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数学建模微分方程模型课件

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微分方程模型——数学建模真题解析 ppt课件

微分方程模型——数学建模真题解析 ppt课件
方程)。 (2)微元法。
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
ppt课件
7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1

x1
Df Dx

D( f1, f2 ,L D(x1, x2 ,L
, fn) , xn )

ppt课件
20
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
ppt课件
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会 发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
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11
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即

数学建模-微分方程模型.pptx

数学建模-微分方程模型.pptx
2019年11月8
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
谢谢你的阅读
1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
谢谢你的阅读
2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
谢谢你的阅读
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
谢谢你的阅读
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
谢谢你的阅读
29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),

《微分方程模型》PPT课件

《微分方程模型》PPT课件

房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成， （注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简 化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度 （密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称为 “交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用 房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中， 我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很 环境 简单，意图在于介绍建模方法。
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急
措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
0t 3 3t 4 t4
现回答上述问题
（1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
（2）要满足体重不增，即dW (b 16W ) /10000 0
dt
所以b 16W 1657.1256 914 (cal)
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
因污染源被截断，故微分方程变为 2000 dC 6C
dt
： 它的特解为
630
C(t) C(30)e 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C(30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z)
引例一

《微分方程模型》课件

《微分方程模型》课件
f '(x) 2x,
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас

数学建模之微分方程方法ppt课件

数学建模之微分方程方法ppt课件
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
23.04.2020
.
26
четверг, 23 апреля
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
.
一 微分方程的平衡点及稳定性
１．平衡点的概念
设方程组：
dx
dt
f (t, x)
x(t0 ) x0
（1）
如果存在某个常数(向量) x0 使得 f (t; x0 ) 0 ， 则称点 x0 为方程组的平衡点（或奇点）。且称 x x0
为方程组的平凡解（或奇解）。
23.04.2020
.
7
четверг, 23 апреля
x2
提高阈值 1/ 降低
被传染人数比例 x
.
31
четверг, 23 апреля
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的

数学建模微分方程模型44页PPT

数学建模微分方程模型44页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数学建模微分方程模型
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件

3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件
四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’

数学建模竞赛---微分方程模型PPT课件

数学建模竞赛---微分方程模型PPT课件

tr tr
F(r,t)0r p(s,t)ds
p0 (r)
tr
N(t)0rm p(s,t)ds
14 0
f (t)
t
生育率的分解
k(r,t) ~(女性 )性别比函数 b(r,t)~(女性 )生育数[r1,r2 ] ~ 育龄区间
f(t)r1 r2b (r,t)k(r,t)p (r,t)drh(r,t)h(r)
1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上的概率为o(t).
2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上的概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立的随机事件。
进一步假设
bn与n成正比，记bn=n , ~出生概率； dn与n成正比，记dn=n，~死亡概率。
19
建模 为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，
2）平均年龄 R(t)N1(t)0rmrp(r,t)dr
3）平均寿命
S(t) e d t(r,t)dr 0
t
t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间
4）老龄化指数 (t)R (t)/S(t)
控制生育率
17
控制 N(t)不过大
控制 (t)不过高
二、 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
di dt
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
36
模型3
di/dt
dii(1i)i
dt
i
/
ddtii[i(11)]
>1
i0
>1

数学建模的微分方程方法ppt课件

数学建模的微分方程方法ppt课件
些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。 9
.
下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过
程中，我们要考虑问题中的常量的作用
(
w磅
)
(
200
磅
)
(
5磅 天
)(
t天
).
(
p
美元 磅
)
(
0.6
5美 磅
元
)
(
0.01美 元 磅 天
)(
t天
)
(C美
元)
(
0.45美 天
元
)( t天
)
(R美
元
)
(
p美 元 磅
6
.
第一步是提出问题而，问题需要用数学语言表 达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要 对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为 我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的 推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义 所用的术语。
7
.
首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰 当的单位。
15
f(x)
134
133
132 132
131
130 130 128
y=−0.05x2+0.8x+130
5
10
15
20
.
126 0
5
10
15
20 x
图1-2 售猪问题的净收益 f(x)关于时间x的曲线图
由 f 在区间(−∞, 8)上单调递增,而在区间(8,+∞) 上单调递减。
故点 x = 8是全局最大值点。且有 f(8) = 133.20,
12
这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。

数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件

数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时 速度方向始终指向走私船，
缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否 能够追上走私船？
如果能追上，需要用多长时间？
2021精选ppt
22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
2021精选ppt
x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
（1）定义法，取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
（2）用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算， 而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积） 表面上看是两个完全不同的概念， 通过牛顿－莱布尼兹公式联系在一起，
（3）解微分方程计算定积分
2021精选ppt
drawnow
end2021精选ppt来自29电影动画制作（zxy7_3)
moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值，使得所有帧都在同
例：求极限：
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
2021精选ppt
12
符号微积分(求导）
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时，默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
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di i
dt i(0) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t) i0et
ti ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
<>
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
<>
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
0
t0
t
i()
1
1
,
1
0,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
1 i(t)按S形曲线增长
i0小
感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
<>
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移源自di dti(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
<>
模型3 di i(1 i) i / di i[i (1 1 )]
dt
i
dt
di/dt
>1
i0
>1
i
1
1-1/
i0 di/dt < 0
i0
0
1-1/ 1 i
<>
体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），
当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw 5429 69w 1296 16w
dt 41868
10000
w |t0 w0
<>
16t
129616W (129616W0 ) e 10000
模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
<>
从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。
<>
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
dt
i(1
i)
i(0) i0
<>
模型2
di
i(1
i)
dt
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
i(t)
1
1/2
1
1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
衡值，就不必去求解微分方程了！
<>
至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程模型。
<>
(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中， 许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。
<>
模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考 虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天） =5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。
<>
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。
<>
问题
§2 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
<>
模型1 已感染人数 (病人) i(t) 假设 • 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
微 分 方 程模型
§1 微分方程模型 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程模型
一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、 社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关 变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微 分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
<>
模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
<>
模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。