不变子空间

§7.4 不变子空间教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。

教学难点 不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程备 注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间，对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变.例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间.例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间，{}r 21,,,ααα 是W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.设W 是向量空间V 的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，)()(ξσξσ=W若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设r r a a a αααασ12211111)(+++= r r a a a αααασ22221212)(+++=…………r r a a a αααασr 2r 21r 1r )(+++=n r n a a a a ααααασ1,1r 1r 1r r 1r r 11r 11r )(++++++++++++= ，，，，…………n nn r n r r rn n n a a a a ααααασ+++++=++ 1,111)(因此，σ关于这个基的矩阵为,00002311,,11,11,111,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++A A A a a a a a a a a a a a a nn r n n r r r rn r r rr r n r r这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵.如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和,21W W V ⊕=那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210A A A 这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵.若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，σασασξIm )()(∈==k k k因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s 21A A A因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是0)()()(=+=+βσασβασ 0)()(==ασασk k即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是))(,),(),(()()()()(212211n n n L a a a ασασασασασασησ ∈+++=故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，(,),(),(())(,),(),((dim )dim(Im )(2121nn L ασασασασασασσσ 秩秩===而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ == 由定理5.2.14知,秩A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则n =+的零度秩σσ证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-121A求σ的值域与核.解 先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令 β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).而由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又σ (α1), σ (α2)线性无关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.教学小结本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算3. 乘法运算(1). 乘法运算(2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件本课作业本课教育评注。

不变子空间.若当.最小多项式(简介)§7 不变子空间◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.一、定义与例子1.定义：σ∈L(Vn)，W是σ的不变子空间⇔W是V的子空间，且∀ξ∈W,有σ(ξ)∈W.简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）2.例子：设σ∈L(Vn)，则下列子空间W都是σ的不变子空间： 1）W={0} 2）W=V 3）W=σ-1(0) 4）W=σ(V) 5）W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ}A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设W是σ∈L(Vn)的不变子空间，可只在W中考虑σ，记为σ|W.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干σ-子空间Wi的直和，那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究.2.区别：σ|W与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即ξ∈W⇒(σ|W)ξ=σξ；ξ∉W⇒(σ|W)ξ无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws，设V可分解为若干个σ-子空间的直和：在每个不变子空间Wi中取基εi,εi, ,εi，i=1,2, s，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有12k⎛A1准对角形⎝⎫⎪⎪，其中Ai，i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As⎪⎭进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换σ∈L(Vn)的特征多项式f(λ)可分解成一次因式：f(λ)=(λ-λ1)r(λ-λ2)r (λ-λS)r,则V可以分解成不变子空间的直和： 12SV=V1⊕V2⊕⊕Vs,其中Vi={ξ∈V|(σ-λiE)iξ=0}.r§8 若当（Jordan）标准形介绍若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎛λ 1J(λ,t)=0 ⎝000 1000λ 00λ10⎫⎪0⎪⎪（λ是复数；注意对角元相同）⎪0⎪⎪λ⎭2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）【问题】若当形矩阵的特征值＝？.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13：∀σ∈L(Vn(C))，在V中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若A可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.⎛0【第二届中国大学生数学竞赛预赛2019】设B= 00⎝100030⎫⎪2019⎪， 0⎪⎭证明X2=B无解，这里X为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan矩阵这个性质，并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知Hamilton-Cayley定理：方阵A的特征多项式是A的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义：ϕ(x)是方阵A的最小多项式⇔f(A)=0且ϕ(x)次数最低、首项系数为1. 例数量矩阵kE的最小多项式是二、基本性质引理1矩阵A的最小多项式必唯一. 证法带余除法引理2f(x)是A的零化多项式⇔f(x)是A的最小多项式ϕ(x)的倍式，即ϕ(x)|f(x). 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法带余除法⎛1例求A=⎝11⎫⎪2⎪的最小多项式. (x-1) 1⎪⎭【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？⎛a 1例 k阶若当块J=⎝a1⎫⎪⎪⎪的最小多项式是⎪a⎪⎭k⨯k（直接计算，(x-a)k）三、主要结论定理数域P上矩阵A可对角化的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积. 推论复数域上A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根.例设A是n阶幂等矩阵，且秩为r.试求A的相似标准形，并说明理由；求2E-A. 解法：由A2=A知A有最小多项式g(λ)=λ2-λ=λ(λ-1)且无重根，所以A相似于对角矩阵，且特征值只能是1或0.又r(A)=r，故存在可逆矩阵P使P⎛ErAP= 0⎝02En-r⎛ErAP= 0⎝0⎫⎪. 0⎪⎭从而 P-1(2E-A)P=2E-P-1⎫n-r⎪⇒2E-A=2. ⎪⎭矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P使得A=PBP进一步有：当ϕ(x)是多项式时，ϕ(A)=Pϕ(B)P-1.特例：当A相似于对角矩阵时，由Ak=PBkP-1容易计算方幂Ak. 2.求Fibonacci数列通项：an+2=an+1+an(a0=0,a1=1)⎛an+1⎫⎛1解法用矩阵形式表示递推关系式 a⎪⎪=⎝n⎭⎝1⎛1A= 1⎝-1，于是Ak=PBkP-1.1⎫⎛an⎫⎛1⎪ a⎪⎪= 0⎪⎭⎝n-1⎭⎝11⎫⎪0⎪⎭na⎝0⎫⎪⎪⎭'⎛⎫1⎫⎛λ11±51±5-1 ⎪⎪的特征值为λ1,2=，对应的特征向量为,1，PAP=⎪0⎪22⎭⎝⎝⎭⎫⎪λ2⎪⎭nn⎡⎛⎤⎫⎛⎫11+51-5n⎪- ⎪⎥. ⎢由此可求A，即得an=⎪ 2⎭2⎪5⎢⎝⎝⎭⎥⎣⎦3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解设最初城市、农村人口分别为x0,y0，第k年末人口分别为xk,yk，则⎛x1⎫⎛0.9y⎪⎪=⎝1⎭⎝0.1⎛0.9记A= 0.1⎝0.2⎫⎛x0⎪⎪0.8⎭⎝y0⎛xk⎫⎛0.9⎫⎪，⎪ y⎪⎪= ⎝k⎭⎝0.1⎭0.2⎫⎛xk-1⎫⎪⎪⎪⎪0.8⎭⎝yk-1⎭x0.2⎫⎛xk⎫k⎛0⎫⎪⎪，可得⎪=A ⎪⎪⎪. 0.8⎭yy⎝k⎭⎝0⎭为计算Ak，可考虑把A相似对角化.特征多项式λE-A=(λ-1)(λ-0.7). λ=1对应的特征向量为α1=(2,1)'；λ=0.7对应的特征向量为α2=(1,-1)'取P=(α1,α2)= 1⎝k⎛21⎫1⎛1-1⎪ P=，得⎪-1⎭3⎝11⎫⎪⎪-2⎭A⎛1=P 0⎝0⎫1⎛2-1⎪P= 0.7⎪3⎝1⎭kk1⎫⎛1⎪ -1⎪⎭⎝00⎫⎛1⎪ k 0.7⎪⎭⎝11⎫⎪ -2⎪⎭1⎫1⎛2⎪= ⎪-2⎭3 ⎝22⎫⎪ 1⎪⎭k令k→∞，有0.7→0，得A1⎛2→3⎝11⎫⎛1⎪⎪-1⎭⎝00⎫⎛1⎪⎪0⎭⎝1⎛xk⎫1⎛2 ⎪ → 2 y⎪3⎝⎝k⎭⎛2⎫⎪2⎫⎛x0⎫3⎪⎪⎪=(x+y)00⎪⎪1⎭ 1⎪⎝y0⎭⎪⎝3⎭可见当k→∞时，城市与农村人口比例稳定在2:1.定理7：设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角阵.（注意：对角元恰好是A的全体特征值）（常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设σ在n维欧氏空间V的标准正交基下的矩阵是A，则σ是对称变换. n=1时，V=L(α)，取e1=α/α∈V，则σ(e1)∈V，有σ(e1)=ke1，e1即为所求. 设n-1时命题成立（含义？），考虑n的情形.设法把Vn分解成V1+Vn-1，才能使用归纳假设：1）σ对称−引理−−→σ有实数特征值λ1（才能保证特征向量α1∈V(R)，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取e1=α1/1，则是实特征向量.设V1是L(e1)的正交补，则V1是σ-子空间，维数为n-1，．且σ|V是V1的对称变换.于是利用归纳假设，V1有n-1个特征向量e2, ,en 标准正交，联合1e1,e2, ,en即为V的特征向量、标准正交基.另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：n=1显然. 设n-1时命题成立，A必有实数特征n值λ1（特征向量α1∈Rn），取e1=α1/α1，则也是实．特征向量.扩充成R的标准正交基e1,e2, ,en，以它们为列作n级矩阵T1，则T1正交，且T1'AT1=T1A(e1,e2, ,en)=T1(Ae1,Ae2, ,Aen)=(λ1T1e1,T1Ae2, ,T1Aen)-1-1-1-1-1注意到E=T1T1=T1(e1,e2, ,en)=(T1e1,T1e2, ,T1en)，故T1e1-1-1-1-1-1-1是E的第一列，于是T1'AT1形如⎛λ1⎝0C⎫⎪,而AB⎭对称，T1'AT1也对称，得C=0，且B是n-1级对称矩阵.λ2, ,λn)，取由归纳假设，存在n-1级正交矩阵Q，使得Q'BQ=dia(g1T2=⎛ 0⎝0⎫,T=T1T2Q⎪⎭⎛1T'AT=⎝可得T是正交矩阵，并且⎫⎛λ1⎪ Q'⎪⎭⎝⎫⎛1⎪ B⎪⎭⎝⎫⎪= =diag(λ1, ,λn)Q⎪⎭又T'AT=T-1AT与A相似，有相同的特征值，于是λ1, ,λn是A的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基 7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T，使得T'AT=T-1AT为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补）2.内积与标准正交基有何联系？ 3.标准正交基有何作用？ 4.如何构造子空间的正交补？5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？四、例题选讲◎ A正定⇒A+E>1证1：A正定⇒特征值λi>0⇒A+E的特征值λi+1>1 于是A+E=(λ1+1)(λ2+1)(λn+1)>1⋅1 1=1 证2：A正定⇒T-1AT=diag(λ1, ,λn),λi>0A+E=Tdiag(λ1, ,λn)T-1+E=Tdiag(λ1+1, ,λn+1)T-1-1=T(λ1+1)(λ2+1) (λn+1)>1⋅1 1=1《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线 1.线性空间2.线性变换、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C3.Jordan标准形4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）可验证）[可验证].区别第5章方法）四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系：……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵. 2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基） 3.可验证的几种计算类型特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或A'A=E）。

§7 不变子空间问题：在前面内容中，我们讲到矩阵等价，每一个等价类都有一个矩阵的等价标准型，例如：对于n阶矩阵来讲，有1n+类对于矩阵的合同，我们也有过类似的内容那么对于矩阵的相似，我们同样讨论这种问题：在一切彼此相似的n阶矩阵中, 如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 换句话讲，就是对于给定的n维线性空间V, A∈)(VL, 如何才能选到V的一个基, 使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.一、不变子空间1．定义7设A是数域P上线性空间V的线性变换, W是V的一个子空间. 如果Wξ，中的向量在A下的像仍在W中，换句话说, 对于W中任一向量ξ，有A W∈就称W是A 的不变子空间，简称A -子空间.2．例题例1整个空间V和零子空间{}0，对于每个线性变换A 都是A-子空间.例2 A的值域与核都是A-子空间.例3若线性变换A与β是可交换的，则β的核与值都是A-子空间.因为A的多项式f(A)是和A交换的，所以f(A)的值域与核都是A-子空间.例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.例 5 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基. 按A -子空间的定义， A W ∈ξ, 它必是ξ的一个倍数: A ξλξ0=.这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间.反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下 的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间.例 6，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间. 例 7 A —子空间的和与交还是A -子空间.二、矩阵化简与不变子空间1．A |W设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间. 由于W 中向量在A 下的像 仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中 考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换. 为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而 不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下 都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有(A |W )ξ=A ξ.但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η 是没有意义的.例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上 引起的变换是数乘变换0λ.2．结论：如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W .3．下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1)那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2311,,11,11,111,11110000A O A A a a a a a a a a a a a a nnk n n k k k knk k kk k n k k. (2) 并且左上角的k 级矩阵1A 就是A |W 在的基k εεε,,,21 下的矩阵.2) 设V 分解成若干个A -子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21.在每一个A -子空间i W 中取基),,2,1(,,,21s i iin i i =εεε (3)并把它们合并起来成为V 的一组基 I .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s A A A 21 (4) 其中),,2,1(s i A i = 就是A |W 在基(3)下的矩阵.反之，如果线性变换A 在基 I 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的 子空间 i W 是A -子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.三、 按特征值分解线性空间下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A 的特征多项式为)(λf ，它可分解成一次因式的乘积s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=则V 可分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕= 21其中 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|. 证明：（1）设 ()()()ii r i f f λλλλ=-， ()i i V f A V =，即是 ()i f A 的值域，利用 12,,,s f f f 互素来证明 12s V V V V =+++(2) 再证明 12s V V V V =+++ 是直和首先设 120s βββ+++=，(*) 这里()0i r i i A λεβ-=另一方面, ()(),j rj i f i j λλλ-≠ , 所以 ()i f A 中含有因式 ()j rj A λε-, 用 ()i f A 作用于 (*), 我们得到 ()0i i f A β=最后因为 ()i f λ 与 ()i r i λλ- 互素, 我们推出 0i β=其次注意到 如果 i i V β∈，即存在 i V α∈, 使 ()i i i f A βα=, 我们得到()()()()0i i r r i i i i i i A A f A f A λεβλεαα-=-==, 显然可以推出 0i β=,从而 12s V V V V =+++ 是直和(3) 证明 {}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|, 即 i V 是 ()i r i A λε- 的核显然 {}|()0,ir i iV A V ξλεξξ⊆-=∈, 对于 {}|()0,ir iA V αξλεξξ∈-=∈,我们知道 1i s αααα=++++, 从而 1()0i s αααα++-++=,重复 (2) 的证明, 我们得到 i αα=, 命题成立.。

§7.4 不变子空间教学目的本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。

教学难点不变子空间的证明教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明教学过程备注教学内容一、不变子空间的定义为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.在3V中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意αασαk)(,3=∈V，设W是3V中过原点的一个平面，W是3V的一个子空间，对W中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W中的向量，这样的子空间W就是σ的不变子空间.定义1 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若W中向量在σ下的像仍在W中，即对于W中任一向量ξ，都有W∈)(ξσ，则称W是σ的一个不变子空间，或称W在σ之下不变.例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间.例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间.例3 在R[x]中，令x)(f(f(x))'=σ，对任意][],[)(xRxRxfn∈是R[x]的子空间，并且]x[nR是σ的不变子空间.例4 设σ是3V中以过原点的一条直线L为轴,旋转θ角的变换,则L是σ的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间.二、不变子空间的判断下面给出一种判断不变子空间的方法定理7.4.1 设σ是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，{}r21,,,ααα 是W的基.则W是σ的不变子空间的充要条件是)(,),(),(r21ασασασ 在W中.设W是向量空间V的关于线性变换σ的不变子空间，那么对于任意的W ∈α，必有W ∈)(ασ，因此σ也可看作是向量空间W 的一个线性变换，用Wσ表示，即对于任意W ∈ξ，若W ∉ξ，那么)(ξσW就没有意义. Wσ叫做σ在W 上的限制.三、不变子空间与线性变换的矩阵的关系设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个非平凡不变子空间.在W 中取一个基{}r 21,,,ααα ，把它扩充成V 的一个基},,,,,,{1r 21n r ααααα +，由于),,2,1()(r i W i =∈ασ，故可设……………………因此，σ关于这个基的矩阵为 这里1A 是Wσ关于W 的基{}r 21,,,ααα 的矩阵. 如果V 可以分解成两个非平凡不变子空间1W 与2W 的直和那么选取1W 的一个基{}r 21,,,ααα 和2W 的一个基{}n 1,,αα +r ，凑成V 的一个基{}n r ααααα,,,,,,1r 21 +，当1W 和2W 都在σ下不变时，σ关于这个基的矩阵是这里1A 是r 阶矩阵，2A 是n-r 阶矩阵，它们分别是1W σ关于基{}r 21,,,ααα 的矩阵和2W σ关于基{}n 1,,αα +r 的矩阵. 若V 可分解成s 个非平凡子空间s 21,,,W W W 的直和，并且每一i W 都是σ的不变子空间，那么在每一子空间中取一个基，凑成V 的基，σ关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵其中i A 是i W σ关于i W 的基的矩阵，.,2,1s i =如果能将V 分解成n 个在σ下不变的一维子空间的直和，那么σ在适当选取的基下的 矩阵就是对角矩阵. σ的一维不变子空间的问题与线性变换的本征值和本征向量有密切关系，我们将在下一节进行讨论.四、线性变换的值域与核定义2 设是向量空间的一个线性变换，由V 中全体向量的像构成的集合称为的值域，记作或；有零向量在之下的全体原像作成的集合称为的核，记作，即定理7.4.2 设σ是向量空间V 的线性变换，那么σm I 和σKer 是V 的子空间，并且在σ之下不变.证 先证σm I 是σ的不变子空间因为，σσm 0)0(,0I V ∈=∈，所以Φ≠m I .由于对任意σηξIm ,,∈∈F k ，存在V ∈βα,，使得)(),(βσηασξ==，而σβασβσασηξIm )()()(∈+=+=+，因此σm I 是V 的子空间.任取σζIm ∈，当然σξσζIm )(,∈∈V .所以σm I 是σ的不变子空间.再证σKer 是σ的不变子空间.因为σKer ∈0，所以σKer 非空.对任意σβαKer F k ∈∈,,，有0)(,0)(==βσασ，于是即有,,σαβαKer k ∈+，所以σKer 是V 的子空间.由于σKer 中的向量在σ下的像都是零向量，因此σKer 是σ的不变子空间. 我们把σm I 的维数称为线性变换σ的秩，记作秩σ.把的维数称为线性变换的零度.定理7.4.3 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，{}n 21,,,ααα 是V 的一个基，σ关于这个基的矩阵是A ，则(1) ))(,),(),((m 21n L I ασασασσ = (2) σ的秩等于A 的秩证 (1) σξm I ∈∀,存在n n a a a V αααηη+++=∈ 2211,，使得)(ησξ=. 于是故 ))(,),(),((Im 21n L ασασασσ ⊆又 σασασασIm ))(,),(),((21⊆n L ，所以(1)成立.(2) 由(1)知，而 A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121αααασασασααασ ==A n 秩=))(,),(),((21ασασασ ,所以A 秩秩=σ.定理7.4.4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，则证 在V 中取定一个基{}n 21ααα，，， .设σ关于这个基的矩阵为A ，由定理7.4.3， σ的秩=秩A若σαααξKer a a a n n ∈+++= 2211，则0)(=ξσ.由于)(ξσ与0向量的坐标相同，即T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此 故例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且 求σ的值域与核.解 先求ker σ, 设ξ∈ker(σ), ξ关于{α1,α2,α3,α4}的坐标为(x 1, x 2, x 3,x 4), σ (ξ)在{α1,α2,α3,α4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000 解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令 β1=－2α123-α2+α3 , β2=－α1－2α2+α4 那么ker (σ)＝L (β1, β 2)，σ的零度=2 .再求Im σ. 由定理7.4.3，Im σ＝L (σ (α1), σ (α2), σ (α3), σ (α4)).而由定理7.4.4, σ的秩为2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又σ (α1), σ (α2)线性无关，所以Im σ =L (σ (α1), σ (α2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题. 教学小结本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算 3. 乘法运算(1). 乘法运算 (2). 线性变换σ的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件 本课作业本课教育评注。

§7 不变子空间对于给定的n 维线性空间V ，A ∈)(V L ,如何才能选到V 的一个基,使A 关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的n 阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.定义7 设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的一个子空间.如果W 中的向量在A 下的像仍在W 中，换句话说,对于W 中任一向量ξ，有A W ∈ξ，就称W 是A 的不变子空间，简称A -子空间.例1 整个空间V 和零子空间{}0，对于每个线性变换A ，都是A -子空间. 例2 A 的值域与核都是A -子空间.例3 若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值都是A -子空间. 因为A 的多项式f (A )是和A 交换的，所以f (A )的值域与核都是A -子空间.例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基.按A -子空间的定义，A W ∈ξ,它必是ξ的一个倍数:A ξλξ0=.这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间.反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间.显然，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间.A -子空间的和与交还是A -子空间.设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间.由于W 中向量在A 下的像仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有(A |W )ξ=A ξ.但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η是没有意义的.例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上引起的变换是数乘变换0λ.如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W .下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1)那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2311,,11,11,111,11110000A O A A a a a a a a a a a a a a nn k n n k k k kn k k kk k n k k . (2) 并且左上角的k 级矩阵1A 就是A |W 在的基k εεε,,,21 下的矩阵.2) 设V 分解成若干个A -子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21.在每一个A -子空间i W 中取基),,2,1(,,,21s i iin i i =εεε (3) 并把它们合并起来成为V 的一组基I .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A A 21 (4) 其中),,2,1(s i A i =就是A |W 在基(3)下的矩阵.反之，如果线性变换A 在基I 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的子空间i W 是A -子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的. 下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V 按特征值分解成不变子空间的直和. 定理12 设线性变换A 的特征多项式为)(λf ，它可分解成一次因式的乘积s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=则V 可分解成不变子空间的直和s V V V V ⊕⊕⊕= 21其中{}V A V i r i i ∈=-=ξξελξ,0)(|.。

§7.4 不变子空间T T n A )0,,0,0(),,,(21 =ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21 是齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021n x x x A(1)的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量T n b b b ),,,(21 来说,σαααKer b b b n n ∈+++ 2211.令σKer 的任一向量ξ与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker故n =+的零度秩σσ例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2-12-255213121-1201A求σ的值域与核.解 先求ker , 设ker(), 关于{1,2,3,4}的坐标为(x 1, x 2, x 3, x 4), ()在{1,2,3,4}下的坐标为(0,0, 0, 0)，由定理7.4.4，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000解得该齐次线性方程组的基础解系为X 1＝(－2,－23,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1).令1=－2123-2+3 , 2=－1－22+4那么ker ()＝L (1, 2)，σ的零度=2 .再求Im . 由定理7.4.3，Im ＝L ( (1),(2),(3),(4)).而由定理7.4.4, 的秩为 2. 因此，{})(,)(,)(,)(4321ασασασασ的极大无关组含有两个向量，又(1),(2)线性无关，所以Im =L ( (1), (2)).作 业：P332-333,习题七，第19，20，21，22，23，24，25，26题.本节内容分为下面四个问题讲： 1. 加法运算 2. 数乘运算 3. 乘法运算 (1). 乘法运算(2). 线性变换的方幂4. 可逆线性变换及线性变换可逆的充要条件。