自动控制系统 线性与非线性的判断

9 控制系统的非线性问题9.1概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图9-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图9-1 伺服电动机特性9.1.1控制系统中的典型非线性特性的类型常见典型非线性特性有饱和非线性、间隙非线性、死区非线性、继电非线性等。

9.1.1.1饱和非线性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。

如图9-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。

许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。

有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。

图9-2 饱和非线性9.1.1.2不灵敏区(死区)非线性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。

例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。

如图9-3所示，其特性是输入信号在∆<<∆-x 区间时，输出信号为零。

超出此区间时，呈线性特性。

这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域∆<<∆-x 叫做不灵敏区或死区。

自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。

非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。

在这篇文章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。

一、非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。

与线性系统相比，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受到系统自身状态和非线性特性的影响。

2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出会趋向于无穷大或无穷小。

3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。

二、非线性系统的分析方法1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线性行为。

相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分析系统的稳定性和动态特性。

2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。

通过分析系统的幅频特性和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。

3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行时间上的观察和分析。

通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。

4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。

通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行分析与计算。

5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和性能参数。

三、非线性系统的稳定性分析1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。

对于非线性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。

M y(t ) M
(0 m 1)
由于具有死区和滞环的继电器特性是对原点多值奇 对称，它在正弦输入作用下的输出量y(t)既不是奇函 数又不偶函数，所以A1和B1都必须计算，但A0=0
A1

1
2
0
y(t )cos td(t )
4 1 2 Mcos td(t ) Mcos td(t ) 3 1
注：非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率的正弦量， 只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的 输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。 一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提 供了可靠的物理基础。
描述函数(describing function)
系统状态演变对 初值极端敏感，相图 中两个任意靠近的点 经过足够长时间，对 应截然不同的状态— —由于实际上对初值 的测量不可能绝对精 确，这种不确定性在 一定条件下被放大， 导致不可预测的结果 ——蝴蝶效应。
3.非线性系统可能存在自激振荡现象。
自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的 等幅振荡称为自激振荡，简称自振荡。
y(t)
x(t)
0 1 2
y1(t) Y1sin(t +1) y(t) π 2 3 4
ωt
π
X x(t)
1
2
π
π 2
3 4
x(t) Xsint
ωt
非线性的输出
1 t 2 3 t 4 mh h 2 arcsin 式中： 1 arcsin , X X h mh 3 arcsin , 3 2 arcsin X X
( A a)
死区非线性的描述函数为

自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。

非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。

非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。

一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。

2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。

3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。

4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。

二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。

2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。

3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。

4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。

5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。

三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。

2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。

3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。

线性与非线性控制系统的性能比较与分析引言：控制系统是指通过一系列的输入和输出信号间的相互关系来实现对被控对象的控制。

其中，线性控制系统和非线性控制系统是两种常见的控制系统类型。

本文将对线性控制系统和非线性控制系统的性能进行比较与分析，以帮助读者更好地了解两者的优劣之处。

一、线性控制系统的性能：1. 频率响应特性：线性控制系统的频率响应特性较为简单，可以使用传统的频率域分析方法进行系统的设计和分析。

例如，可以使用Bode图和Nyquist图等工具评估系统的幅频和相频特性，进一步优化系统的性能。

2. 稳定性分析：线性控制系统的稳定性分析相对较为简单，可以通过分析系统传递函数的根位置来判断系统的稳定性。

常见的稳定性准则包括Routh-Hurwitz准则和Nyquist稳定性判据等。

这使得线性控制系统的设计与分析更加便捷。

3. 控制性能指标：线性控制系统可以使用传统的性能指标来评估其控制性能。

常用的性能指标有超调量、调节时间和稳态误差等。

这些指标可以帮助工程师在系统设计过程中更好地优化系统的性能。

二、非线性控制系统的性能：1. 非线性特性：与线性控制系统相比，非线性控制系统具有更为复杂的特性。

由于非线性元件的存在，系统的频率响应不再是简单的幅频和相频特性。

因此，频域分析方法在非线性系统的设计和分析中会遇到困难。

2. 稳定性分析：非线性控制系统的稳定性分析比线性控制系统更为复杂，常常需要使用数值方法进行分析。

例如，可以使用Lyapunov稳定性准则来评估非线性系统的稳定性。

此外，也需要考虑系统的局部和全局稳定性。

3. 控制性能指标：非线性控制系统的性能评估相对复杂。

由于系统的非线性特性，传统的性能指标可能不再适用。

因此，需要根据实际情况选择相应的性能指标来评估非线性控制系统的性能。

三、线性与非线性控制系统性能比较与分析：1. 频率响应：线性控制系统的频率响应特性较为直观，可以使用传统的频域分析方法进行判断和优化。

稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03

一、单项选择题：1． 线性系统和非线性系统的根本区别在于 ( C )A ．线性系统有外加输入,非线性系统无外加输入。

B ．线性系统无外加输入，非线性系统有外加输入.C ．线性系统满足迭加原理，非线性系统不满足迭加原理。

D ．线性系统不满足迭加原理，非线性系统满足迭加原理。

2．令线性定常系统传递函数的分母多项式为零，则可得到系统的 ( B ）A ．代数方程B ．特征方程C ．差分方程D ．状态方程 3． 时域分析法研究自动控制系统时最常用的典型输入信号是 （ D ）A ．脉冲函数B ．斜坡函数C ．抛物线函数D ．阶跃函数4．设控制系统的开环传递函数为G （s)=)2s )(1s (s 10++,该系统为 （ B )A ．0型系统B ．I 型系统C ．II 型系统D ．III 型系统5．二阶振荡环节的相频特性)(ωθ，当∞→ω时，其相位移)(∞θ为 ( B )A ．—270°B ．—180°C ．—90°D ．0°6. 根据输入量变化的规律分类,控制系统可分为 ( A ）A.恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统B 。

反馈控制系统、前馈控制系统前馈—反馈复合控制系统 C.最优控制系统和模糊控制系统 D.连续控制系统和离散控制系统7．采用负反馈连接时，如前向通道的传递函数为G （s ），反馈通道的传递函数为H （s ）,则其等效传递函数为 （ C ）A ．)s (G 1)s (G + B ．)s (H )s (G 11+C ．)s (H )s (G 1)s (G +D ．)s (H )s (G 1)s (G -8． 一阶系统G （s ）=1+Ts K的时间常数T 越大，则系统的输出响应达到稳态值的时间 （ A )A ．越长B ．越短C ．不变D ．不定9．拉氏变换将时间函数变换成 （ D ）A ．正弦函数B ．单位阶跃函数C ．单位脉冲函数D ．复变函数10．线性定常系统的传递函数,是在零初始条件下 （ D )A ．系统输出信号与输入信号之比B ．系统输入信号与输出信号之比C ．系统输入信号的拉氏变换与输出信号的拉氏变换之比D ．系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比 11．若某系统的传递函数为G(s ）=1Ts K+，则其频率特性的实部R （ω）是 （ A ） A ．22T 1Kω+B ．-22T 1Kω+C ．T1K ω+D ．—T1Kω+12。

Aa A a
3 滞环特性
K ( A sin t a ) x2 (t ) K ( A a ) K ( A sin t a )
x2 x2

3 2 2
a
0
a
x1
0
2

2
t
滞环非线性环节的 描述函数为
N ( A) C1 j1 1 e A12 B12 e j1 A A
一 非线性系统稳定性分析
• 描述函数是在正弦输入信号作用下，输出 的基波分量与输入正弦信号之间的关系。
• 描述函数只能用于对非线性系统的稳定性 和自持振荡的近似分析。
含有非线性环节的系统结构图
r


G1 j
x1
N A
x2
x 2
G2 j
y
H j
• 非线性部分用描述函数 N ( A) 表示； • 非线性部分用描述函数 G ( j ) 表示； G( j) G1 ( j)G2 ( j)H ( j) • 自持振荡只与非线性系统的结构和参 数有关，分析自持振荡时，设 r 0 。
x1
t
a)
单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形
(2)．非单值继电特性
x2
x2m x2m
x2
非继电特性的 描述函数为
a
x2m
0
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
0
x2m

t
4 x2m j N ( A) e A
b)
A
A


0
A
x1
t
a)
非单值继电特性在正弦输入作用下的输出波形
7-5 用描述函数研究非线性系统

线性系统和⾮线性系统⼀、线性和⾮线性的区别？线形指量与量之间按⽐例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；飞线性则指不按⽐例、不成直线的关系代表不规则的运动和突变。

⼆、如何判断⼀个系统是线形还是⾮线性系统？如果从系统状态空间表达式来观察，线性系统和⾮线性系统最明显的区别⽅式就是线性系统符合叠加原理，⽽⾮线性系统不然。

换句话说线性系统只有状态变量的⼀次项。

⾼次、三⾓函数以及常数项都没有，只要有任意⼀个⾮线性环节就是⾮线性系统。

三、⾮线性系统有⼀种⽅式是局部转化成线性系统才能控制？⾮线性系统不是不能控制⽽是不能掌控设想⼀下汽车的油门是⾮线性控制，如果踩⼀⼩点速度猛然上升，这种现象在现实中不希望看到，现实中需要缓慢的线性变化，⽽不是突变的⾮线性变化。

线形系统具有规律可循，只要找到系统的⼀部分就可以推算出其他部分，⾮线性系统⽆规律可循，于是将⾮线性系统近似为线性系统也是飞线性系统的⼀种计算⽅式。

四、⾮线性系统和线性系统相⽐具有什么特点？（1）线性系统的稳定性和输出特性，只取决于本⾝的结构和参数。

⽽⾮线性系统的稳定性和输出动态过程。

不仅与本⾝的结构和参数有关，⽽且还与系统的初始条件和输⼊信号⼤⼩有关。

（2）⾮线性系统的平衡运动状态，除平衡点外还可能有周期解。

周期解有稳定和不稳定两类，前者观察不到，后者是实际可观察到的。

因此在某些⾮线性系统中，即使没有外部输⼊作⽤也会产⽣有⼀定振幅和频率的振荡，称为⾃激振荡，相应的相轨线为极限环。

改变系统的参数可以改变⾃激振荡的振幅和频率。

这种特性可⽤于实际⼯程问题，以达到某种技术⽬的。

例如根据温度来影响⾃激振荡，可以构成双位式温度调节器。

（3）线性系统的输⼊为正弦函数时，其输出的稳态过程也是同频率的正弦函数，两者仅在相位和幅值上不同。

但⾮线性系统的输⼊为正弦函数时，其输出则包含有⾼次谐波的⾮正弦周期函数，即输出会产⽣倍频、分频、频率。

02
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统

1 x 1 的t值，因此上式 1 不存在使x x x 1 ，并当： 0 1，x
0 t 定的也可能是不稳定的； e x 1 0 x 0 即：t ln 时,x 。 平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与 x0 1 7 系统的初始条件有直接的关系。
14
(4) 继电器特性
y (t ) y (t )
x(t)
x(t)
具有滞环的继电器
M x 0: y 0 M M . x 0: y 0 M
.
x h2 h2 x h1 x h1 x h1 h1 x h2 x h2
2.等倾线法
（3）α取不同值时，画 出若干不同的等倾线，在 每条等倾线上画出表示斜 率为α的小线段，构成相 轨迹的切线方向场 （4）从相轨迹的初始状 态点按顺序将各小线段连 接起来，就得到了所求的 相轨迹 。
10.1.2非线性控制系统的特点
• (3)可能存在自持振荡（极限环）现象
– 自持振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统 内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。 – 线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳 定的情况下才能产生周期运动。而这一周期运动是物 理上不可能实现的 – 非线性系统，在没有外作用时，可能会发生一定频率 和振幅的稳定的周期运动，即自持振荡，这个周期运 动在物理上是可以实现的。 长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多 数情况下不希望系统有自振发生 自持振荡是某些非线性系统的重要特征，也是研究非线性 8 系统的一个重要内容
相轨迹的基本特征： (3)相轨迹的运动方向
0 — 向右移动 上半平面: x 0 — 向左移动 下半平面: x

7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn

自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。

在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。

本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。

一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。

2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。

2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。

在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。

2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。

常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。

这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。

2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。

常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。

2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。

其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。

2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。

3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。

通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。

3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。

自动控制系统的类型
2. 性质 ① 满足叠加原理 ② 齐次定理
1)叠加性：如果用c1(t)表示由r1(t)产生的 输出，用c2(t)表示由r2(t)产生的输出，则 当r1(t)和r2(t)同时作用时，输出量为c1(t) + c2(t) 。
2)齐次性：如果用c(t)表示由r(t)产生的 输出量，则在Kr(t)作用下的输出量为 Kc(t)。
自动控制系统的类型
3. 判断方法
对方程
a0
d n yt
dtn
a1
d n1 yt
dt n1
...
an
yt
b0
d m xt
dtm
b1
d m1xt
dt m1
...
bm xt
其中x(t)为输入量,Y(t)为输出量.
若方程中,输入、输出量及各阶导数均为一次幂,且各 系数均与输入量(自变量)Ｘ（ｔ）无关.就可定义为①, 用拉氏变换可求出输入输出关系函数(传递函数,动态 数模)。
处或几处的信号是离散信号，则称为离散系统。 对控制系统性能的主要要求是稳定性、暂态性能和稳态性能等几个方
面。这些性能常常是互相矛盾的。
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 14
第二章
§2 自动控制系统的数学模型
0 序言 §2-1 动态微分方程式的编写 §2-2 非线性数学模型线性化 §2-3 传递函数 §2-4 系统动态结构图 §2-5 系统传递函数和结构图的等效变换 §2-6 信号流图
导读
为什么要介绍本章?
分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模型。
本章主要讲什么内容?
首先介绍控制系统数学模型的概念，然后阐述分析、设计控 制系统常用的几种数学模型，包括微分方程、传递函数、结构 图以及信号流图。使读者了解机理建模的基本方法，着重了解 这些数学模型之间的相互关系。

松弛性 若系统的输出y[t0 ,]由输入u[t0, ]唯一确定，则称系 统在 时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味 着系统在时刻不存贮能量。例如RLC网络，若所有电容两端的电压 和流过电感的电流在 t0 时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定， 而且与初始条件有关。
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。

自动控制原理线性化知识点总结自动控制原理是控制工程中的一门基础课程，通过研究系统的数学建模、系统稳定性、校正技术等内容，用于分析和设计自动控制系统。

其中，线性化是自动控制原理中的重要概念之一，本文将对线性化的知识点进行总结。

一、线性系统的定义与特点在自动控制原理中，线性系统是指系统的输入和输出之间存在线性关系的系统。

线性系统的特点包括可加性、齐次性和比例性。

1. 可加性：当输入信号为两个或多个分量的叠加时，输出信号也为这些分量输出信号的叠加。

2. 齐次性：当输入信号为某个分量的倍数时，输出信号也为这个分量输出信号的相应倍数。

3. 比例性：当输入信号为某个分量的倍数时，输出信号也为这个分量输出信号的相应倍数。

二、非线性系统的线性化实际系统中存在着大量的非线性系统，而线性化是将非线性系统近似为线性系统的方法之一。

线性化的目的是为了方便系统的分析和设计。

1. 一阶泰勒展开法一阶泰勒展开法是一种常用的线性化方法。

对于非线性系统，可以使用一阶泰勒展开法将其近似为线性系统。

具体做法是将非线性系统在某一工作点处进行一阶展开，得到线性化模型。

2. 线性化误差线性化过程中会引入线性化误差，即线性化模型与实际系统之间存在的差异。

线性化误差的大小与线性化点的选取和非线性程度有关。

三、线性化的应用线性化的方法在自动控制原理中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 线性系统分析线性化方法使得非线性系统能够近似为线性系统，从而可以利用线性系统分析方法对系统进行分析。

例如，通过线性化可以求解系统的传递函数、频率响应等。

2. 控制器设计线性化方法可以在系统设计过程中为控制器的设计提供基础。

通过线性化后的线性系统模型，我们可以设计满足系统要求的控制器。

3. 系统校正线性化方法还可以用于对系统进行校正。

通过线性化可以得到系统的线性模型，在此基础上进行参数校正，使系统达到期望的性能。

四、线性化的局限性尽管线性化方法在许多情况下是有效的，但也存在一定的局限性。

自动控制原理非线性系统知识点总结自动控制原理是现代控制领域中的核心学科，广泛应用于各个工程领域。

在自动控制原理课程中，非线性系统是一个重要的研究对象。

非线性系统具有较复杂的动态行为，与线性系统相比，其稳定性和性能分析更为困难。

在本文中，我们将对非线性系统的知识点进行总结。

1. 静态非线性系统静态非线性系统是最简单的非线性系统，其输出仅与输入的幅值相关。

常见的静态非线性函数有幂函数、指数函数、对数函数等。

分析静态非线性系统时，通常采用泰勒级数展开或者离散化的方法。

2. 动态非线性系统动态非线性系统是具有时间相关性的非线性系统。

其中最基本的形式是非线性微分方程。

在动态非线性系统中，常见的动力学行为有极值、周期、混沌等。

在分析动态非线性系统时，可以采用相位平面分析、Lyapunov稳定性分析等方法。

3. 线性化由于非线性系统分析的困难性，常常采用线性化的方法来近似描述非线性系统的行为。

线性化方法可以将非线性系统在某一操作点上进行线性近似，从而得到一个线性系统。

采用线性化方法时，需要注意选取适当的操作点，以保证线性化模型的准确性。

4. 系统稳定性非线性系统的稳定性是研究非线性系统的重点之一。

与线性系统相比，非线性系统的稳定性分析更为困难。

常用的方法有Lyapunov稳定性分析、输入输出稳定性分析等。

在稳定性分析时，需要考虑非线性系统的各种动力学行为，比如局部极大值点、周期分岔点、混沌行为等。

5. 非线性反馈控制非线性反馈控制是应用最广泛的非线性控制方法之一。

非线性反馈控制利用非线性函数对系统的输出进行修正，以实现系统的稳定性和性能要求。

其中，常见的非线性反馈控制方法有滑模控制、自适应控制、模糊控制等。

6. 非线性系统的鲁棒性鲁棒性是研究非线性系统控制的重要性能指标之一。

鲁棒控制能够保证系统在存在不确定性或者干扰的情况下，仍然保持稳定性和性能要求。

常见的鲁棒控制方法有H∞控制、鲁棒自适应控制等。

7. 非线性系统的最优控制最优控制是针对非线性系统的性能指标进行优化设计的方法。