2018年秋北师大版九年级数学上册习题课件：1.3 第1课时 正方形的性质

2. 正方形的性质： 由于正方形既是矩形，又是菱形，因此它既有矩形 的性质，又有菱形的性质．所以相较于平行四边形而言， 它特有的性质有：
直角 (1)正方形的四个角都是_____________ ； 都相等 (2)正方形的四条边_____________ ； 相等 (3) 正方形的两条对角线 _____________ 并且互相 垂直平分 平分 _____________ ，每一条对角线_____________ 一组对
角；
轴对称 图形，有______ 四 (4)正方形是______ 条对称轴．
◎自主检测 知识点 ：正方形的性质及其应用
1. 如图， 正方形 ABCD 的面积为 1， 则以相邻两边 中点连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为( B )
A. 2 B．2 2
C . 2 ＋1 D．2 2＋1
2. 如图，已知 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一 点(不与 A，C 重合)．求证：BP＝DP.
∴ CD ＝
DE2－CE2 ＝
132－52 ＝ 12.∵ 四 边 形
ABCD 是正方形，∴BC＝CD＝12，O 为 BD 的中点，∴ 1 1 OF 是△BDE 的中位线，∴OF＝2(BC－CE)＝2×(12－ 5)＝3.5.
证明：由正方形得∠ACB ＝∠ACD ， BC ＝ CD ，又 CP＝CP，故△BPC≌△DPC，得 BP＝DP.
知识点
：正方形的性质的综合应用
3. 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，P 是 AB 上 一点，PM⊥OA 于点 M，PN⊥OB 于点 N，若 AB＝2， 求四边形 OMPN 的周长．
解：由∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，得四边形 OMPN 是矩形，又由正方形性质得∠MAP＝∠MPA＝ 45°，得 MP＝MA，∴四边形 OMPN 的周长＝2(MP＋ OM)＝2OA＝AC＝2 2.
探究：四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DE＝BF，连接 AE，AF，EF. (1)求证：△ADE≌△ABF；
3. (2017·陕西)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且 AE＝CF，连接 AF，CE 交于点 G.求证：AG＝CG.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADF＝∠CDE＝90°， AD＝CD. ∵AE＝CF， ∴DE＝DF，
∴△ADF≌△CDE， ∴∠DAF＝∠DCE. 又∵∠AGE＝∠CGF，∴△AGE≌△CGF， ∴AG＝CG.
◎基础训练 1. 如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为( C ) A．14 C．16 B．15 D．17
2. 下列性质，正方形具有而菱形不具有的性质是
③⑤⑦ ____________.( 填序号 )①四边相等；②对角线互相平
分；③对角线相等；④对角线互相垂直；⑤四个角都是 直角；⑥每一条对角线平分一组对角；⑦有中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 的延长线上，连接 EF 与边 CD 相交于点 G， 连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H，AE＝CF，BE＝EG. (1)求证：EF∥AC； (2)连接 BG，求∠EBG 的大小．
解：(1)证明：证四边形 ACFE 是平行四边形，∴EF ∥AC； (2)证∠CGF＝∠F＝∠ACB＝45°，得 CG＝CF＝ AE，△BAE≌△BCG，进而得△BEG 是等边三角形， ∴∠EBG＝60°.
第一章
特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
◎学习目标 1. 掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、 菱形、矩形的关系． 2. 掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解 题．
◎知识梳理 1. 正方形的定义：
邻边 有 一 组 _____________ 相等，且有一个角是 直角 _____________ 的平行四边形叫做正方形． 菱 从正方形的定义看，它既是_____________ 形又是 矩 _____________ 形．
6. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O， E 为 BC 上一点， CE＝5， F 为 DE 的中点． 若 △CEF 的周长为 18，求 OF 的长．
解：∵CE＝5，△CEF 的周长为 18， ∴CF＋EF＝18－5＝13. ∵F 为 DE 的中点， ∴DF＝EF.∵∠BCD＝90°. 1 ∴CF＝2DE， 1 ∴EF＝CF＝2DE＝6.5.∴DE＝2EF＝13，
A (2)填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心______ 90 点，按顺时针方向旋转_________ 度得到；
(3)若 BC＝8，DE＝6，求△AEF 的面积．
解：(1)由 SAS 证明△ADE≌△ABF； (3)由勾股定理得 AE＝10， 由(1)得 AE＝AF， ∠DAE 1 2 ＝∠BAF， 进而证∠EAF＝90°， ∴△AEF 的面积＝2AE 1 ＝2×100＝50.
◎拓展提升 5. (2017·河北)如图是边长为 10 cm 的正方形铁 片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁 剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的( A )
A.
B．
C.
D．
【解析】∵正方形的边长为 10 cm，∴它的对角线 长为 102＋102＝ 200(cm)， ∵15＝ 225> 200， ∴选项 A 中裁剪长度所标的数据不正确．