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2020年精品试题芳草香出品第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝35， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ， 所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113， 所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝78，所以sin A＝15 8，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×2×158＝152.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.。
初中数学知识归纳三角形的运算与计算三角形是初中数学中重要的几何概念之一，了解三角形的运算与计算方法对于解决与三角形相关的问题至关重要。
本文将对初中数学中关于三角形的运算与计算方法进行归纳总结。
1. 三角形的周长计算三角形的周长是指三角形三边的长度之和。
假设三角形的边长分别为a、b和c，则三角形的周长P可以通过下列公式计算得出： P = a + b + c例如，已知一个三角形的边长分别是5cm、7cm和8cm，那么该三角形的周长为：P = 5 + 7 + 8 = 20cm。
2. 三角形的面积计算三角形的面积是指三角形所围成的平面内的空间大小。
根据三角形的底边长度和高，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高例如，已知一个三角形的底边长度为6cm，高为4cm，那么该三角形的面积为：面积 = 1/2 * 6 * 4 = 12cm²。
3. 三角形的相似性两个三角形如果对应角度相等，那么它们是相似三角形。
相似三角形之间的边长比例相等，可以通过以下公式进行计算：边长比例 = 较长边长 / 较短边长例如，已知两个相似三角形中，较长边长为10cm，较短边长为5cm，那么边长比例为：边长比例 = 10 / 5 = 2。
4. 三角形的勾股定理勾股定理是三角形中的重要公式，它可以用于计算直角三角形中的边长关系。
根据勾股定理，设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，可以得到以下公式：c² = a² + b²例如，已知一个直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，那么斜边的长度c可以通过计算得到：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此c的长度为5cm。
5. 三角形的正弦定理与余弦定理正弦定理和余弦定理是用于解决非直角三角形中的边长和角度关系的重要定理。
正弦定理可以通过以下公式计算，在三角形中，边长a、b、c与对应的角度A、B、C满足以下关系：a / sinA =b / sinB =c / sinC余弦定理可以通过以下公式计算，在三角形中，边长a、b、c与对应的角度A、B、C满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab * cosC这些定理为解决三角形或者三角形内部角度的大小和边长关系提供了方便。
高中数学第一章解三角形1.2.2三角形中的几何计算备课资料新
人教A版必修5
教学建议
在熟记相关公式的基础上,合理选择公式解答相关问题,
注重培养学生方程思想的应用及学生的运算能力与分析问题的能力.
教学参考
利用正弦定理测量地球的半径
我们知道,地球的形状近似一个球形,那么怎样测出它的半径呢?古往今来,人类进行了大量的探索.近代测量地球的半径,仍用弧度测量的方法,只是在求相距很远的两地间的距离时,采用了布设三角网的方法.比如求M,N两地的距离时,可以像上图中那样布设三角点,用经纬仪测量出△AMB,△ABC,△BCD,△CDE,△EDN的各个内角的度数,再量出M附近的那条基线MA的长,最后即可算出MN的长度了.
通过这些三角形,怎样算出MN的长度呢?这里要用到三角形的一个很重要的定理——正弦定理.
在上图中,由于各三角形的内角已测出,AM的长也量出,由正弦定理即可分别算出:
MB=,AB=,BC=,CD=,BD=
,DE=,DN=.
∴MN=MB+BD+DN.
如果M,N两地在同一条子午线上,用天文方法测出各地的纬度后,即可算出子午线1°的长度.法国的皮卡尔(Pi card.J.1620—1682)于1669~1671年率领他的测量队首次进行了测量.。
第2课时 三角形中的几何计算1.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题．三角形面积公式 (1)S ＝12底×高；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin_B ＝12bc sin_A ；(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．2 3 解析：选B.S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.3．边长为2的等边三角形的面积为________． 答案： 34．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，且S △ABC ＝32，则AC ＝________． 答案： 3探究点一 求三角形的面积(1)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． (2)(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________.[解析] (1)由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C ，sin C ＝AB sin B AC ＝32.因为AB >AC ，所以C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，S △ABC ＝12AC ·AB sin A＝12×2×23sin 90°＝2 3. 当C ＝120°时，S △ABC ＝12AC ·AB sin A＝12×2×23sin 30°＝ 3. (2)由面积公式，得S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝103，所以 sin A ＝2035×8＝32.因为 A ∈(0，π2)，所以 A ＝π3.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，所以 BC ＝7.[答案] (1)23或3 (2)7若本例(2)条件变为：若△ABC 的面积为103，A ＝2π3，AB ＝5，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________．解析：因为S ＝12AB ×AC ×sin A ，则103＝12×5×AC ·sin 2π3，所以AC ＝8，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝25＋64－2×5×8×cos 2π3＝129，所以BC ＝129， 则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝129sin2π3＝23387.答案：23387三角形面积计算的解题思路对于此类问题，一般用公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1.在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，求△ABC 的面积．解：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以b ＝2c 或b ＝－c (舍去)． 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－74bc ＝6.与b ＝2c 联立，得b ＝4，c ＝2，因为cos A ＝78，所以在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝158. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝152.探究点二 三角形中三角恒等式的证明在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .[证明] 法一：由正弦定理的推广及余弦定理可知， 右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a 2R ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc ·b 2R c 2R＝a 2＋c 2－b 22c －b 2＋c 2－a 22c c ＝2a 2－2b 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边，其中R 是△ABC 外接圆的半径．所以原等式成立．法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得a 2－b 2＝b 2－a 2＋2c (a cos B －b cos A )， 即a 2－b 2＝c (a cos B －b cos A )，变形得a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ＝a c cos B －bc cos A .由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C，所以a 2－b 2c 2＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C .所以原等式成立．利用正、余弦定理进行三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：a b －ba＝c ⎝⎛⎭⎫cos B b －cos A a .证明：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入等式右边，得右边＝c ⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22abc －b 2＋c 2－a 22abc ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －ba ＝左边， 所以ab －ba ＝c ⎝⎛⎭⎫cos B b－cos A a . 探究点三 解三角形综合问题(规范解答)(本题满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得 b 2＝2ac .(2分) 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .(3分)由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(6分)(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，(8分)故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.(10分) 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.(12分)解三角形综合问题的方法忽略B ＝90°导致无法求解(1)三角形中角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．3.(2016·唐山质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3.(1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .解：(1)由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°. 因为b cos C ＝3， 所以b ＝3 2.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7.又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，所以c ＝5.1．解三角形问题中常用的公式三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有： (1)l ＝a ＋b ＋c (l 为三角形的周长)． (2)A ＋B ＋C ＝π.(3)S ＝12ah a (a 为BC 的边长，h a 为BC 边上的高)．(4)S ＝abc4R (R 是三角形外接圆的半径)．2．运用三角形面积公式时应注意的问题(1)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式．(2)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和．1．在△ABC 中，若B ＝π4，a ＝2，且三角形面积S ＝42，则c 的值为( )A ．22B ．4C ．4 2D ．8解析：选D.因为S △ABC ＝12ac sin B ，所以22c ＝42， 所以c ＝8.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c .已知A ＝30°，c ＝23，b ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：S ＝12bc sin A ＝12×2×23×sin 30°＝ 3.答案： 33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a .又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.[A 基础达标]1．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°解析：选D.因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12×2×3sin A ＝32，所以sin A ＝32， 所以A ＝60°或120°.故选D.2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2解析：选A.设另两边长为8x ，5x ，则 cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1 解析：选B.因为B ＝π6，C ＝π4，所以A ＝π－B －C ＝π－π6－π4＝7π12.由正弦定理b sin B ＝csin C ，得2sin π6＝c sin π4，即212＝c 22，所以c ＝2 2.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝3＋1.4．(2016·临川一中质检)在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选 B.因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝2332＝4，所以R ＝2.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：选C.因为c 2＝(a －b )2＋6， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________．解析：因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝223，所以12ab sin C ＝43，所以b ＝2 3.答案：2 37．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：15348．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a ＝________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：89．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.(1)当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8.所以a ＝2 2.(2)当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×⎝⎛⎭⎫－13＝12. 所以a ＝2 3.10．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ，所以S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， 所以20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，所以S ＝16sin A ＝8 3.[B 能力提升]1．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 为∠BAC 的平分线，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )A ．2B ．2或4C ．1或2D ．5解析：选A.如图，由已知条件可得∠DAC ＝∠DAB ＝60°. 因为AC ＝3，AB ＝6，S△ACD ＋S △ABD ＝S △ABC ，所以12×3×AD ×32＋12×6×AD ×32＝12×3×6×32，解得AD ＝2.2．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：因为AB ＝3，AD ＝1，∠BAD ＝30°， 所以S △ABD ＝12×3×1×sin 30°＝34.又因为D 为BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ＝32. 答案：323．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3. (1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又因为sin B ∶sin C ＝2∶3，所以b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)因为AB 边上的高为33，A ＝60°，作CD ⊥AB 于D ，则CD ＝h ＝3 3.在Rt △ACD 中，hb＝sin A ，所以b ＝h sin A ＝33sin 60°＝6.又b c ＝23，所以c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63，所以a ＝37.4．(选做题)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)因为cos B cos C ＝－b 2a ＋c， 所以（a 2＋c 2－b 2）2ab （a 2＋b 2－c 2）2ac ＝－b 2a ＋c， 整理，得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12， 从而B ＝120°.(2)由(1)得a 2＋c 2＋ac ＝13.①又a ＋c ＝4，所以a 2＋c 2＋2ac ＝16.②由①②，得ac ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×sin 120°＝334.。
第3课时三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养．2．借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝12a·h a＝12b·h b＝12c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ca sin B；(3)S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)∠A＋∠B＝π－∠C，∠A＋∠B2＝π2－∠C2；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C⎝⎛⎭⎪⎫∠C≠π2，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()A ．32 B ．332 C ．3D ．3B [S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.]2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6×sin 120°＝9 3.]3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2.∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.]三角形面积的计算【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝45， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)知sin A＝35，sin C＝3＋4310.又∵∠B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝b sin Asin B＝65.∴△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.对于此类问题，一般用公式S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解]由正弦定理知ABsin C＝AC sin B，即23sin 120°＝2sin B，所以sin B＝12，由于AB>AC，所以∠C>∠B，故∠B＝30°.从而∠A＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC的面积S＝12AB·AC·sin A＝12×23×2×sin 30°＝ 3.三角形中的计算【例2】在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长A．[解]如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.因为c＝4，b＝7，AD＝7 2，在△ACD中，有cos C＝72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫7222×7×x，在△ABC中，有cos C＝72＋(2x)2－42 2×7×2x.所以72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫7222×7×x＝72＋(2x)2－422×7×2x.解得x＝9 2.所以a＝2x＝9.1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．2．在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C ．[解] (1)因为AD →·AC →＝0， 所以AD ⊥AC ，所以sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ，因为sin ∠BAC ＝223， 所以cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 即AD 2－8AD ＋15＝0， 解得AD ＝5或AD ＝3. 由于AB >AD ， 所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知， BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，又由cos ∠BAD ＝223，可知sin ∠BAD ＝13， 所以sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD BD ＝63，又∠DAC ＝90°，所以cos C ＝sin ∠CDA ＝sin ∠ADB ＝63.三角形中的综合问题1．如图所示，图中共有几个三角形？线段AD 分别是哪些三角形的边，∠B 是哪些三角形的内角？[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC ，△ABD ，△ADC ；线段AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内角．2．在探究1中，若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 是什么形状的三角形？在此条件下，若已知∠ADB=α，AB ＝m ，DC ＝n ，如何求出AC?[提示] 若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD 中先求出AD ，然后利用余弦定理在△ADC 中求出AC ，也可以在△ABD 中先求出BD ，然后在△ABC 中，利用余弦定理求出AC ．3．在探究1的图形中若已知∠B 与∠C 的大小，如何表示(或求)∠A ，如何用∠B 与∠C 的正、余弦值表示∠A 的正弦值？[提示] ∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，sin A ＝sin [π－(B ＋C )] ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．【例3】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝A ．(1)求证：∠B －∠C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[思路探究] (1)先由正弦定理化边为角，再化简即证．(2)结合第(1)问可直接求出∠B ，∠C ．再利用面积公式求值；也可以作辅助线得出b ，c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．[解] (1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1， 因为0<∠B <34π，0<∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π2. (2)因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，所以∠B ＝58π，∠C ＝π8.由a ＝2，∠A ＝π4得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝12.1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．3．如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，sin ∠BCD ＝35.(1)求BC 边的长；(2)求四边形ABCD 的面积．[解] (1)∵AC ＝CD ＝12AB ＝1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1，∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC ＝ 3.(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32. 又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ， sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝35， 从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝45， ∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×1×1×45＝25. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋5310.1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．2．本节要重点掌握的规律方法 (1)与三角形面积有关的计算． (2)与三角形中线段长度有关的计算． (3)与解三角形有关的综合问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S ＝(a＋b＋c)r.()(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则∠A＝60°.()(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6.()(4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B．()[解析](1)×.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝12ar＋12br＋12cr＝12(a＋b＋c)r.(2)×.由三角形面积公式S＝12bc sin A得，12×2×2×sin A＝3，所以sin A＝32，则∠A＝60°或∠A＝120°.(3)√.因为三角形的面积S＝12ab sin C＝12×6×4×sin 30°＝6.(4)×.因为在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝π2－∠B．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则()A．∠A＝30°B．∠A＝60°C．∠A＝30°或150°D．∠A＝60°或120°D[∵S＝12bc sin A＝32，∴12×2×3sin A＝32，∴sin A＝32，∴∠A＝60°或120°.故选D．]3．在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为________．7[∵S△ABC＝12×3×b×sin 120°＝1534，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.]4．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，已知c＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a ． 联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C＝c a ＋b，则∠A ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332 C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．32B ．34C ．32或 3D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________． 43 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45. 故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b ＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，则sin B ＝12，因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6， 所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin Bsin A ＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边(cos C ≠0)， ∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6. (2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32. 由正弦定理csin C ＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.]4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________． 27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得， 12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13， 从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎨⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧b ＝3，c ＝2.。
