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3
Exercise 8 矩阵是
设 n 维线性空间 V 的线性变换 σ 在基 α1, α2, · · · , αn 下的
0 1
0
... ...
... ...
1
0
试证：
(1) 若 V0 是 σ 的一个不变子空间，且 a1α1 + a2α2 + · · · + akαk ∈ V0, 1 ≤ k ≤ n, ak = 0，则 α1, α2, · · · , αk ∈ V0。
证明： (1) τ σ − στ = ε，ε 是单位变换； (2) (τ σ)2 = τ 2σ2 + τ σ。 问：σ 是不是 R[x] 上的幂零变换？是不是 Rn[x] 上的幂零变换？ 证明： (1) ∀f ∈ R[x] στ (f (x)) = σ(xf (x)) = f (x) + xf (x) τ σ(f (x)) = τ (f (x)) = xf (x) (στ − τ σ)(f (x)) = f (x) = ε(f (x)) 证毕。 (2) (τ σ)2(f (x)) = τ σ(xf (x)) = x(f (x) + xf (x)) = xf (x) + x2f (x) τ 2σ2(f (x)) = τ (τ σ)σ(f (x)) = τ (τ σ)(f (x)) = τ (xf (x)) = x2f (x) (τ 2σ2 + τ σ)(f (x)) = x2f (x) + xf (x) = (τ σ)2(f (x)) 证毕。 σ 不是 R[x] 上的幂零变换。因为，对于任意 n ∈ N，总存在一个 m > n，
1
(2) 令 V = R2， 设 σ((x1, x2)T ) = (x1, 0)T ，τ ((x1, x2)T ) = (x1, x1 + x2)T ，则 στ = τ σ。
Exercise 3 在 R[x] 上，定义两个线性变换：
σ(f (x)) = f (x), τ (f (x)) = xf (x)
σ(X) =
11 11
X
12 −1 1
.
(1) 试证明 σ 是 V 的线性变换。
2
(2) 求 Im(σ) 和 ker(σ) 的基和维数。 证明： (1) 易见 V 是到自身的线性映射，且由矩阵乘法和数乘的性质，可知对 于 α, β ∈ V, λ ∈ R,，有 σ(α + β) = σ(α) + σ(β), σ(λα) = λσ(α) 成立。 (2) 可知
解： 如果 W 是 σ 的不变子空间，则 W ⊆ σ−1(W )。又在 σ 作用下，σ−1(W ) 的所有的像都在 W 中，所以必在 σ−1(W ) 中。因此，σ−1(W ) 是 σ 的不变 子空间。 如果 σ−1(W ) 是 σ 的不变子空间，则 W 不一定是 σ 的不变子空间。 例如：W = {(x, x, 0)T }，σ(W ) = {(x, 0, 0)T }，易见 W 不是 σ 的不变子空 间。而 σ−1(W ) 为 {(0, 0, 0)T }，为 σ 的不变子空间。
(5) 把复数域 C 看作 C 上的线性空间，σ(α) = α¯，α ∈ C，α¯ 是 α 的共 轭复数。
解：
(1) 是。符合线性变换的定义。 (2) 否 。 因 为 x2 + y2 = (x + y)2。 反 例 ：σ((1, 0, 0)T + (1, 0, 0)T ) = σ((2, 0, 0)T ) = (4, 0, 0)T 而 σ((1, 0, 0)T ) + σ((1, 0, 0)T ) = (2, 0, 0)T 。 (3) 否。因为 x · f (x) ∈/ Fn[x]。 (4) 是。符合线性变换的定义。 (5) 否。反例：i · σ(i) = 1 而 σ(i · i) = −1。
α1 ∈ V0
将上述式子逐步逆推，可逐步得到 α2, · · · , αk ∈ V0。证毕。 (2) 由 (1) 的结论，显然成立。
4
σ(X) =
x11 + x21 − x12 − x22 2x11 + 2x21 + x12 + x22 x11 + x21 − x12 − x22 2x11 + 2x21 + x12 + x22
故可见 Im(σ) 中的元素有Fra bibliotekab ab
为 2，基为
10 10
和
01 01
。
下面来求 ker(σ) 的维数和基。先令
Im(σ) = L(σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn))
问：(1) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是不是 Im(σ) 的基？ (2) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 Im(σ) 的基的充分必要条件是什么？
解：
(1) 不是。因为可能 σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 并不彼此线性无关。 (2) σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn) 是 Im(σ) 的基的充分必要条件是 σ 可逆。证 明如下：
¶练习题
Exercise 1 判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？ (1) 在 F 3 上，σ((x1, x2, x3)T ) = (x1 + x2 + x3, x2 + x3, x1)T ； (2) 在 F 3 上，σ((x1, x2, x3)T ) = (x21, x2 − x3, 0)T ； (3) 在 Fn[x] 上，σ(f (x)) = x · f (x)； (4) 在 Mn(F ) 上，σ(X) = BXC，其中 B, C ∈ Mn(F ) 是两个确定的矩 阵；
第 2 次讨论课答案
¶内容 1. 线性变换的定义与运算； 2. 线性变换的像与核； 3. 不变子空间. ¶教学要求 1. 准确运用线性变换的定义或等价的命题判断给定的映射是否是一个线性变 换; 2. 掌握线性变换的运算; 3. 正确理解线性变换的像与核的概念及相互之间的联系，并能求出它们的基 与维数； 4. 掌握验证一个子空间是某个线性变换的不变子空间的方法； 5. 会求某些线性空间上的线性变换的不变子空间.
的形式，所以，可知 Im(σ) 的维数
x11 + x21 − x12 − x22 = 0 2x11 + 2x21 + x12 + x22 = 0
可以得到：
x11 + x21 = 0 x12 + x22 = 0
故 ker(σ) 中的元素有
为 2，基为
10 −1 0
和
ab −a −b
01 0 −1
的形式，所以，可知 Im(σ) 的维数 。
立，故 W1 为 σ 的不变子空间。 (2) 当 a2 = 0 时，(0, a2, 0)T ∈ W2 但 σ((0, a2, 0)T ) = (a2, 0, 0)T ∈/ W2。
故 W2 不是 σ 的不变子空间。
Exercise 7 设 σ ∈ L(V )，W 是 V 的子空间，σ−1(W ) 是 W 在 σ 下的 原像，如果 W 是 σ 的不变子空间时，σ−1(W ) 是不是 σ 的不变子空间？反 之，如果 σ−1(W ) 是 σ 的不变子空间时，W 是不是 σ 的不变子空间？为什 么？
(2) {0}, L(α1), L(α1, α2), · · · , L(α1, α2, · · · , αn−1), V 是 V 的全部 σ 的 不变子空间。
证明：
(1) 由矩阵可得：σ(αk) = αk−1。 由于 V0 是 σ 的一个不变子空间，
a2α1 + a3α2 + · · · + akαk−1 = σ(a1α1 + a2α2 + · · · + akαk) ∈ V0 a3α1 + a4α2 + · · · + akαk−2 = σ(a2α1 + a3α2 + · · · + akαk−1) ∈ V0 ···
和 f ∈ Rm[x]，使得 σn(f (x)) 不是 0。 σ 是 Rn[x] 上的幂零变换。因为，存在 m > n，使得对于 ∀f ∈ Rn[x]，
有 σm(f (x)) = 0。
Exercise 4 设 σ 是 F 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，α1, α2, · · · , αn 是 V 的一个基，则：
Exercise 6 在 R3 上，下列子空间是否是所给线性变换 σ 的不变子空
间？ (1) W1 = {(a1, a2, 0)T a1, a2 ∈ R}, σ((a1, a2, a3)T ) = (a2, a1, a3)T ; (2) W2 = {(0, a2, 0)T a2 ∈ R}, σ((a1, a2, a3)T ) = (a2, 0, 0)T ; 解： (1) 对于任意 (a1, a2, 0)T ∈ W1 有 σ((a1, a2, 0)T ) = (a2, a1, 0)T ∈ W1 成
不满足线性性。 不满足封闭性。 不满足数乘封闭性。
Exercise 2 举例说明 (1) σ, τ ∈ L(V )，στ = 0 不一定推出 σ = 0 或 τ = 0； (2) στ = τ σ 解： (1) 令 V = R2，设 σ((x1, x2)T ) = (x1, 0)T ，τ ((x1, x2)T ) = (0, x2)T ， 则 σ = 0, τ = 0。但 στ = 0。
σ可逆 ⇐⇒ σ的矩阵表示A可逆
⇐⇒ A的列线性无关 (同构)
⇐⇒ σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn)线性无关 ⇐⇒ σ(α1), σ(α2), · · · , σ(αn)为Im(σ)的基。
Exercise 5 设线性空间 V = X =
x11 x12 x21 x22
