微分方程模型——数学建模真题解析

实验07 微分方程模型（2学时）（第5章 微分方程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt =-= 其中，i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。

k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最大值，并在曲线图上标注。

参考程序：提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel1）画曲线图用fplot函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。

返回自变量x在区间x1<x<x2上函数取最小值时的x值。

本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1, '颜色线型数据点图标', x2,y2, '颜色线型数据点图标',…)本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使用文本标注函数text，调用格式如下：格式1text(x,y,文本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注文本在图中添加的位置。

第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。

（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。

9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。

1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。

6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。

6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。

1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。

目前，银行的利率是0.6%/月。

他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。

但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答：(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。

利用式子(元)，即每个月还款1574.70元，共还款(元)，共计付利息177928.00元。

(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，利用公式：，所以，(元)(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。

帮忙提前三年还清需要资金数：。

对于条件(ii)佣金数：分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。

所以建议请这家借贷公司帮助还款。

2.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。

用此定律建立相应的微分方程模型。

建模数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是线性方程的标准形式？A. \( ax + by = c \)B. \( ax^2 + by^2 = c \)C. \( ax^3 + by^3 = c \)D. \( ax + by + cz = d \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数是什么？A. \( 2x \)B. \( x^2 \)C. \( x \)D. \( 1 \)答案：A3. 以下哪个是二阶微分方程？A. \( y' = 2x \)B. \( y'' = 2x \)C. \( y = 2x \)D. \( y' + y = 2x \)答案：B4. 积分 \( \int x^2 dx \) 的结果是？A. \( \frac{x^3}{3} + C \)B. \( x^3 + C \)C. \( 2x^2 + C \)D. \( 3x^2 + C \)答案：A5. 以下哪个是矩阵？A. \( [a] \)B. \( (a, b) \)C. \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)D. \( \{a, b\} \)答案：C6. 以下哪个是概率论中的随机变量？A. 一个固定的数字B. 一个确定的函数C. 一个可能取不同值的变量D. 一个常数答案：C7. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 向量空间D. 积分答案：C8. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的不定积分是什么？A. \( -\cos(x) + C \)B. \( \cos(x) + C \)C. \( \sin(x) + C \)D. \( \tan(x) + C \)答案：B9. 以下哪个是微分方程？A. \( y = 2x \)B. \( y' = 2x \)C. \( y'' = 2x \)D. \( y''' = 2x \)答案：B10. 以下哪个是统计学中的基本概念？A. 函数B. 微分C. 样本D. 积分答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性方程 \( ax + by = c \) 的斜率是 _______。

第十四章习题1．(1) 设t 时刻氨氮的浓度为()N t ，日降解系数为k ，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：0(0)dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，其中0N 表示0时刻的氨氮浓度。

(2) 研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律：(0)0.41,(9.6451)0.06dNk N dt N N ⎧=-⎪⎨⎪==⎩ 解得0ln ln N N k t -=-，带入边界条件(0)0.41,(9.6451)0.06N N ==得1993.0=k 。

从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为0.1993dNN dt=- 注：由于平均水流速度s m /6.0，每天水流路程m 518402436006.0=⨯⨯，流经km 500需耗时9.6451天。

(3)如果氨氮降解系数的自然值是0.3，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？从(2)中计算出的降解系数可以看出，其值0.1993比自然值0.3低了，说明在该河段(从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂)还有其它的排污点，这就为进一步的治理提供了理论上的依据。

2．设t 时刻该湖泊含染物A 为()W t ，则在时间间隔[,]t t dt +内，有：进污染物A 量： 001326m m V dt dt V ⨯⨯⨯= 出污染物A 量： ()()33W t V W t dt dt V ⨯⨯= 得含污染物A 量的微元为：0()()63m W t dW t dt dt =- 即 0()()36m dW t W t dt =-+ 外加初始条件0(0)5W m = 解该一阶线性初始问题得：10039()22t m m W t e -=+ 要使得该湖泊含污染物A 的量不超过0m ，则需10030922t m m e m -+≤解得，6ln3 6.5916t ≥≈(年)。

3．若每分钟通入3V m 的新鲜空气且排出的量相同，设t 时刻化工车间2CO 的含量为()%C t 则在时间间隔[,]t t dt +内进2CO 的量： 0.040.04V dt Vdt ⨯⨯= 出2CO 的量： ()()V C t dt VC t dt ⨯⨯= 得2CO 含量的方程为()0.04()1080010800(0)0.12dC t V V C t dtC ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩ 解该一阶线性初值问题得10800()0.040.08V tC t e-=+使得在10分钟之后使车间内2CO 的含量不超过0.06%，即10800.060.040.08V e-≥+从而，得2160ln21497.2V ≥≈(3m ) 即：每分钟应通入1497.23m 新鲜空气。

嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。

让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。

一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。

§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。

我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。

下面以目标跟踪问题为例介绍。

设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。

又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。

由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==。

§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。

与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。

以容器漏水问题为例。