表示平面投影的两种方法《表示平面投影的两种方法》你有没有遇到过这样的情况，在学习工程制图或者空间几何的时候，那些平面投影的概念和表示方法就像一团乱麻，怎么都理不清？别担心，今天我就来给你讲讲表示平面投影的两种方法，学会了这两种方法，以后再遇到和平面投影相关的问题，那都能轻松搞定。
这篇文章会详细地介绍这两种方法的具体操作步骤、需要注意的地方，还会告诉你学会这些方法之后能有哪些收获。
一、方法概述这两种表示平面投影的方法其实并不复杂。
一种是用几何元素表示法，另一种是用迹线表示法。
就像我们要去一个地方有不同的路线一样，这两种方法都是为了准确地在投影图里把平面给表示出来。
二、分步骤详细解析（一）几何元素表示法1. 用点和线表示平面- 这一步就像是用一个个小零件来组装一个大物件。
在平面投影里，我们可以用不在同一条直线上的三个点来确定一个平面。
比如说，想象有一个三角形的桌面，它的三个顶点就是那三个点，通过这三个点在投影面上的投影，就能表示出这个桌面所在平面的投影了。
- 具体操作呢，先在空间里确定这三个点的坐标（假设我们是在三维坐标系里），然后按照投影的规则，比如说正投影的话，就是垂直地把这些点投射到投影面上。
就像我们拿着一个手电筒从正上方垂直照射这个三角形桌面，桌面的顶点在地面（投影面）上留下的影子就是它们的投影。
- 小贴士：在选择这三个点的时候，要确保它们不在同一条直线上哦，不然就不能准确地确定一个平面了。
2. 用直线和线外一点表示平面- 这就好比在一个空旷的地方，有一根杆子（直线）和杆子旁边的一个小石子（点），它们也能确定一个平面。
在投影里，我们先确定直线和点的空间位置，然后把直线和点按照投影规则投射到投影面上。
- 实际操作的时候，如果直线是已知的方程形式，比如直线的参数方程，我们可以根据方程求出直线上几个点的坐标，再加上那个线外点的坐标，然后进行投影。
例如，直线是 \(y = 2x+1\)，我们可以取 \(x = 0\)和\(x = 1\)时的两个点，再加上一个不在这条直线上的点，如 \((3,0)\)，然后像前面一样进行投影。
2024年鲁人新版九年级数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】如图，正方形ABCD的边长为5，P为DC上一点，设DP=x，△APD的面积为y,关于y与x的函数关系式为：y=则自变量的取值范围为（）A. 0＜x＜5B. 0＜x≤5C. x＜5D. x＞02、下列图形都是由同样大小的小圆点按一定的规律组成的；其中第（1）个图形中一共有10个小圆点，第（2）个图形中一共有14个小圆点，第③个图形中一共有18个小圆点，，按此规律排列，则第（10）个图形中小圆点的个数为（）A. 40B. 42C. 46D. 503、如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=120°，则∠BOC的度数为（）A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°4、如图，已知点P是线段AB上一动点（不与端点A，B重合），△APC和△PBD都是等边三角形，连接AD、BC交于点I，并与PC、PD交于点E、F，则有下列结论：①AD=BC；②等边△PEF；③∠CID=120°；④∠ECF=∠EDF，其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、在△ABC中，∠A=60°，以BC为直径画圆，则点A（）A. 一定在圆外B. 一定在圆上C. 一定在圆内D. 可能在圆外，也可能在圆内，但一定不在圆上6、下列计算正确的是（）A. x2+x3=x5B. x2•x3=x6C. （-2x2）3=8x6D. （3x3）•（-5x2）=-15x57、（2009•梧州）一个布袋中有4个除颜色外其余都相同的小球；其中3个白球，1个红球．从袋中任意摸出1个球是白球的概率是（）A.B.C.D.8、【题文】在反比例函数的图象上有两点A B当时，有则m的取值范围是A.B.C.D.9、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1， x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2；下列结论正确的是（）A. a＜0B. a﹣b+c＜0C. >1D. 4ac﹣b2＜﹣8a评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，∠B=30°，则图中有____对线段其中一条是另一条的一半．11、若3x m+3y2与xy n的和是单项式，则n m=____．12、某学习小组10名学生的某次数学测验成绩统计表如下：。
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
