工程制图与识图3-3：直线上点的投影规律

• （4）选择正确的比例——在当前的练习中，一般采用1：1的比例。
• （5）作图步骤——
•
①先画最底部的基本形的三视图，并画出中心线
•
②再画中间基本形的三视图
•
③最后画上部或周围附加物的三视图
•
④检查有无错误和遗漏，补齐不可见的虚线
•
⑤用黑笔最后勾勒轮廓
一、形体分析
• 二、作图步骤
1、画最底部的基本形及中心线
• （五）三视图的画法
• 1、组合式物体的画法
•
步骤：
• （1）形体分析——先确定该形体是由几个基本体组合而成的，从每一个 基本体开始下手。
• （2）确定组合体摆放位置——保持物体平衡的状态下，从斜左侧面观察 为最佳。
•
（3）确定正立面——要求①选择能反映对象主要特征的那一面作为正立
面。②尽量不能在正立面图上出现虚线。
•
•
c、检查有无错误和漏洞，补齐不可见的虚线。
•
d、最后把确定下来的线条描深定稿。
举例图例
画法步骤—— 1、先画还原后总的长方体的三视图
• 2、再画切割部分的线，根据尺寸和对应关系来绘制。 • 3、检查无误以后把线描深。
3、三视图的补图及由三视图画出立体图
• （1）利用三等关系，先画出第三投影图的外轮廓线。 • （2）再利用形体分析或线面分析的方法，想像出该三视图的空间立体图 • （3）再结合三等关系，补画出第三投影图。
A、绘制出坐标轴和投影轴
B、按照尺寸比例绘制出未切割前的长方体
C、按照三视图中的切线在三个面上按尺寸比例绘制出切线的位置
D、看三视图中的前视图确定哪些地方需要切除
E、把需要删除的线去掉以后，侧面的切线整理画好

Z V
正面投影面（简称正面或V面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
X
oW
侧面投影面（简称侧面或W面）
水平投影面（H简称水平面或H面）Y
空间点A在三个投影面上的投影
Z V
a●
A
●
● a
X
o
W
a●
H
装饰制图与识图
富爱得职业培训学校
前言
图纸是设计师,业主,技术工人之间进行交流的语言.施工 图是指导工程完工的依据.
学习目的:
通过本课程学习和训 练,使学生熟练掌握图纸 理论,具有一定的空间思 维能力.熟练掌握室内设 计工程图的基础知识.
了解和掌握国家相应 的制图标准和规范.能依 据室内设计工程具体情 况,运用自己独特的设计 理论进行设计构思,选择 准确的绘图表达方式,正 确地绘制室内设计工程 图.
H
2答：物体的三面投影能确定物体的形状和大小
三面投影图的形成
1、三投影面体系——由三个互相垂直的投影面组成。
（1）投影面
正立投影面--V (正面）
Z
水平投影面--H (水平面） 侧立投影面--W (侧面）
V
（2）投影轴
OX轴 --- V H
OY轴 --- HW
X
OZ轴 --- VW
（3）原点
想象下列物体形状的三视图?
长方体
圆锥
球
正视图
侧视图
俯视图
长方体
正视图
侧视图
· 俯视图
正视图
侧视图
俯视图
圆台
六棱锥
正Байду номын сангаас图
圆台
侧视图

◦ 只要求出直角Δ AB0B的实形，即可求得AB对V面的倾角β 及其实长。 ◦ AB的正面投影a′b′已知，B、A两点到V面的距离之差， 可由其水平投影求得，由此即可作出直角Δ AB0B.的实形。

作法（1）
◦ 1）过a作OX轴的平行线与b′b交于b1，则bb1等于B、A两 点到V面的距离之差； ◦ 2）过b′作a′b′的垂线，在该垂线上截取b′B0 = bb1， 连接a′B0，则∠B0 a′b′即为AB对V面的倾角β ，a′B0 =AB（T.L）。

已知点A的三个投影，另一点B在点A上方8mm。左方 12mm，前方10mm，求点B的三面投影。
◦ （1）在a′左方12mm，上方8mm处确定b′。 ◦ （2）过b′作OX轴的垂线，在其延长线上a前10mm处确定b。 ◦ （3）根据三面投影关系求得b″。

重影点及其投影的可见性
◦ 若空间两点位于某一投影面的同一条投影线上，则它们 在该投影面上的投影必然重合，这两点投影称为该投影 的重影点(ghost image point)。 ◦ 水平投影重合的两个点，叫水平重影点； ◦ 正面投影重合的两个点，叫正面重影点； ◦ 侧面投影重合的两个点，叫侧面重影点。
点的单面投影 点的三面投影 点的投影规律 点的投影与坐标 两点的相对位置和重影点



点在某一投影面上的投影，实质上是过该点向投影 面所作垂线的垂足。因此，点的投影仍然是点。 过空间点A向投影面H作投影线，该投影线与投影面 的交点a，即为点A在投影面H上的投影。这个投影 是唯一确定的。 仅根据点的一个投影还不足以确定点在空间的位置。

在立体图中画出点A（20，12，15）的投影及其空 间位置。
◦ （1）画出H、V、W三投影面的立体图：将V面画成正离的 矩形，下边作为OX，右边作为OZ，；然后分别以OX和OZ为 一边，把H面和W面画成锐角为45ْ的两个相交平行四边形， 交线即OY。

图4-2 阳光照射下桥梁在地面上 产生的影子
4.1.1 投影的概念、投影法的分类及正投影的特性
人们经过长期的实践，将这些现象加以抽象、 分析研究和科学总结，从中找出影子和形体之间的 关系，用以指导工程实践。这种用光线照射形体， 在预先设置的平面上投影产生影像的方法称为投影 法。光源称为投影中心，从光源射出的光线称为投 影线，预设的平面称为投影面，形体在预设的平面 上的投影称为形体在投影面上的投影。
道路工程识图与绘图
模块4 点、直线、平面的投影
4.1 投影的基础知识 4.2 点的投影知识 4.3 直线的投影知识 4.4 平面的投影知识
模块4 点、直线、平面的投影
知识目标
（1）了解点、直线、平面的基本投影规律和点的坐标。 （2）理解点的坐标与三面投影的关系及直线和平面的空间位置。 （3）掌握平面的投影及平面上的点和直线的投影。
【例4-1】
4.1.2 三面投影
图4-18 绘制三面投影图的方 法、步骤 (a)已知形体(b)绘制三面投影 体系(c)量取长、高，画正视图 (d)按“长对正”绘制俯视图(e) 按“高平齐”“宽相等”绘制 左视图(f)检查加深，完成作图
4.1.2 三面投影
【分析】正面投影方向为直观图中正视所指方向［见图 4-18（a）］，形体的前后两面平行于V投影面，较能代表 其与众不同的特征形状，因而画好投影轴、大致将三个图样 位置划分好后，可以着手作图。
（2）由前向后 投影，在V面上得到了 形体的V面投影图。
（3）由左向右投影， 在W面上得到了形体的W面 投影图。
4.1.2 三面投影
三投影面体系是在三维立体空 间建立的，为了使三面投影图能画 在一张图纸上，还必须把三个投影 面展开，使之平铺在同一平面上。 三面投影的规定为：V面不动，H面 绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴 向右旋转90°，使它们转至与V面同 在一个平面上，如图4-13所示，这 样就能够得到画在同一平面上的三 面投影图。

c
n
m
【例】 点K在侧平线AB上,已知点K的正面投影k′,求k。
a′
作法一 a′
作法二 a′
a″
k′
k′
k′
b′
b′
b′
X
OX
OX
O
a
a
平行 a
k
任意角度k
b
b
b
k″ b″
作法一：根据定比性 ak/kb=a′k′/k′b′, 在H面投影上用 定比法作出;
作法二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定 点的方法求出。
k
b
Y
Z
b″
k″
a″
O
YW
YH
[例] 已知线段AB的投影图，试将C点把AB分成3:2两段，求C点的
投影。
1.过AB 的任一投影的任一
端点如a, 作一条辅助直线，
c'
并在其上从a起量取3个单
位的长度得n点,再量取2个
单位的长度得m点。
2. 连接bn，过m点作bn 的平行线，交ab于点c。
3.过点c做垂直于OX轴的 投影连线，交a′b′于点c′。
d′
a d
d
c
b
c
b
垂直相交
相交(不垂直)
垂直相交
[例] 求点A到水平线BC的垂线
分析：由于BC是水平线。作BC 的垂线将在H面上反映直 角实形。
d'
步骤：（1）过点a作直线垂直 于bc，交bc于点d。
（2）根据长对正的规律， 在b′c′上求出d′ 。
（3）连接a′d′。
d
[例] 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
直于CD，根据直角投影定理，

图4-28 一般位置直线
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从 属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从 属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线 的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性

一直线上的两线段之比，等于其同面投影之比。这一 性质称之点的定比性。
特性1.从属性
• 点在直线（或平面）上，则该点的投影一定在直线（或平面）的同面投影
上
K在DE上
N在∆ABC上
投影后，k 在ed上
投影后，n在∆ abc上
特性2.定比性
点分线段之比，投影后该比值保持不变； 空间平行的两线段长度之比，投影后该比值不变
根据2：点的投影必在该直线
的同名投影上.
b'
b"
c’
c’’
a'
a"
X
YW
O
经典例题
a
cb
【例3-4】已知直线AB的两面投影，C点在AB上，且已知正面投影点c′,完成直线 和点的三面投影。
作图步骤：求出点A、B的侧面投影a″、b″并连线完成直线的三面投影。 因为C点投影应该符合点的投影规律，故过c′作横线和竖线辅助线； 因为从属性，点C的投影必在直线AB的同名投影上，故所作辅助线与ab、 a″b″的交点即为c、c″。
例 已知直线EF的两面投影及EF上一点C的正面 投影，求点C的水平投影。• 可利用定比性求
e'e' c'c' f'f'
ff
f0
ee
c0
e' c' f'
f
c
f0
c0
小结与作业
• 可选作业： • 《工程制图与识图习题集》 • P20：3-3
点、直线是作图基础
第第3章几何要素投影33直线上点的投影规律及作图方法点直线的投影是制图基础如果点在直线上则点的三面投影就必定在直线的三面投影之上
第3章 几何要素投影

3.1 投影的概念和分类
(4）标高投 影图。
用正投影法绘制的物体的标有高度的单面投影图，称为标 高投影图，如图3-9（d）所示。它用正投影反映物体的 长度和宽度，其高度用数字标注。作图时，用间隔相等的 水平面截割地形的高程，其交线即为等高线。将不同高程 的等高线投影到水平的投影面上，并标注出各等高线的高 程，即得标高投影图。这种投影方法用于绘制建筑总平面 和道路等方面的平面布置图样。
Page 6
图3-1 物体的影子
项单目击3此处投编辑影母的版基标题本样知式识
3.1 投影的概念和分类
（2)投影。在工程制图中， 假设按规定方向射来的光线能 够穿透形体，而将形体上的各 顶点和所有轮廓线都在平面上 投落它们的影，此时，不但形 体的外形可以得到反映，同时 形体上部和内部的情况也能得 到反映。这样形成的图形称为 形体的投影，如图3-2所示。
Page 28
项单目击3此处投编辑影母的版基标题本样知式识
3.2 三面投影图
3.三面投影图的展开 这时，Y轴就分成了两条，在H面上的用OY H表 示，在W面上的用OY W表示。如图3-14（a）所示。 通常绘制形体的三面投影图时，因形体与投影面的距离 并不影响形体在这个投影面上的形状，故不需要画出投 影面的边框，也可不画出投影轴，如图3-14（b）所示。
项单目击3此处投编辑影母的版基标题本样知式识
3.2 三面投影图
3.三面投影图的展开 为了使空间三个投影面上所得到的投影在一个平 面上，需将三个互相垂直的投影平面展开。展开时， 保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面 绕OZ轴向右旋转90°。这样，H面、W面就和V面在 同一个平面上了，由此得到展开后的三面投影图，如 图3-13所示。
Page 24

图3-1点的三面投影（a）点的投影立体图；（b）点的投影
单元三 绘制点的投影
二、点的投影规律 • （1）垂直规律：aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。点的V面投影与H面投
影的连线垂直于OX轴；点的V面投影与W面投影的连线垂直于 OZ轴。即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。 • （2）相等规律：点的投影到投影轴的距离，反映点到相应投影 面的距离。即：aaX=a″aZ=Aa′，反映A点到V面的距离； a′aZ=aaY=Aa″，反映A点到W面的距离；a′aX=a″aY=Aa， 反映A点到H面的距离。
单元三 绘制点的投影
三、特殊位置点的投影 如图3-2所示为特殊点的三面投影。 ➢ 思考一：有几种特殊点的情况？其投影有何特点？
图3-2特殊点的三面投影
单元三 绘制点的投影
四、点的投影与坐标 A点到W面的距离为X坐标；A点到V面的距离为Y坐标；A点到H
面的距离为Z坐标。A点可表示为（X，Y，Z）。点的每个投影反映 两个坐标，点的三面投影与点的坐标关系为： • （1）A点的H面投影a可反映该点的X和Y坐标； • （2）A点的V面投影a′可反映该点的X和Z坐标； • （3）A点的W面投影a″可反映该点的Y和Z坐标。
单元三 绘制点的投影
五、两点的相对位置 空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点在该点的前
后、左右、上下的位置，这可由两点的三个坐标值来确定，或者由两 点的坐标差来确定。如图3-3所示。
图3-3两点的相对位置（a）立体图；（b）投影图
单元三 绘制点的投影
➢ 思考二：根据Ｘ坐标判别两点的左、右关系；根据Ｙ坐标判别两点 的前、后关系；根据Ｚ坐标判别两点的上、下关系。试判断图3-3 中A、B两点的相对位置。 结论：B点在A点的左、后、下方。

Y
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（一）点的投影规律
Z
V
a
az
X
ax
A
a'
OW X
a H
ay Y
a
ax a
Z
az
a'
ay
O
YW
ay YH
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（一）点的投影规律
Z
水平投影和正面投影的连线
垂直于OX轴（长对正）
a az
a
'
正面投影和侧面投影的连线
X ax
O
ay 垂直于OZ轴（高平齐）； YW 水平投影到OX轴的距离等于
WX
O
p"
O
YW
p
p
H Y
YH
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侧平面的投影特性
Z
侧面投影反映实形； 水平投影和正面投影 积聚为一条直线并平 行于相应的投影轴。
V
Z
p'
p'
p"
P
p" W X
X
O
p
p
H Y
O
YW
YH
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投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影特性可概括如下： （1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形； （2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。 图示特点：一面两线
Y
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（二）点的投影与直角坐标的关系
a’
z x
ya
z xy
o
x
空间点A到H面的距离
为坐标值Z
a”

三、平面的正投影规律
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系

投影的基本知识 3、平行投影的特性 1）类似性 A
B
a
b
投影的基本知识 3、平行投影的特性 2）实型性
b a b′
a′
投影的基本知识 3、平行投影的特性 3）积聚性
投影的基本知识 3、平行投影的特性 4）平行性 4）定比性（从属性）
形体三面投影图 1、三面投影体系的建立 V
正面投影面 （简称正面或V面） 水平投影面 （简称水平面或H面） 侧面投影面 （简称侧面或W面）
V 正面投影
YH H
向下旋转90º
Z
高
侧面投影
W
X
长
水平投影
O 宽
YW
宽
H
YH
形体三面投影图 2、三视图的位置关系 上 左 下 后 左 右 前 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后 右 后 上 前
后
上 右
下
左 下
前
形体三面投影图 3、投影图的三等关系
W
H
三个投影面互相垂 直
形体三面投影图 1、三面投影体系的建立 在工程图纸上，形体 的3个投影是画在同 一个平面上，因此将 三个投影面展开为一 个平面。
V
形体三面投影图 1、三面投影体系的建立
Z
V
O
W
向右旋转90º
投影体系的展开方法：
X
YW
1) 保持V投影面不动。
2) 将H投影面绕OX轴向下旋 转90，使H面与V面共面。 3) 将W投影面绕OZ轴向右旋 转90，使W面与V面共面。
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
长
高
宽
长对正 高平齐 宽相等