判断是否为线性系统例题

如何分析判断系统是否为稳定系统、因果系统、线性系统？
如何判断一个系统是否为线性系统，时不变系统以及稳定系统？
先线性运算再经过系统=先经过系统再线性运算是线性系统；
先时移再经过系统=先经过系统再时移为时不变系统；
时间趋于无穷大时系统值有界则为稳定的系统，或者对连续系统S域变换，离散系统Z域变换，H（s）极点均在左半平面则稳定，H（z）极点均在单位圆内部则稳定；
一般的常微分差分方程都是LTI，输入输出有关于t的尺度变换则时变，微分差分方程的系数为关于时间t的函数也时变。

怎么判断出系统是因果系统还是非因果系统的？
零状态响应不出现于激励之前的系统（或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值，而与将来时刻的输入值无关），称为因果系统。

一般来讲，若f（·）=0，t《t0（或k《k0）
则yzs（·）=T［{0}，{f（·）}］=0，t《t0（或k《k0）
就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。

如系统：yzs（t）=3f（t-1）就是因果系统，因为t1时刻的响应是t1-1时刻的激励引起的，这不就是先有激励后有响应吗，有因才有果，这就是因果。

而系统yzs（t）=3f（t+1）就不是因果系统，因为t1时刻的响应是t1+1时刻的激励引起的，先有响应后有激励，这就不是因果的了。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t （7）)t(k=f kε)(2（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

一、填空、选择、判断：1. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 2y(n) ；输入为x （n-3）时，输出为 y(n-3) 。

2. 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。

3.4. 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 时域离散信 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。

5. 单位脉冲响应不变法缺点 频谱混迭 ，适合____低通带通 滤波器设计，但不适合高通带阻 滤波器设计。

6. 请写出三种常用低通原型模拟滤波器特沃什滤波器、切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器。

7. FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N -1, 则其系统函数 H(z)的极点在 z=0 是 N-1 阶的。

8. 对于N 点（N ＝2L ）的按时间抽取的基2FFT 算法，共需要作 2/NlbN 次复数乘和 _NlbN 次复数加。

9. 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为：fs>=2f max 。

10. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X（e jw ）的 N 点等间隔 采样 。

11. 有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ）=()70()nk N n X k x n W ==∑。

12. 用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠 所产生的现象。

13. 若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度为N ，则它的对称中心是 (N-1)/2 。

14. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰减比较 小 。

《数字信号处理》复习思考题、习题（一）一、选择题1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 。

A.离散值；连续值B.离散值；离散值C.连续值；离散值D.连续值；连续值2．一个理想采样系统，采样频率Ωs =10π，采样后经低通G(j Ω)还原，⎪⎩⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)为： 。

A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=；C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。

3．一个理想采样系统，采样频率Ωs =8π，采样后经低通G(j Ω)还原，G j ()ΩΩΩ=<≥⎧⎨⎩14404 ππ；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，则它们相应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： 。

A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真；C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。

4．凡是满足叠加原理的系统称为线性系统，亦即： 。

A. 系统的输出信号是输入信号的线性叠加B. 若输入信号可以分解为若干子信号的线性叠加，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的线性叠加。

C. 若输入信号是若干子信号的复合，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的复合。

D. 系统可以分解成若干个子系统，则系统的输出信号是这些子系统的输出信号的线性叠加。

5．时不变系统的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化，亦即 。

A. 无论输入信号如何，系统的输出信号不随时间变化B. 无论信号何时输入，系统的输出信号都是完全一样的C. 若输入信号延时一段时间输入，系统的输出信号除了有相应一段时间延时外完全相同。

一．离散信号及系统1 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。

)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。

3. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313sin()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a )()(*)()( )1( 5n R n h n x n y ==解：}1,2,3,3,2,1{)(*)()( )2(==n h n x n y )2(5.0)(5.0*)2()( )3(323-=-=-n R n R n n y n n δ)(5.0)( )1(2)( )4(n u n h n u n x n n =--=n mm m n n y n ---∞=-⋅==≥∑23125.0)( 01当nm nm m n n y n 23425.0)( 1⋅==-≤∑-∞=-当aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解。

周期为是周期的解：14, 31473/2/2 )873cos()()( 0∴==-=ππωπππn A n x a。

1答案1.1说明波形如图1-4所示的各信号是连续信号还是离散信号。

图1-4答：连续时间信号是指它的自变量（时间变量t）是连续的，若时间变量的取值是离散的，则为离散时间信号。

图1-4中，（a）、（b）、（d）、（e）是连续信号，而（c）、（f）是离散信号。

1.2说明下列信号是周期信号还是非周期信号。

若是周期信号，求其周期T。

（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）提示：如果包含有个不同频率余弦分量的复合信号是一个周期为的周期信号，则其周期必为各分量信号周期（＝1,2,3，……，）的整数倍。

即有＝或。

式中为各余弦分量的角频率，＝为复合信号的基波频率，为正整数。

因此只要找到个不含整数公因子的正整数使成立，就可判定该信号为周期信号，其周期为：如复合信号中某两个分量频率的比值为无理数，则无法找到合适的；，该信号常称为概周期信号。

概周期信号是非周期信号，但如选用某一有理数频率来近似表示无理数频率，则该信号可视为周期信号。

所选的近似值改变，则该信号的周期也随之变化。

例如的信号，如令 1.41，则可求得＝100，＝141，该信号的周期为＝200 。

如令 1.414，则该信号的周期变为2000 。

答：（a）sint、sin3t的角频率之比，因此该信号为周期信号，其周期为（b）sin4t、sin7t的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。

（c）①当时，sin3t、sinπt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期；②当时，由于π是无理数，因此该信号为非周期信号。

（d）cosπt、sin2πt的角频率之比，因此该信号为周期信号，周期。

（e），即所以该信号是周期信号，周期（f），因此该信号为周期信号，周期。

（g）[asin(2t)＋bsin(5t)]2由于，所以该信号为周期信号，周期T＝2π。

1.3说明下列信号中哪些是周期信号，哪些是非周期信号；哪些是能量信号，哪些是功率信号。

计算它们的能量或平均功率。

(1)(2)(3)(4)(5)答：（1）严格地讲，周期信号应该是无始无终的，所以该信号应该算作非周期信号。