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数学建模——微分方程模型

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微分方程模型

微分方程模型

6.1 微分方程模型的建模步骤 6.2 作战模型
6.3 传染病模型 习题
6.1 微分方程模型的建模步骤
例1 某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新
陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他每天大约每千克
体重消耗69焦的热量。 假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含 热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。
模型分析
甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力 在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非 常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。
模型假设
1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 表示甲乙双方开战时的人数，x0 > 0, y0 >0； 2.设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑； 3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) ,
投入多大的初始兵力。不妨设 100 x0
S 活动区域 x 0.1
p， 0.1 rx， x
ry 2
， 平
平方千米，乙方射击的有效面积 1 sy
y0 2 0.1 0.1 106 100 x 2 1 100 0
2
方米，则可得乙方获胜的条件为：
a
时甲方兵力
降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，K 0
甲方获胜。而当 K 0 时，双方战平。 2 2 甲方获胜的充要条件为 bx0 ay0 0
时，
代入a 、b 的值，有甲方获胜的充要条件为
2 2 rx p x x 0 r y p y y 0
故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：

数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

第四章 微分方程数学模型

第四章 微分方程数学模型
s 0 在轨线方程中，令t知 1 s ln s0 s是[0， ]中的单根 1 1
3)、若s0
1

, 则i(t )先增加，当 s
1
1

时，i(t )达到最大
im 1

(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1

, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1

O
1
1

1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1

)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.

数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题

数学建模-微分方程模型-饮酒驾车问题

和 x0 ，将体重 70kg 的某人在快速喝下 2 瓶啤酒之后一段时间内他血液中酒精含量的
测量值进行处理后，得到附录 1 所示的 y0 0 时的一组数据，并采用非线性最小二乘法 拟合算法对系数进行求解，得出参数如下。 x0 5193
=2.00796
=0.1855
同时可以看到，每瓶啤酒含酒精量为 2596.5mg。 所以，得出的血液中酒精含量关于时间的函数如下。
0.1855 t e 2.00756t ) 2860.78604(e y (t ) 0.1855( t 6) 2860.8028e 2.00756(t 6) 3800.7595e
0t 6 6 t 12
利用 matlab 对以上模型进行求解。 图 3 大李血液中酒精含量随时间变化图像
y (t ) ( y0 +5721.57208)e 0.1855t 5721.57208e 2.00796t
拟合效果如图。 图 1 函数的拟合效果
图 2 残差分析图
残差分析图
600 500 400 300 200 100 0 10 11 12 13 14 15 0.5 1.5 2.5 3.5 0.25 ‐100 ‐200 ‐300 ‐400 残差 0.75 4.5 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时刻为 t 时胃肠道中的酒精含量。
y (t ) 时刻为 t 时血液中的酒精含量。


胃肠道中的酒精进入血液的转移率与胃肠道中酒精量的比值。 血液中的酒精的排除率与血液中酒精量的比值。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一 根据题目叙述，大李的实际情况符合快速饮酒的模型。为了确定函数中的系数 ，

数学建模微分方程模型练习题

数学建模微分方程模型练习题

微分方程模型练习题
1.速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与,
,v s ρ的关系
2.根据经验当一种新商品投入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量()s t 成正比。

广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费()a t 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。

建立一个销量()s t 的模型。

若广告宣传只进行有限时间τ，且广告费为常数a ，问()s t 如何变化？
3.如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，试建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。

4.某种群最高年龄为30岁，按间隔10岁将此种群分为三组并
以10年为一时段。

若020b b ==，13b =，016p =，112p =，
0(1000,1000,1000)T N =
求：（1）10年、20年、30年后该种群按年龄分布的种群量；
（2）此种群的固有增长率1λ及相应的稳定年龄分布；
（3）指出该种群的发展趋势。

微分方程建模(溶液浓度)

微分方程建模(溶液浓度)

[解] 设y(t)表示t时刻细菌的总数，由题目告诉的任何 瞬间都成立的事实，找到规律, 列出微分方程:
dy dt ky
解得:
y Ae
kt
找到题目中的特定瞬间信息:
ln 4
y(0) 100, y(24) 400
y 100e
t
24
y (1 2 ) 2 0 0
[例2] 混合溶液的数学模型
衰减(放射性/污染物的净化) “边际的”(经济学)
应注意题目的 这些词: 改变/变化/增 加/减少
如何建立微分方程?
根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验
的规律等来建立微分方程模型。

微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法
不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所 找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967
年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型
解决了这一问题。
原理
著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t ) ，则有
dN dt N
dp k f p g dt p(0 ) p0
p
假设需求函数
假设供给函数 则微分方程为：
f ( p ) ap b g ( p ) cp d
dp k (a c ) p k (b d ) dt p(0 ) p0
数学建模系列讲座之
微分方程建模
微分方程的应用

微分方程模型基本概念


2）在D上有不等式
dy f ( x, y ) 则初值问题 dx ( x0 ) y0
f ( x, y) F ( x, y) dy F ( x, y ) 与 dx ( x0 ) y0
的解 ( x), ( x) 在它们共同存在区间上满足
( x) ( x), 当 x x0 ( x) ( x), 当 x x0
那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建
立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。
建立坐标系
y o—处在台上的设计视点
a—第一排观众与设计视 点的水平距离 b—第一排观众的眼睛到x 轴的垂 直距离
d—相邻两排的排距
b o 问题

a d d
—视线升高标准
x
x—表示任一排与设计视 点的水平距离
求任一排x与设计视点o的竖直距离函数 y y ( x) 使此曲线满足视线的无遮挡要求。
y dy y x d dx x x d
dy1 y1 dx x d y1 b xa
b x y1 ( x) x x ln a d a
dy2 y2 dx x x d y2 xa b
5 总结与讨论
y
方法 利用微分不等式建模； 有时只需求近似解。 模型讨论 1）视点移动时升起 曲线如何求得？ b o
a d d
x
2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。 3）衡量经济的指标？ 座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。
2 问题的假设 1) 观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线 上地面的起伏曲线即可。 2) 同一排的座位在同一等高线上。 3) 每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离 相等。

数学建模 微分方程模型讲解


量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )

数学建模,第三章-微分方程模型


8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt

数学建模微分方程模型

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

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导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有 速率(物理) 增长率(经济，生物，人口等) 衰变(原子反应) 边际的(经济) 瞬时变化率的描述： 绝对增加率：单位时间增加的量。 相对增加率：单位时间增加的百分比。 变化率= 增加率-减少率 由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间 隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点， 如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的 平衡点。
稳定的平衡点的实际意义： 如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方 程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡 点。 例：对Logistic方程，
dx x rx(1 ) dt N 它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平 衡点，x=N是稳定的平衡点。
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。 例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin dx
u 2 u a sin x t x
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位臵的改 变，而且物体各部分之间的位臵的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
等式两边求导数则得到第一个方程。
例2：一只装满水的圆柱形桶，底半径3m，高6m。 底部有一个直径0.02米的孔。 (1)水多长时间可以流光？ (2)如果孔在侧面，而桶放在距地面3m 的高度。求 水流喷出距离的变化规律。
解：直接利用Newton第二定律建模比较困难，我 们利用能量的转换。在流水的过程中，桶的顶部减 少的势能化为水的动能。(如图)
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
例1：求单摆的运动：摆长L，摆锤质量m的单摆 的运动方程
(1)利用Newton定律 f=ma 得到
d 2 ml 2 mg sin dt
即

d 2 g sin 2 dt l
(2)利用能量方程建模。设=0的点为零势点
则
1 mg (l l cos ) m(l&2 ) 2
dx k1 x dt
dy k1 x k2 y dt
x(0) m1
y (0) 0
这个方程组可以解出血液中酒精的含量
y (t ) D1e k1t D2e k2t 利用最小二乘法即可确定出模型中的各参数。
最小二乘法及其matlab函数：
2011 C题 企业退休职工养老金制度的改革 养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及 其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待 遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。 我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账 户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例 （20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按 一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称 为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年） 的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到 退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨 出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的 资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。 养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡， 社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可 继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率 计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
微分方程的建模方法： (1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分 方程)。 (2)微元法。 微分方程的稳定性理论： 对微分方程组 若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
dx f ( x) dt
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1 x 1 f 2 Df D( f1 , f 2 , L , f n ) x1 Dx D( x1 , x2 , L , xn ) f n x 1 f1 x2 f 2 x2 f n x2 L L L L f1 xn f 2 xn f n xn
h
h ds
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则 Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。 设水的流速是v则
dh
h ds
ds vdt
dh ( B / A)vdt
根据能量转换关系，水失去的势能转化为动能， 即 1 mgh mv 2 2 或
v 2 gh
综合得到
dh B 2 gh dt A
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0
2
4
6
8 time
10
12
14
16
这是某人喝下两瓶啤酒后，测得的血液中酒精 含量数据
这个题目比较简单，但做法的差异有很好的警示作 用。 第一种：曲线拟合的方法。 许多队给出了不同的曲线拟合方法。例如，有的参 赛队给出分段拟合：对左边的数据采用多项式拟合， 而右边的数据采用指数拟合，很好地拟合了数据， 但没有从机理上对问题分析。在这个问题上，这种 方法是不好的。 第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
参考数据 1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体 重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与 在体液中的含量大体是一样的。 2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一 定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升）， 得到数据如下：
时间( 小时) 酒 精 含量 时间( 小时) 酒 精 含量
微分方程解决的主要问题： (1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程 (2)分析对象特征的变化规律 (3)预报对象特征的未来性态 (4)研究控制对象特征的手段
微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。 由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分， 而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要 附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称 为定解条件。 常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程， 需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定 解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条 件个数之和。 定解问题分为初值问题和边值问题。 初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的 定解条件在不同点上。
dT k (T T 0) dt
模型的解为
T T0 Ce kt
这里有三个参数，其中T0=25。还剩两个参数，利 用剩下的两个条件可以确定。
问题：现有4000毫升温度为10度的化学溶液，将 一个体积40毫升温度为90度的玻璃球放在溶液中。 求溶液温度的变化规律。(平均温度)
动力学： 牛顿第二定律 能量守恒定律 欧拉-拉格朗日方程 空气和水的阻力
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
T Q k d
对于两个固定热源，距离d是常数，则
Q k1T
在我们的问题中，室外温度可以看做常数T0，大 于室内温度，而热量正比于温差，从而变化规律为
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
m1
吸收 室x
k1
中心室 y
k2
排 出
m1
吸收 室x
k1
中心室 y
ห้องสมุดไป่ตู้k2
排 出
设从吸收室到中心室的酒精转移速率为k1，中心室中 的酒精排出速率为k2，则
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密 切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经 济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工 资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世 纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一 个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会 稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平 衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的 养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制 度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基 金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准 就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。 所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之 差。