求不变子空间

求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。

一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。

你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。

比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。

还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。

这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。

再就是从矩阵的角度看。

如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。

这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。

另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。

投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。

就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。

宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。

就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。

加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。

§7.4 不变子空间教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。

教学难点 不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程备 注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间，对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间.例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，{}r 21,,,ααα 是W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵.如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ 秩秩===而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则n =+的零度秩σσ证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解 先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令 β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).而由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又σ (α1), σ (α2)线性无关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学小结本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。

求不变子空间的例题不变子空间一般定义为线性变换的有限基之间组成的空间，也称作余基子空间。

该空间的特性对数学的应用非常重要。

在研究空间的转换或复杂的线性方程组的求解过程中，不变子空间的研究可以提供有力的支持。

因此，求不变子空间的例子是问题的核心内容。

一般来说，不变子空间的求解应从下面几个方面入手：1.先要解决高维空间转换到低维空间的问题，这样，就可以得到一系列有效的不变子，它们能够满足不变子空间的定义。

2.后，根据不变子空间的相关定义，分析它是如何与原空间转换，以及如何实施解不变子空间的问题。

3.后，将不变子空间内的矩阵转换成标准形式，也就是矩阵变换的过程，以便于通过矩阵的计算来求解不变子空间。

以下是一些关于不变子空间的求解的例子：例1：已知一维空间R，它的基为{x1，x2，x3}，求不变子空间。

解：根据不变子空间的定义，不变子空间的基由余基组成，即{x1+2x2+3x3,x2-x3,x3+2x2-2x1}。

例2：已知基为{x1，x2，x3,x4}的二维空间R，求它的不变子空间。

解：不变子空间的基为{x1-2x2-3x3+5x4,x2+3x3-2x4,x3+2x2-x1,x4-x2-2x3+2x1}。

例3：已知基为{x1，x2，x3,x4,x5}的三维空间R，求它的不变子空间。

解：不变子空间的基为{x1+3x2+2x3-5x4+x5,x2-x4+2x5,x3-2x2+x4,x4+2x3-3x5,x5-x2-2x4 +x1}。

上面介绍了几个不变子空间的例子，要牢记不变子空间的定义，在空间的转换或复杂的线性方程组的求解过程中，要注意把握不变子空间的特性，这样才能有利于不变子空间的求解。

此外，要注意不同空间的大小，如一维，二维，三维等，这将影响不变子空间的维数，从而影响不变子空间的求解过程。

同时，还要注意对空间的变换，采用不同的变换方法，可以使不变子空间的求解更加简洁，更加有效。

在求解不变子空间的过程中，还要注意不变子空间的矩阵变换，这是空间变换的一种基础过程，如果能够把矩阵变换成标准形式，也就是增广矩阵，这样就可以更方便地利用矩阵运算来求解不变子空间了。

不变子空间的交还是不变子空间证明【编号一】不变子空间的交与不变子空间的证明【引子】在线性代数中，矩阵的不变子空间是指在矩阵变换下保持不变的向量空间或子空间。

矩阵的不变子空间具有重要的数学和应用价值。

在本文中，我们将探讨不变子空间的交以及如何证明一个子空间是不变的。

【编号二】不变子空间的交要理解不变子空间的交，我们首先需要了解两个概念：矩阵的不变子空间和子空间的交。

（一）矩阵的不变子空间对于一个n×n矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av = λv，其中λ是一个标量，则向量v所张成的向量空间称为A的特征子空间或特征空间。

特征空间是A的一个不变子空间，因为矩阵A作用在特征空间上的结果仍然在特征空间中。

（二）子空间的交设V和W是一个线性空间的两个子空间，则V和W的交集V∩W是指同时属于V和W的所有向量构成的集合。

交集仍然是一个子空间。

在研究矩阵的不变子空间时，我们会遇到不变子空间的交。

当两个矩阵的不变子空间的交非空时，即存在一个向量同时属于这两个矩阵的不变子空间，我们称此向量属于这两个不变子空间的交。

【编号三】证明不变子空间如何证明一个子空间是不变的呢？下面，我们将介绍一种常见的证明方法：使用矩阵的性质和线性代数的基本定理。

（一）使用矩阵的性质对于一个矩阵A和一个子空间V，如果对于每个向量v∈V，都有Av∈V，则V是A的一个不变子空间。

这是因为矩阵A作用在不变子空间V上的结果仍然在V中。

（二）使用线性代数的基本定理根据线性代数的基本定理，任何一个m×n的矩阵A可以通过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵R。

在行简化阶梯形矩阵中，非零行的每一行都有一个主元，而主元所在的列的其它元素都为零。

如果我们想证明一个子空间V是矩阵A的不变子空间，我们可以使用以下步骤：1. 选取子空间V的一组基向量{v₁, v₂, ..., vₖ}。

2. 将这组基向量按列排成矩阵B。

3. 计算AB，并得到矩阵R。

4. 观察R的形式，如果R中的每一列都满足主元所在列的其它元素都为零的条件，那么可以证明子空间V是矩阵A的不变子空间。

§74不变⼦空间§7.4 不变⼦空间教学⽬的本节要求掌握不变⼦空间的概念及其不变⼦空间的判断⽅法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变⼦空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。

教学难点不变⼦空间的证明教学重点不变⼦空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变⼦空间的证明教学过程备注教学内容⼀、不变⼦空间的定义为了解决不变⼦空间的问题，我们需要不变⼦空间的概念.先看⼀个例⼦.在3V 中，设σ是数量变换，即有⼀个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的⼀个平⾯，W 是3V 的⼀个⼦空间，对W 中每⼀个向量ξ，ξ在σ作⽤之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的⼦空间W 就是σ的不变⼦空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的⼀个线性变换，W 是V 的⼀个⼦空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任⼀向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的⼀个不变⼦空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本⾝和零⼦空间是V 的任⼀个线性变换的不变⼦空间，称它们为V 的平凡不变⼦空间，其它不变⼦空间称为⾮平凡不变⼦空间.例2 向量空间V 的任⼀⼦空间都是数量变换的不变⼦空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的⼦空间，并且]x [n R 是σ的不变⼦空间.例4 设σ是3V 中以过原点的⼀条直线L 为轴,旋转θ⾓的变换,则L 是σ的⼀维不变⼦空间;过原点且与L 垂直的平⾯H 是σ的⼀个⼆维不变⼦空间.⼆、不变⼦空间的判断下⾯给出⼀种判断不变⼦空间的⽅法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，W 是V 的⼦空间，{}r 21,,,ααα是W 的基.则W 是σ的不变⼦空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变⼦空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的⼀个线性变换，⽤Wσ表⽰，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ?ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变⼦空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，W 是σ的⼀个⾮平凡不变⼦空间.在W 中取⼀个基{}r 21,,,ααα，把它扩充成V 的⼀个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111=?++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这⾥1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα的矩阵.如果V 可以分解成两个⾮平凡不变⼦空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的⼀个基{}r 21,,,ααα和2W 的⼀个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的⼀个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是=210A A A 这⾥1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个⾮平凡⼦空间s 21,,,W W W 的直和，并且每⼀i W 都是σ的不变⼦空间，那么在每⼀⼦空间中取⼀个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对⾓形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的⼀维⼦空间的直和，那么σ在适当选取的基下的矩阵就是对⾓矩阵. σ的⼀维不变⼦空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下⼀节进⾏讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的⼀个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的⼦空间，并且在σ之下不变.证先证σm I 是σ的不变⼦空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，⽽σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的⼦空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变⼦空间.再证σKer 是σ的不变⼦空间.s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer ⾮空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的⼦空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变⼦空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，{}n 21,,,ααα是V 的⼀个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈?,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ?⼜σασασασIm ))(,),(),((21?n L ，所以(1)成⽴.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ秩秩===⽽ A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的⼀个线性变换，则n =+的零度秩σσ证在V 中取定⼀个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3，σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性⽅程组= 00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性⽅程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任⼀向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的⼀个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有---2122552131211201 ??????? ??4321x x x x ＝??0000解得该齐次线性⽅程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).⽽由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极⼤⽆关组含有两个向量，⼜σ (α1), σ (α2)线性⽆关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学⼩结本节内容分为下⾯四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的⽅幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。