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2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)

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高中数学 第二章《解三角形》三角形中的几何运算课件 北师大版必修5

高中数学 第二章《解三角形》三角形中的几何运算课件 北师大版必修5



2、三角函数式的化简； 例2：在△ABC中，化简bcosC+ccosB. 小结二：具体问题具体分析，一般来说 也有两个方向，边转化为角或角转化为边，再 进行化简。



3、证明三角恒等式； 例3：在△ABC中, 求 证 a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
：

小结三：由边向角转化后，要熟 练运用三角函数公式，有时又要由 角转化为边；三角形中的有关证明 问题，主要围绕边与角的三角函数 展开，从某种意义上来看，这类证 明问题就是有了目标的含边与角的 式子的化简问题。
四、练习 I. 课内练习： 在△ABC中，证明下列各式： ①(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0 cos 2 A cos 2 B 1 1 2 2 2 2 a b a b II. 课外练习： 1、在△ABC中，BD为∠B的平分线， 求证：AB:BC=AD:DC 2 、 在 △ ABC 中 已 知 (sinA+sinB)2sin2C=3sinAsinB， sin A sin( A B) 求证：A+B=120°
北师大版高中数学必修 5第二章《解三角形》
课题：三角形中的几何运算
知识目标：1、三角形形状的判断依据； 2、利用正弦、余弦定理进行 边角互换。 能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理； 2、边角互化； 3、判断三角形的形状；

4 、证明三角形中的三角恒等式。




教学重点：利用正弦、余弦定理进行边 角互换。 教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行 边角互换时的转化方向； 2、三角恒等式证明中结论 与 条件之间的内在联系。

高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5.pptx

高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5.pptx
15
类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题 例 2 在△ABC 中，已知 AB＝436，cos∠ABC＝ 66，AC 边上的中线 BD ＝ 5，求 sin A 的值. 解答
18
反思与感悟
运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三 角形，再在三角形中运用定理求解.
21
跟踪训练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.设 a， b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2 和bc＝12＋ 3，求 A 和 tan B 的值. 解答
①画出图形
；
②理清已知条件，要求的目标；
③根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.
5
梳理
对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转 化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要 注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.6Biblioteka 知识点二 平面图形中的最值问题
30
当堂训练
31
1.三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝
0的根，则此三角形的面积是 答案 解析
√A.6 cm2
B.125 cm2
C.8 cm2
D.10 cm2
1 2 3 432 5
2.在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶ 5∶6，下列
27
反思与感悟
解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式， 并能熟练地运用公式进行求值.
28
跟踪训练3 (1)在△ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角， 求最大角的余弦值； 解答
设三边长分别为a－1，a，a＋1， 由于最大角是钝角，所以(a－1) 2＋a2－(a＋1) 2<0， 解得0<a<4.又因为a为整数，所以a＝1或2或3. 当a＝1时，a－1＝0，不合题意舍去； 当a＝2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形； 当a＝3时，三边长为2,3,4，设最大角为θ，则

高中数学 第一部分 第二章 §2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

高中数学 第一部分 第二章 §2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

[例 2] 如图，在△ABC 中，BC＝5， 31 AC＝4，cos ∠CAD＝ 且 AD＝BD，求 32 △ABC 的面积．
[思路点拨] 先由余弦定理求出 CD 长，再利用正弦 1 定理求角 C 的正弦值， 最后根据 S＝ BC· AC· sin C 求△ABC 2 的面积．
[精解详析] 设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x， 在△CAD 中，由余弦定理可知： 5－x2＋42－x2 31 cos ∠CAD＝ ＝ . 2×4×5－x 32 解得 x＝1. AD CD 在△CAD 中，由正弦定理可知： ＝ ， sin C sin ∠CAD
(2)由(1)知∠ADB＝60° ， 在△ABD 中，AD＝10，B＝30° ，∠ADB＝60° ， AB AD 由正弦定理得 ＝ ， sin ∠ADB sin B 3 ADsin ∠ADB 10sin 60° 10× 2 ∴AB＝ ＝ ＝ ＝10 3. sin B sin 30° 1 2
[一点通]
3 (2)由 BA · BC ＝3，得 accos B＝3，ac＝cos B＝5，
3 6 2 2 由余弦定理：b ＝a ＋c －2ac× 得 ac＝a ＋c － ac， 5 5
2 2 2
21 a ＋c ＋2ac＝ ac＝21， 5
2 2
∴(a＋c)2＝21. ∴a＋c＝ 21.
(2)设 BA · BC ＝3，求 a＋c 的值．
解：(1)由已知 b2＝ac，及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C 3 4 由 cos B＝ ，则 sin B＝ . 5 5 sin Ccos A＋cos Csin A sin A＋C cos A cos C ＋ ＝ ＝ ＝ sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin B 1 5 ＝ ＝ . sin Asin C sin B 4

高中数学 第二章 解三角形 第2节 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

高中数学 第二章 解三角形 第2节 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5
阶
阶
段
段
一
三
§2 三角形中的几何计算
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点) 2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形 中的几何度量问题．(重点) 3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度 量问题中的作用．(难点) 4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运 用知识的能力．
[基础·初探]
教材整理 三角形中的几何计算
阅读教材 P54～P55“练习”以上部分完成下列问题． 三角形中的几何计算主要涉及 长度 、 角度 、 面积 问题．
(1)在△ABC 中，a＝2 2，A＝45°，则△ABC 外接圆的半径 R 等于________．
(2)在△ABC 中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则 S△ABC＝________. 【解析】 (1)2R＝sina A＝2 22＝4，∴R＝2.
【解】 (1)设三角形三内角 A，B，C 对应的三边分别为 a，b，c， ∵sin B＝cos Asin C， ∴cos A＝ssiinn CB，由正弦定理有 cos A＝bc， 又由余弦定理有 cos A＝b2＋2cb2c－a2， ∴bc＝b2＋2cb2c－a2，即 a2＋b2＝c2. 所以△ABC 为直角三角形，且 C＝90°.
本题体现了正弦定理和余弦定理的综合应用，先是由正弦定理求 a、c，再 由余弦定理求 b.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系都是解三角 形的重要工具，解三角形时要注意根据题目的条件合理选择．
[再练一题] 2．在△ABC 中，已知 sin B＝cos A sin C，A→B·A→C＝9，△ABC 的面积等于 6. 【导学号：67940039】 (1)求 C； (2)求△ABC 的三边之长．

2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)

2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)
课前探究学习 课堂讲练互动
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
课前探究学习
课堂讲练互动
π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
课前探究学习 课堂讲练互动
2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．

北师大版高中数学必修五2.2 三角形中的几何计算 课件(共44张PPT)

北师大版高中数学必修五2.2 三角形中的几何计算 课件(共44张PPT)

知识点三
几个常用结论
在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边 π (1)若sin 2A＝sin 2B，则 A＝B或A＋B＝ 2 ； (2)若cos A＝cos B，则 A＝B ；
(3)若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形 ；
(4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形 ；
(5)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则△ABC为 锐角三角形 .
解 1 3 由题意可知2absin C＝ 4 ×2abcos C.
π 所以 tan C＝ 3，因为 0<C<π，所以 C＝3.
解析答案
(2)求sin A＋sin B的最大值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4
已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m
＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
1 bcsin A 上的高CD＝bsin A ，△ABC的面积S＝ 2 .
答案
(2)三角形的面积与内切圆 已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为
1 r ( a ＋ b ＋ c ) S＝ 2
.
如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，
1 1 1 1 则 S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝2cr＋2br＋2ar＝2(a＋b＋c)r.
答案
60°或120°
解析 1 3 S＝2bcsin A＝2，
1 3 3 ∴2· 2· 3· sin A＝2，∴sin A＝ 2 ，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.

高中数学北师大版必修五《2.2三角形中的几何计算》课件


斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”用
今天的符号来表示即是 S＝ 学的知识证明这个结论吗？
14[a2c2－c2＋a22－b22]，你能用所
4
单击此处编辑母版标题样式
• 单击•此三处角形编中辑的母常版用文结本论样式
• 二级 •• (1三)级A＋B＋C＝__1_8_0_°___；
• 四级
• 三级
• 四[解级析] bccosA＋cacosB＋abcosC ＝• b五c·级b2＋2cb2c－a2＋ca·c2＋2ac2a－b2＋ab·a2＋2ba2b－c2 ＝a2＋b22＋c2＝32＋422＋62＝621.
13
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
• 单击此条处件，编取辑B母C版的文中本点 样E，式连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ABE＋
•
二级∠BED＝180°，根据题目中的条件
• 三级
cos∠ABC＝
66，进而求得
• 四级
cos∠B• E五D级＝－
66.又由
DE
綊12AB，得
DE＝12×4 3 6＝2 3 6.在△
BDE 中，利用余弦定理可求出 BE，从而 BC 可求．再在△ABC 中，利用余弦定理可求出 AC，再利用正弦定理即可求出 sinA 的值．
• 二级 由正弦定理，得 • 三•级四12＋级 3＝bc＝ssiinnCB＝sin1s2in0B°－B
• 五级
＝sin120°cosBsi－nBcos120°sinB＝ 23ta1nB＋12， 从而 tanB＝12.
26
单击此处编辑母版标题样式 解法二：由余弦定理，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.

高中数学北师大版必修五2.2【教学课件】《三角形中的几何计算 》


同理，在△ABD 中，AB＝5，sin ∠BAD ＝
，∠ADB ＝45°，
解得 BD＝
9 2 2
北京师范大学出版社 | 必修五
变式训练 1：
在△ABC 中， 已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6， 求 AB 的长。
解 在△ADC 中， AD=10,AC=14,DC=6,
0 ， 由ABP CBP 90 90°得： 得：
2 2 x 3 x 5 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 cos ABP cos CBP 1 即有： 4x 4x
（*）
解*得所求的边长为
52 2 。
北京师范大学出版社 | 必修五
例 3 在 ABC 中，求证：
(3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角
类型(3)在有解时只有一 解，类型(4)可有两解、一 解或无解
1 ＝ ac sin B 2 1 ＝ ab sin C 2
(5)已知两边及其夹角
北京师范大学出版社 | 必修五
例题解析
例1 如图 1 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求 BD 的长。
（2）根据余弦定理的推论，
显然 k 0，所以
b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b2 a 2 b2 c2 右边=2 bc ca ab 2 bc 2 ca 2 ab
a 2 b2 k 2 sin 2 A k 2 sin 2 B 左边 2 c k 2 sin 2 C sin 2 A sin 2 B = =右边 2 sin C
且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧。

2.2 三角形中的几何计算 课件(北师大版必修五)


解三角形综合问题的方法
（1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、 三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起. （2）此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理，三角 形面积公式为工具综合考查，解题时要正确“翻译”题目 条件，选择合适的公式或定理.
【例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c， 设S为△ABC的面积，满足S＝ 3 (a2+b2-c2).
1.用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些三角形几 何计算问题.(重点) 2.在理解题意的基础上将实际问题数学化.(难点)
3.利用正、余弦定理进行边角互化及正、余弦定理与有关
性质的综合应用是本节课的难点.（难点、易混点）
一、正、余弦定理可解决的问题
1.正弦定理可解决的两类问题：
（1）已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形.
3
c bsinC sinB 3 6 2 2 3 8. 3 2
2
2
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC.
3 1 1 2 2 32 2 . 2 3 2 3 6
1 bcsinA 6 2 8 3. 2
故所求面积 S△ABC=
三角形中的综合问题
的高) 2.S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB
2 2 2 3.S= 1 r(a+b+c)（r为内切圆半径） 2 4.S= p p a p b (p c) （p= a b c 为三角形的半周长） 2

三角形中与长度有关的问题
三角形中与长度有关的问题的求解思路
2 2 2
又∠ADB＋∠ADC=180°

北师大版高中数学必修五课件§2三角形中的几何计算


由正弦定 (1) m∥n ―→ asin A＝bsin B ―→ 理得a＝b ―→ △ABC为等腰三角形
由余弦定 (2) m⊥p ―→ a＋b＝ab ―→ 理求出ab ―→ S△ABC
[解题过程] (1)∵m∥n， ∴asin A＝bsin B， 即 a·2aR＝b·2bR， 其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ∴a2＝b2，a＝b， ∴△ABC 为等腰三角形．
2.三角形内角和定理
在△ABC 中
(1)A＋B＋C＝ π ； (2)sin (A＋B)＝ sin C，cos(A＋B)＝ －cos C ， cos
A＋2 B＝ sin C2，
sin
A2＋B＝ cos
C 2.
3．三角形的面积公式
(1)用边 a 及 a 上的高 ha 表示为 S＝21aha； 1
(2)用两边 a，b 及夹角 c 表示为 S＝ 2absin C； (3)用三边 a，b，c 及内切圆半径 r 表示为 S＝
ab＝(a＋b)2－ab＝(2 3)2－2＝10，
∴AB＝ 10.
(3)S△ABC＝12absin
C＝21absin
120°＝12×2×
23＝
3 2.
已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设 向量 m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝π3，求△ABC 的面积．
即 142＝x2＋102－20xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，
∴x＝16(x＝－6 舍去)，即 BD＝16.
在△BCD
中，由正弦定理 sin
∠BCCDB＝sin∠BDBCD，
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∴sin(A-30°)=0, ∴A=30°. 答案：30°
三、解答题（每题8分，共16分） 7.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，角 A、B满足：2sin(A+B)- 3 =0，求角C的度数，边c的长度 及△ABC的面积.
【解析】由2sin(A+B)∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B=120°,C=60°,
4
（2）求sin(2A+C)的值.
【解题提示】
【解析】（1）由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC
3 =4+1-2×2×1× =2, 4
∴AB= 2 .
9.（10分）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝
(
3 a-b)sinB．
(1)求角C； (2)求△ABC面积的最大值．
8
【解析】选C.c2＝a2+b2-2abcosC=9,c=3，B为最大角，
cosB=- 1 .
7
2.（2010·营口高二检测）已知△ABC中，AB= 3 ，AC=1，且
B=30°，则△ABC的周长等于(
（A）3+ 3 （B） 3 +1 （C）2+
3 或 3 +1
)
（D）3+ 3 或2+ 3 【解析】选D.由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB， 即12=BC2+(
2ab
又0°＜C＜180°，所以C＝45°.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.在△ABC中,A=120°,a= 21 ,S△ABC= 3 ,则b=__________. 1 【解析】S= bcsin120°= 3 ,得bc=4 ①
2
又a2=b2+c2-2bccos120°=21，得b2+c2＝17
3 =0，得sin(A+B)=
3 , 2
又∵a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，
∴a+b=2 3 ,ab=2. ∴c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6, ∴c= ,S△ABC= absinC= ×2× 3 = 3 . 6 2 2 2 2
1 1
8.如图，在△ABC中，AC=2，BC=1， cosC= 3 .（1）求AB的值;
4.（2010·洛阳高二检测）在△ABC中，三边a,b,c与面积S的
a 2 b 2 -c 2 关系是S= ，则C=( 4
)
（A）30°
（C）45°
（B）60°
（D）90°
【解析】选C.S=
1 2
a 2 b 2 -c 2 , absinC= 4
2 2 2 所以sinC= a b -c =cosC.
②
b=1 b=4 由①②得 或 ， c=1 c=4 所以b=1或4.
答案：1或4
6.在△ABC中，b=2a,B=A+60°,则A=__________.
2a 【解析】由正弦定理得， a = sinA sin(A 60) ∴sin(A+60°)=2sinA,
∴
3 sinA2
3 cosA=0, 2
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分）
1.在△ABC中，若a=7,b=8,cosC= 则最大角的余弦值是( （A）- 1
5
13 ， 14
) （C）- 1
7
（B）- 1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（D）- 1
3 )2-2 3 ·BCcos30°，
解得BC=1或2，所以周长为2+ 3 或3+ 3 .
3.△ABC的两内角A,B满足sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形
的形状为(
)
(B)直角三角形 (D)不能确定
(A)钝角三角形 (C)锐角三角形
【解析】选A.由sinAsinB＜cosAcosB， 得cosAcosB-sinAsinB＞0.即cos(A+B)＞0， 所以cosC＜0,C为钝角. 所以△ABC为钝角三角形.
【解题提示】先由正弦定理进行边角互化求出C，再利用
三角恒等变换把面积表示成关于角A的函数求最值.
【解析】