中考复习 杨辉三角

2022年数学中考复习专题练习杨辉三角1.(2020泰安)下表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4＋a 200＝_________．2.(2019烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.则(a+b)9展开式中所有项的系数和是()A .128B .256C .512D .1024(a+b)0=1(a+b)1=a+b (a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3(a+b)4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4(a+b)5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b53.(2018德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）A.84B.56C.35D.284.(2018宜昌)1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A.a=1，b=6，c=15B.a=6，b=15，c=20C.a=15，b=20，c=15D.a=20，b=15，c=65.(2017黔南)杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则(a+b)5=．6.(2018孝感)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么a 9+a 11-2a 10+10的值是．7.阅读下列材料，并完成相应的任务：杨辉三角我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式(a+b)n的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示任务：(1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为、、；(2)请直接写出(a+b)4的展开式：(a+b)4=；(3)根据（2）中的规律，求114的值，写出计算过程．8.杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n（此处n＝0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．(a+b)0＝1(a+b)1＝a+b(a+b)2＝a2+2ab+b2(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出(a+b)6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27＝；（3）杨辉三角还有另一个特征：从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115＝．9.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．（1）(a+b)n展开式中项数共有项．（2）写出(a+b)5的展开式：(a+b)5＝．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．10.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…，那么11a +21a +31a +…+na 1的值是.参考答案1.201102.C3.B4.B5.a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b56.117.(1)4、6、4(2)a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(3)114=(10+1)4=104+4×103×1+6×102×12+4×10×13+14=1000+4000+600+40+1=146418.(1)15(2)128(3)11(4)1610519.(1)n+1(2)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5（3）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=(2-1)5=12010.11。

初一数学压轴题杨辉三角一、在杨辉三角中，若某一行的第二个数是15，则这一行的所有数字之和为？A. 64B. 128C. 256D. 512（答案）C二、杨辉三角的第n行（n≥2）中，除了两端的数字外，每个数字都等于它上方两个数字之和。

若第8行的中间数字为m，则m的值是？A. 28B. 42C. 56D. 70（答案）A三、在杨辉三角中，某一行的数字依次是1，x，y，z，1，其中y是这一行的最大数字，那么x+y+z的值是？A. 18B. 22C. 24D. 28（答案）B四、杨辉三角的第n行（n为奇数）所有数字之和为2的n-1次方，那么第9行的中间数字是？A. 32B. 36C. 72D. 128（答案）B五、在杨辉三角中，若某一行的数字和为1024，则这一行共有多少个数字？A. 10B. 11C. 12D. 13（答案）B六、杨辉三角的第n行数字之和等于(1+1)的n-1次方，若第k行的数字和为64，则第k+1行的第二个数字是？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）B七、在杨辉三角中，某一行的数字从左到右依次是a，b，c，d，e，其中c是这一行的最大数字，那么a+b+c+d+e的值可能是？A. 30B. 32C. 62D. 64（答案）D八、杨辉三角的第n行（n≥3）中，若中间的数字是m，且m=C(n, k)（其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数），则k的值是？A. n/2B. (n-1)/2C. n/2+1D. (n+1)/2（答案）B（注：此题假设n为偶数，若n为奇数，则中间数字对应的k值为(n+1)/2，但根据题目要求，我们选择了更一般且适用于偶数n的选项B作为“可能”的答案，实际情况下需根据n的奇偶性判断）。

初中杨辉三角经典例题哎，大家好，今天咱们聊聊一个神奇的数学玩意儿，叫杨辉三角。

可能有人会想，哎呀，这听起来好高深，跟我有啥关系呢？别急，咱们慢慢聊，保证让你觉得它其实挺有意思的。

想象一下，杨辉三角就像一个金字塔，不过这个金字塔不是用石头堆起来的，而是用数字一层一层堆上去的。

看着它，仿佛一幅生动的图画，真的是太有意思了。

先说说这杨辉三角的形状，最顶端一层就是个“1”，下面一层是两个“1”，再下面就是三个数字，分别是“1、2、1”。

这儿有个小秘密，左右两个“1”是不会变的，啥都不动，总是那么稳稳当当。

而中间的数字就好比在玩拼图，上一层的两个数字加起来，变成了这一层的中间那个数字。

是不是很神奇？想象一下，有点像搭积木，越搭越高，越搭越有趣。

好啦，接下来聊聊它的用处，虽然看起来就像个数字游戏，但其实它可是个数学小能手。

比如说，咱们都知道组合问题吧？这个杨辉三角就像个宝藏箱，里面藏着各种组合的答案。

就拿抽奖来说，假设你有10个球，想从中抽出3个，杨辉三角就能告诉你一共能抽出多少种组合。

真的，拿到答案的那一瞬间，你会觉得自己好像开了个小窍门，嘿嘿。

再说说二项式定理，听上去高大上，其实就是个简单的公式。

你知道吗？杨辉三角在这里也是个好帮手。

它能帮助你快速展开像(a + b)的n次方这种表达式，想想看，是不是省了不少力气？所以说，这杨辉三角不光是个好玩意儿，还是个勤快的小助手呢。

再聊聊在生活中，我们常常能看到杨辉三角的影子。

比如说，咱们吃的饺子，如果把饺子馅看成是不同的材料，做饺子的时候，你就得想怎么搭配了。

杨辉三角就像你的搭配师，告诉你到底有多少种搭配方式。

想象一下，今天晚上你想做饺子，突然脑子里冒出“哎，我可以加点虾仁、白菜、肉末！”这时候，杨辉三角就成了你创意的源泉，哈哈！咱们在生活中也常常遇到一些选择。

比如说，你和小伙伴们一起去玩，突然有了10个地方，想选择3个去。

这个时候，杨辉三角就能帮你算出有多少种选择方式。

初中数学应用杨辉三角题目
杨辉三角是一个强大的数学工具，它可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以用来帮助我们解决一些复杂的数学问题。

杨辉三角有极大的实用价值，它已被广泛应用于初中数学教学和学习中。

杨辉三角是由第一行开始，每一行的数字都比上一行多一个数字，并且每一行的首尾都为1。

每一行数字之间的差值为等差数列，即由第n项的数字减去第n-1项的数字，等于第1项的数字。

另外，每一行的数字之和都为2的幂次方，同时，每一行的中间部分的数字之和等于它上面一行所有数字之和。

杨辉三角被应用于初中数学教学和学习中，主要是为了更好地理解数学。

比如，通过杨辉三角，学生可以更容易理解一些复杂的组合问题，从而更好地解决问题。

此外，杨辉三角也可以用来帮助学生求解一些概率问题，对于求解类似的组合与概率的问题，杨辉三角可以帮助学生更有效地解决。

同时，在使用杨辉三角求解问题时，学生可以使用规律性，从而提高解题效率和质量。

此外，杨辉三角也可以用于求解组合数学问题。

比如，通过杨辉三角，学生可以很容易地求解出在各种不同的组合情况下的行列式的值，从而更好地理解组合数学的概念。

此外，学生也可以利用杨辉三角求解一些多项式的值，比如二次函数的系数。

此外，杨辉三角也可以用于求解几何学问题。

比如，学生可以通过推算杨辉三角的每一行数字之和，来求解多边形的面积和周长，也可以求解角度和锐角三角形等几何学问题，从而加深对几何学的理解。

总之，杨辉三角在初中数学教学和学习中有着重要的应用价值。

它可以帮助我们更好地理解数学，也可以用来求解一些复杂的数学问题，从而提高自身的学习效率和水平。