杨辉三角PPT课件13 (人教课标版)

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杨辉三角PPT

C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教具：多媒体、实物投影仪

杨辉三角课件

1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C

杨辉三角上课用PPT课件

(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型证明不等式
例20．证明：当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.

高二数学人教A版选择性必修第三册第六章数学探究杨辉三角的性质与应用课件(共20张PPT)

2
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”．布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读杨辉三角的历史沿革北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪中叶 ( 约公元 1050 年 ) 贾宪的《释锁算术》，并绘画了 “ 古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”．意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪中国北宋 11世纪《释锁算术》杨辉中国南宋1261 《详解九章算法》记载之功朱世杰中国元代 1299 《四元玉鉴》级数求和公式阿尔·卡西阿拉伯 1427 《算术的钥匙》阿皮亚纳斯德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔德国 1544 《综合算术》二项式展开式系数薛贝尔法国 1545 B·帕斯卡法国 1654 《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.

人教A版高中数学选修人教杨辉三角与二项式系数的性质课件

• [例2] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.
• 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； • (2)a1＋a3＋a5＋a7； • (3)a0＋a2＋a4＋a6； • (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：
• ①令x＝1可求a0＋a1＋a2＋…＋a7； • ②令x＝－1可求a0－a1＋a2－…－a7； • ③令x＝0可求a0. • 解答本题可利用赋值法，求出常见的几种
• 1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
• 1．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开；
• 2．能根据组合思想及不完全归纳法猜二项展开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；
• 3．能正确区分二项式系数和某一项的系数；能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它特定的项或系数．
[解析] 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19，
∴S(16)＝C21＋C22＋C31＋C32＋…＋C91＋C92 ＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29) ＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C22＋C23＋…＋C29) ＝C210＋C310－1＝164.
• [例3] 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
•( )
• A．144
B．146

人教A版高中数学选修23.2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件

人教A版高中数学选修23 .2“杨辉三角 ”与二项式系数的性质PPT 课件
人教A版高中数学选修23 .2“杨辉三角 ”与二项式系数的性质PPT 课件
《九章算术》
人教A版高中数学选修23 .2“杨辉三角 ”与二项式系数的性质PPT 课件
人教A版高中数学选修23 .2“杨辉三角 ”与二项式系数的性质PPT 课件人教A版高中数学选修23 .2“杨辉三角 ”与二项式系数的性质PPT 课件
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+61被8除所得的余数是( C ).
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2，，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__17_1 .
2.选择
（1）( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个
数是（）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是（）
√ A.4032 B.-4032 C.126

人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》精品课件

(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项．列出不等关系解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析：在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.

教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)

“杨辉三角”与二项式系数的性质
湖南师大附中杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识：思想方法：
作业布置：《5.3》上的相应练习题
课后思考：探索“杨辉三角”所蕴含的其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全行的数都为1的是第行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3

杨辉三角ppt 人教课标版

在《详解九章算法》中载有一张珍贵的图形 ——“开方作法本源”图(图2-7)．根据杨辉自注此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”．就是说这张图是贾宪(11世纪)创造的，原载于《释锁算书》(已失传)中，这张图实际上是一个二项式展开式的系数表，它包括了0次到 6次二项式的全部系数．这些展开式用现代数学符号表示就是： (a+b)0=1 (a+b)1＝a＋b (a＋b)2=a2+2ab+b2
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图 1 是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从 A 处走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在正上方， B 在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ，正好是答案 ( 70) ．一般地 , 每个交点上的杨辉三角数，就是从 A 到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．
2.1 杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》．为了使《九章算术》便于自学，杨辉对该书的246个问题中较难的80题作了详解，并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解释题意、名词术语，校勘文字，并对题目作出评注；二是“细草”，即详细的解题过程及必要的图示；三是“比类”，即增选与原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
5、在杨辉三角中，若行数P是质数（素数），则P整除第P行中除1外的所有数。你能证明吗？
作业：请思考：杨辉三角还有什性质吗？

14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)

(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019，求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？

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证明：1)当n=1时，左边＝a+b,右边＝a+b 所以等式成立． 2）假设当n=k时等式成立，即
( a b ) k C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k b k
则当n=k+1时，(ab)k1 (ab)k(ab)
( C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k )a ( b )
1
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
C k 0 a k 1 C k 1 a k b C k r 1 a k r b b 1 C k k a k b
C k 0 a k b C k r a k r b r 1 C k k 1 a k C b k k b k 1
= C k 0 a k + 1+ (C k 1 C k 0)a k b+ + (C k r+ 1 C k r)a k rb b + 1+ + (C k k C k k － 1 )ak+ b C k k b k + 1
1＋1＋1＋．．．＋1＝ 1 （第1条斜线）
Cn
C 1＋2＋3＋
．．．＋ C
1＝
n1
2 （第2条斜线）
n
C 1＋3＋6＋
．．．＋
C
2＝
n1
3 （第3条斜线）
n
C C 1＋4＋10＋．．．＋ 3 ＝ 4 （第4条斜线）
n1
n
? C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1C nr 1 (n>r)
Cn r Cn r 1 1Cn r1
3）杨辉三角具有对称性 Cnr Cnnr
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数即
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
求证：( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
…… … …
C n1 n
一.复习:杨辉三角的基本性质
1）表中每个数都是组合数，第n行的第
r+1个数是
Cr n
n! r!•(nr)!
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
…… … …
C n1 n
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1++1=6
C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20
C3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C
4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数.
的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
A
B
从某种意义上说, 发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第0行
1
第1行
11
第2行第3行第4行第5行第6行
12
4=1+3
10=6+4 15=5+10
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 C n r 1 ( n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。
利用组合数的重要性质可得
( a b ) k 1 C k 0 1 a k 1 C k 1 1 a k b 1 C k r 1 1 a k r b r 1 C k k 1 1 b k 1
二.引入:
1. 斐波那契“兔子繁殖问题”:
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
研究性课题：
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行第3行第4行第5行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
即 C r 0 C r 1 1 C r 2 2 C n n 1 r 1 C n n r 1 ( n r )
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.这如就图是，著写名出的斜斐线波上那各契行数数列字的。和，有什么规律？
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行

杨辉三角PPT课件13 (人教课标版)

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