三角形中的几何计算

2. △ABC的周长是20,面积是 10 3 ,
A=600,则BC的长度是(
A.5 B.6 C.7
)
D.8
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所 a b 的取值范围是 对的边,则 . c
4.在△ABC中,AB=2,BC=3,AC= 则△ABC外接圆的半径R=
7 ,
.
5.在△ABC中,求证:
2 2 2
2 R sin A 2 R sin B sin A sin B
2.三角形的面积公式 ① S 1 底 高
1 1 1 ② S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2
③ S
pr
1 [其中p= (a b c ), r为内切圆半径] 2
2.在△ABC中,已知面积 S
则角C=______ 6
2
4 3
3.锐角△ABC中,B=2A,则b/a的取值范 围是( A ) A.(-2,2)
C.( 2 ,2)
B.(0,2)
D.( 2, 3 )
4.若三角形中有一角为600,夹这个角的 两边的边长分别是8和5,则它的内切圆 7 3 . 及外接圆半径分别等于 3和
3
三角形的综合问题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c,
a b sin( A B ) 证明: 2 c sin C
2 2
注：和差化积
2.已知圆内接四边形ABCD的边长分 别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边 形ABCD的面积.
答案： 3 8
3.(09湖北)在锐角△ABC中,a,b,c分别为 角A,B,C所对的边,且 3a 2c sin A
abc ④ S 4R

分析： 分析：四边形 OPDC 可以分成 ∆OPC 与 ∆PCD . S ∆OPC 可用
1 表示； OP ⋅ OC sin θ 表示； 而求 ∆PCD 的面积关键在于求出边长 2
PC， 中利用余弦定理即可求出； PC，在 ∆OPC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值 的获得，则可通过三角函数知识解决. 的获得，则可通过三角函数知识解决.
∴ sin(C + 30 ) = 1,∴ C + 30 = 90
,
∴ C = 60 ,故 A = 60
∴△ABC 为正三角形. ∴△ABC 为正三角形.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决 能够正确运用正弦定理 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，应系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.
由正弦定理， 解： 由正弦定理， 2 sin B = sin A + sin C , 得
∵ B = 60 ,∴ A + C = 120 ,
代入上式， ∴ A = 120 − C 代入上式，得
2sin 60 = sin(120 − C ) + sin C
展开，整理得： 展开，整理得：
3 1 sin C + cos C = 1 2 2
余弦定理， 在 ∆ABC 中，由余弦定理，得
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB ⋅ AC cos A ,
即 x 2 = (4 2) 2 + (17 − 2 x ) 2 − 2 × 4 2 × (17 − 2 x ) cos 45 .

三角形中的几何计算【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算.【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题）（1）S =21 ； （2）S =21ab sin C =21 =21 ； （3）S =21·r · (r 为三角形内切圆半径)；（4）2a b c S p ++⎫==⎪⎭其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C=== ; （6）4abc S R=(其中R 为三角形外接圆半径)。

类型1 三角形中的面积计算问题【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________．类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°,135,BCD BC ∠=求的长。

【例3】在△ABC 中，已知AB =，ABC ，66cos 364=∠AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值.【练习】如图所示，在△ABC 中，已知BC =15,AB ：AC =7；8,sin B =734,求 BC 边上的高AD 的长.类型3 三角形中的综合问题【例4】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2b ac =，cos B ＝35. (1)求cos A sin A ＋cos C sin C的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值．【练习】△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．类型4 解三角形中的函数思想【例5】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．(1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．【练习】（1）在△ABC 中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦.（2）求以（1）中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.【课时小结】1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．【课外作业】1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32C.3 D ．2 3 2．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( )A ．20 6B ．25C ．55D ．493．三角形的两边长为3cm 、5cm,其夹角的余弦是方程5x 2-7x -6=0的根，则此三角形的面积是 ( )A.6cm 2B.215 cmC.8cm 2D.10cm 24．已知△ABC 周长为20，面积为103，A =60°，则BC 边长为（ ）A.5B.6C.7D.85．已知锐角三角形ABC 中，| |=4,| |=1,△ABC 的面积为3，则·的值为 ( )A.2B.-2C.4D.-46．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C =k ：(k +1)：2k ,则k 的取值范围是（ ）A.（2，+∞）B.（-∞，0）C.（-21，0） D.（21，+∞） 7．边长为a 的等边三角形的高为________．8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高．9．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m =(a,b ), n =(sin B ,sin A ), p =(b -2,a -2).（1）若m ∥n ,求证：△ABC 为等腰三角形.（2）若m ⊥p ,边长c =2,角C ＝3π，求△ABC 的面积. 10．在△ABC 中，C-A =2π，sin B =31. （1）求sin A 的值； （2）设AC =6，求△ABC 的面积.。

课前探究学习 课堂讲练互动
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
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π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．

第8课时 三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例
工具
第三章 三角函数
栏目导引
工具
第三章 三角函数
栏目导引
1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
栏目导引
3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，

若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最 快可在何处截住足球？
B
x
4 2 45°
A 17 2x
C
2x
D
分析：BC 2 AB2 AC2 2AB AC cos A
解:该机器人最快可在点C处截住足球，点 C 在线段AD上，
设BC=x dm, 则 CD=2x dm 在△ABC中
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
x 2 ( 4 2 ) 2 (17 2 x ) 2 2 4 2 (17 2 x ) cos 45 0
37 x1 5, x 2
3
AC 17 2 x 7 , 或 AC 23 ( 舍去） 3
答：该机器人最快可在线段AD上离A7dm的 点C处截住足球，
例3 如图，已知⊙o的半径是1，点C在直径AB的延长线上，
53 2
4
例4 锐角三角形中，边a、b是方程 x 2 2 3 x 2 0
的两根，角A、B满足 2 sin A B 3 0 . 计算角C和边c的长度及△ABC的面积。
解： Q 2 sin A B 3 0
3
sin A B
又∵△ABC为锐角三角形
2
A B 120o
知识回顾
正弦定理：
a
b
c
sin A sin B sin C
余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB c2 =a2+ b2－2abcosC
知识回顾：两个重要结论
a
b
c
正弦定理：
2R
sin A sin B sin C
（其中：R为△ABC的外接圆半径）
三角形面积公式：

2
A. 3
B. 3
C. 7
D. 7
24.圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907
年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有 114 年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996 年经国
务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的
10
D. ﹣ 3 10
10
12..已知
中， = 6, = 30∘, = 120∘ ，则
的面积为（ ）
A. 9 13.在正四面体
B. 18 中， ， 分别为
C. 9 3
D. 18 3
， 的中点， 为线段 上的动点
（包括端点），记 与 所成角的最小值为 ， 与平面
所成角的最大值为
，则（ ）
A. =
B. >
sin = sin ，则 △
的面积的最大值是（ ）．
A. 4
B. 4 3
C. 8
D. 8 3
3
20.已知
的面积 = 2 − ( 2 + 2) ，则 cos =（ ）
A. 4 17
17
B. 17
17
C. −
17 17
D. ±
17 17
21.在
中，若 = 3 ， 5sin = 3sin ，且
的面积
=
15 4
C. <
D.
+
=
2
2
14.如图甲,四边形 ABCD 是等腰梯形, ∥ .由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平 行四边形，则四边形 ABCD 中∠ 度数为 ( )
A.30°
B.45° C.60° D.75°

(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
栏目 导引
第二章 解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
栏目 导引
第二章 解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
栏目 导引
第二章 解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
栏目 导引
第二章 解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合 适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13， 且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值． 解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又 A 为三角形内角， 所以 A＝π3.
栏目 导引
第二章 解三角形
＝
1－2

5
52＝

55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB

则
1
S△ABC=2absin
3 3
C= 2 .
二、三角形中的有关计算
6.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则 AB 的长为( )
A.5
C.5 3
B.5 2
D.5 6
答案:D
2 + 2 - 2
解析:在△ACD 中,cos C=
2··
高中数学
课时训练 4 三角形中的几何计算
一、与三角形面积有关的计算
1.在△ABC 中,c= 3,b=1,B=30°,则△ABC 的面积为
( )
3
A. 2
C.
3
或 3
3或
B. 2
3
4
3
或4
D. 3
答案:B
解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,
即 1=a2+3-2 3acos 30°,
2 7
B= 7 .

+ )
(
3
故 sin C=sin(A+B)=sin
高中数学
高中数学


=sin Bcos3+cos Bsin3
=
3 21
14 .
1
所以△ABC 的面积为2absin C=
3 3
2 .
10.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a.
答案:a>b


=


解析:由正弦定理得,
.
∴sin
3
6 1
120°
=

三角形中的几何计算1．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S =12a•h a（h a 表示边a 上的高）；②S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A．③S =12r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：1/ 2①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在 0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在 90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．2/ 2。

sin(A B) sin C; cos(A B) cosC; tan(A B) tan C;
(5)sin(A－B)＝0⇔A＝B；
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7)sin sin 或 若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
.
[解]
证法一(角化边）：左边＝ab－ －ccab22＋ ＋22abcccc22－ －ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RR
sin sin
Hale Waihona Puke B A＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△A BC 外接圆的半径．
∴ab－ －ccccooss
B A
＝ssiinn
B A
.
[针对训练 2]
人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
1.2.2三角形中的几何计算
学习目标
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和 其推论； 2．会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式， 余弦定理的推论计算三角形中的一些量
难点：探寻解题的思路与方法.
知识点梳理 1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
【典例 3】
(3)∵|A→B＋A→C |＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C |2＋2A→B·A→C ＝6， 即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△A B C 为正三角形． ∴S△ABC＝ 43×( 2)2＝ 23.

2。

2三角形中的几何计算教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

教学重点、难点：1。

重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。

2。

难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

教学过程：例题讲解：例1. 在△ABC 中，已知45,a b B ==求边c 。

解析：解法1（用正弦定理）a Ab B sin sin =∴==⨯=s i n s i n s i n A a B b 345232 又 b a B A A <∴<∴=，，或60120 当A ＝60°时，C ＝75°∴===+c b C B s i n s i n s i n s i n 27545622当A ＝120°时，C ＝15°∴===-c b C B s i n s i n s i n s i n 21545622解法二： b a c ac B 2222=+-cos∴=+-2323452c c cos即c c 2610-+=解之，得c =±622点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。

例2. 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状。

解析：解法一由正弦定理，得2sin sin sin B A C =+∵B ＝60°，∴A+C ＝120°A ＝120°－C ，代入上式，得260120sin sin()sin =-+C C展开，整理得： 32121s i n cos C C +=∴+=∴+=s i n ()CC 3013090 ， ∴C ＝60°，故A ＝60°∴△ABC 为正三角形解法二由余弦定理，得b a c ac B 2222=+-cosB b a c==+602，∴+=+-()cos a c a c ac 2260222整理，得()a c a c -=∴=20， 从而a ＝b ＝c∴△ABC 为正三角形点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。

§2 三角形中的几何计算双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形． 答案 C2．在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于 ( )． A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 解析 BC 边上的高等于b sin C ＝43sin 60°＝6， 答案 D3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A4．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________． 解析 ∠BAC ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得 BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠BCA ，∴BC ＝3×sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 6.答案65．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为________．解析 由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ，∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°，∵BD 2＝392 ＋522＝652，∴BD ＝65. 答案 656．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B ＝60°，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知，sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是 ( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析 ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.∴△ABC 是钝角三角形．故选A. 答案 A8．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 是 ( )． A. 2 B.3＋1 C.12(3＋1) D ．2 2解析 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 30°＝c sin 45°，∴c ＝22，∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×2×22·sin 105°＝3＋1. 答案 B9．△ABC 中，a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝________. 解析 在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .所以，原式＝ab －ac 2R ＋bc －ab 2R ＋ac －bc2R ＝0.答案 010．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有AB 2＝AD 2＋ BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即142＝x 2＋102－20x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0.∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.答案 8 211．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 如图所示，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12 AB ·AD sin A ＋12 BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C . ∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得： BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48 cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C ，∵cos C ＝－cos A ，∴64 cos A ＝－32，cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin 120°＝8 3.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且A B →·B C →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵A B →·B C →＝－21，∴B A →·B C →＝21. ∴B A →·B C →＝|B A →| |B C →| cos B ＝ac cos B ＝21. ∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.。

三角形中的几何计算、解三角形的实质应用举例1．仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角 (如图① )．2．方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方向角为α(如图② )．3．方向角相关于某一正方向的水平角(如图③ )(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°抵达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°抵达目标方向．(3)南偏西等其余方向角近似．【思虑研究】 1.仰角、俯角、方向角有什么差别？以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．如右图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB＝AD，记∠ CAD＝，∠ ABC＝β.(1)证明： sin＋cos 2β＝0；(2)若 AC＝ 3 DC，求β的值．【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD 中，已知 AD⊥ CD，AD ＝10，AB＝14，∠ BDA＝ 60°，∠ BCD＝ 135°，则 BC 的长为________．求距离问题要注意：(1)选定或确立要创立的三角形，要第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接解；如有未知量，则把未知量放在另一确立三角形中求解．(2)确立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．例题 2.如下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2海里 /小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛1出发，朝北偏东θtanθ＝2的方向作匀速直线航行，速度为10 5海里 /小时．(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离近来？近来距离为多少海里？丈量高度问题一般是利用地面上的观察点，经过丈量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这种问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转变为平面几何问题，再经过解三角形加以解决．例题 3，如图，丈量河对岸的塔形建筑 AB，A 为塔的顶端， B 为塔的底端，河两岸的地面上随意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪 (能够丈量仰角、俯角和视角 )，再给你一把尺子 (能够丈量地面上两点间距离 )，图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角∠ ACB＝，请设计一种丈量塔建筑高度 AB 的方法 (此中测角仪支架高度忽视不计，计算结果可用丈量数据所设字母表示 )．【变式训练】3. A、B 是海平面上的两个点，相距800 m，在A 点测得山顶C 的仰角为 45°，∠ BAD＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，此中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.丈量角度问题也就是经过解三角形求角问题，求角问题能够转变为求该角的函数值．假如是用余弦定理求得该角的余弦，该角简单确立，假如用正弦定理求得该角的正弦，就需要议论解的状况了．例题 4，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1) n mile的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船受命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式训练】 4.如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟抵达 2 处时，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2处，此时两船相距 10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形的一般步骤(1)剖析题意，正确理解题意分清已知与所求，特别要理解应用题中的相关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方向角等．(2)依据题意画出表示图．(3)将需求解的问题归纳到一个或几个三角形中，经过合理运用正弦定理、余弦定理等相关知识正确求解．演算过程中，要算法精练，计算正确，并作答．(4)查验解出的答案能否拥有实质意义，对解进行弃取．2．解斜三角形实质应用举例(1)常有几种题型丈量距离问题、丈量高度问题、丈量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方向角等名词，并能正确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理联合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与丈量、几何计算相关的实质问题是高考的热门，一般以解答题的形式考察，主要考察计算能力和剖析问题、解决实质问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考察．1．(2012 ·江西卷 )E，F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三平分点，则tan∠ECF＝ ()16233A.27B.3C. 3D.42．(2012 ·陕西卷 )如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋ 3 )海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 45°， B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的C点的营救船立刻前去营救，其航行速度为 30 海里 / 时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？。

海伦公式：S=sqrt[s(s-)(s-b)(s-c)]其中s是半周长、b、c是三角形 的三边长 向量法：利用向量的叉乘和点积计算面积
积分法：利用积分计算面积
解析法：利用解析几何的方法计算面积
公式：周长=边长1+边长2+边长3 应用：适用于任意三角形 计算步骤：测量各边长然后相加 注意事项：测量误差可能导致计算结果不准确
反三角函数：用于计算三角形的角度和边 长
,
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 三 角 形 的 基 本 性 质 03 三 角 形 的 几 何 计 算 方 法 04 三 角 形 的 几 何 定 理 05 三 角 形 的 几 何 应 用
任意三角形的内角和为180度 任意三角形的外角和为360度 任意三角形的边长与角度之间存在一定的关系可以通过三角函数进行计算 三角形中的边长与角度的关系可以用于解决实际问题如测量、绘图等
钝角三角形：有一个角为 钝角其他两个角为锐角
锐角三角形：三个角均为 锐角
正三角形：三个角均为 60度三边相等
内角和：三角形内角和为180度 外角和：三角形外角和为360度 内角计算：已知两个内角可以求出第三个内角 外角计算：已知一个外角可以求出其他两个外角
勾股定理：用于计算直角三角形的边长 海伦公式：用于计算任意三角形的边长 余弦定理：用于计算任意三角形的边长 正弦定理：用于计算任意三角形的边长
勾股定理：直角 三角形中两直角 边的平方和等于 斜边的平方
证明方法：多种 如面积法、向量 法等
应用：解决实际 问题如测量、建 筑等
推广：勾股定理 的推广如高斯勾 股定理等
余弦定理是描述 三角形中任意两 边和其夹角的余 弦值的关系
余弦定理公式： c^2 = ^2 + b^2 - 2b*cos(C)

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1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
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答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
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2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
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【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
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则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
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题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
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【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
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2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1