高中数学必修五北师大版 2 三角形中的几何计算 作业(含答案)3

基础巩固在△中，等于( )在△中，已知＝°，＝，则边上的高等于( )．．．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝.在△中，＝°，＝，＝，则△的面积等于．若△面积为，＝，＝°，求、的值．在△中，已知＝，求证：△为等腰三角形．已知三角形的一个角为°，面积为，周长为，求此三角形各边长．已知△三边的长分别为＝，＝，＝.求此三角形的面积．综合过关半径为的圆内接三角形的面积为，求此三角形三边长的乘积．在△中，＝，＝，，是方程－＋＝的两个根，且(＋)＝，求：()角的度数；()的长度；()△的面积．已知圆内接四边形的边长分别为＝，＝，＝＝，求四边形的面积．能力提升在△中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．()求最大角的余弦值；()求以此最大角为内角，夹此角两边之和为的平行四边形的最大面积．参考答案答案：解析：边上的高等于＝.答案：解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝＝，所以＝＝－，所以＝.答案：解析：由余弦定理得＝＋－·°，∴－＋＝.∴＝.△＝·°＝×××＝.答案：分析：本题为三角形面积的应用，主要是构建方程求得、.解：根据题意：＝·＝°＝，∴＝.由余弦定理，得＝＋－＝，∴＝.分析：欲证△为等腰三角形，可利用余弦定理证明两边相等．证明：由余弦定理，得＝.又＝，∴＝.整理得＝.∴＝.∴△是等腰三角形．分析：此题条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但都与边或角相关，故可设出边长，利用所给的条件列出方程求解．解：设三角形的三条边长为，，，＝°，则依题意，得(\\(°＝(＋－)，,()°＝()，＋＋＝，))∴(\\(＋＋＝，①＝＋－，②＝.③))由①式得＝[－(＋)]＝＋＋＋－(＋)．④将②代入④得＋－(＋)＝，再将③代入④得＋＝.由(\\(＋＝，＝，))得(\\(＝，＝，))或(\\(＝，＝，))∴＝.∴该三角形的三边长为.解：根据余弦定理的推论，得＝＝≈，＝≈≈.应用＝，得≈×××≈()．分析：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：＝＝＝，其中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式△＝发生联系，对进行整体求解．解：设△三边为，，，。

[学业水平训练]．边长为、、的三角形的最大角与最小角的和是( )．°．°．°．°解析：选.设中间角为θ，则θ＝＝，θ＝°，°－°＝°即为所求．．在△中，三式·≤，·≤，·≤中可以成立的( )．至少个．至多个．一个也没有．三式可以同时成立解析：选.∵·≤，∴≤，∴≥，同样≥，≥，故至多有一个成立．．在△中，角、、所对的边分别是、、.若＝，则＋等于( )．－．－．解析：选.∵＝，∴＝，即－＝，∴－(－)＝，∴＋＝.．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．与增加的长度有关解析：选.在△中，＝＋，设三边增加相同长度后，新三角形为△′′′，根据余弦定理得′＝＝>，而角′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选.．在△中，＝°，＝，且△＝，则边的长为( )．．解析：选.∵△＝···得，×°＝，∴＝，∴＝)＝°)＝.故选.．在△中，＝，＝，当△的面积等于时，＝．解析：△的面积＝＝，解得＝，所以＝)＝，所以＝＝－，所以＝.答案：．在△中，若＝，＝，＝，则＝；＝．解析：由＝，得＝．又＋＝，得＝.又∵＝，＝，根据正弦定理，应用)＝)，∴＝)＝＝.答案：．已知在锐角三角形中，＝，＝，△的面积为，则·＝．解析：∵＝，∴＝×××.∴＝，又∵∠为锐角，∴＝.∴·＝××＝.答案：．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝，·＝.()求△的面积；()若＝，求的值．解：() ＝－＝×()－＝.又∈(，π)，＝＝，而·＝··＝＝，所以＝，所以△的面积为：＝××＝.()由()知＝，而＝，所以＝，所以＝)＝＝.．在△中，内角，，对边的边长分别是，，.已知＝，∠＝.()若△的面积等于，求，的值；()若＝，求△的面积．解：()∵＝＝·＝，∴＝.①∵＝＋－＝(＋)－－＝(＋)－＝.∴＋＝.②由①②可得＝，＝()∵＝，∴＝.又∵＝＋－＝(＋)－＝，∴＝，＝.∴＝＝.[高考水平训练]．在△中，角，，所对的边分别是，，，若(＋－) ＝，则)的值为( ) ．解析：选.由余弦定理＋－＝⇔＝⇒＝，由正弦定理)＝)⇒)＝＝，故选. ．设△的内角，，所对的边分别为，，若(＋－)(＋＋)＝，则角＝.解析：由(＋－)(＋＋)＝，可知＋－＝－.又＝＝－，所以∠＝°.答案：°．设△的内角，，所对的边长分别为，，且＝，＝.()当＝°时，求的值；()当△的面积为时，求＋的值．解：()因为＝，所以＝.由正弦定理)＝)，可得°)＝，所以＝.()因为△的面积＝·，＝，所以＝，＝.由余弦定理得＝＋－，得＝＋－＝＋－，即＋＝.。

（新课标）最新北师大版高中数学必修五课时作业14 三角形中的几何计算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】 B【解析】本小题主要考查三角形面积公式、三角函数等基础知识．∵33＝12×4×3sinC，∴sinC＝3 2，∴C＝60°，故选B.2．△ABC的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，且其外接圆直径为52，则S△ABC＝( )A．4 B．3C．2 D．5【答案】 C【解析】 由正弦定理得52＝b sinB ＝bsin45°，∴b ＝5，由余弦定理得c ＝42，∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×1×42×22＝2.3．在△ABC 中，若|AB →|＝2，|AC →|＝5，AB →·AC →＝－5，则S △ABC 等于( )A.532 B. 3C.52D ．5【答案】 A【解析】 由向量知识可知：AB→·AC →＝|AB →||AC →|·cosA ＝10cosA ＝－5， 所以cosA ＝－12，所以sinA ＝32.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|×sinA ＝12×2×5×32＝532.4．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sinA ＋sinB ＋10sinC)，A ＝60°，则a ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定 【答案】 A【解析】 由已知及正弦定理，得a ＋b ＋10c sinA ＋sinB ＋10sinC ＝asinA＝2，a ＝2sinA ＝2sin60°＝3，选A.5．在锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1，3) C ．(3，5) D ．(1，5)【答案】 C【解析】 由已知及余弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2>c 2，b 2＋c 2>a 2，由此解得3<a< 5.6．在△ABC 中，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】 A【解析】 由已知及正弦定理，得sinA ＝2sinBcosC ，sin(B ＋C)＝2sinBcosC ，sinBcosC ＋cosBsinC ＝2sinBcosC ，sin(B －C)＝0，又－π<B －C<π，B －C ＝0，B ＝C.7．(2013·辽宁理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】 A【解析】 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sinB(sinAcosC ＋sinCcosA)＝12sinB ，∵sinB ≠0，∴sin(A＋C)＝12，∴sinB ＝12，由a>b 知A>B ，∴B ＝π6.选A.【点评】 在三角形中，已知边角混合等式，可以转化为角的关系式，也可转化为边的关系式．本题可利用余弦定理转化为边的关系式求解．二、填空题(每小题5分，共15分)8．等腰三角形的腰长为2，底边中点到腰的距离为32，则此三角形外接圆半径为________．【答案】 233【解析】 设AB ＝AC ，D 为底边中点，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， 则由DE ＝32，知BF ＝ 3.又AB ＝2，∴AF ＝1∴CF ＝AC －AF ＝1，tanC ＝BFCF ＝3，∴C ＝60°，2R ＝AB sinC ＝433，∴R ＝233.9．在△ABC 中，已知ab ＝60，sinA ＝cosB ，三角形面积为15，则A ＝______，B ＝______，C ＝______.【答案】 120° 30° 30°【解析】 S ＝12absinC 得：15＝30sinC∴sinC ＝12，∴C ＝30°或150°.由sinA ＝cosB 知B 为锐角，且由sinA ＝sin(90°－B)知A ＝90°－B 或A ＝180°－(90°－B)＝90°＋B若A ＋B ＝90°，C ＝90°矛盾舍去．若A ＝90°＋B ，则A 为钝角，故C 只能为30°，从而A ＝120°，B ＝30°.10．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)【答案】 ③【解析】 ①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故①不对．②sinA ＝cosB ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形．③sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2. ∴△ABC 为钝角三角形．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，求腰上的中线． 【解析】如图所示，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于D.在等腰三角形ABC 中，BC ＝a ，AB ＝AC ＝2a ，BM 为腰上的中线，则CM ＝a ，∴△BCM 为等腰三角形，在Rt △ACD 中，cos α＝14，在△BMC 中，由余弦定理，得BM 2＝BC 2＋MC 2－2BC ·MCcos α＝32a 2，∴BM ＝62a.12．(15分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC.(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．【解析】 (1)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)(解法一)因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2 ＝14(AB →2＋AC →2＋2AB→·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.(解法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 13．(20分)(2013·湖北文)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．【解析】 思路分析：(1)由三角形内角和及诱导公式可求得A ； (2)由S ＝12bcsinA 求得c ，再由余弦定理求得a ，再由正弦定理可求得sinBsinC.解 ：(1)由cos2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cosA －2＝0， 即(2cosA －1)(cosA ＋2)＝0，解得cosA ＝12或cosA ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsinA ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sinBsinC ＝b a sinA ·c a sinA ＝bc a 2sin 2A＝2021×34＝57. 【点评】 本题主要考查诱导公式及正弦定理和余弦定理，在解题过程中要特别注意正余弦定理的变形的应用．。

一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( )A ．b ＝acB ．b 2＝acC ．a ＝b ＝cD ．c ＝ab 【答案】 B【解析】 ∵由方程有重根，∴Δ＝4sin 2B －4sin A sin C ＝0，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴b 2＝ac .2．在△ABC 中，a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．12B ．6C ．12 3D ．8 3 【答案】 B【解析】 由S ＝12ab sin C 得S △ABC ＝12×6×4sin30°＝6.3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．9B ．8C ．9 3D ．18 3 【答案】 C【解析】 由题知A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin30°＝b sin30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6sin120°＝9 3.二、填空题4．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】 32【解析】 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°， ∴AC 2－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12×2×3×12＝32.5．在△ABC 中，已知a ＝8，c ＝6，且S △ABC ＝123，则B ＝________.【答案】 60°或120°【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×8×6×sin B ＝123，∴sin B ＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或120°.三、解答题6．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 【解析】 证法一：化角为边，左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2＋a 2－c 2＝b a ＝sin B sin A＝右边． 证法二：化边为角，左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A ＝右边．。

第2章 2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922B.924C.928D ．9 2 解析： 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13， 则sin θ＝223. ∴2R ＝3sin θ＝3223＝924. 答案： B2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32， ∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac .∴b 2＝4b 2－63－12，∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.答案： B3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5D ．不确定 解析： 若c 为最大边，则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0，∴a ＞3；若a 为最大边，则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0，∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5.答案： C4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为( ) A.36 B.336C ．±36D ．±336解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′.在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ，于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝1－⎝⎛⎭⎫362＝336. ∴cos ∠B ＝336，故选B. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析： 根据正弦定理的变形a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，故(3b －c )cos A ＝a cos C ，等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析： 由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12.∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°.∴S 四边形＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23sin90°＋12×2×2×sin120° ＝5 3.答案： 5 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，又c ＝21，b ＝4，且BC 边上的高h ＝2 3.(1)求角C ；(2)求a 边的长．解析： (1)△ABC 为锐角三角形，过A 作AD ⊥BC 于D 点，sin C ＝234＝32，则C ＝60° (2)又由余弦定理可知：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C则(21)2＝42＋a 2－2×4×a ×12，即a 2－4a －5＝0，∴a ＝5或a ＝－1(舍)．因此所求角C ＝60°，a 边长为5.8.如图所示，四边形ABCD 中，已知∠A ＝120°，∠ABC ＝90°，AD ＝3，BC ＝33，BD ＝7，求(1)AB 的长；(2)CD 的长．解析： (1)在△ABC 中，设AB ＝x ，由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠A ，即72＝x 2＋32－2x ·3·cos 120°，∴x 2＋3x －40＝0，(x －5)(x ＋8)＝0，∴x 1＝5或x 2＝－8(舍)，即AB ＝5.(2)在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝BD sin 120°， 即3sin ∠ABD ＝7sin 120°， ∴sin ∠ABD ＝3sin 120°7＝3314. 在△BCD 中，由余弦定理，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD＝27＋49－2×33×7cos(90°－∠ABD )＝27＋49－2×33×7×3314＝49， ∴CD ＝7.尖子生题库☆☆☆9．(10分)常用a ，b ，c 分别表示△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边的边长，用R 表示△ABC 的外接圆半径．(1)如图，在以O 为圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 都是⊙O的弦，其中BC ＝2，∠ABC ＝45°，求弦AB 的长；(2)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2＋b 2＜4R 2.解析： (1)△ABC 的外接圆半径为2，在△ABC 中，由正弦定理可知，AC ＝2R sin ∠ABC ＝22，sin ∠BAC ＝BC 2R ＝12，∠BAC ＝30°， 由余弦定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos ∠ACB ＝4＋8＋82cos(A ＋B )＝4×(3＋2)＝2×(3＋1)2，所以AB ＝6＋ 2.(2)证明：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R， 由于∠C 是钝角，∠A ，∠B 都是锐角，得cos A ＝12R4R 2－a 2， cos B ＝12R4R 2－b 2， cos C ＝－cos(A ＋B )＝14R2(ab －4R 2－a 24R 2－b 2)＜0， 所以a 2b 2＜(4R 2－a 2)(4R 2－b 2)，所以16R 4－4R 2(a 2＋b 2)＞0，即a 2＋b 2＜4R 2.。

三角形中的几何计算基础过关练题组一几何中的长度问题1.(2020湖南长沙长郡中学高一下期末)如图,在△ABC中,B=45°,AC=8,D是BC边上一点,DC=5,DA=7,则AB的长为()A.4√2B.4√3C.8D.4√62.如图所示,已知圆内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BD=7,∠BDC=45°,则BC=.3.如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,D=135°,AB=10,AC=16,CD=8√2,则AD=,BC=.4.在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD长为72,求边长a.题组二几何中的角度问题5.在△ABC中,B=π4,BC边上的高为13BC,则sin∠BAC=()A.310B.√1010C.√55D.3√10106.在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为 ()A.√33B.√36C.√63D.√667.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B=.8.在△ABC中,∠ABC=π3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.题组三几何中的面积问题9.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.√3B.5√3C.6√3D.7√310.(2021湖南长沙长郡中学高三上月考)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积,如图,现测得正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m,则每块八卦田的面积为m2.深度解析11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2+c2=ab+bc+ca.(1)证明:△ABC是正三角形;(2)如图,点D在边BC的延长线上,且BC=2CD,AD=√7,求sin∠BAD的值.能力提升练一、选择题1.()已知在△ABC中,|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-16,D为边BC的中点,则|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A.6B.5C.4D.32.()如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2√3,点D在BC边上,∠ADC=45°,则AD的长度为()A.√3B.√2C.1D.23.(2020河北邯郸高三二模,)如图,在△ABC中,tan∠ACB=4,CD是AB边上的高,若CD2-AD·BD=3,则△ABC的面积为()A.4B.6C.8D.124.()在△ABC中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.√32B.3√32C.√3+√62D.√3+√3945.(2020安徽滁州部分重点中学高一下期中联考,)如图,△ADC是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD与AC交于点E.若AB=2,则AE的长为()A.√6-√2B.12(√6-√2)C.√6+√2D.12(√6+√2)6.()若平行四边形两邻边的长分别是√3和√6,它们的夹角是45°,则这个平行四边形的两条对角线的长分别是()A.√3和√5B.2√3和2√5C.√3和√15D.√5和√15二、填空题7.()若等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为√3,则此三角形外接圆的半径2为.8.(2021河南南阳六校高二上联考,)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则四边形ABCD的面积为.三、解答题9.()如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=2,AD=1,√3BC=√3BD cos α+CD sin β.(1)求角β的大小;(2)求四边形ABCD周长的取值范围..10.()如图所示,在四边形ABCD中,AD=1,CD=3,AC=2√3,cos B=√33(1)求△ACD的面积;(2)若BC=2√3,求AB的长.答案全解全析 §2 三角形中的几何计算基础过关练1.D 在△ACD 中,由余弦定理的推论得cos ∠ADC =72+52-822×7×5=17,所以cos ∠ADB =-17,又∠ADB 为三角形内角,所以sin ∠ADB =4√37,在△ADB 中,由正弦定理得BB sin B =BBsin∠BBB ,所以AB =BB ·sin∠BBB sin B=7×4√37√22=4√6.2.答案7√63解析 在△ABD 中,由余弦定理的推论得cos A =32+52-722×3×5=-12,∴A =120°,∴C =60°. 在△BDC 中,由正弦定理得BBsin45°=7sin60°,∴BC =7sin45°sin60°=√2√3=7√63.3.答案 8(√3-1);14解析 设AD =x (x >0),在△ADC 中,由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2-2AD ·CD ·cos D ,即162=x 2+(8√2)2-2·x ·8√2cos 135°, ∴x 2+16x -128=0,∴x =8(√3-1)或x =-8(√3+1)(舍去), ∴AD =8(√3-1), ∴cos∠DAC =BB 2+BB 2-BB 22BB ·BB=√3-22√2)22×8(√3-1)×16=√32,∴sin∠BAC =12,∴cos∠BAC =cos(90°-∠DAC )=sin ∠DAC =12.在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC ,即BC 2=102+162-2×10×16×12=196,∴BC =14(负值舍去).4.解析 如图,∵AD 是BC 边上的中线, ∴可设CD =DB =x (x >0), ∴CB =a =2x. ∵c =4,b =7,AD =72,∴在△ACD 中, cos C =72+B 2-(72)22×7×B,在△ABC 中, cos C =72+(2B )2-422×7×2B,∴72+B 2-(72)22×7×B=72+(2B )2-422×7×2B,解得x =92,∴a =2x =9.5.D 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ,由题意得AD =BD =13BC ,DC =23BC ,tan ∠BAD =1,所以tan ∠CAD =2,tan ∠BAC =tan(∠BAD +∠CAD )=1+21-1×2=-3,又∠BAC 为三角形内角, 所以sin ∠BAC =3√1010.6.D 设AB =AD =√3, 则BD =√3AB =2,BC =2BD =4.在△ABD 中,由余弦定理的推论得 cos A =√3)2√3)222×√3×√3=13,∵A 是三角形的内角,∴sin A =√1-(13)2=2√23.在△ABC 中,由正弦定理得BB sin B =BBsin B ,∴sin C =BB sin B BB =√3×2√234=√66,故选D.7.答案√154解析 由已知及余弦定理的推论得cos C =B 2+B 2-B 22BB=5-B 24=14,解得c =2或c =-2(舍去),所以b =c ,所以B =C ,所以sin B =sin C.由cos C =14得sin C =√154,所以sin B =√154. 8.解析 (1)在△ADC 中,由cos ∠ADC =17得sin ∠ADC =4√37,由∠ADC =∠ABC +∠BAD 得∠BAD =∠ADC -∠ABC ,所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠ABC )=sin ∠ADC ·cos ∠ABC -cos ∠ADC ·sin ∠ABC =4√37×12-17×√32=3√314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得BD =BB ·sin∠BBB sin∠BBB =BB ·sin∠BBB sin(π-∠BBB )=BB ·sin∠BBB sin∠BBB =8×3√3144√37=3,∴BC =BD +DC =5,在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7(负值舍去).9.B 连接BD ,在△BCD 中,由已知可得∠DBC =30°,故∠ABD =90°. 由余弦定理知,BD 2=22+22-2×2×2×cos 120°=12, 解得BD =2√3(负值舍去),所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×4×2√3+12×2×2×sin 120°=5√3. 10.答案 16√2+16-π2信息提取 ①正八边形可分割成8个全等的等腰三角形;②正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m;③求每块八卦田的面积.数学建模 以八卦田的面积为背景,构建解三角形的数学模型,利用正弦定理、三角形的面积公式求解.由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为45°,设等腰三角形的腰长为a ,利用正弦定理可求出a 的值,再利用三角形和圆的面积公式求解即可. 解析 由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为360°8=45°,设等腰三角形的腰长为a m,由正弦定理可得Bsin135°2=8sin45°,解得a =8√2sin135°2,所以三角形的面积S =12(8√2sin135°2)2×sin 45°=32√2×1-cos135°2=16(√2+1)m 2,则每块八卦田的面积为16(√2+1)-18×π×22=16√2+16-π2(m 2). 方法总结对平面图形的面积的求解,要注意分割与补形这两种策略的灵活应用,通过割补将图形转化为易于求得面积的规则图形,再将求得的各块图形的面积相加、减即可得到所求平面图形的面积.11.解析 (1)证明:由a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca 得(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2=0, 所以a -b =b -c =c -a =0, 所以a =b =c , 即△ABC 是正三角形.(2)因为△ABC 是等边三角形,BC =2CD , 所以AC =2CD ,∠ACD =120°.在△ACD 中,由余弦定理可得AD 2=AC 2+CD 2-2AC ·CD ·cos ∠ACD , 即7=4CD 2+CD 2-4CD ·CD ·cos 120°, 解得CD =1(负值舍去).在△ABD 中,BD =3CD =3,由正弦定理可得sin ∠BAD =BB ·sin B BB =3×√32√7=3√2114.能力提升练一、选择题1.D 设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 由题意可得bc cos A =-16,故由余弦定理得100=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2+c 2=68.设|BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x (x >0),则在△ADC 中,b 2=x 2+25-2x ·5cos ∠ADC ,在△ADB 中,c 2=x 2+25-2x ·5cos ∠ADB ,所以b 2+c 2=2x 2+2×25, 即2x 2=18,解得x =3(负值舍去),故选D . 2.B ∵在△ABC中,AB =AC =2,BC =2√3,∴cos C =2√3)222×2×2√3=√32,∵C 为三角形内角,∴sin C =12.在△ACD 中,由正弦定理, 得BB sin B =BBsin∠BBB, ∴AD =2sin45°×12=√2.故选B .3.B 由题得S △ABC =12BC ·AC sin ∠ACB =12BC ·AC cos ∠ACB ·tan ∠ACB =2BC ·AC ·cos ∠ACB =BC 2+AC 2-AB 2=AC 2+BC 2-(AD +BD )2=AC 2+BC 2-AD 2-BD 2-2AD ·BD =(AC 2-AD 2)+(BC 2-BD 2)-2AD ·BD =2CD 2-2AD ·BD =2(CD 2-AD ·BD )=2×3=6.4.B 设AB =c (c >0),在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B , 即7=c 2+4-2×2×c ×cos 60°, 所以c 2-2c -3=0,即(c -3)(c +1)=0,又c >0,所以c =3.设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式知S △ABC =12AB ·BC ·sin B =12BC ·h ,即12×3×2×sin 60°=12×2×h ,解得h =3√32.5.A 由题意可得AC =BC =CD =DA =√2,∠BAC =45°,∠ACB =90°,∠ACD =60°,∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°+60°=150°,△BCD 为等腰三角形,∴∠CBE =15°,∴∠ABE =45°-15°=30°,∴∠AEB =105°.∵sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=√6+√24, ∴在△ABE 中,BBsin30°=BBsin105°,即BB12=√6+√24,∴AE =√6-√2.6.C 设一条对角线长为l 1(l 1>0),则B 12=(√3)2+(√6)2-2×√3×√6·cos 45°=3;设另一条对角线长为l 2(l 2>0),则B 22=(√3)2+(√6)2-2×√3×√6·cos 135°=15,所以l 1=√3,l 2=√15.二、填空题 7.答案2√33解析 如图,设AB =AC ,D 为底边的中点,DE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,则由DE =√32,知BF =√3.又AB =2,∴AF =1,∴CF =AC -AF =1,tan C =BBBB =√3,∴C =60°,设此三角形外接圆的半径为R ,则2R =BB sin B =4√33,∴R =2√33.8.答案 8√3解析 连接BD ,由圆内接四边形对角互补,知A +C =π,利用余弦定理,得42+62-2×4×6cosC =22+42-2×2×4cos(π-C ),∴cos C =12,∵0<C <π,∴C =π3,∴A =2π3,∴四边形ABCD 的面积S =12×6×4×sin π3+12×4×2×sin 2π3=8√3.三、解答题9.解析 (1)∵√3BC =√3BD cos α+CD sin β, ∴√3sin ∠BDC =√3sin βcos α+sin αsin β, ∴√3sin(α+β)=√3sin βcos α+sin αsin β,∴√3(sin αcos β+sin βcos α)=√3sin βcos α+sin αsin β, ∴√3sin αcos β=sin αsin β, 易知sin α≠0,∴tan β=√3, 又β∈(0,π),∴β=π3.(2)根据题意及(1)可知∠BAD =2π3,∴BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD =4+1-2×2×1×cos 2π3=7,又BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CD cos β =(CB +CD )2-3CB ·CD ≥(CB +CD )2-3(BB +BB )24=(BB +BB )24,11 ∴CB +CD ≤2√7,当且仅当CB =CD =√7时,等号成立, 又CB +CD >√7,∴3+√7<AB +CB +CD +DA ≤3+2√7,∴四边形ABCD 的周长的取值范围为(3+√7,3+2√7]. 10.解析 (1)因为AD =1,CD =3,AC =2√3, 所以cos D =BB 2+BB 2-BB 22BB ·BB =-13.因为D ∈(0,π),所以sin D =√1-cos 2B =2√23,所以S △ACD =12AD ·CD ·sin D =12×1×3×2√23=√2.(2)因为AC =2√3,BC =2√3,所以∠ACB =π-2B.因为BB sin B =BBsin∠BBB ,所以2√3sin B =BB sin(π-2B )=BBsin2B=BB 2sin B cos B =2√33sin ,所以AB =4.。

一、选择题 1．(2011·天津高考)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C的值为( )A.33 B.36 C.63 D.66解析：设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c 22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223， 解得sin C ＝66. 答案：D2．(2012·荆州高二检测)已知△ABC 中，CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．－5π6B.π6C.π6或5π6D.5π6 解析：由面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ， ∴12×3×5×sin C ＝154.即sin C ＝12. 又∵a ·b ＝CB ·CA <0， ∴∠C 为钝角，所以C ＝5π6. 答案：D3．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 外接圆的直径为( )A ．4 3B ． 6C ．5 2D ．6 2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ·sin 45°＝24c ， 又∵S △ABC ＝2，∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝1＋(42)2－2×1×42×22＝25. 即b ＝5.所以△ABC 的外接圆直径2R ＝b sin B ＝5 2. 答案：C4．(2011·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)解析：由正弦定理得AB sin C ＝a sin A， 则a ＝AB sin A sin C＝2sin A ∵满足条件的△ABC 有两个，∴60°<A <120°且A ≠90°，32<sin A <1. 则3<a <2.答案：C二、填空题5．(2011·福建高考)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：由正弦定理可知：S △ABC ＝12BC ×CA ×sin 60°＝ 3 ，又因为BC ＝2，所以CA ＝2.即BC ＝CA ，又∠ACB ＝60°，所以三角形ABC 是正三角形，所以AB ＝2.答案：26．(2012·南京高二检测)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若n ⊥m ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0.∴tan A ＝ 3.即A ＝π3. 由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 及正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C .∴sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C .则sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π－π2－π3＝π6. 答案：π6三、解答题7．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△BAD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2×10x cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin 2C ＝3cos C ，c ＝7，又△ABC 的面积为332，求： (1)角C 的大小；(2)a ＋b 的值．解：(1)由已知得2(1－cos 2C )＝3cos C ，∴cos C ＝12或cos C ＝－2(舍去)．[] ∴在△ABC 中C ＝60°.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝332，∴12ab sin 60°＝332.∴ab ＝6.又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos C . ∴a 2＋b 2－ab ＝7. ∴(a ＋b )2－3ab ＝7. ∴(a ＋b )2＝25，∴a ＋b ＝5.。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，|BC →|＝3，|CA →|＝5，|AB →|＝7，则CB →·CA→的值为( )【导学号：47172091】A ．－32 B.32 C ．－152 D ．152【解析】 由余弦定理cos C ＝|CA →|2＋|BC →|2－|AB →|22|CA →|·|BC →|＝52＋32－722×5×3＝－12，∴CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos C ＝3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152. 【答案】 C2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2【解析】 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，∴另两边长分别为16和10， ∴S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.选A. 【答案】 A3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )图2-2-4A.1627B.23C.33D.34【解析】 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23. 由余弦定理得CE ＝CF＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53， 所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 【答案】 D4．如图2-2-5，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )图2-2-5A.33B.36C.63D.66【解析】 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13.则sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BCsin A ＝4c3223，解得sin C＝66.【答案】 D5．若△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则a 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝103，∴bc ＝40， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，∴a 2＝(20－a )2－120， ∴a ＝7. 【答案】 C 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为________. 【导学号：47172092】【解析】 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 347．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵D 为BC 的中点，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×|AB ||AD |·sin ∠BAD ＝2×12×3×1×sin 30°＝32. 【答案】 328．如图2-2-6所示，已知圆内接四边形ABCD 中AB ＝3，AD ＝5，BD ＝7，∠BDC ＝45°，则BC ＝________.。

高中数学北师大版高二必修5_第二章2_三角形中的几何计算_作业 含解析[学业水平训练]1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12， θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．2．在△ABC 中，三式AB →·AC →≤0，BA →·BC →≤0，CA →·CB →≤0中可以成立的( )A ．至少1个B ．至多1个C ．一个也没有D ．三式可以同时成立解析：选B.∵AB →·AC →≤0，∴cos A ≤0，∴A ≥π2， 同样B ≥π2，C ≥π2，故至多有一个成立． 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1解析：选D.∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ，即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.4．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．与增加的长度有关解析：选A.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2，设三边增加相同长度m 后，新三角形为△A ′B ′C ′，根据余弦定理得cos A ′＝（b ＋m ）2＋（c ＋m ）2－（a ＋m ）22（b ＋m ）（c ＋m ）＝2m （b ＋c －a ）＋m 22（b ＋m ）（c ＋m ）>0，而角A ′是最大的角，故新三角形为锐角三角形，故选A.5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且S △ABC ＝32，则BC 边的长为( ) A. 3B ．3 C.7 D ．7 解析：选A.∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A 得， 12×2AC sin 60°＝32，∴AC ＝1， ∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.故选A. 6．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C ＝________． 解析：△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1313，所以sin C ＝21339. 答案：21339 7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________． 解析：由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255.又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，应用a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 答案：255210 8．已知在锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →＝________．解析：∵S ＝12|AB →||AC →|sin A ，∴3＝12×4×1×sin A . ∴sin A ＝32，又∵∠A 为锐角，∴cos A ＝12. ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 答案：29．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．解：(1)cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×(255)2－1＝35. 又A ∈(0，π)，sin A ＝1－cos 2A ＝45， 而AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝35bc ＝3， 所以bc ＝5，所以△ABC 的面积为：12bc sin A ＝12×5×45＝2. (2)由(1)知bc ＝5，而c ＝1，所以b ＝5， 所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×3＝2 5.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，∠C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)∵S ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝3， ∴ab ＝4.①∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C∴a ＋b ＝4.②由①②可得a ＝2，b ＝2(2)∵sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a .又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433. ∴S ＝12ab sin C ＝233. [高考水平训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin A a的值为( ) A ．1 B.12C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ⇔2ac sin B ＝3ac ⇒sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝b sin B⇒b sin A a ＝sin B ＝32，故选D. 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________. 解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，可知 a 2＋b 2－c 2＝－ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以∠C ＝120°. 答案：120°3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103， 所以a ＝53. (2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35， 所以310ac ＝3，ac ＝10. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40.所以a ＋c ＝210.4．已知△ABC 外接圆的半径R ＝1，且有sin 2A －sin 2C ＝⎝⎛⎭⎫2－b a sin A sin B ，求△ABC 面积的最大值． 解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， 已知等式可化为a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫2－b a ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22， ∴C ＝π4. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·sin π4＝2R 2sin A sin B .∵R ＝1，B ＝π－(A ＋C )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4， ∴S △ABC ＝2sin A ·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4 ＝2sin A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4 ＝2sin A ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos π4＋cos A sin π4 ＝sin 2A ＋sin A cos A＝1－cos 2A 2＋12sin 2A ＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin 2A －22cos 2A ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝1，即A ＝3π8时，S m ax ＝1＋22.。

一、选择题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．4532+ 2．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．2km C ． 3 km D ． 2 km3．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知()62km CD =+，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．3kmB ．10kmC 10kmD ．62km4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B 415C 215D ．56．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．)3,27．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,2sin 3BAC ∠=,32AB =3BD =, 则cos C ( ) A ．63B ．33C ．23D ．138．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．29．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，23BC =ABC 的面积为 A ．3B ．4C ．23D 310．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．3D ．2312．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④36cos BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（ ） A ．103mB ．12mC ．122mD ．123m二、填空题13．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S ，若,,B A C 成等差数列，3cos cos 3S a B b A =+，3c =，则a =__________. 14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．16．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2222b a c ac +-=，3sin B =，则C =__________． 17．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．18．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．19．如图，要计算某湖泊岸边两景点B 与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒，则两景点B 与C 的距离为________km.20．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和132c b =，则tan B =______ 三、解答题21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知)2cos cos b a C c A -=．（1）求角C 的大小； （2）若2a =()2cos cos c a B b A b -=，求ABC 的面积．22．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB ，求tan DAC ∠的值． 24．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A =（1）若3,7a b ==，求c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.25．在①2222b ac a c =+，②cos sin a B b A =，③sin cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，2b =ABC 的面积.26．已知,,A B C 为ABC 的三内角，且其对边分别为,,a b c ，若()cos 2cos 0a C c b A ++=.（1）求A ；（2）若3a =4b c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABCS SS=+可化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=， 即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+2113||||sin ||222OA OB AB θ=⋅+⨯⨯()221321sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅ 3sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯ 53sin 3cos θθ=-+532sin 3πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为53853244++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 2．A解析：A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中 求出3AO h =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ， 设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以3AO h =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =， 在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯， 所以)2222.532333h h h h =+-⨯⎛ ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A.3．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC 中，由正弦定理得162sin 231sin 22CD BDCBC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.4．D解析：D 【分析】根据角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，得到ABC 是等腰三角形，再由2221sin 24+-==ABC a b c S ab C ，结合余弦定理求解. 【详解】因为0AE BC ⋅=， 所以AE BC ⊥，又因为AE 是角A 的平分线， 所以ABC 是等腰三角形， 又2221sin 24+-==ABCa b c Sab C ， 所以2221sin cos 22a b c ab C C ab+-==，因为()0,C π∈， 所以4Cπ,所以ABC 是等腰直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：AB =所以A 与B的距离3AB =. 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．6．A解析：A 【分析】 由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围. 【详解】由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 662A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 23A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin A C +的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.7．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos 3BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin 3ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒3cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性8．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果. 【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，4sin B=，所以sin 1B =， 所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯= C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.10．D解析：D【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-， 由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-， 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解. 【详解】∵cos cos 2a B b A +=，∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，∴2c =，∵sin sin 3sin A B C += ∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长22， 以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解. 【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =， 在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即222312233h h =+-⋅，解得123h =选①②③④，则3AB h =，2AC h =， 在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠， 即()2223612222833h h =+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得123h =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由三角形内角和为及内角的等差关系可得再由面积公式和正弦定理可得再由余弦定理可得解【详解】由成等差数列可知即解得由可知根据正弦定理知即因此由余弦定理得故故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形 13【分析】由三角形内角和为π及内角的等差关系可得3A π=，再由面积公式和正弦定理可得4b =，再由余弦定理可得解.【详解】由,,B A C 成等差数列可知2A B C =+，即3A π=，解得3A π=.3cos cos S a B b A =+31sin cos cos 2ab C a B b A =+， 31sin sin sin cos 2A b C AB ⋅=sin cos sin B AC +=， 即sin 23b A =4b =，由余弦定理得22212cos 169243=132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯，故13a =. 13 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关知识，涉及等差中项的应用，属于基础题.14．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．15．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力 解析：(3,23)【分析】利用正弦定理得到sin 23A =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 123B A <=<，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得：sinsin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：sin sin 13B A x <=<⇒<<故答案为(3, 【点睛】本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.16．【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析：6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =，根据正弦定理可得sin tan B C ==，结合三角形内角的取值范围，最后求得结果. 【详解】ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222b a c ac +-=，整理得222cos 22b a c ab ac C +-==，所以cos b C c =，由正弦定理得sin cos sin B C C =，整理得sin tan B C ==，因为(0,)C π∈，所以6B π=，故答案为：6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角，属于中档题.17．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ． 【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒=设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--，CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．19．【分析】在中根据由余弦定理解得然后在中利用正弦定理求解【详解】在中因为由余弦定理得整理得解得或（舍去）在中因为所以由正弦定理得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用还考查了运算【分析】在ABD △中，根据5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒，由余弦定理解得8BD =，然后在BCD △中，利用正弦定理sin sin BD BCBCD BDC=∠∠求解.【详解】在ABD △中，因为5km AB =，7km AD =，60ABD ∠=︒， 由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠，整理得249255BD BD =+-， 解得8BD =或3BD =-（舍去），在BCD △中，因为15CBD ∠=︒，120BCD ∠=︒， 所以45BDC ∠=︒， 由正弦定理得： sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，所以sin 45sin1203BD BC ⋅︒==︒.故答案为：3【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.三、解答题21．（1）4π；（2）12.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到cos 2C =，从而求得C 的大小；（2）利用余弦定理化简()2cos cos c a B b A b -=，得到222a b =，求出b ，再计算面积即可. 【详解】解：（1cos sin cos sin cos B C A C C A -=．∴()cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+．∵πA C B +=-，∴()sin sin A C B +=． ∴cos sin B C B =．又∵sin 0B ≠，∴cos 2C =． ∵()0,πC ∈，∴π4C =． （2）由已知及余弦定理，得222222222a c b b c a ac bc b ac bc +-+-⋅-⋅=．222222222a cb bc a b +-+--= 化简，得222a b =．又∵a =∴1b =．∴ABC的面积111sin 12222ABC ab C S ==⨯=△．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．22．（1）3π；（2） 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】 （1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB ∠＝sin3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠23sin3π4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝3（32cos θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3． 【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.23．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 322222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =52=，得5sin C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，25cos 1sin 5C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 55ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=， 由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， 5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故25sin 25DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 24．（1）2c =；（2）()1,1-. 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解. 【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍）， 故2c =符合. （2）由（1）得3B π=，所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c Ab-∴-<<，故cos cos a C c Ab-的取值范围是()1,1-.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.25．条件选择见解析；ABC【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c =+由余弦定理，222cos 2a c b B ac +-===因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以11sin 22ABC S ab C ===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△.（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积． 26．（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin 2sin cos 0B B A +=，由于sin 0B ≠，可求cos A 的值，结合()0,A π∈，可求A 的值.（2）由已知利用余弦定理可求bc 的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵()cos 2cos 0a C c b A ++=，∴由正弦定理可得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A ++=， 整理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B A ++=， 即：()sin 2sin cos 0A C B A ++=， 所以sin 2sin cos 0B B A +=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =-，∵()0,A π∈，∴23A π=.（2）由a =4b c +=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， ∴2212()22cos 3b c bc bc π=+--，即有1216bc =-， ∴4bc =，∴ABC 的面积为112sin 4sin223S bc A π==⨯⨯= 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：22()22cos a b c bc bc A =+--、()sin sin A C B +=、()cos cos A C B +=-.。