三角形中的几何计算课件
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三角形中位线定理课件
三角形中位线定理的应用
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
应用举例：三角形中的几何计算 课件
1．已知三角形ABC的三边长a，b，c，便能计算该三角 形的面积吗？(至少有两种不同思路)
提示：可以，方法一
设p＝
1 2
(a＋b＋c)，则三角形的
面积S＝ pp－ap－bp－c.
方法二 设△ABC外接圆的半径为R，则三角形面积
S＝12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbsinC＝12ab2cR＝a4bRc；
方法三 可以用余弦定理计算cosC，再得出sinC，利
3．运用三角形面积公式时应注意哪些问题？ 提示：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三 角函数的有关公式． (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定 理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式． (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和．
类型一 三角形中的面积计算 [例 1] 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C＋ 3asin C－b－c＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c.
[解] (1)由acos C＋ 3asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C， 所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sinA－6π＝12. 又0＜A＜π，故A＝π3.
2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有：
(1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； (3)S＝12aha(ha表示a边上的高)； (4)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；
(5)S＝a4bRc(可用正弦定理推得)； (6)S＝2R2sinA·sinB·sinC(R是三角形外接圆半径)； (7)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－c [p＝12(a＋b＋c)]．
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)
课前探究学习 课堂讲练互动
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
课前探究学习
课堂讲练互动
π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
课前探究学习 课堂讲练互动
2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
课前探究学习
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题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
课前探究学习
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π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
课前探究学习 课堂讲练互动
2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．
三角形的面积ppt课件
域大小和距离。
车辆与机械设计
车辆和机械设计中有时会使用三 角形结构来增加强度或减轻重量 ，三角形面积计算可以帮助工程
师评估设计方案的效果。
三角形面积在科学和工程中的应用
物理学
在物理学中，三角形经常被用来描述力、速度、能量等的变化趋势，三角形面积计算可以 帮助科学家更好地理解这些物理现象。
工程学
在水利工程中，三角形用于描述水流速度和方向的变化；在土木工程中，三角形用于描述 建筑物的沉降和变形。在这些情况下，三角形面积计算对于评估工程的安全性和稳定性非 常重要。
三角形的面积
• 三角形面积计算公式 • 三角形面积的推导过程 • 三角形面积的实际应用 • 三角形面积的特殊情况 • 总结与回顾
目录
01
三角形面积计算公式
三角形面积的定义
01
三角形面积是指一个三角形所占 的空间大小或一个三角形的区域 。
02
三角形面积可以用以下公式来定 义：面积 = (底 × 高) / 2
环境科学
在环境科学中，三角形用于描述生态系统中的能量流动和物质循环；在地理学中，三角形 用于描述地形的变化和土壤侵蚀的情况。在这些情况下，三角形面积计算可以帮助科学家 更好地了解自然环境和生态系统的运行规律。
04
三角形面积的ห้องสมุดไป่ตู้殊情况
等腰三角形的面积计算
总结词
等腰三角形是一种两边相等的三角形，其面积可以通过底边长度和高度来计算 。
三角形面积的计算公式及其推导过程
公式回顾
三角形面积 = (底 × 高) / 2
推导过程
通过几何证明，利用相似三角形和平 行四边形的性质，得出三角形面积公 式。
三角形面积的实际应用与特殊情况
车辆与机械设计
车辆和机械设计中有时会使用三 角形结构来增加强度或减轻重量 ，三角形面积计算可以帮助工程
师评估设计方案的效果。
三角形面积在科学和工程中的应用
物理学
在物理学中，三角形经常被用来描述力、速度、能量等的变化趋势，三角形面积计算可以 帮助科学家更好地理解这些物理现象。
工程学
在水利工程中，三角形用于描述水流速度和方向的变化；在土木工程中，三角形用于描述 建筑物的沉降和变形。在这些情况下，三角形面积计算对于评估工程的安全性和稳定性非 常重要。
三角形的面积
• 三角形面积计算公式 • 三角形面积的推导过程 • 三角形面积的实际应用 • 三角形面积的特殊情况 • 总结与回顾
目录
01
三角形面积计算公式
三角形面积的定义
01
三角形面积是指一个三角形所占 的空间大小或一个三角形的区域 。
02
三角形面积可以用以下公式来定 义：面积 = (底 × 高) / 2
环境科学
在环境科学中，三角形用于描述生态系统中的能量流动和物质循环；在地理学中，三角形 用于描述地形的变化和土壤侵蚀的情况。在这些情况下，三角形面积计算可以帮助科学家 更好地了解自然环境和生态系统的运行规律。
04
三角形面积的ห้องสมุดไป่ตู้殊情况
等腰三角形的面积计算
总结词
等腰三角形是一种两边相等的三角形，其面积可以通过底边长度和高度来计算 。
三角形面积的计算公式及其推导过程
公式回顾
三角形面积 = (底 × 高) / 2
推导过程
通过几何证明，利用相似三角形和平 行四边形的性质，得出三角形面积公 式。
三角形面积的实际应用与特殊情况
2024版《三角形的内角和》完整版课件
全等三角形条件判断及证明方法论述
SSS全等条件
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS全等条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
ASA全等条件
两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三 角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
三角形的一个内角与它相邻的外角之和等于180°。
内外角之差关系
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角之差等于180°。
应用场景
内外角关系在解决三角形的问题中有着广泛的应用，如计算三角形的 内角和、判断三角形的形状、证明三角形的全等或相似等。
04
三角形面积计算公式推导与应 用
基于底和高计算面积公式推导
勾股定理内容：在直角三 角形中，直角边的平方和 等于斜边的平方。
已知直角三角形的两条直 角边，求斜边长度。
应用举例
已知直角三角形的一条直 角边和斜边，求另一条直 角边长度。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个 锐角为30°时
邻边（较长的直角边） 与斜边的比值为√3:2。
THANKS
对边（较短的直角边） 与斜边的比值为1:2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为45°时（等腰直角三角形） 两直角边相等。
对边与斜边的比值为1:√2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为60° 时
对边（较短的直角边）与斜边 的比值为1:2。
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合 一（底边上的中线、高线和顶角
2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)
3 cosA=0, 2
∴sin(A-30°)=0, ∴A=30°. 答案：30°
三、解答题（每题8分，共16分） 7.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，角 A、B满足：2sin(A+B)- 3 =0，求角C的度数，边c的长度 及△ABC的面积.
【解析】由2sin(A+B)∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B=120°,C=60°,
8
【解析】选C.c2＝a2+b2-2abcosC=9,c=3，B为最大角，
cosB=- 1 .
7
2.（2010·营口高二检测）已知△ABC中，AB= 3 ，AC=1，且
B=30°，则△ABC的周长等于(
（A）3+ 3 （B） 3 +1 （C）2+ 3 或 3 +1 （D）3+ 3 或2+ 3
)
【解析】选D.由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB， 即12=BC2+(
2ab
又0°＜C＜180°，所以C＝45°.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.在△ABC中,A=120°,a= 21 ,S△ABC= 3 ,则b=__________. 1 【解析】S= bcsin120°= 3 ,得bc=4 ①
2
又a2=b2+c2-2bccos120°=21，得b2+c2＝17
4
（2）求sin(2A+C)的值.
【解题提示】
【解析】（1）由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =4+1-2×2×1× ∴AB= 2 .
3 =2, 4
9.（10分）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝
(新教材)人教A版高中数学必修第二册课件：6.4.3 第4课时 三角形中的几何计算
【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得siAnCB＝siBnCA，所以 AC ＝BCs·insAin B＝6×sisnin301°20°＝6 3. 又因为 C＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S△ABC＝12×6 3×6×12＝9 3.
(2)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于 3，所以
三角形的面积公式 (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc 分别表示边 a，b，c 上的高)． (2)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B. (3)S＝12(a＋b＋c)·r(r 为△ABC 内切圆的半径)．
■名师点拨 三角形的面积公式 S＝12absin C 与原来的面积公式 S＝12a·h(h 为 a 边上的高)的关系为 h＝bsin C，实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上 的高．
解：(1)由正弦定理sinb B＝sinc C， 得 sin B＝bsicn C＝12， 因为在△ABC 中，b<c 且 C＝120°，所以 B＝30°. (2)因为 A＋B＋C＝180°， 所以 A＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S＝12bcsin A＝ 43.
本部分内容讲解结束
第六章 平面向量及其应用
第 4 课时 三角形中的几何计算
第六章 平面向量及其应用
考点 有关三角形 面积的计算
三角形的 综合问题
学习目标 掌握三角形的面积公式的 简单推导和应用 能够运用正、余弦定理解决 三角形中的一些综合问题
核心素养 逻辑推理、
数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P53 T10 和 P54 T18 两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
八年级三角形ppt课件
内角和定理的应用
应用一
利用内角和定理计算三角形的角度。 已知三角形的两个角度，可以通过内 角和定理计算出第三个角度。
应用二
利用内角和定理解决几何问题。例如 ，通过已知三角形的一个角度，求其 他两个未知角度；或者通过已知三角 形的两个角度，判断第三个角度是否 符合条件。
特殊三角形的内角和
等边三角形的内角和
三角形的周长计算
公式计算
三角形周长=三边之和，即三条边的长度相加。
实例解析
通过具体实例，如等腰三角形、等边三角形等，演示如何使用公式计算周长。
特殊三角形的面积与周长
等边三角形
等边三角形是三条边都相 等的三角形，其面积和周 长都有特定的计算公式。
等腰三角形
等腰三角形是两边相等的 三角形，其面积和周长也 有特定的计算公式。
三角形的性质
总结词
三角形具有稳定性、内角和为180度 等基本性质。
详细描述
三角形具有很高的稳定性，不易变形 ，这是由于其几何结构决定的。此外 ，三角形的三个内角之和总是等于 180度，这是三角形的基本性质之一 。
三角形的边与角的关系
总结词
三角形的边与角之间存在一定的关系，如余弦定理、正弦定 理等。
03
等边三角形是等腰三角形的特殊情况，当等腰三角形的两腰相
等且底角相等时，即为等边三角形。
CHAPTER 03
三角形的面积与周长
三角形的面积计算
公式计算
三角形面积=底×高÷2，其中底 和高是三角形的两个边和它们之 间的夹角。
实例解析
通过具体实例，如直角三角形、 等边三角形等，演示如何使用公 式计算面积。
生活中的三角形
总结词
无处不பைடு நூலகம்，实用与美观并存
三角形内角和ppt课件
直角三角形的内角和等于180° ，其中两个锐角的度数之和为 90°。
直角三角形是轴对称图形，其 对称轴为直角边中垂线。
THANKS
感谢观看
在实际问题中的应用
测量角度问题
通过PPT展示如何利用三角形内角和定理解决实际测量角度的问题，如测量山 的高度、建筑物的角度等。
工程设计问题
介绍如何利用三角形内角和定理进行工程设计，如桥梁设计、建筑结构设计等 。
04
特殊三角形的内角和
等边三角形的内角和
等边三角形的三个内角都相等，每个角的大小为60°，因此其 内角和为180°。
三角形内角和ppt课件
目录
• 三角形内角和的定义 • 三角形内角和的证明方法 • 三角形内角和的应用 • 特殊三角形的内角和
01
三角形内角和的定义
什么是三角形的内角
01
三角形的内角是指三角形内部的 角，即相邻两边之间的夹角。
02
三角形有三个内角，分别为∠A、 ∠B和∠C，它们的大小在0°到 180°之间。
通过三角函数的加法定理，将三角形 的三个内角表示为两角之和的形式， 再利用诱导公式进行推导，最终得出 三角形内角和的性质。
常用的三角函数证明方法包括利用三 角函数的加法定理和诱导公式进行推 导。
03
三角形内角和的应用
在几何图形中的应用
三角形内角和定理证明
通过PPT展示不同证明方法，如通过 平行线、通过三角形全等或通过三角 形相似来证明三角形内角和为180度 。
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。 三角形内角和的大小等于180°。
三角形内角和定理
三角形内角和定理是几何学中的基本 定理之一，它表明任何三角形的三个 内角之和等于180°。
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D．α＋β＝180°
解析： 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．
答案： B
工具
第三章 三角函数
栏目导引
2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的( )
A．西偏北30°
B．西偏北60°
C．南偏东30°
D．东偏南30°
解析： 如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°.
答案： C
工具
第三章 三角函数
工具
第三章 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示： 三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而 方位角是相对于正北方向而言的．
工具
第三章 三角函数
栏目导引
3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案： 60
工具
第三章 三角函数
栏目导引
工具
第三章 三角函数
栏目导引
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优 化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解 决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三 角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解 之．
答案： 8 2
工具
第三章 三角函数
栏目导引
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形， 若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理．
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【思考探究】 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示： 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定 一点的位置．
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的 关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
解 析 ： 在 △ ABD 中 ， 设 BD ＝ x ， 则 BA2 ＝ BD2 ＋ AD2 － 2BD·AD·cos ∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°， 整理得x2－10x－96＝0，
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解之得，x1＝16，x2＝－6(舍去)． 由正弦定理得sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， ∴BC＝sin11635°·sin 30°＝8 2.
第8课时 三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
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如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝ α，∠ABC＝β.
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 解析： (1)证明：∵AB＝AD， 则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α. 又∠B＋∠C＝90°， 即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α， cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0. ①
答案： A
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4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹 角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时 两船之间的距离是________n mile.
解析： 如图，由题意可得 OA＝50， OB＝30. 而 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 120° ＝502＋302－2×50×30×－12 ＝2 500＋900＋1 500＝4 900，∴AB＝70. 答案： 70
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A
的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
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解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，
2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
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(2)在△ADC 中，sDinCα＝sAinCβ， 即 sin β＝ 3sin α. ② ①代入②整理得： 2 3sin2β－sin β－ 3＝0. 解得 sin β＝ 23，或 sin β＝－ 33舍去， 又 β 为锐角，则 β＝60°.
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【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝ 10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．