第二章点、直线和平面的投影

A
b a
a C c
c
c
c
b
c
a
投影特性 1 、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b （1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也不垂直
（2） ab, a’b’, a’’b’’都较空间线段AB缩短了。 其具体长度为： ab=ABcosα ,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影方法
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样 及正轴测图
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的 相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
小结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。
★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、点的投影规律
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
a ●
X ax a●
Z
az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
② aax= aaz=y=A到V面的距离
P
● b B1 B2 ● B3 ●
●
解决办法？ 采用多面投影。
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 V
面或V面）
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
o
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
a
●
O
Y
ay
Zபைடு நூலகம்
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
Y
a●
ay
点的投影规律:
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aaaaaaxyx===aaaaaazz=y==xyz===AAA到到到WVH面面面的的的距距距离离离
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
2.4 平面的投影
一、平面的表示法
c
●
c
●
a●
a●
a●
第 二 章 点、直线和平面的投影
2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影 2-5 直线与平面及两平面的相对位置 2-6 换面法
要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的 投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置
的投影特性解决有关问题。掌握换面法
2·1 投影的基本知识
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律。反之亦然。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
⒊ 两直线交叉
d
a
1(2
)
3 ●
两直为投线什影相么特交？性吗？：
●
●4
c
c 2
●
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
⒊ 一般位置平面
b
a
B
b
b a
b a
a α
实长
b
对Ｈ面倾角和实长
a
X
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
对Ｖ面倾角与实长
b
B
a
X
|YA-YB|
O C
A
b
a
AB
b
|YA-YB|
a
X
ab
b
AB
a
|YA-YB|
对Ｗ面倾角与实长
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b
A
a
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a
c(d) d c ●
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的 投影互相垂直
反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角 至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
d
b
a●
Z ●a
左右位置关系。
判断方法：
b● X
a●
● b YW
▲ x 坐标大的在左
●
b
YH
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、
之右、之下。
六、重影点：
A、C为H面的重影点
a
空间两点在某一投影 ●
●a
面上的投影重合为一点 c●
●c
时，则称此两点为该投
影面的重影点。
●
a (c)
A、C为哪个投
一般位置直线与倾角
z
b′
b″
V
b′ Ｂ
b″
a′
βγ
a′
a″
α
WX
Yw
Ａ b
a″
b
a
H
ab=ABcosα a′b′=ABcosβ a″b″=ABcosγ
a
YH
三个投影都缩 短，且都倾斜 于相应的投影轴
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
ZB-ZA ZB-ZA
V
a
A
YB-YA
b
A0
β
B
α B0
bH
b′ a′
直角（正）投影法
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行
投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
2·2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A● ● a A在P面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
b
c
B
C
A
ac
b H
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
② a
c●
b
c
b
a
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
另一判断法? 应用定比定理
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
⒈ 投影面垂直面
类为似什么性？
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
ax
a●
解法二: