课时作业4三角形中几何计算

7.4.2 超几何分布1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.1721 答案 C解析 根据题意，得P ＝C 14C 25C 39＝1021.2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)答案 B解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 3．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是( ) A ．n B.(n －1)MNC.nMN D.(n ＋1)M N答案 C解析 设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E (X )＝nMN.4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( ) A.542 B.435 C.1942 D.821 答案 A解析 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 34C 410＝24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝542.故选A. 5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )A.2245B.949C.47245 D ．以上都不对 答案 A解析 设抽到的次品数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝5，n ＝2.于是出现2件次品的概率为P (X ＝2)＝C 25C 2－245C 250＝2245.6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 答案1538解析 易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)＝________，随机变量X 的均值E (X )＝________. 答案14150.6 解析 X 表示取得次品的个数，则X 服从超几何分布，所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415，E (X )＝2×310＝0.6.8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________． 答案 45解析 设X 表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 24C 12C 36＋C 34C 02C 36＝45.9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 解 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，P (ξ＝0)＝C 02C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 24C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝15.所以，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．解 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ， 依题意有P (A )＝p 2＝0.04， 解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)，故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的分布列为X 0 1 2 P2845164514511．(多选)10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 BD解析 由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210， 整理，得a 2－10a ＋16＝0， 解得a ＝2或8.12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的答案 C解析 设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.13．一只袋内装有m 个白球，(n －m )个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)答案 D解析 当X ＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A 2m 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C 1n －m 种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A 3n ，P (X ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝(n －m )A 2mA 3n.故选D. 14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X ，则X 的均值E (X )＝________. 答案11143 解析 依题意，甲能通过的概率为P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 12C 36C 48＋C 02C 46C 48＝814＋314＝1114.由于P (X ＝2)＝C 22C 26C 48＝314，方法一 故E (X )＝2×314＋3×814＋4×314＝3.方法二 E (X )＝4×68＝3.15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________． 答案 15解析 用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15.16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数为X 的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.∴随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120.∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.。

《全等三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《全等三角形》的学习，使学生能够：1. 掌握全等三角形的概念及性质；2. 学会识别全等三角形的条件；3. 运用全等三角形的知识解决实际问题。

二、作业内容1. 理论学习：（1）学习全等三角形的定义和基本性质，如全等三角形的判定条件、全等三角形各边及角的关系等。

（2）学习全等三角形的分类及特点，如ASA、SAS、SSS、HL等全等条件的应用。

2. 操作实践：（1）学生动手绘制不同种类的全等三角形，加深对全等三角形形态的认识。

（2）结合具体题目，练习如何利用全等三角形进行数学推理，例如：给定条件求证两个三角形全等。

3. 作业练习：（1）完成课后习题，包括选择、填空和证明题，加强对全等三角形知识的理解和应用。

（2）设计一份小型的全等三角形问题集，让学生通过小组合作或个人独立完成，提高解决实际问题的能力。

三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，掌握全等三角形的相关概念和性质。

2. 操作实践部分要求学生在课本或练习本上动手绘制全等三角形，并详细标注每一步的绘制过程和依据。

3. 作业练习部分要求学生在规定时间内独立完成，不得抄袭他人答案或使用电子设备查找答案。

同时，学生应确保作业整洁、字迹工整。

4. 对于小型的全等三角形问题集，学生应独立思考，并在完成后进行自我检查或与同学互相检查，确保答案的正确性。

四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对学生的学习效果进行评估。

评价内容包括学生对全等三角形概念的理解、对全等条件的掌握程度以及解题思路的正确性等方面。

2. 教师将对学生的作业进行批改，对错误的地方进行标注并给出修改意见。

同时，教师将对学生的优点和不足进行点评，帮助学生更好地掌握全等三角形知识。

五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业完成情况，对全班学生的学习情况进行总结，并针对共性问题进行讲解和辅导。

2. 对于个别学生的问题，教师将进行个别辅导和答疑，帮助学生解决学习中的困惑。

三角形中的几何计算【知识与技能】1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S =21； （2）S =21ab sin C =21 =21； （3）S =21·r · (r 为三角形内切圆半径)；（4）2a b c S p ++⎫==⎪⎭其中(海伦公式)；（5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A BS B C=== ; （6）4abcS R=(其中R 为三角形外接圆半径)。

类型1 三角形中的面积计算问题【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ，∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2×10x cos60°,∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16。

《全等三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《全等三角形》的学习，使学生能够：1. 掌握全等三角形的概念及性质；2. 学会识别全等三角形的条件；3. 掌握全等三角形的证明方法；4. 培养空间想象能力和逻辑推理能力。

二、作业内容（一）基础练习1. 让学生通过课本及练习册，完成关于全等三角形概念及性质的填空题和选择题。

2. 让学生尝试画图，标明全等三角形的对应边和对应角。

（二）实践应用1. 设计一系列问题，让学生通过问题解决的方式，理解并掌握全等三角形的判定定理（如SSS、SAS、ASA、AAS等）。

2. 要求学生通过小组讨论的方式，讨论全等三角形在日常生活中的应用实例。

（三）探究提升1. 让学生自主寻找全等三角形的其他判定方法，并加以证明。

2. 设计一份综合练习题，让学生运用所学知识解决较复杂的问题。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内完成作业，不得抄袭他人作业。

2. 基础练习部分要求学生对每一个知识点都进行认真思考，确保理解准确。

3. 实践应用部分要求学生小组合作，共同探讨问题解决方案。

4. 探究提升部分鼓励学生进行自主探究，挑战自我。

5. 作业完成后需进行自我检查和小组互评，确保作业质量。

四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和反馈。

2. 评价标准包括：作业准确率、解题思路的清晰度、小组合作的效果以及自主探究的能力。

3. 对于表现出色的学生和小组，将在班级中进行表扬和展示。

五、作业反馈1. 教师将对学生在作业中出现的错误进行记录，并在课堂上进行讲解。

2. 对于学生在作业中的疑问和困惑，教师需进行耐心解答和指导。

3. 根据学生的作业情况，教师将调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。

4. 鼓励学生将作业中的疑问和心得与家长进行交流，促进家校合作，共同促进学生的学习进步。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生在第二课时中学习的全等三角形的知识点，包括全等三角形的性质、判定方法以及全等三角形在实际问题中的应用。

《三角形的内角和》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《三角形的内角和》这一课题的学习，使学生掌握三角形的内角和概念，理解并运用内角和定理解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，为后续的几何知识学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 预习作业：学生需提前预习《三角形的内角和》相关内容，了解三角形内角的概念，熟悉内角和定理，并尝试用内角和定理解决一些简单的几何问题。

2. 课堂练习：（1）基本概念练习：通过填空、选择题等形式，让学生熟练掌握三角形内角的概念及内角和定理。

（2）应用题练习：通过实际问题，让学生运用内角和定理解决几何问题，如求三角形未知角度、判断三角形类型等。

（3）探索性练习：引导学生通过动手操作（如剪纸、拼图等）探究三角形的内角和规律，培养其空间想象力及动手实践能力。

三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立思考，独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 细心审题：学生在完成作业过程中要细心审题，理解题目要求，按照题目要求进行作答。

3. 及时订正：学生应按时完成作业，并及时订正错误，掌握解题方法。

四、作业评价1. 评价标准：评价学生的作业应从准确度、完整性、条理性、解题思路及订正情况等方面进行综合评价。

2. 评价方式：教师可通过课堂讲解、小组讨论、个别辅导等方式对学生的作业进行评价，及时指出学生的不足之处，并给予指导。

五、作业反馈1. 教师反馈：教师应对学生的作业进行认真批改，及时反馈学生的作业情况，指出学生的错误及不足，并给予相应的指导。

2. 学生反馈：学生应积极听取教师的反馈意见，认真订正错误，及时向教师请教不懂的问题，积极参与课堂讨论，提高自己的学习效果。

六、总结本作业设计旨在通过预习、练习、探索等方式，让学生全面掌握《三角形的内角和》相关知识，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

同时，通过作业的完成和反馈，帮助学生及时发现自己的不足之处，提高其学习效果。

教师应根据学生的实际情况，灵活调整作业内容及要求，以达到最佳的教学效果。

四直角三角形的射影定理一、基础达标1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，则图中共有相似三角形()A．0对B．1对C．2对D．3对解析△ACD∽△BAD，△ACD∽△BCA，△ABD∽△CBA，共有3对相似三角形．答案 D2.如图所示，在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于点Q，NQ＝3，则MN等于()A.3PNB.13PNC.3PND.9PN解析∵MN⊥MP，MQ⊥PN，∴MN2＝NQ·PN，又NQ＝3，∴MN＝NQ·PN ＝3PN.答案 C3.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若ACAB＝34，则BDCD＝()A.34 B.43 C.169 D.916解析如图，由射影定理得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC∴AC2AB2＝CDBD＝⎝⎛⎭⎪⎫342，即CDBD＝916，∴BDCD＝169.答案 C4.已知在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，若AD＝p，BD＝q，则tan A的值是()A.p∶qB.pq∶qC.pq∶pD.p∶q解析由已知可利用射影定理得：CD＝pq，在Rt△ACD中，tan A＝CD AD＝pqp.答案 C5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.解析∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴AC＝AB2＋BC2＝23，由射影定理得：BC2＝CE·AC，∴CE＝3223＝332.又在Rt△BEC中，cos∠BCE＝CEBC＝32，∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°，由余弦定理可求DE2＝214.∴DE＝212.答案21 26.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2，求AD的长.解∵CD⊥AB，即∠CDB＝90°，∵DE⊥BC.由射影定理可知：DE2＝CE·BE＝12，∴DE＝23，CD2＝CE·BC＝16，∴CD＝4，∵BD2＝BE·BC＝48，∴BD＝43，在Rt△ABC中，由射影定理可得：CD2＝AD·BD，∴AD＝CD2BD＝1643＝433.二、能力提升7.如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，则∠BAC 等于( ) A.60° B.30° C.45°D.75°解析 ∵BD ＝AB －12AC ，∴AB －BD ＝12AC ＝AD ，又∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中，由AD ＝12AC ，则∠BAC ＝60°. 答案 A8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a －b ＝1，tan A ＝32，其中a ，b 分别是∠A 和∠B 的对边，则斜边上的高h ＝________． 解析 由tan A ＝a b ＝32和a －b ＝1， ∴a ＝3，b ＝2，故c ＝13， ∴h ＝ab c ＝61313.答案613139.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的面积比为________.解析 由已知可设AD ＝2x ，则BD ＝3x ， ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， 由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ＝6x 2，∴CD ＝6x ，∴S △ACD ∶S △CBD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝23.答案 2310.如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E . 求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF ；(3)AB3AC3＝BECF.证明(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC ＝12AB·AC＝12BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD.(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB.同理，在Rt△ADC中，DF⊥AC，∴CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BD2·DC2，即AD4＝BE·AB·CF·AC.由(1)知AB·AC＝BC·AD，∴AD4＝BE·CF·BC·AD，∴AD3＝BE·CF·BC.(3)由射影定理得BD2＝BE·AB，∴BE＝BD2 AB.①又CD2＝CF·AC，∴CF＝CD2 AC，②由①÷②得BECF＝BD2AB·ACCD2＝⎝⎛⎭⎪⎫BDCD2·ACAB.③又∵AB2＝BD·BC，∴BD＝AB2 BC，同理，AC2＝CD·BC，∴CD＝AC2 BC，∴BDCD＝AB2AC2.④将④代入③得BECF＝⎝⎛⎭⎪⎫AB2AC22·ACAB＝AB3AC3，即AB3AC3＝BECF.11.如图，在△ABC中，D，F分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.解在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC.又FC＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1.在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E . ∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2. 又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DCAC ， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt △DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2， 即⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22＝12， ∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32. 三、探究与创新12.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，S 2△BCD ＝S △ABC ·S △ADC .求证：BD ＝AC .证明 如图，∵S 2△BCD ＝S △ABC ·S △ADC ，即S △ABC S △BCD ＝S △BCD S △ADC，∴AB ·CD BD ·CD ＝BD ·CDAD ·CD，即AB BD ＝BDAD ，∴BD 2＝AB ·AD . 由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ， ∴AC 2＝BD 2，即AC ＝BD .讲末复习1.平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边.推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.(2)中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.(2)三角形内角平分线定理定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于夹这个角的两边比. 3.相似三角形的判定(1)相似三角形的概念定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应边的比值称为相似比.(2)预备定理定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用本定理可以证明相似三角形的判定定理.(3)相似三角形判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似.即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即：三边对应成比例，两三角形相似.(4)直角三角形相似的判定定理定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似.定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4．相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例．性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们的周长的比都等于相似比．性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方．性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理(1)射影的概念从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正射影，简称射影．一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影．如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段．(2)直角三角形的射影定理和逆定理定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．题型一 构造法添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等结构.例1 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积.解 延长CB ，DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD . ∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点.∴S △FCD ＝12FD ·CE ＝12×2ED ×CE ＝2S △CED ＝2，EF ＝2AE . ∴FA ＝AE ＝14FD . 又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD .∴S △FBA S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫FA FD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116， ∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18.∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.规律方法 多边形的问题常转化为三角形问题去解决，本题从已知条件出发，构造了等腰三角形，使求四边形的面积问题转化为求三角形的面积.跟踪演练1 如图，在△ABC 中，AB >AC ，在边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证：BP CP ＝BDCE .证明 过点C 作CM ∥AB 交PD 于点M . ∵AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED .∵AD ∥CM ，∴∠ADE ＝∠CME . 又∵∠AED ＝∠CEM ，∴∠CEM ＝∠CME ，∴CE ＝CM . 又∵CM ∥BD ，∴△CPM ∽△BPD . ∴BP CP ＝BD CM ，即BP CP ＝BD CE . 题型二 化归法转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明.例2 如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，点P 是AB 上与A ，B 不重合的一个动点，连接PC ，过点P 作PQ ∥AC 交BC 于点Q .(1)如果a ，b 满足关系式a 2＋b 2－12a －16b ＋100＝0，c 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>x －4，2x ＋3<6x ＋12的最大整数解，试说明△ABC 的形状. (2)在(1)的条件下，设AP ＝x ，S △PCQ ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围.解 (1)a 2＋b 2－12a －16b ＋100＝0，即(a －6)2＋(b －8)2＝0，∴a ＝6，b ＝8.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>x －4，2x ＋3<6x ＋12，得52<x <11.∴c ＝10，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形. (2)由(1)得S △ABC ＝12ab ＝24，S △PBC ∶S △ABC ＝PB ∶AB ， ∴S △PBC ＝125(10－x )＝24－125x . ∵PQ ∥AC ，∴△PBQ ∽△ABC ， ∴S △PBQ S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB AB 2，即S △PBQ 24＝⎝⎛⎭⎪⎫10－x 102， ∴S △PBQ ＝24100(10－x )2＝625x 2－245x ＋24， ∴S △PCQ ＝S △PBC －S △PBQ ＝－625x 2＋125x ， 即y ＝－625x 2＋125x (0<x <10).规律方法 对于(1)，判断△ABC 的形状，由题意转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ 的面积无法直接利用面积公式求解，但可通过S △PQC ＝S △BPC －S △PBQ ，将问题转化为求S △PBQ 、S △BPC .跟踪演练2 如图，在锐角△ABC 中，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，且DE ＝22，求点B 到直线AC 的距离. 解 ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ADB ∽△CEB ， ∴BD BE ＝AB BC ，∴BD AB ＝BE BC . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△BED ∽△BCA ，∴S △BED S △BCA ＝ED 2AC 2＝218. ∵DE ＝22，∴DE 2AC 2＝（22）2AC 2＝218， ∴AC ＝6 2.设点B 到直线AC 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，即18＝12×62h ，∴h ＝3 2. 题型三 分类讨论法当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论.例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4,5, 6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？解 (1)若2为最长边，设其他两边长分别为x ，y ，根据相似三角形性质有： 4x ＝5y ＝62，解得x ＝43，y ＝53；(2)若2为中间边，设其他两边长分别为x ，y ，根据相似三角形性质有： 4x ＝52＝6y ，解得x ＝85，y ＝125；(3)若2为最短边，设其他两边长分别为x ，y ，根据相似三角形性质有： 42＝5x ＝6y ，解得x ＝52，y ＝3.综上，另一个三角形的另两边长分别为43和53或85和125或52和3.规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进行讨论. 跟踪演练3 在△ABC 中，AB >BC >AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条. 解析 如图，过点D 作DE 1∥BC ，此时∠AE 1D ＝∠B ，所以△ABC ∽△AE 1D ；过点D 作∠ADE 2＝∠B ，此时△ADE 2∽△ABC .同理，过点D 可以作DE 3∥AB ，使∠DE 3C ＝∠B ；过点D作DE 4与BC 相交于E 4，使∠E 4DC ＝∠B ，都能使截得的三角形与原三角形相似，因此共有4条直线符合要求. 答案 4题型四 方程法方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.例4 如图，在Rt △ABC 中，E 为斜边AB 上一点，AE ＝2，EB ＝1，四边形DEFC 为正方形，则阴影部分的面积为________. 解析 设正方形DEFC 的边长为x ， 则根据△ADE ∽△EFB ，得AD ＝2x ， BF ＝12x ，从而AC ＝3x ，BC ＝32x .在Rt △ADE 中，(2x )2＋x 2＝22，解得x 2＝45. 故S 阴影＝S △ABC －S 正方形DEFC ＝12·3x ·32x －x 2＝54x 2＝1. 答案 1规律方法 将几何图形的比例相等关系转化为方程，是解决平面几何问题常用路子.体验高考1.(2014·广东高考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析 由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF . 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案 32.(2013·陕西高考)如图，AB 与CD 相交于点E ，过点E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 由PE ∥BC ，∠A ＝∠C 知，∠A ＝∠C ＝∠PED ，在△PDE 和△PEA 中，∠DPE ＝∠EPA ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD ∶PE ＝PE ∶PA .于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，则PE ＝ 6.答案 63.(2014·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于点B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.解析依题意得△PAC∽△PBA，则PAPC＝ABAC＝PBPA，即6PB＋9＝AB8＝PB6，解得PB＝3，AB＝4.答案 44．(2016·江苏高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.证明由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°，由E为BC中点，可得DE＝CE＝12BC，则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，又∵∠EDC＝∠C，∴∠EDC＝∠ABD.讲末检测一、选择题1.在△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于()A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm解析如图，∵DE∥BC，∴AEEC＝ADDB＝12.又∵AD＝4 cm，∴DB＝8 cm.答案 D2.两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是()A.13和22B.14和21C.15和20D.16和19解析由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得周长之比C1C2＝34.又∵C1＋C2＝35，∴C1＝15，C2＝20，即两个三角形周长分别为15，20. 答案 C3.如图所示，在△ABC中，P，Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则AR∶RP等于()A.3∶14B.14∶3C.17∶3D.17∶14解析如图，过点Q作QM∥AP交PC于M，则CMMP＝CQQA＝34.又∵BPPC＝25，∴BPPM＝710.又RPQM＝BPBM＝717，QMAP＝CQAC＝37，∴RPAP＝3 17，∴ARRP＝143.答案 B4.如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于N，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为()A.2B.2.5C.3D.3.5解析延长BN交AC于D，则△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.又M，N分别是BC，BD的中点，故MN＝12CD＝2.5.答案 B5.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为21 cm，则其余两边的长度之和为()A.24 cmB.21 cmC.19 cmD.9 cm解析设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则217＝x5＝y3，解得x＝15，y＝9，故x＋y＝24. 答案 A6.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC与BD交于点O，有下列结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOB＝DC∶AB；④S△AOD＝S△BOC，其中始终正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析①④正确，②③错误.答案 B7.如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝6 cm2，则S△CDF等于()A.54 cm2B.24 cm2C.18 cm2D.12 cm2解析由题意知△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF＝⎝⎛⎭⎪⎫AECD2＝⎝⎛⎭⎪⎫AEAB2＝⎝⎛⎭⎪⎫132＝19，∴S△CDF＝9S△AEF＝54 cm2.答案 A8.如图所示，身高为1.6 m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC＝2 m，BC＝8 m，则旗杆的高度是()A.6.4 mB.7 mC.8 mD.9 m解析∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴CDBE＝ACAB，∵AC＝2 m，BC＝8 m，∴AB＝10 m，又∵CD＝1.6 m，∴1.6BE＝210，∴BE＝8(m).答案 C9.如图所示，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E交AD于F，则图中相似三角形的对数是()A.3对B.4对C.5对D.6对解析△ABD∽△CBE∽△AFE∽△CFD，共有6对.答案 D10.如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则EFFC＋AFFD的值为()A.12 B.1C.32 D.2解析如图，过D作DG∥CE交AB于G，则BGGE＝BDDC＝21.又AEEB＝13，∴AE＝EG，∴AFFD＝AEEG＝1.又DGCE＝BDBC＝23，EF＝12DG，∴EFCE＝13，∴EFFC＝12，∴EFFC＋AFFD＝32.答案 C二、填空题11.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析如图，连接DE，DB.∵点E，F分别为线段AB，AD的中点，∴EF＝12BD，AE＝EB＝a2.又∵CD＝a2＝BE，CB⊥AB，DC∥AB，∴DE垂直平分线段AB.∴BD＝AD＝a，∴EF＝a 2.答案a 212.如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝12AD，若EG＝2 cm，则AC＝________；若BD＝10 cm，则EF＝________.解析由E是AB的中点，EF∥BD，得EG＝12AD＝FD＝2 cm，结合CD＝12AD，可以得到F，D是AC的三等分点，则AC＝3EG＝6(cm).由EF∥BD，得EF＝12BD＝5(cm).答案 6 cm 5 cm13.已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________.解析在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.设AD＝x，则AB＝5＋x，又AC＝6，∴62＝x(x＋5)，解得x＝4或x＝－9(舍).∴AD＝4.答案 414.在△ABC中，直线DE与直线AB，AC分别交于点D，E，且DE∥BC.若AD＝1，DB＝2，则DE＋BCDE＝________.解析(1)若点D，E分别在边AB，AC上，则由DE∥BC知ADAB＝DEBC＝13，故DE＋BCDE＝1＋3＝4.(2)若点D，E分别在BA，CA的延长线上，则由DE∥BC知ADAB＝DEBC＝1，故DE＋BCDE＝2.综上，DE＋BCDE＝4或2.答案4或2 三、解答题15.如图，已知ABAD＝BCDE＝ACAE.求证：△ABD∽△ACE.证明因为ABAD＝BCDE＝ACAE，所以△ABC∽△ADE，所以∠BAC＝∠DAE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠DAB＝∠EAC.又ABAD＝ACAE，即ABAC＝ADAE，所以△ABD∽△ACE.16.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC上的点，AD，EF交于P，若BD＝DC，AE＝AF.求证：ABAC＝PF PE.证明如图，过F作MN∥AD交BA的延长线，DC于M，N.对△MEF有PF PE＝AM AE，因为AE＝AF，所以PFPE＝AM AF.对△MBN有ABAM＝BDDN，因为BD＝DC，所以ABAM＝DCDN.对△ADC有ACAF＝DCDN，所以ABAM＝ACAF.所以ABAC＝AMAF，所以ABAC＝PFPE.17.如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.求证：PQ＝CF.证明∵AD，CF是△ABC的两条高线，∴∠ADB＝∠BFC＝90°.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.∴ADCF＝ABCB.又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.∴PQBC＝APAB，∴APPQ＝ABBC，∴ADCF＝APPQ.又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .18.如图所示，CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC ＝4，BC ＝3，求证：(1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .证明 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5.∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5， ∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC ，∴△ABC ∽△EDC .(2)由(1)知∠B ＝∠CDF .∵BD ＝CD ， ∴∠B ＝∠DCF ，∴∠CDF ＝∠DCF ， ∴DF ＝CF .① 由(1)知∠A ＝∠CEF ，∠ACD ＋∠DCF ＝90°，∠ECF ＋∠DCF ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ECF ，由AD ＝CD 得∠A ＝∠ACD ， ∴∠ECF ＝∠CEF ，∴CF ＝EF .② 由①②可知DF ＝EF.。

第二章 6.1 3 第一课时A 组·素养自测一、选择题1．在△ABC 中,若sin A a ＝cos Bb,则角B 等于( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 由正弦定理知sin A a ＝sin B b ,∵sin A a ＝cos B b,∴sin B ＝cos B ,∵0°<B <180°,∴B ＝45°.2．在△ABC 中,b ＝7,c ＝5,B ＝π3,则a 的值为( D )A ．3B ．4C ．7D ．8[解析] 由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , ∴49＝a 2＋25－5a , ∴a 2－5a －24＝0,∴a ＝8或a ＝－3(舍去),∴a ＝8.3．在△ABC 中,B ＝60°,b 2＝ac ,则此三角形一定是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形[解析] 由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－ac , 又∵b 2＝ac ,∴a 2＋c 2－2ac ＝0,即(a －c )2＝0,∴a ＝c , ∵B ＝60°,∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 是等边三角形．4．已知锐角△ABC 的面积为33,BC ＝4,CA ＝3,则角C 的大小为( B ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°[解析] ∵33＝12×4×3sin C ,∴sin C ＝32,∵△ABC 为锐角三角形,∴C ＝60°,故选B ． 5．在△ABC 中,已知(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )＝456,则sin Asin Bsin C等于( B )A ．654B ．75 3C ．357D ．45 6[解析] ∵(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )＝456,∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6. 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0),则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A sin B sin C ＝ab c ＝75 3.6．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[解析] 由余弦定理,得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6, ∴ab ＝6,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.二、填空题7．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ,b 2＋c 2－a 2＝8,则△ABC 的面积为233. [解析] 根据正弦定理有：sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C , 所以2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C , 因为B ,C ∈(0,π), 所以sin B ≠0,sin C ≠0,所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8,所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ＝32,所以bc ＝833,所以S ＝12bc sin A ＝233.8．在△ABC 中,A ＝60°,最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根,则边BC 长为 57 .[解析] ∵A ＝60°,∴可设最大边与最小边分别为b 、c . 由条件可知,b ＋c ＝9,bc ＝8, ∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60° ＝57, ∴BC ＝57.9．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos C ＝18,若CB →·CA →＝52,且a ＋b ＝9,则c＝ 6 .[解析] 因为CB →·CA →＝52,所以ab cos C ＝52,所以ab ＝20,又因为a ＋b ＝9,所以a 2＋2ab ＋b 2＝81, 所以a 2＋b 2＝41,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36,解得c ＝6. 三、解答题10．如图所示,已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2,BC ＝6,CD ＝DA ＝4,求四边形ABCD 的面积．[解析] 如图,连接BD ,则四边形ABCD 的面积为S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C ．因为A ＋C ＝180°,所以sin A ＝sin C ,所以S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A ＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A ．在△ABD 中,由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ．在△CDB 中,由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝52－48cos C ． 所以20－16cos A ＝52－48cos C ． 因为cos C ＝－cos A ,所以64cos A ＝－32,所以cos A ＝－12,又0°<A <180°,所以A ＝120°,所以S ＝16sin 120°＝8 3.B 组·素养提升一、选择题1．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4[解析] 由题意,得S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3,∴sin A ＝32,又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,∴cos A ＝12. ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×12＝2.2．在△ABC 中,lg a －lg b ＝lgsin B ＝－lg 2,∠B 为锐角,则∠A 的值是( A ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[解析] 由题意得a b ＝sin B ＝22,又∵∠B 为锐角, ∴B ＝45°,又a b ＝sin A sin B ＝22,sin A ＝sin B ×22＝12,∴∠A ＝30°.3．(多选)在△ABC 中,周长为7.5 cm,且sin A sin Bsin C ＝456,下列选项正确的是( AC )A ．a b c ＝45 6B ．abc ＝256C ．a ＝2 cm,b ＝2.5 cm,c ＝3 cmD ．AB C ＝45 6[解析] 由正弦定理知a b c ＝456,故A 正确,B 错,D 错；结合a ＋b ＋c ＝7.5,知a ＝2,b ＝2.5,c ＝3,∴C 正确．4．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( B ) A ．(8,10) B ．(22,10) C ．(22,10)D ．(10,8)[解析] 若a 是最大边,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3>a ，12＋32>a 2，∴3≤a <10.若3是最大边,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋a >3，12＋a 2>32，∴22<a <3,∴22<a <10. 二、填空题5．已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,a ＝2,且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为 3 .[解析] 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式,由正弦定理可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ,即2a －2b ＋ab ＝b 2＋c 2－bc ,将a ＝2代入可得b 2＋c 2－bc ＝4,所以4≥bc .当且仅当b ＝c ＝2时等号成立,所以S △ABC ＝12bc sin A ,当角A ＝60°时有最大值为 3.6．如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cos A ＝ 0 ,该圆的直径长度为 65 .[解析] 由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ,BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ,∵A ＋C ＝180°,∴cos C ＝－cos A ,∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0, ∴cos A ＝0.∵0°<A <180°, ∴A ＝90°,∴BD 2＝392＋522＝652,∴BD ＝65. 三、解答题7．在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c ＝2,C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ； (2)若sin B ＝2sin A ,求△ABC 的面积．[解析] (1)由余弦定理及已知条件得a 2＋b 2－ab ＝4, 又∵△ABC 的面积为3,故12ab sin C ＝3,得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin B ＝2sin A , 由正弦定理得b ＝2a ,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.8．如图所示,在平面四边形ABCD 中,∠ADC ＝90°,∠BAD ＝45°,AB ＝2,BD ＝2 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 105°＝6＋24 (1)求∠ADB 的大小；(2)若DC ＝22,求四边形ABCD 的面积．[解析] (1)在△ABD 中,由正弦定理得：AB sin ∠ADB ＝DBsin ∠BAD,所以sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BADDB ＝2×2222＝12.因为A ＝45°,所以0°<∠ADB <135°, 所以∠ADB ＝30°.(2)在△ABD 中,∠ABD ＝180°－30°－45°＝105°, sin 105°＝6＋24,所以S △ABD ＝12BA ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×22×6＋24＝3＋1； 在△BCD 中,S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×22×22×32＝2 3.所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝33＋1．。

《三角形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次《三角形的中位线》作业的设计与完成，期望达到以下目标：1. 使学生掌握三角形中位线的概念、性质及其应用。

2. 培养学生的空间想象能力和几何图形的分析能力。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 概念理解：要求学生掌握三角形中位线的定义，明确中位线与三角形顶点的关系。

2. 性质掌握：让学生理解并记忆三角形中位线的性质，如中位线与底边的关系等。

3. 习题练习：布置一系列与中位线相关的习题，包括选择题、填空题和解答题。

题目难度由浅入深，先从简单的概念题开始，再逐步增加难度，涉及中位线的性质和实际应用。

4. 实际应用：设计一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决，如利用中位线性质测量距离等。

三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，特提出以下要求：1. 认真审题：学生在完成作业前应认真阅读题目，明确题目要求。

2. 独立思考：要求学生独立完成作业，避免抄袭他人答案。

3. 规范答题：书写工整，步骤清晰，答案准确。

4. 及时订正：对错题进行订正，找出错误原因并改正。

5. 拓展延伸：鼓励学生在完成基础题目的基础上，尝试一些拓展题目，提高自己的思维能力。

四、作业评价教师将根据以下标准对本次作业进行评价：1. 正确性：答案是否准确无误。

2. 规范性：书写是否工整，步骤是否清晰。

3. 独立思考能力：是否能够独立思考并解决问题。

4. 拓展延伸情况：是否尝试了一些拓展题目并尝试解决。

通过作业评价，教师将全面了解学生对《三角形的中位线》知识点的掌握情况，以便于后续教学活动的调整和改进。

五、作业反馈作业完成后，教师将针对学生在作业中出现的问题进行集体讲解或个别指导，让学生真正掌握《三角形的中位线》的相知识，同时也对未能理解的部分加以指导。

教师会在课堂中提出改进之处和下一节课需要学生进一步关注的地方。

通过收集学生对作业的意见和反馈，改进和优化未来教学活动。