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6-3 电位移 有介质时的高斯定理

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【大学物理】chp6-3

【大学物理】chp6-3
第三讲 电位移 有介质时的高斯定理
※ 有介质时的高斯定理
加入电介质(εr )

E dS
1
S
0
i
qi

1 0
( 0

)S
E dS
0S

1
S
0 r 0 r
Q0i
i


'

(1

1
r
)
0

S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
2/12
定义：电位移矢量D
令：D


0
r
E


E
（电场中充满均匀各向 同性电介质的情况下）
电容率（介电常量）——决定于电介质种类的常数

S 0 r E dS Q0i i
自由电荷的代数和
3/12
有介质时的高斯定理
电介质中通过任一闭

D dS S
D 4r 2 q0i Q
i
D

Q
4 r
2
,
E

Q
40r 2
R1
R2
CBA Q
r


D 0r E E
D 4r 2 q0i
i
6/12
※ 电位移线
电位移D线从正自由电荷 发出，终止于负的自由电荷， 与E线不同，D线在两介质界 面上连续，而E线不连续。
自由电荷的代数和
4/12
例1 如图金属球半径为R1 、带电量+Q；均匀、各向同性电介
质层外半径R2 、相对介电常数 r ；

介质的极化和介质中的高斯定理

介质的极化和介质中的高斯定理

部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0

6-3 电位移 有介质时的高斯定理

6-3 电位移 有介质时的高斯定理

D

2πr
r
D E ε0 εr 2 π ε0 εr r ( R1 r R2 )
R2
R1
r 1 P ( r 1) 0 E (R1 r R2 ) 2 π rr
真空中：E

2 π ε0 r
8
( 2) E ( R1 r R2 ) 2 π 0 r r (r R1 外侧) E1 2 π 0 r R1 E2 (r R2 内侧) 2 π 0 r R2
'
S
S
' - - - - -
+++++++++++
0
r
' + + + + + ----------0
εE dS Q0
S
电容率 ε ε0εr
1
εE dS Q0
S
电位移矢量
电位移通量
D 0 r E E
D dS
S D dS Q0内 D 0 r E E


R2
R1
P ( r 1) 0 E P
7
解 (1) ( R1 r R2 )
S D dS DdS D dS l
侧面 侧面


l
D 2 π rl l
r R1 外侧 :
( r 1 ) 1' P1 ( r 1 ) 0 E1 2 π r R1


r R2 内侧 : ( r 1 ) 2' P2 ( r 1 ) 0 E2 2 π r R2

6-3电位移有介质时的高斯定理第六章静电场中的导体和电介质

6-3电位移有介质时的高斯定理第六章静电场中的导体和电介质
第六章 静电场中的导体和电介质
10
( s >> d )
物理学
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
第五版
解： (1)电介质中的电位移、 + σ 0 电介质中的电位移、 电介质中的电位移 σ1 ' 电场强度、电极化强度； 电场强度、电极化强度；
v v ∫ D ⋅ dS =
S
S
+++++++++++
- r- r -v - ε r D, E, P
B A
(5)U AB = ∫
r r E ⋅ dl
求电势或电势差U
第六章 静电场中的导体和电介质
3
物理学
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
第五版
一半径为a的导体球 被围在内半径为b、 的导体球, 例1 一半径为 的导体球 被围在内半径为 、 外半径为c， 外半径为 ，相对介电系数为 ε r 的介质同心球 壳内，若导体球带电荷量为Q, 求D(r), E (r) 壳内，若导体球带电荷量为 和导体表面的电势. 和导体表面的电势 解
物理学
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
第五版
v v 1 ' ∫SE ⋅ dS = ε0 (Q0 − Q ) S εr −1 Q' = Q0 +++++++++++ εr − σ' - - - - v v Q0 εr E ⋅ dS = ∫S ε0 ε r + σ' + + + + + ----------v v ∫S ε 0ε r E ⋅ dS = Q0 v v 电容率 ε = ε0 εr ∫SεE ⋅ dS = Q0

6-3 电位移 有介质时的高斯定理

6-3 电位移 有介质时的高斯定理
第六章 静电场中的导体和电介质
+
R2
R 1
6
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
解 (1) )
∫ D dS = λ l
S
D 2 π rl = λl
D=
λ
2πr
+
D λ E= = ε0 ε r 2 π ε0 ε r r ( R1 < r < R2 )
r
ε r 1 λ P = (ε r 1)ε 0 E = 2 π ε rr
9
物理学
第五版
RB ∞ q VP = ∫RP E2dr + ∫RB E3dr = 4πε R = 600V 0 P 则 ∞ q VQ = E3dr = = 360V ∫RQ 4πε 0 RQ RA P 2) (2) E1 = 0, E2 = 0 2 Q RB E3 = q / 4 πε 0 r RB ∞ q VP = ∫ E2 dr + ∫ E3dr = = 450V RP RB 4πε 0 RB 则 ∞ q VQ = E3dr = = 360V ∫RQ 4 πε 0 RQ 10 第六章 静电场中的导体和电介质
RA P RB
Q
E1 = 0 D1 = 0, D2 = q / 4 πr 2 , E2 = q / 4 πε 0 r 2 D = q / 4 πr 2 , E = q / 4 πε r 2 3 0 3
第六章 静电场中的导体和电介质
∫SD dS = ∑ q 可得
0 ≤ r ≤ RA RA ≤ r ≤ RB r ≥ RB
第六章 静电场中的导体和电介质
+
r
R2
R 1
8
物理学
第五版

有电介质时的高斯定理 电位移

有电介质时的高斯定理 电位移

内外筒电势差
U
R1
E

dl

R2

dr ln R2
R2
R1 20 r r
20 r R1
代入得到电场的分0布为： r R1
r ln( R2 / R1)
E
U
R1 r R2 沿半径向里
0 r R2
有电介质时的高斯定理 电位移


由 P 0(r 1)E0得电极r化强度R1矢量的分布
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理 电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷
的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一
半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
解：忽略 边缘效应，板间各
容器两极板的表面相平行）。
有电介质时的高斯定理 电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1

E2d2



d1
1

d2
2


q S

d1
1

d2
2

q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2

D dS D 2rl
S
0
q0
S内 r

D
R1
1
2rl
q0
S内
2r
D
0
R1 r R2
r R2

6-3 静电场中的电介质




R2
R1
解 (1)
D dS l
S
D 2 π rl l
D

2πr


D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
r
e r 1 P (e r 1)e 0 E 2 π err
R2
R1
(2) E 2 π e 0e r r E1 (r R1 ) 2 π e 0e r R1 (r R2 ) E2 2 π e 0e r R2 (e r 1) 1 ' (e r 1)e 0 E1 2 π e r R1 (e r 1) 2 ' (e r 1)e 0 E2 2 π e r R2

p0

有极分子：分子的正负电荷中心在无 电场时不重合的，有固定的电偶极矩， 如H2O、HCl等。 p ql
2、无极分子的极化机理——位移极化
电介质

无极分子：位移极化 有极分子：取向极化
3、有极分子的极化机理——取向极化
电介质

无极分子：位移极化 有极分子：取向极化
4、极化现象
关于电位移矢量的说明 •电位移矢量是辅助量，电场 强度才是基本量； •描述电场性质的物理量是电 场强度和电势； •在电介质中，环路定理仍然 成立，静电场是保守场。
例1 把一块相对电容率er =3的电介质， 放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求 两板间电介质内的电场强度E ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.

6.3有电解质时的高斯定理


E
r ln( R2 / R1 ) U
沿半径向里
0
r R2
上页 下页
例3. 平行板电容器两板极的面积为S，两板极之 间充有两层电介质，介电常数分别为ε1 和ε2 ，厚 度分别为d1 和 d2，电容器两板极上自由电荷面密为 ±σ0，求各层电介质的电位移和场强。
+
解 （1）设场强分别为E1 和 E2 ，电位移分别为D1 和D2 ， E1和E2 与板极面垂直，都属 均匀场。先在两层电介质交 界面处作一高斯闭合面S1，在 此高斯面内的自由电荷为零。 由电介质时的高斯定理得
电场线
D、E、P 三矢量的关系
D ε0 E P P ε0 (εr 1)E
介电常数
D ε0 εr E εE
利用有电介质的高斯定理，可以由自由电荷的 分布求出电位移矢量的分布，再根据 D、E 之间 的关系求出场强的分布。 只有自由电荷和电介质的分布都具有特殊对称 性的系统，才能用有电介质时的高斯定理求解场 的分布。
上负下正 上负下正 上负下正
4 r（ 3 r 2 1) 0 ( r 2 1) E2 2 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 4 r（ 2 r 3 1) 0 ( r 3 1) E3 3 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 介电常数（相对介电常数）成反比。
上页 下页
所以
D1＝D2
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
D S D

第六章 5电位移矢量介质中的高斯定理


q
II区：
V 2 r E 2 dr

q
R
r

q 4 0 r
2
dr
q 4 0 r
r
I II
r
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板 面积为 S，面电荷密度为 0 , 其间插有厚 度为 d’ 、电容率为 r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E； d' 0 0 ②.电容器的电容。 ①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分别 经过导体和 P1 点。 高 斯 D S D d S q 0 面
也可视为两电容器串联
C1 C2
d1
d2
0 r1S
d1
0 r 2S
d2 1 C1 1 C2
串联
C
1 C

r1
r2
d
C 1C 2 C1 C 2

0S
d1
r1

d2
r2
§5.电介质中的高斯定理 / 三、解题思路与应用举例
②.已知 U，求0、E、D、P。 解： 0
S 0 E d S q 0 S P d S S ( 0 E P ) d S q 0
高斯面
定义：D
0E P
为电位移矢量。
§5.电介质中的高斯定理 / 二、介质中的高斯定理
S D d S q 0
介质中的高斯定理：
一、极化强度通量
结论1 极化强度通量
P S P d S q '
E0
P

0
'

6-3 电位移 有介质时的高斯定理

3
E
线
D
线
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
有介质时对称电荷分布 电场求解步骤: 电场求解步骤:
D E= ε
∫s D dห้องสมุดไป่ตู้ = q
q
D
E
第六章 静电场中的导体和电介质
4
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
一半径为R的导体球壳带电荷 的导体球壳带电荷Q 例1. 一半径为 的导体球壳带电荷 > 0 ,球外有一 球壳的均匀电介质, 层同心 球壳的均匀电介质,内外半径为 R1,R2 ,相对介 电常数 为 εr . 求(1)a,b,c,d各区域 的 D , 分布. ) , , , 各区域 E 分布. (2)以上各区域 V 分 布 )
Vd =
Q 4πε 0 r
Q
1 1 Q 1 Vc = ( )+ 4πε 0 ε r r R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Vb = ( )+ ( )+ 4πε 0 r R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
1 1 Q 1 1 Q 1 Va = ( )+ ( )+ 4πε 0 R R1 4πε 0ε r R1 R2 4πε 0 R2
第六章 静电场中的导体和电介质
2
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理 有介质时的电场线和电位移线 + + + + + + + + + + - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - + + + -q + - + - - - εr + + + + + + -q + - + - - - εr + + +
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例1 把一块相对电容率r =3的电介质， 放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1000 V . 试求 两板间电介质内的电场强度E ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
----------第六章 静电场中的导体和电介质
6 -2
r =3，
d=1 mm， U=1 000 V U
+++++++++++
εr d ----------6
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例2 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。


求 (1) 各电介质层中的场强 (2) 极板间电势差 解 做一个圆柱形高斯面 S1
物理学
第五版
无电介质时 加入电介质
'
S
6-3 电位移 有介质时的高斯定理 1 E0 dS 0 S
0
εr 1 Q Q0 εr Q0 E dS S ε0 ε r
1 E dS (Q0 Q ' ) 故 S ε0
εE dS Q0
S1
A
D dS qi (S1内）
S1
1
S2
2
B
D1S1 S1
D1
d1 d2
同理，做一个圆柱形高斯面 S 2
S2
D dS qi (S2内） D2
第六章 静电场中的导体和电介质
7
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。
第六章 静电场中的导体和电介质
2
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
比较
D dS q0i,内
S i
1 E dS ( 0 ' )S
S
0
第六章 静电场中的导体和电介质
3
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
R1
9
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
解 (1)
D dS l
S
D2 π rl l
D

2πr


D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
r
r 1 P ( r 1) 0 E 2 π rr
第六章 静电场中的导体和电介质


r
R2
R1
11
物理学
第五版
本章目录
选择进入下一节：
6-0 教学基本要求 6-1 静电场中的导体 6-2 静电场中的电介质 6-3 电位移 有介质时的高斯定理 6-4 电容 电容器 6-5 静电场的能量和能量密度
第六章 静电场中的导体和电介质
12
S
Q0 0
Q
-
'
σ '
σ '
电容率 ε ε0 εr

S
0 r E dS Q0Leabharlann ++
+ +
- - - - - - - - -- - - - - - - -
0
1
第六章 静电场中的导体和电介质
+ + +
+ +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + -
第六章 静电场中的导体和电介质
R2
R1
10
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
(2) E 2 π 0 r r E1 (r R1 ) 2 π 0 r R1 (r R2 ) E2 2 π 0 r R2 ( r 1) 1 ' ( r 1) 0 E1 2 π r R1 ( r 1) 2 ' ( r 1) 0 E2 2 π r R2
4
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
U 解 E0 10 3 kV m 1 d
E E0 r 3.33 10 2 kV m1
P ( r 1) 0 E 5.89 10 C m
6 -2
r =3，
d=1 mm， U=1 000 V U
+++++++++++
例3 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2的薄导体圆筒组成，其间充 以相对电容率为r的电介质. 设 直导体和圆筒单位长度上的电 荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移和极 化强度； (2)电介质内外表面 的极化电荷面密度.
第六章 静电场中的导体和电介质


R2
r
S
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
εE dS Q0
S
电位移矢量
电位移通量
D 0 r E E

S
D dS
有介质时的高斯定理
n D dS Q0i S i 1
通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷
D1 D2
E1 E2
各电介质层中的场强不同
u
B
A
d1 d1 d2 E2 dr E dr 0 E1 dr d
1
d1 d2 o r1 o r 2
第六章 静电场中的导体和电介质
8
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
εr d ----------5
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
0 0 E0 8.85 10 6 C m 2
' P 5.89 10 6 C m2
D 0 r E 0 E0 0 8.85 10 C m