ＜ d ＜ r 1+r 2, 所以两圆订交 .例 2 已知圆 C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0, 圆 C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0, 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 .活动：学生审题 , 思虑并沟通 , 商讨解题的思路, 教师实时提示指引 , 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程 , 联立方程组 , 消去 x 2 项、y 2 项 , 即得两圆的两个交点所在的直线方程, 利用勾股定理可求出两圆公共弦长 .解: 设两圆交点为 A(x 1,y1)、B(x 2,y 2),则A、B两点坐标知足方程组x 2y 22x 6 y10,(1)x 2y 24x 2 y11 0.(2)①- ② , 得 3x-4y+6=0.因为 A、 B两点坐标都知足此方程, 所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆 C1的圆心 (-1,3),半径r=3.又点 C 到直线的距离为| 1 343 6 | 9d== .1324) 25(所以 AB=2 r2 d 2 2 32(9)224,即两圆的公共弦长为24 .555评论 : 办理圆有关的问题, 利用圆的几何性质常常比较简单, 要注意领会和应用 .思路 2例 1 求过点 A(0,6) 且与圆 C:x 2+y 2+10x+10y=0 切于原点的圆的方程 .图 1活动 : 学生思虑沟通, 回首圆的方程的求法,教师指引学生注意题目的条件, 灵巧办理 , 如图 1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上. 依据这三个条件可确定圆的方程 .解: 将圆 C化为标准方程 , 得 (x+5) 2+(y+5) 2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r 2.由题意 , 知 O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有(0a) 2(0b)2r2,a3,(0a) 2(6b)2r2, 解得b3,a b 0,r 3 2.于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.评论 : 求圆的方程 , 一般可从圆的标准方程和一般方程下手, 至于选择哪一种方程形式更适合,要依据题目的条件而定, 总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例 2已知⊙ O方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和⊙ O相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师指引学生回首学过的知识, 两圆外切 , 连心线长等于两圆半径之和, 两圆内切 , 连心线长等于两圆半径之差, 由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件, 而后将这个几何条件坐标化 , 即获得它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A, 所以 |PA| 即为动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O外切时 ,|PO|=|PA|+2 ；当动圆 P 与⊙ O内切时 ,|PO|=|PA|－ 2.综合这两种状况 , 得 ||PO| － |PA||=2.将此关系式坐标化, 得| x2y2( x4) 2y2|=2.化简可得 (x － 2)2－y2=1.3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系 ||OP| －|PA||=2,即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2, 所以 P 点轨迹是以 O、 A为焦点 ,2 为实轴长的双曲线 , 中心在 OA中点 (2,0),实半轴长 a=1, 半焦距 c=2, 虚半轴长 b= c2 a 2 3 ,所以轨迹方程为 (x －2)2－y2=1.3评论：解题的过程就是实现条件向结论转变的过程, 关于圆与圆 , 要综合平面几何知识、分析几何、代数知识, 将条件转变成我们熟习的形式, 利用惯例思路去解, 求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练讲堂练习P141练习题讲堂小结本节课主要学习了圆与圆的地点关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题 4.2 A 组 8、 9、 10、 11.设计感想本节课研究圆与圆的地点关系, 要点是研究两圆地点关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关的实质问题 . 《圆与圆的地点关系》这个课题在新课标中, 被作为一个独立的章节,说明新课标对这一章节的要求已经有所提升, 可见有其重要性 . 教材是在初中平面几何对圆与圆的地点关系的初步剖析的基础上获得圆与圆的地点关系的几何方法, 但用代数的方法来解决几何问题是分析几何的精华, 是平面几何问题的深入, 它将是此后办理圆锥曲线的基本方法 . 所以 , 用代数方法来剖析地点关系, 这样有益于培育学生数形联合、几何问题代数化等分析几何思想方法及辩证思想能力, 其基本思想方法和解决问题的技巧对此后整个圆锥曲线的学习有着特别重要的意义. 这堂课是成立在初中已经对圆与圆的地点关系有个大略地认识的基础上 , 对这个地点关系的认识进一步深入, 并且前一堂课学习过直线与圆的地点关系, 圆与圆的地点关系的研究和直线与圆的地点关系的研究方法是近似的, 所以能够用类比的思想来指引学生自主地研究圆与圆的地点关系. 作为分析几何的一堂课, 判断圆与圆的地点关系,表现的正是分析几何的思想：用代数方法办理几何问题, 用几何方法办理代数问题 . 所以在教材办理上 , 对判断两圆地点关系用了代数和几何两种方法, 两种方法贯串一直 , 使学生对分析几何的实质有所认识 .。

第四章 4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．【学习重点】用坐标法判断圆与圆的位置关系．【知识链接】1．直线与圆的位置关系 ， ， .2．直线50x y --=截圆06422=-++y y x 所得的弦长 . 3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)4. 设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+ 时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆【基础知识】问题1：圆与圆的位置关系两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？问题2:判断圆和圆的位置关系的方法(1)几何法(2)代数法【例题讲解】例1 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？相交变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++ 50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.（1） m=-2或m=-1（2） m=-5或m=2（3） -5<m<-2或-1<m<-2（4） m>2或m<-5（5） -2<m<-1【达标检测】1、判断下列两圆的位置关系：(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16外切(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0相交2、x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交，求实数m 的范围1<m<1213、已知以（-4,3）为圆心的圆与x 2+y 2=1 相切，求圆C 的方程..(x+4)2+(y-3)2=16或()()363422=-++y x4、求过点A(0,6)且与圆x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。

4.2.2 圆与圆的位置关系（一）核心素养通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法. （二）学习目标1.明确两个圆之间的五种位置关系.2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.（三）学习重点圆与圆的位置关系及其判断方法.（四）学习难点1.用圆的方程解决问题.2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，明确：圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法 方法一：几何方法设两圆的圆心距d ，半径12,r r ，则： ①当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离； ②当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当<-||21r r 12d r r <+时，圆1C 与圆2C 相交； ④当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；步骤：①计算两圆半径12,r r ；②计算两圆圆心距d ；③根据d 与12,r r 的关系判断两圆的位置关系. 方法二：代数方法方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 有两组不同实数解⇔相交；有两组相同实数解⇔相切（内切或外切）；无实数解⇔相离（外离或内含）. 2.预习自测（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆交点个数【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交. （2）判断下列两圆的位置关系()()12222=-++y x 与()()165222=-+-y x .【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合 ()()221222255r r --+-==+，所以两圆外切.【思路点拨】看圆心距和半径间的关系 【答案】外切. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的位置关系：相离、相交、相切；（2）判断直线与圆的位置关系的方法：根据圆心到直线的距离；根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数； （3）与圆相切的直线方程的计算方法. 2.问题探究探究一 圆与圆的位置关系★●活动① 明确概念我们知道根据圆心到直线距离的长度与圆半径长度的比较之后，明确了直线与圆有三种位置关系，分别是：相离、相切和相交. 那么圆与圆之间也同样有这样的关系，我们通过两个圆半径之间与两圆圆心之间距离的长度还有公共点的个数比较来判断两个圆的位置关系：当公共点个数为0时，若21r r d +>，则两圆外离，若21r r d -<，则两圆内含；当公共点个数为1时，若21r r d +=，则两圆外切，若21r r d -=，则两圆内切；当公共点个数为2时，2121r r d r r +<<-，则两圆相交. 【例题】【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合【解题过程】根据图像和定义直接得出结果 【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系【答案】（图一至图五依次为）外离、外切、相交、内切、内含. 【设计意图】解决数学问题，体会概念与数形结合方法. ●活动② 给定方程，判断位置关系当我们给定两圆的方程，有几种判别两圆位置关系的方法呢？（抢答）首先是代数法：设两个圆的方程组成的方程组为22111222220,0,x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩ 如果方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交； 有两组相同的实数解⇔两圆外切或内切；无实数解⇔ 两圆相离或内含. 其次是几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径为r 1、r 2(r 1≠r 2)，则O 1O 2＞r 1＋r 2⇔相离；O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切；|r 1－r 2|＜O 1O 2＜r 1＋r 2⇔相交；O 1O 2＝|r 1－r 2|⇔内切；O 1O 2＜|r 1－r 2|⇔内含.看下面的例题判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的位置. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】第一个圆的方程07622=-++x y x 可以改写为()16322=++y x ，第二个圆的方程027622=-++y y x 可以改写为()36322=++y x ，两圆圆心的的距离为()()23030322=-+-半径和为1021=+r r ，半径差为122r r -=，故两圆相交.【思路点拨】看两圆圆心距和两半径的关系 【答案】相交.【设计意图】通过对概念理解和计算方法的运用，加深对圆与圆位置关系的理解. 探究二 两圆相交时的公共弦方程及弦长计算 ●活动① 根据图像判断公切线的条数在直线与圆的位置关系一节中我们探究了在圆内、圆上、圆外一点做圆的切线的问题，发现在圆内没有切线、在圆上有一条切线、在圆外有两条切线. 同理我们可以探究两圆的位置关系，再以此判断两圆的公切线的条数. 那么大家可以总结出来吗？（抢答）总结公切线条数如下：若两圆外离，两圆有四条公切线；相交，两圆有两条公切线；若两圆外切，两圆有三条公切线；若两圆内切，两圆有一条公切线；若两圆内含，两圆没有公切线.●活动② 给定两圆的方程，判断公切线的条数我们想要判定公切线的条数首先需要我们判定两圆位置关系.【例题】判断两圆07622=-++x y x 与027622=-++y y x 的公切线条数. 【知识点】圆与圆位置关系、公切线【数学思想】数形结合【解题过程】2211(3)16,(3,0),4x y o r ++=-=，2221(3)36,(0,3),6x y o r ++=-=122121210o o r r r r =-=<<+=则，则两圆相交，所以有2条公切线 【思路点拨】两圆的位置关系是相交 【答案】2●活动③ 过两圆交点的圆系方程的应用当两圆相交时，两圆有两个交点，这两个交点所在直线就是一条公共弦，那么这条弦的方程该如何计算呢？（举手回答）法一：联立两圆方程求出两圆交点，并用两点式求出直线方程. 法二：两圆相交，则两圆相减的方程为公共弦方程.例1 圆224410x y x y ++--=与圆222130x y x ++-=相交于,P Q 两点，求直线PQ 的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】两圆的公共弦方程就是两式相减的直线方程，22(441)x y x y ++---22(213)0x y x ++-=可得260x y -+=【思路点拨】两圆方程相减得出一条直线 【答案】260x y -+=；【同类训练】求以圆1C ：22122130x y x y +---=和圆2C ：221216250x y x y +++-=公共弦为直径的圆的方程.【知识点】圆与圆位置关系、公共弦问题 【数学思想】方程思想【解题过程】解法一：22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+++-=⎪⎩相减得公共弦所在直线方程4320x y +-=，再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩联立得两交点坐标()1,2A -、()5,6B -.∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点()2,2M -，圆的半径为152r AB ==.于是圆的方程()()222225x y -++=. 解法二：（使用圆系方程求解：120o o λ+=）设所求圆2212x y x +--()222131216250y x y x y λ-++++-=()λ参数，得圆心()()1212162,2121λλλλ⎛⎫---- ⎪ ⎪++⎝⎭， ∵圆心在公共弦AB 所在直线上，∴()()121216243202121λλλλ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得12λ=. 故所求圆的方程2244170x y x y +-+-=即()()222225x y -++=. 【思路点拨】圆心在公共弦上 【答案】2244170x y x y +-+-= 探究三 两圆位置关系中的参数问题 ●活动① 已知两圆位置关系，求参数范围同直线与圆位置关系一样，我们在圆与圆位置关系的题目中同样涉及到参数的求解问题，接下来就根据这一道例题来掌握这一类问题中使用的代数思想. 例2 m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的范围. 【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】圆0118622=--++y x y x 改写为()()364322=-++y x ，则两圆圆心距离为5，使得两圆相交，则6562121+=+<<-=-m r r m r r ，最终解出.()121,1∈m【思路点拨】根据定义即可 【答案】()121,1∈m 【同类训练】已知圆0542:2221=-++-+m y mx y x C ，圆03222222=-+-++m my x y x C ：，当m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含？【知识点】圆与圆位置关系 【数学思想】数形结合、方程不等式【解题过程】对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后()()92221=++-y m x C ：；()()41222=-++m y x C ：. (1)如果C 1与C 2外切，则有()()232122+=+++m m ,()()252122=+++m m ，01032=-+m m ，解得25=-=m m 或.(2)如果C 1与C 2内含，则有()()232122-<+++m m ，1)2()1(22<+++m m ，0232<++m m ，解得12-<<-m ，∴当25=-=m m 或时，圆C 1与圆C 2外切；当12-<<-m 时，圆C 1与圆C 2内含. 【思路点拨】根据定义建立不等式 【答案】25=-=m m 或；12-<<-m 3.课堂总结 知识梳理（1）两个圆的位置关系一共有五种：外离、外切、相交、内切、内含. （2）给定两圆方程来判断两个圆之间的位置关系可以使用代数方法和几何方法. （3）两圆相交时公共弦所在直线和弦长的计算以及该弦的圆系方程. 重难点归纳（1）圆与圆的位置关系及其判断方法. （2）圆系方程解决问题. （三）课后作业 基础型 自主突破1.两个大小不等的圆，其位置关系有几种？分别是什么？ 【知识点】考察几种圆与圆位置关系的定义 【数学思想】归类总结 【解题过程】直接根据定义回答 【思路点拨】根据定义即可【答案】五种，内含、内切、相交、外切、外离2.圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为__________.【知识点】两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】∵两圆的圆心距为17)01()22(22=-++， 又∵231723+<<-，∴两圆相交 【思路点拨】定义 【答案】相交3.已知圆0882221=-+++y x y x C ：和 圆0144:222=---+y x y x C ，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.【知识点】已知两圆方程判断两圆位置 【数学思想】【解题过程】圆心距：5335-<<+ 【思路点拨】定义解题 【答案】相交4.若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围. 【知识点】已知位置关系，求参数范围，不等式 【数学思想】不等式方程思想【解题过程】1122(0,0),;(3,4),6O r m O r =-=，125,O O = 则因为两圆相交，所以656,m m -<<+解得m ∈(11,1)(1,11)--.【思路点拨】使用相交时圆心距离与两圆半径之间的关系来求解 【答案】(11,1)(1,11)--.5.判断两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的位置关系，若相交，请求出其公共弦长 .【知识点】两圆位置关系，弦长 【数学思想】方程思想【解题过程】把两圆改写成222212:(1)1;:(2)4;o x y o x y -+=+-=122112o o -<=<+ ,所以两圆相交，两圆相减可得直线方程为20x y -=，1o d l ===到直线的弦长 【思路点拨】定义解题. 6.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于A ,B 两点，则直线AB 的方程是 .【知识点】两圆相交时求公共弦的方程 【数学思想】方程思想【解题过程】()()0122442222=-++--++x y x y x y x 【思路点拨】两圆方程相减即可 【答案】260x y --=. 能力型 师生共研7.已知01r <<+，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是 .【知识点】圆与圆的位置关系判别 【数学思想】数形结合【解题过程】两圆心距离为2，与两圆半径和与两圆半径差比较 【思路点拨】定义解题 【答案】相交8.已知圆()22422010x y ax ay a +-++-=与圆224x y +=相切，则a 的值为_________.【知识点】圆与圆的位置关系 【数学思想】方程思想.、分类讨论 【解题过程】圆()22422010x y ax ay a +-++-=改写成222(2)()5(2)x a y a a -+-=-，d =圆心距相切可得22+或者22-解得1a =±.【思路点拨】定义解题，得出方程【答案】1a =±探究型 多维突破9.求过圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程. 【知识点】过两圆交点的圆系问题【数学思想】方程思想【解题过程】圆方程可设为222242(24)0x y x y x y y λ+-+++--=，求出圆心21(,)11λλλ-++，带入直线:2410l x y +-=可得13λ=，再代入所设方程可得圆的方程为22310x y x y +-+-=【思路点拨】圆系【答案】22310x y x y +-+-=10.已知圆2260x y x +-=与圆22244x y y m +-=-(0)m >，则m = 时，两圆相切.【知识点】两圆位置【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 两圆改成2211(3)9,(3,0),3x y o r -+==，22222(2),(0,2),x y m o r m +-==d =圆心距,若外切则3,3;3m m m =+=-=-，解得3m =+【思路点拨】两圆相切分为两种：内切和外切3±自助餐1.已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.【知识点】相交两圆的公共弦问题【数学思想】数形结合【解题过程】两圆相减【思路点拨】结论解题【答案】0643=+-y x ；245. 2.已知圆0342:22=+-++y x y x C .若圆Q 与圆C 关于直线03=--y x 对称，求圆Q 的方程；【知识点】圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合【解题过程】(1)将圆的方程化成标准式()()22122=-++y x ，圆心()21，-C ，半径2=r ，圆心()21，-C 关于直线03=--y x 的对称点()45-，Q ，圆Q 半径2=r ，∴圆Q 的方程为()()24522=++-y x . 【思路点拨】圆关于直线对称还是圆【答案】()()24522=++-y x ； 3.已知点(5,4)P ，圆C ：2268110x y x y +---=，过P 作圆D ，使C 与D 相切，并且使D 的圆心坐标是正整数，求圆D 的标准方程.【知识点】位置关系、圆的方程【数学思想】分类讨论思想【解题过程】点P 在圆C 内部，所以圆D 与圆C 内切，设圆D ()()222x a y b r -+-=，由点在圆上和两圆内切得到133a r =-，14r ≤≤，讨论r后只有2r =和4满足，圆D 方程为()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.【思路点拨】在圆与圆的位置关系中有内切和外切两种【答案】()()22744x y -+-=或()()221416x y -+-=.4.圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且面积最小，求此圆的方程.【知识点】两圆位置关系、圆系方程【数学思想】数形结合【解题过程】抓住直线即为直径【思路点拨】通过圆系方程可知，该直径是公共弦 【答案】221364()()555x y ++-= 5.已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何?【知识点】两圆位置关系、最值【数学思想】函数思想【解题过程】圆1C 的方程可以改写为()122=+-y k x ，圆2C 改写为()()1122=+-+k y x 两圆圆心距离最短时1222++k k ，21-=k ，此时22min =d 【思路点拨】两圆距离最短不仅大于0而且小于2.【答案】两圆的位置关系为相交.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆4)1()3(221=-++y x C ：和圆4)5()4(222=-+-y x C ：.(1)若直线l 过点)04(，A ，且被圆C 1截得的弦长为32，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【知识点】直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用【数学思想】数形结合、方程思想【解题过程】(1)由于直线4=x 与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在 设直线l 的方程为)4(-=x k y ，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为32，所以1)3(222=-=d . 由点到直线的距离公式，得21)43(1k k d +---=，从而0)724(=+k k ，即0=k 或247-=k ， 所以直线l 的方程为0=y 或028247=-+y x .(2)设点),(b a P 满足条件，不妨设直线l 1的方程为0),(≠-=-k a x k b y ，则直线l 2的方程为)(1a x kb y --=-. 因为圆C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即2211)4(151)3(1kb a k k b a k +--+=+----，整理得bk a k b ak k --+=-++4531， 从而bk a k b ak k --+=-++4531或bk a k b ak k ++--=-++4531， 即3)2(+-=-+a b k b a 或5)8(-+=+-b a k b a ，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a ， 解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a 这样点P 只可能是点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P . 经检验点P 1和P 2满足题目条件【思路点拨】条件直译【答案】（1）0282470=-+=y x y 或；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,251P 或点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213,232P .。

4..2.2圆与圆的位置关系教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之 差之间的关系判断圆与圆的位置关系。

教学重点：圆与圆位置关系的判断。

教学难点：圆与圆位置关系的判断。

教学过程一、复习提问初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？ 设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表〔用数轴也可以表示〕。

外离 外切 相交 内切 内含d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2二、新课例3、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判 断圆C 1与圆C 2的关系。

解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组：①－②，得：x ＋2y －1＝0，即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0此方程的判别式：△＝16＞0方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交点坐标。

解法二：把圆C1化成标准方程：〔x＋1〕2＋〔y＋4〕2＝25，圆心为点〔－1，－4〕，半径为5圆C2化成标准方程：〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝10，圆心为点〔2,2〕，半径为10两圆的连心线长〔圆心距〕为：22)2-+-＝35-(-41()2两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10两圆半径之差：r1－r2＝5－10因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2所以，两圆相交，有两个公共点解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。

练习：P141作业：P1444、5、6、7。

格一课堂教学方案章节：4.2.2 1 课时：备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

（一）教学目标1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1–r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1–r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1 –r2|时，圆C1与圆C2内含.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.（三）教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.概念形成2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？利用连心线的长与两圆半径和、差的关系.教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.应用举例3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬. 同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.培养学生“数形结合”的意识.应用举例4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系. 如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.利用判实数根，进而利用判别式求解. 别式来探求两圆的位置关系.5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径.进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法.从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题. 师：指导学生完成练习题. 生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题.巩固方法，并培养学生解决问题的能力.方法拓展延伸8．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.得出两个圆的相交弦所在直线的方程.9．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？师：引导学生验证结论.生：互相讨论、交流，验证结论.进一步验证相交弦的方程.归纳总结10．课堂小结：教师提出下列问题让学思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？回顾、反思、总结，构建知识体系.课外作业布置作业：见习案4.2第二课时学生独立完成巩固深化所学知识.备选例题例1 已知圆C1：x2 + y2– 2mx + 4y + m2– 5 = 0，圆C2：x2 + y2 + 2x– 2my + m2– 3 = 0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含.【解析】对于圆C1，圆C2的方程，经配方后C1：(x–m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y–m)2 = 4.（1）如果C 1与C 232+， 所以m 2+ 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.（2）如果C 1与C 232-，所以m 2 + 3m + 2＜0，得–2＜m ＜–1.所以当m = –5或m = 2时，C 1与C 2外切； 当–2＜m ＜–1时，C 1与C 2内含.例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2+ 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x 2 + y 2+ 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0.联立方程组22424(4)0y xx y x y x y λ=⎧⎨++--+++=⎩得：2(1)2(1)0x x λλ+++-=. 因为圆与y = x 相切，所以∆=0. 即2(1)8(1)0,λλλ++-=则=3故所求圆的方程为x 2+ y 2+ 7x + y + 8 = 0.例3 求过两圆x 2 + y 2 + 6x – 4 = 0求x 2 + y 2+ 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).则连心线的方程是x + y + 3 = 0.由3040x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 解得1272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以所求圆的圆心坐标是17(,)22-.设所求圆的方程是x 2+ y 2– x + 7y + m = 0由三个圆有同一条公共弦得m = –32.故所求方程是x 2 + y 2– x + 7y – 32 = 0.。

课题： 圆与圆的位置关系课 型：新授课教学目标：（1）理解圆与圆的位置关系的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．教学重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．教学过程：一、新课引入：问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎样判断？（引入课题）问题2：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？（引入新课）二、新课教学：问题：判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？（学生展开讨论） 例1．（课本例3）已知圆1:C 222880x y x y +++-= ，圆2C ：22442x y x y +---=0试判断圆1C 与圆2C 的关系。

分析:解法一:说明：（见第129页）解法二:小结：设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；课堂练习：1.课本130p 练习 ;2.圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -++=的公切线有 3 条3.求圆心为(2,1),且与已知圆2230x y x +-=的公共弦所在直线过点(5,-2)的圆的方程. 答案:22(2)(1)4x y -+-=4.两圆224410y x y ++--=与222130x y x ++-=相交于PQ 两点,则公共弦PQ 的长为 6 .课后作业：课本132p 习题4.2A 组第7，9，10题。

课后记:感谢您的阅读，祝您生活愉快。

第四章圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解并掌握圆与圆的位置关系及其判定方法.
2.通过用代数法和几何法分析圆与圆的位置关系,培养分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
在前面我们学习了点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,
问题1:点与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判断?
问题3:初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种?我们怎样判断圆与圆的位置
关系呢?
二、学生探索,尝试解决
如何判断圆与圆的这五种位置关系?
1.从方程的角度来看:由两个圆组成的方程组的解的情况来看:方程组有两个解,则两圆;方程组有一个解,则两圆;方程组没有实数解,则两圆;
2.判断两圆位置关系的方法多采用几何方法:设两圆的圆心距d,半径r1,r2,通过两个圆的和之间的关系进行判断.
三、信息交流,揭示规律
3.几何法
(1)当时,圆C1与圆C2相离;
(2)当d=r1+r2时,圆C1与圆C2;
(3)当时,圆C1与圆C2相交;
(4)当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2;
(5)当时,圆C1与圆C2内含;
步骤:(1)计算两圆半径r1,r2;(2)计算两圆圆心距d;(3)根据d与r1,r2的关系判断两圆的位置关系.
4.代数方法:方程组
有两组不同实数解?;有两组相同实数解?相切();
无实数解?(外离或内含)
1。

数学 4.2.2圆与圆的位置关系教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：（1）能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系；（2）掌握求圆的切线方程的方法。

2、过程与方法：探索圆与圆的位置关系的判断方法；会求圆的切线的方程。

3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

二、教学重点、难点：重点：圆与圆的位置关系的判断，圆的切线方程的求法。

难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求圆的切线的方程。

三、教学过程（一）实例引入例1、已知圆C 1：088222=-+++y x y x ，圆C 2：024422=---+y x y x ，试判断圆C 1与圆C 2的关系。

思考：圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？（二）解决问题圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。

判断方法： 方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。

方法二：依据圆心距l = |C 1C 2|与两半径长的和21r r +或两半径的差的绝对值||21r r -的大小关系，判断两圆的位置关系：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含。

解法一：联立方程组，相减得：x + 2y – 1 = 0，代入圆的方程，并整理得： 0322=--x x ，因为△ > 0，所以两个圆有两个公共点。

解法二：因为10),2,2(;5),4,1(2211==--r C r C ，所以53||21=C C ， 得10553105+<<-，所以<-||21r r 21r r l +<，两个圆相交。