有电介质的高斯定理

εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
2 + 2 = ε 0 S[2bε r (ε r 1)t ] 电容并联相加: C 电容并联相加: = C左 + C右 = ε 1 b 2b[bε r (ε r 1)t ] b r t
一平行板电容器, 例 .一平行板电容器,两极板间距为 ,面积为 ,在其间 一平行板电容器 两极板间距为b,面积为S, 平行地插入一厚度为t,相对介电常数为ε ,面积为S/2 平行地插入一厚度为 ,相对介电常数为εr,面积为 均匀介质板.设极板带电Q,忽略边缘效应. 的均匀介质板.设极板带电 ,忽略边缘效应. 该电容器的电容C(2)两极板间的电势差U. 两极板间的电势 求(1)该电容器的电容 该电容器的电容 两极板间的电 . :(1) 解:( )等效两电容的并联 S S2 εo b εr t 左半部: 左半部:C = 2 左 ε r 1 b t ε oS S εr εo C= εr 1 右半部: 右半部: = 2 C b t 右 b εr S S
′ ∴ σ 上 = P cos 180 = P = ε o (1 ε r )V < 0 d ′ σ 下 = P cos 0 = P = ε o (ε r 1)V > 0 d (3) 1,2两区域极板上自由电荷面密度σ1,σ2 两区域极板上自由电荷面密度σ , 两区域极板上自由电荷面密度 σ1 σ1 V E1 = = ∴σ1 = ε oε r d ε ε oε r
S 2
σ2 E2 = ε0
V ∴σ 2 = ε o E2 = ε o d
σ1 > σ 2
例题7 的金属球, 例题7-28 一半径为R的金属球,带有电荷q0,浸埋在均 ),求球外任一点 无限大"电介质( 匀"无限大"电介质(电容率为ε),求球外任一点P 的场强及极化电荷分布. 的场强及极化电荷分布. 解: 金属球是等势体, 金属球是等势体,介质以球体 球心为中心对称分布, 球心为中心对称分布,可知电 场分布必仍具球对称性, 场分布必仍具球对称性,用有 电介质时的高斯定理求解. 电介质时的高斯定理求解. 高斯面: 高斯面:过P点作一半径为r 并与金属球同心的闭合球面S, 由高斯定理知: 由高斯定理知:
S
= DS
εr
-Q
根据电容定义式计算电容
D Q Q E= = D =σ = ε Sε S Q 两极板间的电势差 U = E d = d Sε
Q C = U
=
εS
d
=
ε 0ε r S
d
例. 圆柱形电容器的电容 已知:圆柱形电容器 已知 圆柱形电容器 R1,R2,ε
其电容. 求: 其电容 解: 设两极板面电荷线密度 λ λ 分别为 +λ,-λ 做如图高斯面
C B
σ E2 = ε 0ε r
σ
一平行板电容器,两极板间距为b,面积为S, 例 . 一平行板电容器,两极板间距为 ,面积为 , 其中置一厚度为t 的平板均匀电介质, 其中置一厚度为 的平板均匀电介质,其相对 求该电容器的电容C. 介电常数为εr, 求该电容器的电容 . q 解:根据定义 C = U b 设极板面密度为σ,-σ εr 设极板面密度为σ σ t 由高斯定理可得: 由高斯定理可得:
= ε0E
即: D 与 E 成正比且方向相同
ε0 P 束缚电荷产生的场: 束缚电荷产生的场: ε0 3.介质中高斯定理的应用 介质中高斯定理 介质中高斯定理的应用
S
E=
1
ε0
D 自由电荷产生的场: ( D P ) 自由电荷产生的场:
介质中真实的场: 介质中真实的场:E
∫∫ D dS = ∑ q
§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
一.D 的高斯定理 有介质时, 有介质时,自由电荷和束缚电荷共同产生电场 E = E0 + E ′ 满足高斯定理: E 满足高斯定理:
∫∫
S
∑q= ∑q E dS =
ε0
q 'i ∑
i0
+ q′ i
ε0
可以证明: 可以证明: P d S =
∫∫
S
∫∫ (ε
∫∫
S
∑
0
D4πr = ∑ q0 , ∴ D = ∑ q0 2
2
球面上各点D大小相等, 球面上各点 大小相等, // dS , 大小相等 D
εr
q
r
I II
高斯面
q I区: D1 = 区 2 4πr q II区: D2 = 区 4πr2 由 D = ε 0ε r E
4πr
r
q D1 = 2 4πr
λL
=
2 πε L R2 ln R1
R2 λ ln U = 2πε R1
单位长度的电容
C =
2 πε R ln R
2 1
例:一平行板电容器,其中填充了一层介质,尺寸 一平行板电容器,其中填充了一层介质, 如图, 如图,介质的相对介电常数为εr 1. 用高斯定理求:D 1, D 2 , E1 , E 2 ; +σ 用高斯定理求:
∫
∞
q
q
U 2 = ∫ E 2 dr = ∫r 4πε r 2 dr = 4πε r r 0 0
∞
∞
q
q
例. 平行板电容器的电容 已知: 平行板电容器 d, S ,εr 已知 ε
其电容. 求: 其电容 解: 设电容器带电量 Q 求两极板间的电势差U 求两极板间的电势差
s
Q
d D
∫∫ D dS = σ S
S S1
由高斯定理: 由高斯定理:
D 内 S 底 = σ 0
D =σ0
σ0 E= = ε ε 0ε r
D
S2 上底
S3
下底 S底
D S 内 底
例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d 相对介电常数为εr ,内部均匀分布体电荷密度为 ρ0 的自由电荷 介质板内, 求:介质板内,外的 D E P 解: 面对称 取坐标系如图 作正柱形高斯面S 底面积设S0
2. 求U A U B
3. 求此电容器之电容. 求此电容器之电容.
d1
+ + + + + A S
εr D2
ε
0
D1
S
D1 dS = 0 + D1 S + 0 = σ S d2 ∫∫ S D1 = σ E1 = σ / ε 0 D2 dS = 0 D2 S + 0 = σ S D2 = σ ∫∫ σ σ B S d2 U A U B = ∫ A E dl = d 1 + ε0 ε 0ε r σS ε0S C= = σ σ d2 d1 + d2 d1 + ε0 ε 0ε r εr
ε
r
S1
A
B
L l
∫∫
S
D dS =
∫∫
S1
D dS =
= D 2πrl
= λ l
S S1
∫∫
D dS λ
D
+λ
λ E = = ε 2 πε r
R2
两极板间的电势差 U =
∫
R1
R2 λ λ ln dr = 2πε r 2πε R1
根据电容定义式计算电容
Q C = = U R2 λ ln 2 πε R1
例1 平行板电容器上自由电荷面密度为 σ 0 充满相对介电常数为 ε r 的均匀各向同 性电介质 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布 电场方向沿x方向 则:电场方向沿 方向
σ0 σ0 εr
S
S ∫∫ D d S = ∫∫ D d S + ∫∫ D d S + ∫∫ D d=
D=
正自由电荷 起自正自由电荷(或无穷远), 起自正自由电荷(或无穷远), 特点: 特点: 终止于负自由电荷(或无穷远), 在无自由电 负自由电荷 终止于负自由电荷(或无穷远), 在无自由电 处不会中断(无自由电荷处电位移矢量连续) 荷处不会中断(无自由电荷处电位移矢量连续)