数学建模实验答案微分方程模型

2微分方程实验1、微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随 t 增加的运动方向，确定平■衡点, 并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：解：（1）由 f （x ） =x=0, f （y ） =y=0;可得平衡点为（0,0）,___ 1 0系数矩阵A，求得特征值入1=1,入2=1;0 1p=-（入1+入2）=-2<0 , q=入1入2=1>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。

图形如下：（2）如上题可求得平衡点为（0,0 ），特征值入1=-1,入2=2;p=-（入1+入2）=-1<0 , q-入1入2=-2<0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点（0, 0） 是不稳定的。

其图形如下:dx⑴dt dtx, y;dxdtdydt dx x, ⑶尸 2y ；晋 dx y， (4) ? 2x;也 dtx+1, 2y.(3) 如上题可求得平■衡点为(0,0 )，特征值入1=0 + 1.4142i,入2=0 -1.4142i; p=-(入1+入2)= 0, q-入1入2=1.4142>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(0, 0)是不稳定的。

其图形如下：(4) 如上题可求得平衡点为(1,0 )，特征值入1=-1,入2=-2;p=-(入1+入2)= 3>0, q=入1入2=2>0;对照稳定性的情况表，可知平■衡点(1, 0) 是稳定的。

其图形如下：2、种群增长模型一个片子上的一群病菌趋向丁繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目为N,单位成员的增长率为r1，则由Malthus生长律有竺r1 N，但是，处丁周界表面的dt那些病菌由丁寒冷而受到损伤，它们死亡的数量与N2成比例，其比例系数为r2, 求N满足的微分方程.不用求解，图示其解族.方程是否有平衡解，如果有，是否为稳定的？解：由题意很容易列出N满足的微分方程：坐r1N r2N； f(N)dt令f(N)=O,可求得方程的两个平■衡点N1=0,N2=「22/r i21 1d2N 1 5 52 (r1 r2N 2) (r1N r2N 2)dt 2进而求得A d2N 令r dt2 2 0可求得N=r2 /4r〔则N=N1 N=N2 N=r22/4r i2可以把第一象限划为三部分，且从下到上三部分中分0,冬dt2.2 2 c dN cdN c dN cdN 0, ；—0, —r 0; —0, ―rdt dt dt dt则可以画出N (t) 的图形，即微分方程的解族，如下图所示:由图形也可以看出，对丁方程的两个平■衡点，其中N1=0是不稳定的；N2=^2 /「；是稳定的o3、有限资源竞争模型1926年Volterra 提出了两个物种为共同的、有限的食物来源而竞争的模型当[b MX h 2X 2)]x dt dX2 电 2(h i X i h 2X 2)]X 2dt假设也 坦，称垣为物种i 对食物不足的敏感度，(1) 证明当x1(t0)>0时，物种2最终要灭亡； (2) 用图形分析方法来说明物种 2最终要灭亡.解：(1)由上述方程组 f (x1) =[b 1〔S' h 2x 2)]x 1=0,f (x2)=电2 (h 1X 1h 2X 2)]X 2=0,可得方程的平■衡点为R (0,0), P 1 (E,0),P 2 (0, M).2 h 2对平衡点P 。

重庆⼤学数学实验⽅程模型及其求解算法参考答案实验2 ⽅程模型及其求解算法⼀、实验⽬的及意义[1] 复习求解⽅程及⽅程组的基本原理和⽅法；[2] 掌握迭代算法；[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳⽅程求解或⽅程组求解的各种数值解法（简单迭代法、⼆分法、⽜顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。

这对于学⽣深⼊理解数学概念，掌握数学的思维⽅法，熟悉处理⼤量的⼯程计算问题的⽅法具有⼗分重要的意义。

⼆、实验内容1．⽅程求解和⽅程组的各种数值解法练习2．直接使⽤MATLAB命令对⽅程和⽅程组进⾏求解练习3．针对实际问题，试建⽴数学模型，并求解。

三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗⼝；2．根据各种数值解法步骤编写M⽂件3．保存⽂件并运⾏；4．观察运⾏结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习⼼得体会。

四、实验要求与任务基础实验1．⽤图形放⼤法求解⽅程x sin(x) = 1. 并观察该⽅程有多少个根。

画出图形程序：x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运⾏结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-22468扩⼤区间画图程序：x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB 运⾏结果：-50-40-30-20-1001020304050由上图可知，该⽅程有偶数个⽆数的根。

2．将⽅程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进⾏迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。

（1）画图：x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('⼦图(1)') ,grid on,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('⼦图(2)'),grid on,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('⼦图(3)'),grid on,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('⼦图(4)') ,grid on,由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。

k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。

参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。

本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。

数学模型课后习题答案数学模型课后习题答案数学模型作为一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。

在学习数学模型的过程中，课后习题是非常重要的一环。

通过解答习题，我们可以巩固和应用所学的知识，提高解决实际问题的能力。

在这篇文章中，我将为大家提供一些数学模型课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、线性规划1. 某工厂生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过100个。

甲产品每个利润为5元，乙产品每个利润为8元。

甲产品需要2个工时，乙产品需要3个工时。

每天工厂总共有200个工时可用。

如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。

根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 100 （每天生产的总量不能超过100个）2x + 3y ≤ 200 （每天工厂总共有200个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 5x + 8y。

我们需要求解目标函数的最大值。

通过求解线性规划问题，可以得到最优解。

2. 某公司生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过200个。

甲产品每个利润为10元，乙产品每个利润为15元。

甲产品需要1个工时，乙产品需要2个工时。

每天工厂总共有300个工时可用。

如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。

根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 200 （每天生产的总量不能超过200个）x + 2y ≤ 300 （每天工厂总共有300个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 10x + 15y。

我们需要求解目标函数的最大值。

通过求解线性规划问题，可以得到最优解。

二、微分方程1. 某物质的衰减速率与其当前的数量成正比。

已知初始数量为100，经过3小时，其数量减少到80。

求该物质的衰减速率。

答案：设物质的数量为N(t)，t表示时间。

P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。

学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。

解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。

i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。

首先，我们先按比例分配委员席位。

23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。

经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。

所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。

点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。

数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。

实验07讲评、参考答案讲评未按时交的同学批改情况：附参考答案：实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。

k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。

《数学建模实验》王平提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。

本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。